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专题 08 期末模拟测试卷 2（提优卷）
考试时间：100分钟；满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共20分)
1．(本题2分)下列汽车标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：A、既是中心对称图形也是轴对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；故选A．
2．(本题2分)若 ，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A. , ,故A错误；B. ，故
B正确；C.若 ，故C错误；D. ，故D错误，故选:B．
3．(本题2分)已知 中， ，若 ， ， ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】∵a2﹣ab﹣2b2＝0，∴（a﹣2b）（a+b）＝0，
∴a＝2b，或a＝﹣b（不符合题意），
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2＝4b2+b2＝5b2，∴c＝ b，
∴a：b：c＝2b：b： b＝2：1： ．故选：B．
4．(本题2分)已知x﹣ ＝3，则4﹣ ＋ x的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，即 ，∴原式 ．
故选D．
5．(本题2分)如图，在 中， ， ，DE垂直平分AB，交
BC于点E， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解： 垂直平分 ， ， ，
， (cm) ，故选：D．
6．(本题2分)已知关于x的不等式组 ，恰有3个整数解，且关于x的分式方程 有解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A． B．0 C．5 D．4
【答案】A
【解析】解：不等式组 解得：
∵不等式组恰有3个整数解，∴ ，解得：
∴整数a可以为-3，-2，-1，0，1，2，3
变形为
去分母，得 ，解得 且x为整数
∵ ∴ ，解得 且
当 时， （不合题意，舍去）
∴符合条件的整数a为-3，-2，0，2
-3+（-2）+0+2=-3故选：A
7．(本题2分)如图，平行四边形 的顶点O，A，C的坐标分别是
，则顶点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，OA∥BC，∴点B的纵坐标为2，
∵点O向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点C，
∴点A向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点B，
∴点B的坐标为：（5，2）；故选：B．
8．(本题2分)如图，D是等边三角形 的边 上一点，四边形 是平行四
边形，点F在 的延长线上，G为 的中点，连接 ，若
，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】解：延长ED交AB于M点，
∵△ABC是等边三角形，∴ ，
∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∴ 。∴△ADM是等边三角形，
∴ ，∴ ，
又∵G为 的中点，即DG是△BME的中位线，∴ ，故选：B．
9．(本题2分)不等式组 的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解： 解不等式①得： ，解不等式②得： ，
不等式组的解集为 ，在数轴上表示为，故选：B．
10．(本题2分)如图， 的对角线AC，BD交于点O，AE平分 ，交BC
于点E，且 ，连接OE，下列结论① ；
②OD=AB；③ ；④ ；其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∠CAD=∠EAC，OB=OD，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAC=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE，
∵ ∴EC=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，∴∠BAC=90°，
∴BO＞AB，∴OD＞AB，故②错误；
∴S =AB•AC=AC•CD，故③正确；
▱ABCD
∵∠BAC=90°，BC=2AB，∴E是BC的中点，
∴S ：S =1：4，∴S ：S =3：4，
△BEO △BCD 四边形OECD △BCD
∴S ：S =3：8，
四边形OECD ▱ABCD
∵S ：S =1：4，∴ 故④正确．故选：C．
△AOD ▱ABCD
第II卷（非选择题）
二、填空题(共14分)
11．(本题2分)等腰三角形一腰上的高线与另一条腰的夹角为 ，则该等腰三角形的
底角为_________．
【答案】61°或29°
【解析】解：在三角形ABC中，设AB=AC，BD⊥AC于D．
①若是锐角三角形，∠A=90°-32°=58°，底角=（180°-58°）÷2=61°；
②若三角形是钝角三角形，∠BCA=32°+90°=122°，
此时底角=（180°-122°）÷2=29°．
所以等腰三角形底角的度数是61°或29°．
故答案为：61°或29°．
12．(本题2分)如图，在 中， ，分别以点A、C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线 ，分别交 、
于点D、E，连接 ，则 的度数为__________度．
【答案】40
