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专题06 全等三角形模型之奔驰模型
对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我
们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模
型”我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。 今天的
这主要讲“奔驰模型”之旋转全等类型。
.........................................................................................................................................1
模型来源.............................................................................................................................................................1
真题现模型.........................................................................................................................................................2
提炼模型.............................................................................................................................................................3
模型运用.............................................................................................................................................................5
模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）.............................................................................................5
模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）.....................................................................................9
模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）..................................................................................12
..................................................................................................................................................16
奔驰模型因图形构造类似奔驰车标志而得名，尤其在等边三角形中通过特定线段连接形成的结构。在
等边三角形中，通过从一个顶点向对边引线段，再向另两个顶点连线，形成的“三叉”对称结构酷似奔驰
车标的三叉星图案。这一形象化的关联使其在初中几何教学中更易被学生记忆，成为几何模型中的经典案例。在等腰直角三角形或正方形中应用奔驰模型时，意外发现旋转角度可调整为45°或90°，进一步验证了
模型的普适性。
（2024·四川广元·二模）
【问题提出】小明、小强、小东三人兴趣小组在研究等边三角形时，小明提出了一个猜想：等边三角形内
一点到三角形三个顶点的长度确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也就随之确定．
【问题解决】（1）如图1，点 P 是等边 内的一点， 小强将 绕点B
逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，从而求出 的度数．请你写出小强的求解过程．
【问题延伸】（2）在研究中，小东又提出一个猜想：当点在等边三角形外与三顶点距离确定时，这点与
三顶点连线构成的角的度数也会随之确定．如图2， 求 的度数．
【拓展应用】（3）如图 3，在正方形 内有一点P， 求 的度数．
【答案】（1） （2） （3）
【详解】解：（1） 绕点B逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ， ，
∴ 为等边三角形，∴ ， ，
又∵ ， ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ 为直角三角形， ，
∴ ．
（2）将 绕点B逆时针旋转 得到 ，如图，则 ， ， ， ，
∴ 为等边三角形，∴ ， ，
又∵ ， ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ 为直角三角形， ，
∴ ．
（3）将 绕点B逆时针旋转 得到 ，如图，
则 ， ， ， ，
∴ 为等腰直角三角形，∴ ， ，
∵ ∴ 又∵ ∴ ， ，
∵ ，∴ 为直角三角形， ，
∴ ．
1）奔驰模型1（动点在等边三角形内）
条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足 （常考数据：BP=3，AP=4，CP=5），
