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专题 08.特殊三角形及勾股定理中的九类模型
本专题包含特殊三角形及勾股定理中的九类重要模型，主要有：奔驰模型、等直内接等直模型、等
直+高分模型、中点模型、翻折模型、赵爽弦图模型、勾股树模型、空间最短路径模型、将军饮马模型等
模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一
个题型，做到活学活用！
1.（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知 是等腰三角形， ， 是直角三角形， 为
斜边 上的中线，连接 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ 是直角三角形， 为斜边 上的中线，
∴点 为 的中点， ，∵ ，∴ ，
又∵ 是等腰三角形， ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，故选： ．
2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在 中， ， ，点D为 边的中点，
，将 绕点D旋转，它的两边分别交 、 所在直线于点E、F，有以下4个结论：①
；② ；③ ；④当点E、F落在 、 的延长线上时，
，在旋转的过程中上述结论一定成立的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：如图1，连接 ， ， ， 为 中点，
， ， ， ，
， ， ， ，
在 和 中， ， ，
， ， ， ，故①正确；
，
如图2，当点 、 落在 、 的延长线上时，连接 ，同理可证 ，
，故②错误，由 ，
， ，故③正确；
如图2，连接 ，同理可证： ， ，
， ．故④正确，故选：C．
3．（24-25八年级上·黑龙江·期末）如图在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC
于E，BE与CD相交于点F，BF=2CE，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下列结论中： ①∠A=67.5°；②DF=AD；③BE=2BG；④DH⊥BC 其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝22.5°，∴∠A＝67.5°；故①正确；
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠DBF＋∠A＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，∴∠DBF＝∠ACD，
在△BDF与△CDA中 ，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴AD＝DF，故②正确；
∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，∴∠ABE＝∠CBE，∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴在△ABE与△CBE中 ，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE＝ AC，
∵△BCD是等腰直角三角形，H是BC边的中点，∴DH⊥BC，故④正确；∴DH不平行于AC，
∵BH＝CH，∴BG≠EG；∴BE≠2BG，故③错误．故选：C．
4.（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人
称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形
，正方形EFGH，正方形 的面积分别为 ， ， ．若 ，则下列关于 ，
， 的说法正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： 八个直角三角形全等，四边形 ，EFGH， 是正方形，
， ， ， ， ，
， ，
， ， ，
， ，故选：D．
5.（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在矩形 中， ， ，点E为 上一点，把
沿 翻折，点C恰好落在 边上的点F处，则 的长是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】解: 在矩形 中， ， ，设 ，则 ， 把 沿 翻折，点C恰好落在 边上的点F处，
在 中，由勾股定理，得 ， ，
在 中，由勾股定理，得 ，即 ，解得 ， ．故选：
A．
6.（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形 外取一点E，连接 ， ， ，过点 作
的垂线交 于点P，若 ， 则下列结论：① ；② ；③点
C到直线 的距离为 ；④ 其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解： 四边形 为正方形， ， ，
， ， ，
， ，故①正确；
， ， ，
，
， ，故②正确；
过点 作 的延长线于点 ，如图所示，， ， ，
， ， ，
， ，
， ， ，故③错误；
， ， ， ，
，故④正确；综上所述，正确的有 个，故选：C．
