专题06分式方程及应用（知识点梳理+典例剖析+变式训练）-八年级数学下学期期末冲刺满分必刷常考压轴题（北师大版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练

专题 06 分式方程及应用 （知识点梳理+典例剖析+变式训练） 【知识点梳理】 考点1 分式方程 定义：分母里含有未知数或含有未知数整式的等式叫做分式方程。 考点2 解分式方程 1. 基本思路： 将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母．这也 是解分式方程的一般方法． 2. 解分式方程一般步骤： 1. 能化简的先化简； 2. 方程两边同乘以最简公分母，化成整式方程； 3. 解整式方程； 4. 检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程 的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解 考点3 分式方程实际应用主要模型 1. 行程模型： 速度×时间=路程 2. 工程模型： 工作效率×工作时间=工作总量 3. 销售模型： 售价=进价×（1+利润率） 利润=售价－进价 利润率=（售价－进价）÷进价 二．分式方程实际应用解题步骤： 1. 步骤：审题—设未知数—-列方程—-解方程—-检验—-解答． 2. 检验时要从方程本身和实际问题两个方面进行检验【经典题型】 考点1 分式方程概念 【典例 1】（2021秋•岱岳区校级月考）已知方程：① ；② ；③ ；④ ． 这四个方程中，分式方程的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】下列关于x的方程是分式方程的是 ( ) 2x 3x x x x1 3  3 3 x1 A． 5 6 B．2 3 C．7x D．5 ( ) 【变式1-2】下列方程中，是分式方程的是 1 x 1  1 x 2 A．3 2 B． x C．2xx5 D． x4y1 考点2 解分式方程 2x m1 1 【典例2】若关于x的方程 x3 3x 无解，则m的值为 ( ) A．5 B．7 C．5 D．3 3x m  2 【变式2-1】若分式方程x1 1x 无解，则 m( ) A．3 B．2 C．1 D．0 7 ax  3 【变式2-2】若关于x的分式方程 x1 1x 无解，则实数a的值为 ( ) A．7 B．3 C．3或7 D．7 kx 3 2   【变式2-3】若关于x的分式方程 x2 4 x2 x2无解，则k的值为 ( ) A．1或4或6 B．1或4或6 C．4或6 D．4或6 【典例3】（2021春•新北区校级期末）解方程：（1） ； （2） ． 【变式3-1】（2021春•三明期末）解分式方程 时，去分母后可得（ ） A．2x﹣3﹣4＝﹣5 B．1﹣4（2x﹣3）＝5 C．1﹣4（2x﹣3）＝﹣5 D．2x﹣3﹣4＝5（2x﹣3） 【变式3-2】（2022春•东台市期中）解方程： ． 【变式3-3】（2022春•黄浦区校级期中）解方程： ﹣ ＝1． 考点3 分式应用 【典例4】（2021秋•岳麓区校级期末）某一工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书， 甲施工队施工一天需付工程款1.5万元，单独施工20天完成；乙工程队每天需付工程款 1.1万元；如果甲乙两队合作施工4天后，剩余的工程由乙队单独做16天正好如期完成． （1）求乙工程队单独完成该工程所需的天数； （2）若延期完成，则超出的时间公司每天损失0.6万元，你认为单独找哪一个工程队更 实惠？【变式4-1】（2022•鼓楼区校级开学）福州京东快递仓库使用机器人分练货物，已知一台 机器人的工作效率相当于一名工人工作效的20倍，若用一台机器人分拣6000件货物， 比原先30名工人分拣这些货物只多用 小时． （1）求一台机器人一小时可分拣多少件货物？ （2）此仓库元旦前夕收到货物68万件，为了在6小时内分拣完所有货物，公司调配了 20台机器人和20名工人，工作3小时后，又调配了15名机器人进行增援，该公司能否 在规定的时间内完成任务？请说明理由． 【变式4-2】（2021秋•攸县期末）甲、乙两支工程队修建公路，已知甲队每天修路的长度 是乙队的2倍，如果两队各自修建公路600米，甲队比乙队少用5天． （1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？ （2）现在需要修建一段长4800米的公路，因工程需要，需由甲、乙两支工程队施工完 成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超 过45万元的情况下，至少安排乙队施工多少天？ 