结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）
常用结论 等边三角形的面积公式： （选填题非常适用）
证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°；
∴ ∠ BAC-∠ PAC=∠ PAP’-∠ PAC ， ∴ ∠ BAP=∠ P’AC ， ∴ （ SAS ） ， ∴ BP=CP’ ，
∠APB=∠AP’C；
∵ ，∴ ，∴∠PP’C=90°，
∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。
2）奔驰模型2（动点在等腰直角三角形内）
条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足 ，
结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）
证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。
∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形；
∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°， ，∠AP’P=45°；
∴ ∠ BAC-∠ PAC=∠ PAP’-∠ PAC ， ∴ ∠ PAB=∠ P’AC ， ∴ （ SAS ） ， ∴ BP=CP’ ，
∠APB=∠AP’C；
∵ ，∴ ，∴∠PP’C=90°，
∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。
3）奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）
模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若 ，结论：∠CPA=30°。
模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。
（注意：上述两个模型结论和条件互换也成立）图1 图2
模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。
∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°；
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴
（SAS）
，∴BP=CD；
∵ ，∴ ，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。
模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。
∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形；
∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°， ，∠APD=45°；
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴
（SAS）
，∴BP=CD；
∵ ，∴ ，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。
模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）
例1（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图所示，点 是等边三角形 内的一点，且 ， ，
，若将 绕点 逆时针旋转后，得到 ，则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：连接 ，如图， 为等边三角形， ， ，
绕点 逆时针旋转后，得到 ， ， ， ，
为等边三角形， ， ，
在 中，∵ ， ， ， ，
为直角三角形， ， ．故选：A．
例2（24-25九年级上·广东江门·期中）如图， 是等边三角形，点 在 内， ，将
绕点 逆时针旋转得到 ，则 的长等于（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【详解】解： 是等边三角形， ， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ， ， ， ，
，即 ，
是等边三角形， ，故选： ．
例3（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图， 为等边 内的一点，且 到三个顶点 ， ， 的距
离分别为6，8，10，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ 为等边三角形， ，将 绕点 逆时针旋转 得 ，连 ，且延
长 ，作 于点 ． 于点 ，如图，
， ， ，
为等边三角形， ， ， ，
在 中， ， ， ， ，
为直角三角形，且 ， ． ，
在直角 中， ， ．
在直角 中， ．则 的面积是 ．故选A．
例4（24-25八年级上·山东淄博·期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且 ， ， ，
将 绕点B顺时针旋转得到 ，连接PQ，则以下结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 是等边三角形， ， 将 绕点B顺时针旋转得到 ，
，旋转角为 ，故选项A正确；
由旋转得： ， ， 是等边三角形， ， ，
， 是直角三角形， ，
，由旋转得 ，故选项B正确；
，故选项D正确；
是等边三角形， ，故选项C错误；故选：C．
例5（24-25八年级上·四川达州·期中）如图， 是正 内一点， ， ， ，将线段