7.（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面周
长为 ，在容器内壁离容器底部 的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上
沿 的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，
∵高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部 的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 与饭粒相对的点A处，
∴ ， ， ，∴
．
故选：C．8.（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形
图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边 ( )，下列
四个说法：① ；② ;③ ；④ ．其中说法正确的结论有 ．(填序
号)
【答案】①
【详解】解：根据题意，得 ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，故 ．
故①正确；②错误；③错误；④错误；故答案为：①．
9.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图， 的顶点C在等边 的边 上，点E在 的延长
线上，G为 的中点，连接 ．若 ，则 的长为 ．
【答案】 /2.5
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ 是等边三角形，G为 的中点，∴ ，延长 交 于点H，∵ ，∴ ，在 和 中， ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，∴ ，故答案为： ．
10.（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，将矩形 沿EF折叠，使点D落在点B处，P为折痕
上的任意一点，过点P作 ，垂足分别为G，H，若 ， ，则 ．
【答案】8
【详解】解：如图，过点E作 于Q，连接 ，
∵四边形 是矩形，∴ ，∴ ，
由折叠可得， ，∴ ，∴ ，
∵ 、 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵四边形 是长方形，∴ ， ．
∵ ， ，∴ ．
由折叠易知， ， ， ，∴ ∴ ．∴ ．故答案为：8．
11．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA＝4，PB＝2 ，PC＝
2，以下五个结论：①∠BPC＝120°；②∠APC＝120°；③S ABC＝14 ；④AB＝ ；⑤点P到△ABC
△
三边的距离分别为PE，PF，PG，则有PE+PF+PG＝ AB，其中正确的有 ．
【答案】②④⑤
【详解】如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°，得到△AHB，连接HP，
∴△APC△AHB，∠HAP＝60°，∴AH＝AP＝4，BH＝PC＝2，∠AHB＝∠APC，
∴△AHP是等边三角形，∴HP＝4，∠AHP＝∠APH＝60°，
∵HP2＝16，BH2＋BP2＝16，∴HP2＝BH2＋BP2，∴∠HBP＝90°，
∵HB= HP，∴∠HPB＝30°，∴∠BHP＝60°，∠APB＝∠HPB＋∠APH＝90°，
∴∠AHB＝∠AHP＋∠BHP＝120°＝∠APC，∴∠BPC＝360°−∠APB−∠APC＝150°，
故①不符合题意，②符合题意，
∵∠APB＝90°，∴AB＝ ，∴S ＝ ，
ABC
△
故③不合题意，④符合题意，如图，∵S ＝ AB×PG＋ AC×PF＋ BC×PE＝7 ，∴ × ×（PG＋PF＋PE）＝7
ABC
△
∴PG＋PF＋PE＝ = AB，故⑤符合题意，故答案为：②④⑤．
12.（24-25九年级上·四川广元·期中）在平面直角坐标系中设两个点A、B坐标分别为 ，
则A和B两点之间的距离为： ．小明遇到如下问题：求
的最小值，聪明的你认为答案是 ．
【答案】5
【详解】解： ，
∵把式 看成点 到两点 和 的距离之和，
作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，此时 的值最小，最小值为
的长， ，即 的最小值为5，故答案为：5．
13.（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在 中， ， ， ， 是
是的平分线， 是线段 上一点， 是线段 上一点，则 的最小值为 ．【答案】
【详解】解：如图所示，作 关于 的对称点 ，∴ ，
∵ 是 是的平分线，∴ 在 上， ，∴ ，
当 时， 取得最小值，过点 作 于点 ，则 的长，即为 的最小值，
∵在 中， ， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，故答案为： ．
14.（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交
于点 ，连接 ， ， 的周长为18．若点 在直线 上，连接 、 ，则
， 的最大值为 ．
【答案】 8 8
【详解】解：∵ 的垂直平分线交 于点F，交 于点E，∴ ，
∵ 的周长是18， ，∴ 的周长 ，点P在直线 上，如图，连接 ，