【解析】解：∵由作图可知，DE是线段 的垂直平分线，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
故答案为：40．
13．(本题2分)定义：x*y＝x－my，如2*3＝2－3m，已知1*2≤5，则m的取值范围是
____________
【答案】m≥-2
【解析】解：∵1*2=1-2m，1*2≤5，∴1-2m≤5，
解得m≥-2．故答案为：m≥-2．
14．(本题2分)若 ， ，则 ________．
【答案】4
【解析】解： ，
当 ， ，∴原式= ．故答案为：4．
15．(本题2分)已知平行四边形 中，点 和点 分别是边 和 上的点，
， ，将 沿 翻折，点 落在点 处， 交于点 ，则 ______．
【答案】
【解析】解：∵ ，
∴
∵ 沿 翻折∴
∴
∵四边形 是平行四边形
∴ ∴ ．
故答案为：92°．
16．(本题2分)如图，在 中， ，将
绕点A逆时针旋转得到 ，使点 落在 边上，连接 ，则
的长度为________．
【答案】6．
【解析】解：在 中， ，∴ ， ，
由旋转的性质，得 ， ，
∴ 是等边三角形，
．故答案为：6．
17．(本题2分)若数a使关于x的不等式组 ，有且仅有四个整数解，
且使关于y的分式方程 有非负数解，则所有满足条件的整数a的值
之和是________________．
【答案】1
【解析】解不等式组 ，由①得，x≤3；
由②得，x＞ ；
∵不等式组有且仅有四个整数解，∴−1≤ ＜0，∴−4＜a≤3，
解分式方程 ，可得y＝ （a＋2），
又∵分式方程有非负数解，∴y≥0，且y≠2，
即 （a＋2）≥0， （a＋2）≠2，
解得a≥−2且a≠2，
∴−2≤a≤3，且a≠2，∴满足条件的整数a的值为−2，−1，0，1，3，
∴满足条件的整数a的值之和是1．故答案为：1．
三、解答题(共86分)18．(本题8分)解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得_____________；
（Ⅱ）解不等式②，得______________；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为_________________．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）见解析；（Ⅳ） ．
【解析】解：
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
故答案为： ； ； ．
19．(本题8分)如图，在平行四边形 中，点E、F分别是边 、 上一点，
且 ，连接 、 ．（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）35°
【解析】解：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE=DF．
（2）∵AD∥BC，∴∠ADF=∠CFD=35°，
又∵∠C=110°，∴∠CDF=180°-∠C-∠CFD=35°，
在△ABE和△CDF中， ，
∴△ABE≌△CDF（SSS），∴∠ABE=∠CDF=35°．
20．(本题8分)如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为
m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，
且 ．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式 可以因式分解，请写出因式分解的
结果；
（2）若每块小矩形的面积为 ，四个正方形的面积和为 ，试求图中所有
裁剪线（虚线部分）长之和．
【答案】（1）（m+2n）（2m+n）；（2）48cm
【解析】解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；
故答案为：（m+2n）（2m+n）；（2）依题意得，2m2+2n2=88，mn=10，
∴m2+n2=44，
∵（m+n）2=m2+2mn+n2，
∴（m+n）2=44+20=64，
∵m+n＞0，
∴m+n=8，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n=6（m+n）=48cm．
21．(本题9分)如图，在 中， ，点D，E，F分别在 边
上，且 ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）当 时，求 的度数；
（3）若 ，判断 是否为等边三角形．
【答案】（1）见解析；（2）65°；（3）是，理由见解析
【解析】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，
在△BDE和△CEF中，∵ ，∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵∠DEC=∠B+∠BDE，即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
∵△BDE≌△CEF，∴∠CEF=∠BDE，∴∠DEF=∠B，
又∵在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，
∴∠B=65°，∴∠DEF=65°；
（3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，即DE=EF，
由（2）知，∠DEF=∠B，∵∠A=∠DEF，∴∠A=∠B，
∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC的等边三角形，
∴∠B=∠DEF=60°，∴△DEF是等边三角形．22．(本题9分)如图，在平面直角坐标系中，直线 经过点 ，直线
经过点 且与直线 相交于点 ．
（1） _______， _______；