以点 为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，下列结论： 点 与 的距离为 ；
； ； ； ．其中正确的结论是
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，∴ 是等边三角形，∴ ，故 正确；
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ 为直角三角形， ，
∵ 是等边三角形，∴ ，∴ ，故 正确；
过点 作 ，交 的延长线于点 ，则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，故 错误；过点 作 于点
，
∵ 是等边三角形，∴ ，∴ ，
∴ ，故 正确；
将 绕点 逆时针旋转 ，使得 与 重合，点 旋转至 点，
易知 是边长为 的等边三角形， 是边长为 的直角三角形，
∴ ，故 正确；∴①②④⑤正确，故选： ．
模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）
例1（24-25八年级上·广东·期中）如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA=1，PB=PD= ，则∠APB
的度数为 ．
【答案】105°
【详解】解：过点P作PH⊥AB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，
在△APB和△APD中 ∴△APB≌△APD，∴∠BAP=∠DAP，
由∠BAD=90°，可知∠BAP=∠DAP=45°，∴∠APH=90°-45°=45°，∴PH=AH,
∵PA=1，在 中，由勾股定理可得： ，
∵PB= ，∴∠PBA=30°，∴∠BPH=90°-30°=60°，∴∠APB=∠APH+∠BPH=45°+60°=105°故答案为：105°
例2（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，点 是正方形 内一点， ， ，
，则 的长为 ．【答案】
【详解】解：将 绕着点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，
则 是等腰直角三角形， ， ， ， ，
， ， ，故答案为： ．
例3（24-25九年级上·广东揭阳·阶段练习）如图正方形 外取一点E，连接 ．过点A作
的垂线交 于点P，若 ， ．下列结论：① ；②点B到直线 的距离为
；③ ；④ ．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【详解】解：∵正方形 外取一点E，连接 ．过点A作 的垂线交 于点P，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ；故①正确；
过B作 ，交 的延长线于F，则 ，
∵ ，∴ ， ，
又∵ ，∴ ，
即点B到直线 的距离为1，故②不正确；
如图，连接 ，∵ ，∴ ， ，
∴ ，故③正确；
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，故④正确，
综上可知，①③④正确，故选：A．
例4（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）阅读下面材料：
小岩遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝1， ，PC＝2，求∠APB的度数；小岩是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造 ，连接 ，得到两个特殊的三角
形，从而将问题解决．(1)请你回答：图1中∠APB的度数等于____；（直接写答案）
参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题：
(2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且 ， ， ．求∠APB的度数；
(3)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，若∠APB＝ ，直接写出PA，PB和PF的数量关系．
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）解：如图2，把△APB绕点A逆时针旋转 得到 ，
由旋转的性质，
∴ 是等边三角形， ∴
∵ ∴
∴ 故 ； 故答案为： ．
（2）如图3，把△APB绕点A逆时针旋转 得到 ，
由旋转的性质，
∴ 是等腰直角三角形， ∴
∵ ∴ ，
∴ ， 故 ．
（3）如图4，∵正六边形的内角为 ，
∴把△APB绕点A逆时针旋转 得到 ，由旋转的性质， ，∴ ，
过点A作 于M，设 与AF相交于N，
设 则
∴ ∴ 由旋转的性质可得：
∴ ∴ ∴
模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）
例1（24-25九年级上·湖北荆门·期中）如图， 为等边三角形 外一点， ， ， ．则
的度数为 ．
【答案】
【详解】解： 是等边三角形， ， ，
如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，
，
由旋转的性质可得： ， ， ， ，
为等边三角形， ，
在 中， ， ， ， ， ，
， ， ，
， ．
例2（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图，四边形 中， ， 是对角线， 是等边三角形．
， ， ，则 的长为（ ）A． B．4 C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，以 为边作等边 ，连接 ．
∵ 是等边三角形，∴ ， ，∵ 等边三角形，∴ ， ，
∵ ，
∴在 和 中， ，∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ．在 中， ， ，