∵点P在 的垂直平分线 上，∴ ，∴ ，
故 的最大值为8，此时点P是直线 与直线 的交点．故答案为：8，8．
15.（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形 中， ，
在 上分别找一点M、N，使 周长最小，则最小值为 ．
【答案】
【详解】解：作A关于 和 的对称点 ，连接 ，交 于 ，交 于 ，则 即为
的周长最小值，作 交 的延长线于 ，∴ ，
∵ ，∴ ，在 中，∵ ，
∴ ， ，∴ ， ，在 中， ，
∴ 周长的最小值 ．故答案为： ．
16．（2024·和平区·八年级期末）如图， ，点M，N分别是边 ， 上的定点，点P，Q分
别是边 ， 上的动点，记 ， ，当 的值最小时， 的大小=___
（度）．
【答案】50
【详解】作M关于OB的对称点 ，N关于OA的对称点 ，连接 ，交OB于点P，交OA于点Q，
连接MP，QN，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时 最小，即
，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ．故答案为：50．17.（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）如图，在长方形 中， ， ，将长方形
折叠，使点B与点D重合，折痕为 ，则 ．
【答案】
【详解】解：设 ，则 ，
又 ∵在 中 ，即 ，解得 ．故答案为： ．
18.（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示，在 中， ，将 沿着 翻折，使
点落在边 上的点 处． ， ，则 的长为 ．
【答案】 /
【详解】解：在 中， ， ， ，
折叠， 点落在边 上的点 处， ， ， ，
，设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，解得 ， ，故答案为：19.（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在四边形 中， 是对角线， 是等边三角形．
， ，则 的长为 ．
【答案】3.2
【详解】解： 是等边三角形
如图，将 绕点 顺时针旋转 ，点 为点 的对应点，连接
点 为点 旋转后的对应点；由旋转的性质得： ，
是等边三角形
则在 中 故答案为：3.2
20.（24-25八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶
点 出发沿着长方体的外表面爬到顶点 ，则它爬行的最短路程是 ．
【答案】
【详解】解：由题意有以下路线
路线一，如图1，路线二，如图2， 路线三，如图3，
∵ ，∴最短距离为 ．故答案为： ．
21.（24-25八年级下·广东·假期作业）如图，一只蚂蚁从楼梯上的点 处沿楼梯台阶的表面爬到点 处，它
爬行的最短距离为 m．
【答案】
【详解】解：该楼梯的水平长度为 ，将楼梯台阶表面展开，如图：
则 ， ，
∴在 中， ，
∴蚂蚁爬行的最短距离为 ．故答案为：
22.（24-25上·山东·八年级统考期中）如图，在 中， ，D是 边上一点， 垂直平分
，交 于点E，交 于点F，连接 ．(1)说明： ；(2)若 ，求 的度数．【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1）证明：∵ 垂直平分 ，
（2）解：∵ ，
平分
23.（24-25上·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）已知：如图， 的角平分线与 的垂直平分线 交
于点 ， ， ，垂足分别为 ， ．
(1)求证： ；(2)若 ， ，求 的周长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：连接 ，
∵D在 的中垂线上，∴ ，∵ ， ， 平分 ，
∴ ， ，∴ ，∴ ；（2）∵ 平分 ，∴ ，∵ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，由（1）可知 ，
∴ 的周长为： ．
24．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 满
足 ．(1)求点 、 的坐标；(2)如图1，若 的坐标为 ，且 于点
交 于点 ．①求证： ．②试求点 的坐标．(3)如图2，若点 为 的中点，点 为
轴正半轴上一动点，连接 ，过 作 交 轴于 点，当 点在 轴正半轴上运动的过程中，
式子 的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的
值．
【答案】(1)点 的坐标为 ，点 的坐标为
(2)①见解析；② (3) 的值不发生改变，等于4
【详解】（1）解： ；
； 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（2）①证明： 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ，
， ， ， ， ，
在 和 中， ， ；
②解： ， ， 点 的坐标为 ；（3）解： 的值不发生改变，等于4，理由如下：如图，连接 ，
为 的中点， ， ，
， ， ， ，
在 与 中， ， ，
．
25．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知 中， ， ，直角 的顶点 为