【典例5】（2021秋•普兰店区期末）A，B两地相距300千米，一辆货车从A地驶出2小 时后，一辆小轿车也从A地出发，它的速度是货车速度的1.5倍，已知小轿车比货车迟 45分钟到达B地，求货车和小轿车的速度．【变式5-1】（2022•兰州模拟）2022年北京冬奥会的比赛场馆分布在3个赛区，分别是北 京赛区、延庆赛区、张家口赛区，3个赛区之间均有高速铁路和高速公路相通，北京赛 区清河高铁站与张家口赛区太子城高铁站之间的高速铁路里程为166km，高速公路里程 为178km．已知从清河高铁站到太子城高铁站乘“复兴号”列车比乘汽车少用 h， “复兴号”列车的平均速度是汽车平均速度的3倍，求“复兴号”列车和汽车的平均速 度．设汽车的平均速度为xkm/h，；则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2021秋•丰台区期末）北京市以2022年冬奥会和冬残奥会为契机，大力提 升城市服务保障能力．在水定河沿岸，紧邻北京冬奥组委和首钢滑雪大跳台建成冬奥公 园．冬奥公园最大的亮点是拥有一条长42km的全封闭马拉松跑道．马拉松线路设计很 有创意，分为智慧跑、公园跑、滨水跑和堤上跑．小明先进行了2km智慧跑，接着进行 了4km堤上跑，一共用时40分钟．已知小明进行堤上跑的平均速度是他进行智慧跑的 平均速度的1.5倍，求小明进行智慧跑，堤上跑的平均速度各是多少． 【变式5-3】（2021秋•建昌县期末）某校同学利用周末时间组织到距学校 10km的龙潭大 峡谷游玩，一部分同学骑自行车先走，半小时后，其余同学乘观光车出发，结果他们同 时到达．已知观光车的速度是骑自行车同学速度的2倍，求骑自行车同学的速度？【典例6】（2022春•雨花区校级月考）圆圆预测一种应季衬衫能畅销市场，就用12000元 购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，圆圆又用30000元购进了第二批这种衬衫， 所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了20元． （1）圆圆购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按四折优惠卖出，如果两批衬衫全 部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 【变式6-1】（2022春•香坊区校级月考）某中学为了奖励在校园艺术节表现突出的学生， 准备在商店购买A、B两种文具作为奖品，已知A种文具的单价比B种文具的单价少4 元，而用300元购买A种文具的数量是用200元购买B种文具的数量的2倍． （1）求A种文具的单价； （2）根据需要，学校准备在该商店购买A、B两种文具共200件，学校购买两种奖品的 总费用不超过2820元，求学校购买A种文具数量至少多少件？ 【变式6-2】（2022•邗江区校级一模）某超市预测某饮料有发展前途，用1200元购进一批 饮料，面市后果然供不应求，又用7200元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批 的5倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2400元，那么销 售单价至少为多少元？【变式6-3】（2022•山西模拟）春节前夕，习近平总书记赴山西慰问基层干部群众．1月 26日下午，习近平总书记在霍州市师庄乡冯南垣村同村民一起揉花馍，花馍将销往全国 各地．临近年关，某商店决定购进一批花馍，已知甲种花馍每件的进价比乙种花馍每件 的进价少6元，花180元购买甲种花馍的件数与花240元购买乙种花馍的件数相等． （1）求甲、乙两种花馍每件的进价． （2）由于畅销，第一批购进的花馍已经售馨，现该商店决定用不超过4000元再购进一 批甲、乙两种花馍共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种花馍在第一批进价的基础 上9折销售，而乙种花馍比第一批进价提高了5%，则最多可购买乙种花馍多少件？ 【典例7】（2021春•桐城市期末）某社区准备建造A，B两类摊位共80个，每个A类摊位 的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40 元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样 面积建B类摊位个数的 ． （1）求每个B类摊位占地面积． （2）要求建A类摊位的数量不少于26个，且建造两类摊位的总费用不超过18320元． ①共有哪几种建造方案？ ②最少费用是 元．【变式7-1】（2021春•东海县期末）现有A、B两种商品，已知买一件A商品要比买一件 B商品少10元，用180元全部购买A商品的数量与用240元全部购买B商品的数量相同． （1）求A、B两种商品每件各是多少元？ （2）如果小亮准备购买A、B两种商品共20件，其中A种商品不多于11件，且总费用 不超过715元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？ 【变式7-2】（2020秋•天心区期末）明德中学需要购进甲、乙两种笔记本电脑，经调查， 每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的 数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同． （1）求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元； （2）学校计划用不超过34万元购进甲、乙两种电脑共80台，其中乙种电脑的数量不 少于甲种电脑数量的1.5倍，学校有哪几种购买方案？专题 06 分式方程及应用 （知识点梳理+典例剖析+变式训练） 【知识点梳理】 考点1 分式方程 定义：分母里含有未知数或含有未知数整式的等式叫做分式方程。 考点2 解分式方程 2. 基本思路： 将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母．这也 是解分式方程的一般方法． 2. 解分式方程一般步骤： 1. 能化简的先化简； 2. 方程两边同乘以最简公分母，化成整式方程； 3. 解整式方程； 4. 检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程 的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解 考点3 分式方程实际应用主要模型 1. 行程模型： 速度×时间=路程 2. 工程模型： 工作效率×工作时间=工作总量 3. 销售模型： 售价=进价×（1+利润率） 利润=售价－进价 利润率=（售价－进价）÷进价 二．分式方程实际应用解题步骤： 1. 步骤：审题—设未知数—-列方程—-解方程—-检验—-解答． 2. 检验时要从方程本身和实际问题两个方面进行检验【经典题型】 考点1 分式方程概念 【典例 1】（2021秋•岱岳区校级月考）已知方程：① ；② ；③ ；④ ． 这四个方程中，分式方程的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【解答】解：∵分式方程是指分母中含有未知数的方程， ∴①②③是分式方程，④是整式方程． 故选：C． 【变式1-1】下列关于x的方程是分式方程的是 ( ) 2x 3x x x x1 3  3 3 x1 A． 5 6 B．2 3 C．7x D．5 【答案】C 【解答】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意； 选项C，是分式方程，符合题意； 故选：C． ( ) 【变式1-2】下列方程中，是分式方程的是 1 x 1  1 x 2 A．3 2 B． x C．2xx5 D． x4y1 【答案】B 【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、该方程符合分式方程的定义，故本选项符合题意；C、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 考点2 解分式方程 2x m1 1 【典例2】若关于x的方程 x3 3x 无解，则m的值为 ( ) A．5 B．7 C．5 D．3 【答案】A 2x m1 1 【解答】解： x3 3x ， 2x(x3)1m ， 解得：xm2， 关于x的方程无解， x30， x3， 把x3代入xm2中可得： 3m2， 解得：m5， 故选：A． 3x m  2 【变式2-1】若分式方程x1 1x 无解，则 m( ) A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 3x m  2 【解答】解： x1 1x ， 3xm2(x1) ． 3xm2x2． 3x2x2m． x2m． 3x m  2 分式方程 x1 1x 无解， 2m1．m3． 故选：A． 7 ax  3 【变式2-2】若关于x的分式方程 x1 1x 无解，则实数a的值为 ( ) A．7 B．3 C．3或7 D．