于是 ，∴ ．故选：B．
例3（24-25·广西贺州·二模）如图，点P为等边三角形 外一点，连接 ， ，若 ， ，
，则 的长是 ．
【答案】
【详解】解：把 绕点B顺时针旋转 ，连接 ， ，如图所示：则 ， ，∴ 是等边三角形，∴ ， ，
∵ 是等边三角形，∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
又 ， ，∴ ．故答案为： ．
例4（24-25八年级上·河北石家庄·期末）【问题提出】（1）如图1， 和 都是等边三角形，点
D在 内部，连接 ．①求证： ；②若 ，求证： ；
【问题探究】（2）如图2， 和 是等边三角形，点D在 外部，若 仍然
成立，求 的度数；
【问题拓展】（3）如图3， 中， ，点D为 外一点．若 ，
， ，请直接写出 的长．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） ；（3）
【详解】（1）证明：①如图：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，∴ ，∴ ，∴ ；②∵ 是等边三角形，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，由①知 ，∴ ；
（2）解：如图：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ；∴ 的度数为 ；
（3）解：过点A作 ，且 ，连接 ， ，如图：
∵ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，∴
，
∵ ，∴ ，∵ ， ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
在 中，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．1．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）如图， 是等边三角形，点P在 内， ，将PAB绕
点A逆时针旋转得到 ，则PQ的长等于（ ）
A．6 B． C．3 D．2
【答案】A
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠PAB＋∠CAP=60°，
∵∠PAB=∠QAC，∴∠QAC＋∠PAC=60°，
∵AP=AQ，∴△AQP为等边三角形，∴PQ=AP=6，故选：A．
2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图， 是正 内一点， ， ， ，将线段
以点 为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，下列结论不正确的是（ ）
A．点 与 的距离为 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接 ，∵线段 以点 为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ， ，
， 是正三角形， ，
点 与 的距离为 ，∴A正确，不符合题意；
为正三角形， ，
， ，
在 和 中， ， ， ，
， ， ， ， ，
，在 中， ， ，
，
， ，∴B错误，符合题意；
，∴D正确，不符合题意；
，∴C正确，不符合题意．故选：B．
3．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，点 是正方形 内一点， ， ，
，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将 绕着点A顺时针旋转90°得到 ，连接 ，则 是等腰直角三角形
∴ ∴ ， ∴
∵ ∴ ∴ 故选C．
4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点P是正方形 内一点，且 ， ，
，则 度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：把 绕着点B顺时针旋转 得到 ，连接 ,， ， 是等腰直角三角形，
，
， ， ， ，故选：C．
5．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知：如图，在正方形 外取一点 ，连接 、 、 过
点 作 的垂线交 于点 若 ， 下列结论：① ；②点 到直线
的距离为 ；③ ；④ ，其中正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．①②④ C．①②③④ D．①③④
【答案】D
【详解】解： 四边形 是正方形， ， ，
， ， ，即 ，
在 和 中， ， ，故结论 正确；
过点 作 ，交 的延长线于点 ，如图所示：则 ， 即为点 到直线 的距离，
在 中， ， ， 是等腰直角三角形， ，
，由勾股定理得： ，
， ， ，是直角三角形，在 中， ，由勾股定理得： ，
， ， 是等腰直角三角形， ，
由勾股定理得： ， ，
点 到直线 的距离为 ，故结论 不正确；
， ，故结论 正确； ， 是直角三角形，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
，故结论 正确，综上所述：正确的结论是 ．故选：D．
6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形 中， ，
若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】作 ， ，连接 ， ，如图，
∵ ，∴ ， ，
∴ 即 ，在 与 ∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ， 且 ，
∴ ，∴ ，∴ 故选： ．
7．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，P为等边三角形 内一点，且点这到三个顶点A、B、