（2）求直线 的解析式；
（3）请把图象中直线 在直线 上方的部分描黑加粗，并直接写
出不等式 的解集：________．
【答案】（1）2，3；（2） ；（3） ．
【解析】解：∵直线 经过点 ，∴ ，
∴m=2，即直线 解析式为
又∵点 在直线 ，∴ ，故答案为：2，3；
（2）∵直线 经过点 ，点 ，
∴ ，解得： ，即直线 的解析式 ；
（3）如图：
不等式 的解集： ．
23．(本题10分)阅读材料：若 ，求m、n的值．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知一个不等边三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b、c都是正整数，并满
足 求c的值．
（2）已知a、b、c是 的三边长，且满足 ，试判断
的形状．
（3）试探究关于x、y的代数式 是否有最小值，若存在，求
出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）4；（2）等边三角形；（3）最小值为16，此时x=-3，y=-6．【解析】解：（1） ，∴ ，
∴a=2，b=3，∴1＜c＜5，∴c=4；
（2） ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴a-b=0且b-c=0，即a=b且b=c，
∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形；
（3）有最小值，
=
=
∵ ， ，
∴原式≥16，此时x=-3，y=-6．
24．(本题10分)在抗击“新型冠状病毒”期间，某车间接受到一种零件的加工任务，
该任务由甲、乙两人来完成，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，现两人各
加工300个这种零件，甲比乙少用5天．
（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有1500
个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．
如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？
【答案】（1）甲每天加工30个零件，乙每天加工20个零件；（2）40天
【解析】解：（1）设乙每天加工 个零件，则甲每天加工 个零件，
依题意得： ，解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，∴ ．
答：甲每天加工30个零件，乙每天加工20个零件；
（2）设甲加工了 天，则乙加工了 天，
依题意得： ，
解得： ．
答：甲至少加工了40天．
25．(本题12分)在平面直角坐标系中点 、 的坐标分别为 ， ．
（1）如图1，若点 、 关于 轴对称， ，请直接写出 的度数
___________；
（2）如图2，点 的坐标为 ， ，试用字母 、
表示线段 的长；
（3）如图3，点 的坐标为 ，且 ，点 的坐标
分别为 ，试用字母 、 、 表示线段 的长．
【答案】（1）27°；（2）AB=2c－b；（3）
【解析】解：（1）∵点 、 关于 轴对称，∴AB=AC，∵ ，
∴ = ；
故答案为：27°；
（2）延长AD交x轴于点G，作DE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，如图，
∵ ，∴OE=DF= a，DE∥OG，
∵OA=a，∴AE=OE= ，
∴DE是△AOG的中位线，∴AD=DG，
∴AD=OD=DG，∴∠DOG=∠DGO，
∵∠ADO=∠ABO，∠AHD=∠OHB，
∴∠DAB=∠DOG，∴∠BAD=∠BGD，
∴AB=BG，
∵DO=DG，DF⊥x轴，∴OG=2OF=2c，
又∵OG=OB+BG=b+AB=2c，∴AB=2c－b；
（3）连接OE，作EG⊥DB于G，EH⊥x轴于H，如图，
∵EA=ED，OA=OD=a，OE=OE，∴△AOE≌△DOE，
∴∠AOE=∠DOE=45°，∴OE平分∠AOD，
∵ ，∴F在∠AOD的平分线上，
∴O、E、F三点共线，设E（n，n），则 ，
∵ED=EB，EG⊥DB，∴DG=BG，即n－a=b－n，可得 ，
在Rt△BEG中，由勾股定理得
，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
26．(本题12分)如图所示，平行四边形 和平行四边形 有公共边 ，
边 和 在同一条直线上， 且 ，过点A作 交
于点G，交 于点H，连接 ．
（1）若 ，求 的面积和周长；（2）求证： ．
【答案】（1）△BCF的面积为12，周长为 ；（2）见解析
【解析】解：（1）∵四边形ABCD，四边形CDEF是平行四边形，
∴AB=CD=10，CD=EF=10，AB∥CD，
∴AB=EF=10，∴AE=BF=4，∴AF=AC=6，
∵AB∥CD，AC⊥CD∴AB⊥AC，
∴CF= ，
BC= ，
∴△BCF的面积为 ，
△BCF的周长为BF+BC+CF= ；
（2）证明：如图，在AD上取一点M，使得AM=AG，连接CM．
∵四边形ABCD，四边形EFCD都是平行四边形，
∴AB=CD=EF，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，
∵AH⊥BC，∴AH⊥AD，
∵AC⊥AB，又AF=AC，
∴∠BAC=∠GAM=90°，∠AFC=∠ACF=45°，
∴∠FAG+∠HAC=∠CAM+∠HAC=90°，
即∠FAG=∠CAM
∵AF=AC，AG=AM，
∴△FAG≌△CAM（SAS），∴∠ACM=∠AFG=45°，FG=CM．
∵∠ACD=∠BAC=90°，
∴∠MCD=45°=∠EFG，
∵EF=CD，FG=CM，
∴△EFG≌△DCM（SAS），
∴EG=DM，
∴AG+EG=AM+DM=AD=BC．
即BC﹣EG=AG．
