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专题06 二次函数中的线段及周长问题
1．如图，已知抛物线 与x轴交于点 ，与y轴交于 ，连接
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是直线 下方抛物线上一点，过点P作 于点D，过点P作 轴交
于点E，求 周长的最大值及此时点P的坐标；
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）根据点A和点B的坐标，设 ，再将点C的坐标代入求解即可；
（2）延长 交x轴于点F，证明 ，通过相似三角形周长比等于相似比，即可得出
周长的表达式，再将其改写为顶点式即可求出最值．
【详解】（1）设 ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：如图，延长 交x轴于点F，设点 ， 的周长是l，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的周长是12，
设直线BC的解析式为 ，
把 ，代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式是： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴当 时，l有最大值，最大值为 ，即 周长的最大值为 ，
当 时， ，
∴ ．
综上： 周长的最大值为 ，此时点P的坐标 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练
掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法，通过相似三角形的周长比等于相似比得出周长的
表达式．
2．如图，抛物线 经过 和 两点，点 是线段 上异于
的动点，过点 作 轴于点 ，交抛物线于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在这样的 点，使线段 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明
理由；
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）先求得直线 的解析式为 ，设动点P得坐标为 ，则C点得坐标为
，进而表示出 的长度，根据二次函数的性质求得最值即可求解．
【详解】（1）解：∵ 、 在抛物线 上，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：设直线 的解析式为： ，
∵ 、 在直线 上，
∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为 ，
设动点P得坐标为 ，则C点得坐标为 ，
∴ ，
∵ ， ，∴当 时，当P点坐标为 ，线段PC有最大且为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，线段问题，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性
质是解题的关键．
3．抛物线 与 轴交于 和 两点，与 轴交于点 ，点 是直线 上
方的抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点 作 于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 的最大值为 ，点 的坐标为
【分析】（1）应用待定系数法即可求出抛物线解析式，再求出点 的坐标，可得直线 的解析
式；
（2）过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，设点 ，则 ，应
用二次函数最值可得线段 的最大值，证明 是等腰直角三角形，可得出 ，即
可求得答案．
【详解】（1）解： 抛物线 与 轴交于 和 两点，，
解得： ，
二次函数的解析式为 ；
（2） 二次函数 与 轴交于点 ，
点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
直线 经过点 ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，
设点 ，则 ，
，
当 时， 最大，最大值是 ．
， ，
，
，
轴，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
的最大值为 ，
此时点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质、二次函数最值的应用等，
关键是二次函数性质的掌握．
4．如图，已知二次函数 与一次函数 的图象相交于 两点．
(1) ___________， __________；
(2)求点B的坐标；
(3)点P在直线 上方的抛物线上，过点P做直线 平行于y轴交直线 于点M，求 的最
大值
(4)直接写出当 时，x的取值范围是___________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)【分析】（1）将 分别代入两个函数解析式进行计算即可；
（2）联立两个函数解析式，解一元二次方程即可；
（3）设 利用 ，得到一个二次函数，求最值即可；
（4）根据图象，找到抛物线在直线上方时， 的取值范围即可．
【详解】（1）解：将 代入： 得：
，解得： ；
将 代入： 得：
，解得： ；
故答案为： ；
（2）解：由（1）得：抛物线的解析式为： ，
一次函数的解析式为： ；
则： ，
∴ ，
解得： ；
当 时， ，
∴ ；
（3）解：设 ，
∵P在直线 上方，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，∴ ，
∴当 时， 取最大值为： ；
（4）解：由图象可知：
当 时，抛物线在直线的上方，
∴ 时： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，根据二次函数的性质，利用数
形结合的思想进行求解，是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，抛物线 经过点A、B，C，已知 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，P为线段 上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，
使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，线段 的最大值为【分析】（1）把已知A，C两点坐标代入解b，c的值，求函数解析式；
（2）求直线 得解析式，设D点的横坐标为x，则 ，化成顶点式求最值．
【详解】（1）解： 经过点C，则 ，
将点A的坐标代入抛物线表达式： ，得： ，解得： ，
抛物线的表达式为： ；
（2）解：存在，理由：
令 ，得： ，解得： 或 ，故点 ，
设直线 为 ，将点B、C的坐标代入得：
，解得： ．
∴直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
则 ，
∵ ， ，
∴当x 时，线段 最大值为： ；
【点睛】本题考查二次函数的解析式和图像上的动点问题、坐标与图形，用待定系数法求函数解
析式是解题的关键．
6．如图，直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线 经过B、C两点，
与x轴另一交点为A，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上找一点E，使 的周长最小，求符合条件的E点坐标；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直线解析式可求出点B、C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）作点C关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点E，此时 为最小，且为 的长，
即此时 的周长最小．由抛物线的解析式可求出点C和点D的坐标，从而得出点 的坐标，
再利用待定系数法可求出直线 的解析式，从而即可求出E点坐标．
【详解】（1）解：∵直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴令 ，则 ；令 ，则 ，
∴点B、C的坐标分别为 ，
将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得： ，
解得： ，
故该抛物线的解析式： ；