C的距离分别为6、8、10，则 的面积为 ．
【答案】 /
【详解】∵ 为等边三角形，∴ ，
可将 绕点B逆时针旋转 得 ，连 ，且延长 ，作 于点F．如图，
∴ ，∴ 为等边三角形，∴
在 中， ，∴ ∴ 为直角三角形，且 ，
∴ ∴ ，∴在直角 中， ， ，
在直角 中， ，∴ ，
∴ 的面积 故答案为： ．
8．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点 是等边三角形 内一点，且 ， ，，若将 绕着点 逆时针旋转后得到 ，则 的度数 ．
【答案】
【详解】解：连接 ，如图，
∵ 绕点 逆时针旋转得到 ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
又∵ 是等边三角形，∴ ，即 ，
∴ ，即 ，∵ 且 ，∴ 是等边三角形，
∴ ， ；在 中， ， ， ，
∵ ，即 ，∴ 是直角三角形， ，
∴ ，
又∵ ，∴ ．故答案为： ．
9．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线， 是等边三角形，
∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝5，则CD的长为 ．
【答案】3
【详解】 是等边三角形， ，
如图，将 绕点C顺时针旋转 ，点 为点D的对应点，连接 ，， 点A为点B旋转后的对应点，由旋转的性质得： ，
是等边三角形， ， ， ，
则在 中， ， ，故答案为：3．
10．（24-25江苏八年级上期中）问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种
基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质清晰显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之
间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
【问题提出】如图1，点P是等边 ABC内的一点，PA=5，PB=12，PC=13．你能求出∠APB的度数吗？
【问题解决】如图2，将 BPC绕点△B逆时针旋转60°，得到 BP′A，连接PP′，可得 BPP′是等边三角
形，根据勾股定理逆定理△可得 AP′P是直角三角形，从而使问△题得到解决． △
(1)结合上述思路完成填空：PP△′=________，∠APP′=________ ，∠APB=________ ；
(2)【类比探究】如图3，若点P是正方形ABCD内一点，PC=1，PB=2，PA=3，则∠CPB=________ ；
(3)如图4，若点P是正方形ABCD外一点，且PA=13， ，PC=3，则∠CPB=_____ ；(4)【深入探究】如图5，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=5， ，PC=3，则
∠CPB=________ ；
(5)如图6，在 ABC中，∠BAC=30°，AB=12，AC=5，P为 ABC内部一点，连接PA、PB、PC，则
PA+PB+PC的最△小值是_______． △
【答案】(1)12，90，150(2)135(3)45(4)120(5)13
【详解】（1）解：如图2，∵将 BPC绕点B逆时针旋转60°，得到 BP′A，
∴BP=BP'=12，PC=P'A=13，∠PB△P'=60°，∴△BPP'是等边三角形， △
∴BP=PP'=12，∠BPP'=60°，∵P'A2=169，AP2+P'P2=25+144=169，
∴P'A2=AP2+P'P2，∴∠APP'=90°，∴∠APB=150°，故答案为：12，90，150；
（2）解：将 ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，过点A作AH⊥BP于H，连接PP′，
则∠PBP′=90△°，BP′=BP=2，P′C=PA=3；由勾股定理得：PP′2=22+22=8；
∵PC2=12=1，P′C2=32=9，∴P′C2=PP′2+PC2，∴∠P′PC=90°，
又∵∠BPP′=45°，∴∠BP′C=135°，∴∠CPB=∠BPP′+∠P′PC=135°，故答案为：135；
（3）解：将 BPA绕点B顺时针旋转90°，得到 BP′C，连接PP′，
∴△ABP≌△CB△P′，∴∠PBP'=90°，BP'=BP，AP=C△P′=13，在Rt PBP'中，BP=BP'，∴∠BPP'=45°，
△
根据勾股定理得，PP'2=BP2+BP′2= + =25，∵CP=12，∴CP2+PP'2=144+25=169，
∵CP'2=132=169，∴CP2+PP'2=CP'2，∴△CPP'是直角三角形，且∠CPP'=90°，
∴∠CPB=∠CPP'-∠BPP'=90°-45°=45°，故答案为：45；
（4）解：如图5．∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠ABC=120°，把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，
∴∠P′BP=120°，BP′=BP= ，P′A=PC=3，∠BP′A=∠BPC，
∴∠BP′P=∠BPP′=30°，过B作BH⊥PP′于H，∵BP′=BP，∴P′H=PH，
在Rt△BP′H中，∠BP′H=30°，BP′= ，∴BH= BP′= ，P′H= BH=2，
∴P′P=2P′H=4，在△APP′中，AP=5，PP′=4，AP′=3，
∵52=42+32，∴AP2=PP′2+AP′2，∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，
∴∠BP′A=30°+90°=120°，∴∠CPB=120°．故答案为：120；
（5）解：将△ACP绕着点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接EP，BD，