7 【答案】C 7ax3(x1) 【解答】解：去分母得： ， (a3)x4 整理为： ， 当a30，即a3时，此方程无解，原分式方程也无解， 当a30时， 由x10得x1，代入 (a3)x4 得： (a3)14 ， 解得：a7， a3或7， 故选：C． kx 3 2   【变式2-3】若关于x的分式方程 x2 4 x2 x2无解，则k的值为 ( ) A．1或4或6 B．1或4或6 C．4或6 D．4或6 【答案】B kx 3 2   【解答】解： x2 4 x2 x2， (x2)(x2) kx3(x2)2(x2) 方程两边同乘 ，得 ． 去括号，得kx3x62x4． 移项，得kx3x2x64． (k1)x10 合并同类项，得 ． 10 x x的系数化为1，得 k1． kx 3 2   关于x的分式方程 x2 4 x2 x2无解，kx3(x2)2(x2) 无解或原分式方程有增根． 10  2  k1 或2或k 1． k 4或6或1．故选B 【典例3】（2021春•新北区校级期末）解方程： （1） ； （2） ． 【答案】（1）x＝3 （2）x＝6 【解答】解：（1）去分母得，x（x+1）＝4+x2﹣1， 解得：x＝3， 检验：把x＝3代入得：（x+1）（x﹣1）≠0， 所以，原方程的根为：x＝3； （2）去分母，得2x＝3（x﹣2）， 去括号，得2x＝3x﹣6， 移项，合并同类项，得﹣x＝﹣6， 化x的系数为1，得x＝6， 检验：把x＝6代入得：x（x﹣2）≠0， ∴原方程的解为x＝6． 【变式3-1】（2021春•三明期末）解分式方程 时，去分母后可得（ ） A．2x﹣3﹣4＝﹣5 B．1﹣4（2x﹣3）＝5 C．1﹣4（2x﹣3）＝﹣5 D．2x﹣3﹣4＝5（2x﹣3） 【答案】C 【解答】解： 方程两边同乘2x﹣3，得1﹣4（2x﹣3）＝﹣5． 故选：C 【变式3-2】（2022春•东台市期中）解方程： ． 【答案】x＝﹣3 【解答】解：去分母得：6+3x﹣3＝2x， 解得：x＝﹣3，检验：把x＝﹣3代入得：3（x﹣1）≠0， ∴分式方程的解为x＝﹣3． 【变式3-3】（2022春•黄浦区校级期中）解方程： ﹣ ＝1． 【答案】x＝﹣4． 【解答】解： ﹣ ＝1， ﹣ ＝1， 方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）﹣4x＝（x+2）（x﹣2）， 即x2+2x﹣8＝0， 解得：x ＝﹣4，x ＝2， 1 2 经检验：x＝﹣4是原分式方程的解，x＝2是增根， 所以原分式方程的解是x＝﹣4． 考点3 分式应用 【典例4】（2021秋•岳麓区校级期末）某一工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书， 甲施工队施工一天需付工程款1.5万元，单独施工20天完成；乙工程队每天需付工程款 1.1万元；如果甲乙两队合作施工4天后，剩余的工程由乙队单独做16天正好如期完成． （1）求乙工程队单独完成该工程所需的天数； （2）若延期完成，则超出的时间公司每天损失0.6万元，你认为单独找哪一个工程队更 实惠？ 【答案】（1）25天（2）单独找甲工程队更实惠． 【解答】解：（1）设乙施工队单独完成该工程需要x天，根据题意得： ， 解得：x＝25． 经检验x＝25是方程的解． 答：乙工程队单独完成该工程所需的天数是25天． （2）甲队单独做费用：20×1.5＝30（万元）． 乙队单独做费用：1.1×25+0.6×5＝30.5（万元）．故单独找甲工程队更实惠． 【变式4-1】（2022•鼓楼区校级开学）福州京东快递仓库使用机器人分练货物，已知一台 机器人的工作效率相当于一名工人工作效的20倍，若用一台机器人分拣6000件货物， 比原先30名工人分拣这些货物只多用 小时． （1）求一台机器人一小时可分拣多少件货物？ （2）此仓库元旦前夕收到货物68万件，为了在6小时内分拣完所有货物，公司调配了 20台机器人和20名工人，工作3小时后，又调配了15名机器人进行增援，该公司能否 在规定的时间内完成任务？请说明理由． 【答案】（1） 4000件 （2）能在规定的时间内完成任务 【解答】解：（1）设一名工人每小时可分拣x件货物，则一台机器人每小时可分拣20x 件货物， 根据题意得： ﹣ ＝ ， 解得：x＝200， 经检验：x＝200是原方程的解，且符合题意， ∴20x＝4000， 答：一台机器人每小时可以分拣4000件货物； （2）该公司能在规定的时间内完成任务，理由如下： 3×（20×200+20×4000）+（6﹣3）×（35×4000+20×200）＝252000+432000＝684000＞ 680000， ∴该公司能在规定的时间内完成任务． 