（2）解：如图，作点C关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点E，此时 为最小，且
为 的长，即此时 的周长最小．对于 ，令 ，则 ，
∴点C的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ．
∵ ，
∴抛物线的顶点D的坐标为 ．
设直线 的表达式为 ，
将 、D的坐标代入得： ，
解得： ，
∴直线 的表达式为： ，
对于 ，当 时， ，
故点E的坐标为 ．
【点睛】本题为二次函数与一次函数的综合题，考查一次函数与坐标轴的交点问题，利用待定系
数法求函数解析式，轴对称的性质，二次函数的图象和性质等知识．熟练掌握二次函数的图象和
性质是解题关键．7．如图，抛物线 与x轴相交于点 ， ，与y轴交于点 ，点D为
抛物线的顶点．
(1)直接写出抛物线的函数表达式；
(2)如图，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得△BCF周长最小，若存在求点F坐标，并求周长
的最小值；若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)存在， ；
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴 ，即可得出 ，设直线 的解析式为： ，求出
解析式，把 代入，求出 ，再求出 ， ， ，即可求出周长．
【详解】（1）将 ， ， 代入
得: ,
解得:
所以抛物线的函数表达式：
（2）存在；∵抛物线的解析式为： ，∴抛物线的对称轴 ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
∵ ，
∴ 解得 ，
∴ 直线 的解析式为： ，
把 代入直线 的解析式 ，得 ，
∴ ；
∴
∴
【点睛】本题考查二次函数，利用待定系数法求出解析式是解题的关键，利用对称轴求出坐标是
解（2）题的关键．
8．已知抛物线 具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点 的距离与到x轴的距离相等，如图，点M的坐标为 ，P是抛物线 上一动点，则
(1)当 面积为4时，求P点的坐标；
(2)求 周长的最小值．
【答案】(1) 或
(2)5
【分析】（1）设P点的坐标为 ，根据 面积为4求出点P的横坐标，代入解析式
得到对应y值，即可求解；
（2）过点M作 轴于点E， 与抛物线交于点 ，由点 在抛物线上可得出 ，
结合点到直线之间垂线段最短及 为定值，即可得出当点P运动到点 时， 周长取最小
值，由此可解．
【详解】（1）解：设P点的坐标为 ，
点F的坐标为 ，
，
当 的面积为4时， ，
解得： ，
，
点P的坐标为 或 ．
（2）解：过点M作 轴于点E， 与抛物线交于点 ．抛物线上任意一点到定点 的距离与到x轴的距离相等，
，
又 为定值，
当点P运动到点 时， 周长取最小值，
, ，
， ，
，
周长的最小值为5．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据
点到直线之间垂线段最短找出 周长取最小值时点P的位置是解题的关键．
9．如图，抛物线 与x轴交 两点(A点在B点左侧)，直线 与抛物线交于 两
点，其中C点的横坐标为 ．
(1)求 两点的坐标;
(2)求直线 的函数表达式;
(3)若P是线段 上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段 长度的最大
值．【答案】(1) ，
(2)
(3) 的长度最大值为
【分析】（1）令 可得点 的坐标，然后根据C点的横坐标为 代入二次函数解析式可得C
点的坐标；
（2）运用待定系数法求一次函数解析式即可；
（3）设点 ，则点 ，表示出 的长度表达式，根据二次函数的性质解
答即可．
【详解】（1）解：令 ，即 ，
解得： ，
∴点 ，
∵C点的横坐标为 ，
将 代入 ，
得 ，
∴ ；
（2）设直线 的函数表达式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的函数表达式为 ；
（3）如图：设点 ，则点 ，
∵在线段 上抛物线始终在一次函数的上方，
∴ ，
∴当 时， 的长度最大，最大值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数与 轴交点问题，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数最大
值，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键．
10．如图，已知二次函数 的图象经过点 ，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数表达式；
(2)直接写出直线 的解析式；
(3)P为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P作 ，交直线 于点Q，作 轴
交 于M．求线段 的最大值及此时点P的坐标．【答案】(1)
(2)
(3)线段 的最大值为 ，此时点P的坐标为
【分析】（1）设二次函数的解析式为 ，把 代入得： ，
即可求解；
（2）利用待定系数法解答，即可求解；
（3）根据 轴，可得 ，从而得到 ，进而得到
，可得到当 最大时， 最大，然后设点 ，
则点 ，可得 ，即可求解．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
∴点C的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
把 代入得：，解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当 最大时， 最大，
设点 ，则点 ，
∴ ，
∴当 时， 最大，最大值为4，此时 最大，
∴线段 的最大值为 ，此时点P的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质，
利用数形结合思想解答是解题的关键．
11．如图，已知抛物线 与 轴正半轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 是
轴上一动点，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，交直线 于点 ，设 ．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当 时，求线段 的最大值；
(3)在 和 中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的 倍时，求相应 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可；
(2)先确定出直线 解析式，进而得出点 的坐标，即可得出 的函数关系式，即可得出结
论；
(3)先确定出 ，再分两种情况解绝对值方程即可．
【详解】（1）∵抛物线 与 轴正半轴交于点 ，与 轴交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）设直线 的解析式为 ，∵ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
当 时， 的最大值为 ；
（3）由(2)知，
①当 时，
∴ ，
即： ，
∴ 或 (舍)，
②当 时，
∴ ，
即： ，
∴ 或 (舍)，
综上所述， 或 ；
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，求线段的最值问题，面积问题，
掌握二次函数的性质是解题的关键．12．如图，一次函数 与二次函数 的图象交于 和
(1)直接写出两个函数的解析式；
(2)点 为直线 下方抛物线线上一个动点，过 作 轴与 交于 点，当 为最大值时，
求 点坐标．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）先把 代入 求出a的值，然后把 代入 ，求出m的值，
最后把 ， 代入 求出k，b的值即可；
（2）设 ，则 ， ，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵ 在二次函数 的图象，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ，
∵ 在二次函数 的图象，
∴ ，∴ ，
∵ ， 在一次函数 的图象上，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数解析式为 ；
（2）解：设 ，则 ，
根据题意得 ，
，
∴当 时， 有最大值，
∴ ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质等知识，掌握待
定系数法以及二次函数的性质是解题的关键．