∴△ACP≌△ADE，∴∠CAP=∠DAE，AD=AC=5，∠CAD=∠PAE=60°，AE=PA，CP=DE，
∴△APE是等边三角形，∴EP=AP，∴AP+BP+PC=PB+EP+DE，
∴当点D，点E，点P，点B共线时，PA+PB+PC有最小值BD，
∵∠BAC=30°，∴∠DBC=∠BAC+∠DAC=90°，∴BD= =13，故答案为：13．
11．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图1 ，等边 内有一点 P ，若点 P 到顶点A、B、C的距离分别为 ， 求 的度
数．为了解决本题，我们可以以 为一边在 右侧做等边三角形 ，连接 ，此时可证
，这样就可以将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出 的度数．请
你写出完整的解题过程；请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题．
（2）基本运用：如图 2 ，点P为等边 外一点， ，求 长．
（3）能力提升：如图 3 ，在 中， ，点P为 内一点， 连
接 ，则 的最小值是 ．
【答案】（1） ，见解析；（2）2；（3）【详解】（1）解： 和 都是等边三角形，
， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ， ， ；
（2）如图，将 绕点 顺时针旋转60度，得到 ，连接 ， ，
， ， ， 是等边三角形， ， ，
， ， ， ；
（3）解：将 绕点C顺时针旋转 至 ，连接 ，将 绕点C顺时针旋转 至 ，连接 ，
，过点F作 交 延长线于点G，
在 中， ，∴ ，∴ ，
由旋转得， ，
∴ ， 均为等边三角形，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
当点 共线时， 取得最小值，即为 ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ 的最小值为 ，故答案为： ．
12．（24-25八年级上·山东济宁·期末）问题解决：如图1， 是等边 内一点，且 ， ，
，若将 绕点 逆时针旋转后，得到 ，则点 与 之间的距离为 ______，
______度．
类比探究：如图2，点 是正方形 内一点， ， ， ．你能求出 的度数吗？
写出完整的解答过程．
迁移运用：如图3，若点 是正方形 外一点， ， ， ，则 =______．（直
接写出答案）
【答案】问题解决：4、 ；类比探究： ；迁移运用：
【详解】解：问题解决：如图1，连接 ， 是等边三角形， ，
为 绕点 逆时针旋转所得， ∴ ，
又 旋转后 与 重合， 与 重合， ， 是等边三角形，
， ，由旋转性质得： ，
∵ ，∴ ，∴ 是直角三角形， ，
．故答案为：4； ；
类比探究：如图2，将 绕点 顺时针旋转 ，使 与 重合，连接 ，
则 ， ， ， 是等腰直角三角形．由勾股定理得： ，
， ， ， 是直角三角形， ，
是等腰直角三角形， ，
， ；
迁移运用：如图3，将 绕点 顺时针旋转 ，使 与 重合，连接 ，
则 ， ， ， ，
是等腰直角三角形， ， ，
， 在线段 上， ，
是直角三角形，∴ ，∴ ．故答案为： ．
13．（24-25九年级·河南郑州·阶段练习）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公
共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的
如图1，等腰直角三角形 内有一点 连接 为探究 三条线段间
的数量关系，我们可以将 绕点 逆时针旋转 得到 连接 则 ___ ____ 是
_ 三角形， 三条线段的数量关系是_ ；
如图2，等边三角形 内一点P，连接 请借助第一问的方法探究
三条线段间的数量关系． 如图3 ，在四边形 中， 点 在四边形内部，且
请直接写出 的长．
【答案】（1） ，直角， ；（2） ，证明详见解析；（3）
【详解】 ∵ 绕点 逆时针旋转 得到∴ ，∠ = ∴
∵BP⊥ ∴ 是直角三角形．∴ 即 ；
如图，将 绕点 顺时针旋转 得 连接 则 为等边三角形，
．
将 绕点 顺时针旋转 至 连接 则 ．
．
， 即 ．在 中可求得 ．
， ．可证 则 ．
14．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）已知 是等边三角形．
(1)如图1，点D在 内，且 ， ， ，把 绕着点C顺时针旋转，使点B
旋转到点A，得到 ，求线段 的长为；
(2)如图2，点D在 外，且 ， ， ，求 的度数．
【答案】(1) (2)【详解】（1）解：把 绕着点C顺时针旋转，使点B旋转到点A，得到 ，连接 ，
∵ 是等边三角形，∴ ，∵ ，
∴ ， ，易得 ∴ 是等边三角形，则 ，
∵ ，∴ ，则 ，
∵ ， ，∴ ， ，
在 中，由勾股定理得： ，所以 ；
（2）解：如图，将 绕点A顺时针旋转使点C与点B重合，得到 ，连接 ，
∴ ，依题意，得 （旋转角相等），且 ，
同理： 为等边三角形，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ 为直角三角形， ，
∴ ，∵ ，∴ ．
15．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）（1）如图1，等边 内有一点 ，若点 到顶点 、 、
的距离分别为3，4，5，求 的度数．
为了解决本题，我们可以将 绕顶点 旋转到 处，此时 ，这样就可以利用旋转
变换，将三条线段 ， ， 转化到一个三角形中，从而求出 ________；
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图2， 中， ， ，
， 为 上的点，且 ，判断 ， ， 之间的数量关系并证明；
（3）如图3，在 中， ， ， ，点 在 内部，连接 ， ，
，并且 ，请直接写出 的值（提示：可通过旋转变换，将三
