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专题 08.特殊三角形及勾股定理中的九类模型
本专题包含特殊三角形及勾股定理中的九类重要模型，主要有：奔驰模型、等直内接等直模型、等
直+高分模型、中点模型、翻折模型、赵爽弦图模型、勾股树模型、空间最短路径模型、将军饮马模型等
模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一
个题型，做到活学活用！
1.（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知 是等腰三角形， ， 是直角三角形， 为
斜边 上的中线，连接 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在 中， ， ，点D为 边的中点，
，将 绕点D旋转，它的两边分别交 、 所在直线于点E、F，有以下4个结论：①
；② ；③ ；④当点E、F落在 、 的延长线上时，
，在旋转的过程中上述结论一定成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（24-25八年级上·黑龙江·期末）如图在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC
于E，BE与CD相交于点F，BF=2CE，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下列结论中： ①∠A=67.5°；②DF=AD；③BE=2BG；④DH⊥BC 其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人
称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形
，正方形EFGH，正方形 的面积分别为 ， ， ．若 ，则下列关于 ，
， 的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
5.（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在矩形 中， ， ，点E为 上一点，把
沿 翻折，点C恰好落在 边上的点F处，则 的长是（ ）
A． B． C．2 D．6.（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形 外取一点E，连接 ， ， ，过点 作
的垂线交 于点P，若 ， 则下列结论：① ；② ；③点
C到直线 的距离为 ；④ 其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面周
长为 ，在容器内壁离容器底部 的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上
沿 的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（ ）
A． B． C． D．
8.（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形
图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边 ( )，下列
四个说法：① ；② ;③ ；④ ．其中说法正确的结论有 ．(填序
号)9.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图， 的顶点C在等边 的边 上，点E在 的延长
线上，G为 的中点，连接 ．若 ，则 的长为 ．
10.（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，将矩形 沿EF折叠，使点D落在点B处，P为折痕
上的任意一点，过点P作 ，垂足分别为G，H，若 ， ，则 ．
11．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA＝4，PB＝2 ，PC＝
2，以下五个结论：①∠BPC＝120°；②∠APC＝120°；③S ABC＝14 ；④AB＝ ；⑤点P到△ABC
△
三边的距离分别为PE，PF，PG，则有PE+PF+PG＝ AB，其中正确的有 ．
12.（24-25九年级上·四川广元·期中）在平面直角坐标系中设两个点A、B坐标分别为 ，
则A和B两点之间的距离为： ．小明遇到如下问题：求的最小值，聪明的你认为答案是 ．
13.（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在 中， ， ， ， 是
是的平分线， 是线段 上一点， 是线段 上一点，则 的最小值为 ．
14.（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交
于点 ，连接 ， ， 的周长为18．若点 在直线 上，连接 、 ，则
， 的最大值为 ．
15.（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形 中， ，
在 上分别找一点M、N，使 周长最小，则最小值为 ．
16．（2024·和平区·八年级期末）如图， ，点M，N分别是边 ， 上的定点，点P，Q分别是边 ， 上的动点，记 ， ，当 的值最小时， 的大小=___
（度）．
17.（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）如图，在长方形 中， ， ，将长方形
折叠，使点B与点D重合，折痕为 ，则 ．
18.（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示，在 中， ，将 沿着 翻折，使
点落在边 上的点 处． ， ，则 的长为 ．
19.（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在四边形 中， 是对角线， 是等边三角形．
， ，则 的长为 ．
20.（24-25八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶
点 出发沿着长方体的外表面爬到顶点 ，则它爬行的最短路程是 ．21.（24-25八年级下·广东·假期作业）如图，一只蚂蚁从楼梯上的点 处沿楼梯台阶的表面爬到点 处，它
爬行的最短距离为 m．
22.（24-25上·山东·八年级统考期中）如图，在 中， ，D是 边上一点， 垂直平分
，交 于点E，交 于点F，连接 ．(1)说明： ；(2)若 ，求 的度数．
23.（24-25上·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）已知：如图， 的角平分线与 的垂直平分线 交
于点 ， ， ，垂足分别为 ， ．
(1)求证： ；(2)若 ， ，求 的周长．24．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 满
足 ．(1)求点 、 的坐标；(2)如图1，若 的坐标为 ，且 于点
交 于点 ．①求证： ．②试求点 的坐标．(3)如图2，若点 为 的中点，点 为
轴正半轴上一动点，连接 ，过 作 交 轴于 点，当 点在 轴正半轴上运动的过程中，
式子 的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的
值．
25．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知 中， ， ，直角 的顶点 为
斜边 上的一个动点，直角的两边分别交线段 、 于 、 两点．
图1 图2 图3
(1)如图1，当 ，且 时，求 的长度；(2)如图2，当 时，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，将直角 绕点 旋转，点 是 的中点，连接 ，过一点 作
，垂足为 ，交 于 ；当线段 最短时，求三角形 的面积．
26.（24-25八年级下·广东深圳·期中）【综合与实践学习】阅读下面的证明过程：如图1， 、
和 都是直角三角形，其中 ，且直角顶点都在直线l上，求证： ．
证明：由题意， ， ．∴ ．
在 和 中， ，∴ ．
像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学
习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题：
(1)如图2，在 中， ， ，过点A作直线 ， 于点D， 于点
E，探索 、 、 之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图3，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过
到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆 的高度是 ．（不必书写解题过
程）
(3)如图4， 和 都是等腰直角三角形， ， ， ，且点E在
上，连接 ，思考： 与 之间有什么样的数量关系？请证明你的猜想．27.（24-25八年级上·河南开封·阶段练习）小华阅读了华师大课本第119页阅读材料“美丽的勾股树”的主
题内容后，深受启发，于是，他又对 进行了一系列的探究，猜想，验证和运用，请
你和他一起完成下面的探究．
(1)观察猜想：①如图1，将 放置在边长为1的正方形网格中，则 ， ， 之间的关系是______；
②如图2，以 的三边向外作等边三角形 ， ， ，则 ， ， 之间的关系是
______；
(2)探究论证：如图3，以 的三边为直径向外作半圆，若 ， ， ，则判断在（1）
中发现的 ， ， 之间的关系是否还成立，并说明理由．
(3)拓展应用：如图4，以 的三边为直径向外作半圆，已知阴影部分的面积为8，请直接写出
的面积．
28．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张
长方形纸片 放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，
， ，P为边 上一动点，连接 ，将 沿 折叠，点C落在点 处．(1)如图1，连接 ，当点 在线段 上时，求点P的坐标．
(2)如图2，当点P与点D重合时，沿 将 折叠得 ， 与x轴交于点E，求 的面
积．
(3)是否存在点P，使得点 到长方形的两条较长边的距离之比为 ？若存在，直接写出点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