斜边 上的一个动点，直角的两边分别交线段 、 于 、 两点．
图1 图2 图3
(1)如图1，当 ，且 时，求 的长度；
(2)如图2，当 时，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，将直角 绕点 旋转，点 是 的中点，连接 ，过一点 作
，垂足为 ，交 于 ；当线段 最短时，求三角形 的面积．
【答案】(1) ；(2)见解析；(3) ．
【详解】（1）解：∵ ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 即 ，解得 ；
（2）证明∶连接 ，如图 ． ∵ ， ，
∴ ， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
在 和 中， ∴ ，∴ ；
（3）解：由（ ）知 ，∵D是 中点，∴ ，
∴当 时，线段 最短，∵ ， ，∴四边形 是矩形，
∵ ，∴四边形 是正方形，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
26.（24-25八年级下·广东深圳·期中）【综合与实践学习】阅读下面的证明过程：如图1， 、
和 都是直角三角形，其中 ，且直角顶点都在直线l上，求证： ．
证明：由题意， ， ．∴ ．在 和 中， ，∴ ．
像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学
习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题：
(1)如图2，在 中， ， ，过点A作直线 ， 于点D， 于点
E，探索 、 、 之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图3，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过
到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆 的高度是 ．（不必书写解题过
程）
(3)如图4， 和 都是等腰直角三角形， ， ， ，且点E在
上，连接 ，思考： 与 之间有什么样的数量关系？请证明你的猜想．
【答案】(1) ，理由见解析(2) 米(3)
【详解】（1）解： ，理由如下：∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，∴ ；
（2）过A作 ，过B作 ，如图：
同理可证 ，∴ ， ，由题意知 ， ，∴ ，
∵ ，即 ，∴ ，∴ ，∴ （米）．
（3）证明：过D作 交 的延长线于点F，如图：
∵ ，∴ ， ，
∴ ，而 ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ．
27.（24-25八年级上·河南开封·阶段练习）小华阅读了华师大课本第119页阅读材料“美丽的勾股树”的主
题内容后，深受启发，于是，他又对 进行了一系列的探究，猜想，验证和运用，请
你和他一起完成下面的探究．
(1)观察猜想：①如图1，将 放置在边长为1的正方形网格中，则 ， ， 之间的关系是______；
②如图2，以 的三边向外作等边三角形 ， ， ，则 ， ， 之间的关系是
______；
(2)探究论证：如图3，以 的三边为直径向外作半圆，若 ， ， ，则判断在（1）
中发现的 ， ， 之间的关系是否还成立，并说明理由．
(3)拓展应用：如图4，以 的三边为直径向外作半圆，已知阴影部分的面积为8，请直接写出
的面积．
【答案】(1)① ；② ；(2) 还成立，理由见解析(3)8
【详解】（1）解：① ，理由如下：由网格可知： ，∴ 之间的关系是 ，故答案为： ；
② ，理由如下：∵ ，
∴ ；故答案为： ；
（2）解： 还成立，理由如下：
∵ ， ， ， ，
∴ ；∴ ；
（3）解：∵图中阴影部分的面积 ， ，∴ ．
28．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张
长方形纸片 放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，
， ，P为边 上一动点，连接 ，将 沿 折叠，点C落在点 处．
(1)如图1，连接 ，当点 在线段 上时，求点P的坐标．
(2)如图2，当点P与点D重合时，沿 将 折叠得 ， 与x轴交于点E，求 的面
积．
(3)是否存在点P，使得点 到长方形的两条较长边的距离之比为 ？若存在，直接写出点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)点P的坐标为 (2) (3)点P的坐标为 或
【详解】（1）∵ ， ， ∴
∵将 沿 折叠，点C落在点 处∴ ， ，∴ 设 ，则
∴在 中， ∴ 解得
∴ ∴ ∴点P的坐标为 ；
（2）∵ ∴
∵沿 将 折叠得 ，∴ ∴ ∴
设 ，则 ∴在 中，
∴ 解得 ∴ ∴ 的面积 ；
（3）如图所示，过点C作 交 于点E，交 于点F，
∵ ， ∴ ∴四边形 是长方形∴
当 时，∴ ， 由折叠得，
∴ ∴ ∴设 ，则
∴在 中， ∴ 解得 ∴
∴ ∴点P的坐标为 ；
当 时，∴ ， 由折叠得，
∴ ∴ ∴设 ，则
∴在 中， ∴ 解得 ∴∴ ∴点P的坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或 ．