条线段 、 、 转化到同一条直线上）．【答案】（1）150°；（2） ，证明见解析；（3）
【详解】解：（1）由题意得 ，
∴ ，∠APB= ， ， ，
∴ ，∴ ，∵ ，
∴△ 是直角三角形，且 ，∴∠APB= ．
（2） ，理由如下：把 绕点 逆时针旋转 得到 ，如图，
则 ， ， ， ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，即
．
（3）将△PAB绕点B顺时针旋转60°至 ，连接 ，如图，
∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2，∴BC= ，
∵△PAB绕点B顺时针旋转60°至 ，∴ ，
∴ ， ， ，∴ 是等边三角形，∴ ， ，∵∠APC=∠CPB=∠BPA=120°，∴ ，
∴ 四点共线，∴ ，
∴ ．
16．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）【操作发现】如图1，将 绕点 顺时针旋转 ，
得到 ，连接 ，则 是______三角形．
（2）【类比探究】如图2，在等边三角形 内任取一点 ，连接 ， ， ，若 ， ，
，求 的长．
（3）【解决问题】如图3，在边长为 的等边三角 内有一点 ， ， ，求
的面积．
（4）【拓展应用】如图4是 ， ， 三个村子位置的平面图，经测量 ， 为 内的一
个动点，连接 ， ， ．求当 的最小时 的度数．
【答案】（1）等边（2） （3） （4）
【详解】（1）解：等边，理由如下： 将 绕点 顺时针旋转 ，得到
， 是等边三角形
（2）解：如图，将 绕点 逆时针方向旋转 ，得 ，连接 ，那么有 ，
是等边三角形 ，
在 中，（3）解：如图， 将 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到 ，
是等边三角形， ， ，
； ，即
即
（4）解：将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 、 ，如图所示：
， ， ， 是等边三角形
，
当 、 、 、 在一条直线上时， 最小； 当 最小时，
17．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图1，在等边 内有一点P，且 ， ，
，求 的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造 ，连接 ，
得到两个特殊的三角形，从而将问题解决；参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题．
(1)求出 的度数；(2)如图1，在等边 内有一点P，若 ， ， ，则______．
(3)如图3，在正方形 内有一点P，且 ， ， ，则 ______．
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）解：将 逆时针旋转 得到 ；
∵ 由 旋转 所得，∴ ，
∴ ， ， ， ，
在 中， ， ，∴ 为等边三角形，∴ ， ，
在 中， ，即 ，∴ ，
∴ ，∴ ；
（2）将 逆时针旋转 得到 ；∵ 由 旋转 所得，∴ ，
∴ ， ， ， ，
在 中， ， ，∴ 为等边三角形，∴ ， ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，且 ，∴ ，
∴ ，∴ ；故答案为： ；
（3）将 绕A点顺时针旋转90°得 ，连接 ，
∵ 由 旋转所得，∴ ，∴ ， ， ，
在 中， ，且 ，∴ ，∴ ，
∵ ，即 ，∴ ，∴ ．
故答案为： ．18．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）问题背景：如图1，设P是等边 内一点， ， ，
，求 的度数．小君研究这个问题的思路是：将 绕点A逆时针旋转 得到 ，
易证： 是等边三角形， 是直角三角形，所以 ．
简单应用：(1)如图2，在等腰直角 中， ，P为 内一点，且 ， ，
，则 _______°．
(2)如图3，在等边 中，P为 内一点，且 ， ， ，求 长．
(3)拓展延伸：若图4中的等腰直角 ， 与 ， ，在 的同侧，若
， ，求 的长度．
【答案】(1)135(2)13(3)
【详解】（1）解：如图2，将 绕点C逆时针旋转 得到 ，连接 ，
∵ 是等腰直角三角形，∴ ， ，
根据旋转可知： ， ， ，
∴ ，根据勾股定理得， ，
∵ ， ，∴ ，∴ 是以 为斜边的直角三角形，
∴ ，∴ ，故答案为：135；
（2）解：如图3，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，
∵ 是等边三角形，∴ ， ，
根据旋转可知： ， ， ，∴ 是等边三角形，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
根据勾股定理得， ，∴ ；
（3）解：如图4，连接 ，将 绕点B顺时针旋转 得到 ， 与 的交点记作G，
根据旋转可知： ， ， ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴点 在 的延长线上，∴ ，
根据勾股定理得： ，∴ ，∴ ，负值舍去．
19．（2024·江苏徐州·一模）如图，在 中，以 为边向外作等边 ，以 为边向外作等边
，连接 、 ．求证： ．
【知识应用】如图，四边形 中， 、 是对角线， 是等腰直角三角形， ，
， ，求 的长．
【拓展提升】如图，四边形 中， ， ， ，则
________．
【答案】证明见解析； ；
【详解】（1）证明： ， 是等边三角形， ， ， ，
， ．
（2）解：过点C作 且 ，连接 ， ，则 ， .是等腰直角三角形， ， ， ，
， ，
在 中， ．
． 为直角三角形，在 中
, ， ，
（3）解：作 ，且 ，连接 ，如图所示，
， ，
， ， ， ，
，且 ， , ，
， ， 在 ，又 ，
为等腰直角三角形， ，
设 ，由于 ，则 ，
， ，
又 ， ，
．