【变式4-2】（2021秋•攸县期末）甲、乙两支工程队修建公路，已知甲队每天修路的长度 是乙队的2倍，如果两队各自修建公路600米，甲队比乙队少用5天． （1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？ （2）现在需要修建一段长4800米的公路，因工程需要，需由甲、乙两支工程队施工完 成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超 过45万元的情况下，至少安排乙队施工多少天？ 【答案】（1）甲工程队每天修路120米，乙工程队每天修路60米． （2） 30天 【解答】解：（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米， 依题意，得： ﹣ ＝5，解得：x＝60， 经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意， ∴2x＝120． 答：甲工程队每天修路120米，乙工程队每天修路60米． （2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工 ＝（40﹣ m）天， 依题意，得： m+1.2（40﹣ m）≤45， 解得：m≥30． 答：至少安排乙工程队施工30天． 【典例5】（2021秋•普兰店区期末）A，B两地相距300千米，一辆货车从A地驶出2小 时后，一辆小轿车也从A地出发，它的速度是货车速度的1.5倍，已知小轿车比货车迟 45分钟到达B地，求货车和小轿车的速度． 【答案】货车的速度为80千米/小时，小轿车的速度为120千米/小时． 【解答】解：设货车的速度为x千米/小时，则小轿车的速度为1.5x千米/小时， 依题意得： ﹣2＝ ﹣ ， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝120． 答：货车的速度为80千米/小时，小轿车的速度为120千米/小时． 【变式5-1】（2022•兰州模拟）2022年北京冬奥会的比赛场馆分布在3个赛区，分别是北 京赛区、延庆赛区、张家口赛区，3个赛区之间均有高速铁路和高速公路相通，北京赛 区清河高铁站与张家口赛区太子城高铁站之间的高速铁路里程为166km，高速公路里程 为178km．已知从清河高铁站到太子城高铁站乘“复兴号”列车比乘汽车少用 h， “复兴号”列车的平均速度是汽车平均速度的3倍，求“复兴号”列车和汽车的平均速 度．设汽车的平均速度为xkm/h，；则可列方程为（ ） A． B． C． D．【答案】C 【解答】解：∵“复兴号”列车的平均速度是汽车平均速度的3倍，汽车的平均速度为 xkm/h， ∴“复兴号”列车的平均速度为3xkm/h． 依题意得： ﹣ ＝ ． 故选：C． 【变式5-2】（2021秋•丰台区期末）北京市以2022年冬奥会和冬残奥会为契机，大力提 升城市服务保障能力．在水定河沿岸，紧邻北京冬奥组委和首钢滑雪大跳台建成冬奥公 园．冬奥公园最大的亮点是拥有一条长42km的全封闭马拉松跑道．马拉松线路设计很 有创意，分为智慧跑、公园跑、滨水跑和堤上跑．小明先进行了2km智慧跑，接着进行 了4km堤上跑，一共用时40分钟．已知小明进行堤上跑的平均速度是他进行智慧跑的 平均速度的1.5倍，求小明进行智慧跑，堤上跑的平均速度各是多少． 【答案】小明进行智慧跑的平均速度为7km/h，进行堤上跑的平均速度为10.5km/h． 【解答】解：设小明进行智慧跑的平均速度为xkm/h，则小明进行堤上跑的平均速度为 1.5xkm/h， 依题意得： + ＝ ， 解得：x＝7， 经检验，x＝7是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝1.5×7＝10.5． 答：小明进行智慧跑的平均速度为7km/h，进行堤上跑的平均速度为10.5km/h． 【变式5-3】（2021秋•建昌县期末）某校同学利用周末时间组织到距学校 10km的龙潭大 峡谷游玩，一部分同学骑自行车先走，半小时后，其余同学乘观光车出发，结果他们同 时到达．已知观光车的速度是骑自行车同学速度的2倍，求骑自行车同学的速度？ 【答案】10km/h． 【解答】解：设骑自行车同学的速度为xkm/h，则观光车的速度为2xkm/h， 根据题意，得： ﹣ ＝ ， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意， 答：骑自行车同学的速度为10km/h．【典例6】（2022春•雨花区校级月考）圆圆预测一种应季衬衫能畅销市场，就用12000元 购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，圆圆又用30000元购进了第二批这种衬衫， 所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了20元． （1）圆圆购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按四折优惠卖出，如果两批衬衫全 部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 【答案】（1）150件 （2）125元 【解答】解：（1）设圆圆购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件， 根据题意，得 ， 解得x＝150， 经检验，x＝150是原方程的根，且符合题意． 答：圆圆购进的第一批衬衫是150件． （2）3x＝3×150＝450， 设每件衬衫的标价至少y元， 根据题意，得（450﹣50）y+50×0.4y≥（30000+12000）×（1+25%）， 解得y≥125． ∴每件衬衫的标价至少是125元． 【变式6-1】（2022春•香坊区校级月考）某中学为了奖励在校园艺术节表现突出的学生， 准备在商店购买A、B两种文具作为奖品，已知A种文具的单价比B种文具的单价少4 元，而用300元购买A种文具的数量是用200元购买B种文具的数量的2倍． （1）求A种文具的单价； （2）根据需要，学校准备在该商店购买A、B两种文具共200件，学校购买两种奖品的 总费用不超过2820元，求学校购买A种文具数量至少多少件？ 【答案】（1）A种文具单价为12元 （2）95件 【解答】解：（1）设A种文具单价为x元， 根据题意，得 ， 解得x＝12， 经检验，x＝12是方程的根，且符合题意， ∴A种文具单价为12元； （2）设购买A种文具数量至少m件，∵B种文具的单价为12+4＝16（元）， 根据题意，得12m+16（200﹣m）≤2820， 解得m≥95， ∴学校购买A种文具至少95件． 【变式6-2】（2022•邗江区校级一模）某超市预测某饮料有发展前途，用1200元购进一批 饮料，面市后果然供不应求，又用7200元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批 的5倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2400元，那么销 售单价至少为多少元？ 【答案】（1） 10元（2）15元 【解答】解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元， 依题意得： ＝5× ， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意． 答：第一批饮料进货单价为10元． （2）第一批饮料购进数量为1200÷10＝120（瓶）， 第二批饮料购进数量为7200÷（10+2）＝600（瓶）． 设销售单价为y元， 依题意得：（120+600）y﹣1200﹣7200≥2400， 解得：y≥15． 答：销售单价至少为15元． 【变式6-3】（2022•山西模拟）春节前夕，习近平总书记赴山西慰问基层干部群众．1月 26日下午，习近平总书记在霍州市师庄乡冯南垣村同村民一起揉花馍，花馍将销往全国 各地．临近年关，某商店决定购进一批花馍，已知甲种花馍每件的进价比乙种花馍每件 的进价少6元，花180元购买甲种花馍的件数与花240元购买乙种花馍的件数相等． （1）求甲、乙两种花馍每件的进价． （2）由于畅销，第一批购进的花馍已经售馨，现该商店决定用不超过4000元再购进一 批甲、乙两种花馍共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种花馍在第一批进价的基础 上9折销售，而乙种花馍比第一批进价提高了5%，则最多可购买乙种花馍多少件？【答案】（1）甲种花馍每件的进价为18元，则乙种花馍每件的进价为24元（2）84件 【解答】解：（1）设甲种花馍每件的进价为x元，则乙种花馍每件的进价为（x+6）元， 由题意得： ＝ ， 解得：x＝18， 经检验，x＝18是原方程的解，且符合题意， 则x+6＝24， 答：甲种花馍每件的进价为18元，则乙种花馍每件的进价为24元； （2）设购买乙种花馍a件，则购买甲种花馍（200﹣a）件， 由题意得：24a（1+5%）+18×90%×（200﹣a）≤4000， 解得：a≤84 ， ∵a为正整数， ∴a的最大值为84， 答：最多可购买乙种花馍84件 【典例7】（2021春•桐城市期末）某社区准备建造A，B两类摊位共80个，每个A类摊位 的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40 元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样 面积建B类摊位个数的 ． （1）求每个B类摊位占地面积． （2）要求建A类摊位的数量不少于26个，且建造两类摊位的总费用不超过18320元． ①共有哪几种建造方案？ ②最少费用是 元． 【答案】（1） 每个B类摊位占地面积为6平方米 （2）共有3种建造方案，最少费 用是18040元 【解答】解：（1）设每个B类摊位占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为 （x+2）平方米， 依题意得： ＝ × ， 解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意． 答：每个B类摊位占地面积为6平方米． （2）每个A类摊位的建造费用为40×（6+2）＝320（元）， 每个B类摊位的建造费用为30×6＝180（元）． ①设建造m个A类摊位，则建造（80﹣m）个B类摊位， 依题意得： ， 解得：26≤m≤28． 又∵m为整数， ∴m可以为26，27，28， ∴共有3种建造方案， 方案1：建造26个A类摊位，54个B类摊位； 方案2：建造27个A类摊位，53个B类摊位； 方案3：建造28个A类摊位，52个B类摊位． ②建造方案1所需费用为320×26+180×54＝8320+9720＝18040（元）； 建造方案2所需费用为320×27+180×53＝8640+9540＝18180（元）； 建造方案3所需费用为320×28+180×52＝8960+9360＝18320（元）． ∵18040＜18180＜18320， ∴最少费用是18040元． 故答案为：18040． 【变式7-1】（2021春•东海县期末）现有A、B两种商品，已知买一件A商品要比买一件 B商品少10元，用180元全部购买A商品的数量与用240元全部购买B商品的数量相同． （1）求A、B两种商品每件各是多少元？ （2）如果小亮准备购买A、B两种商品共20件，其中A种商品不多于11件，且总费用 不超过715元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？ 【答案】（1）A商品每件30元，B商品每件40元 （2）略 【解答】解：（1）设B商品每件x元，则A商品每件（x﹣10）元，根据题意，得： ＝ ， 解得x＝40， 经检验：x＝40是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣10＝30，答：A商品每件30元，B商品每件40元； （2）设购买A商品a件，则购买B商品共（20﹣a）件，根据题意得： ， 解得：8.5≤a≤11， ∵a为正整数， ∴a可取：9，10，11， ∴共有三种方案： ①A商品9件，则购买B商品11件，费用：9×30+11×40＝710， ②A商品10件，则购买B商品10件，费用：10×30+10×40＝700， ③A商品11件，则购买B商品9件，费用：11×30+9×40＝690， ∴方案③费用最低． 【变式7-2】（2020秋•天心区期末）明德中学需要购进甲、乙两种笔记本电脑，经调查， 每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的 数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同． （1）求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元； （2）学校计划用不超过34万元购进甲、乙两种电脑共80台，其中乙种电脑的数量不 少于甲种电脑数量的1.5倍，学校有哪几种购买方案？ 【答案】（1）每台甲种电脑的价格为0.3万元、每台乙种电脑的价格为0.5万元 （2） 略 【解答】解：（1）设每台甲种电脑的价格为 x 万元，则每台乙种电脑的价格为 （x+0.2）万元， 根据题意得： ＝ ， 解得：x＝0.3， 经检验，x＝0.3是原分式方程的解，且符合题意， ∴x+0.2＝0.3+0.2＝0.5． 答：每台甲种电脑的价格为0.3万元、每台乙种电脑的价格为0.5万元． （2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台， 根据题意得： ，解得：48≤m≤50． 又∵m为整数， ∴m可以取48，49，50． ∴学校有三种购买方案， 方案1：购买甲种电脑32台，乙种电脑48台； 方案2：购买甲种电脑31台，乙种电脑49台； 方案3：购买甲种电脑30台，乙种电脑50台．