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2022 年上海市长宁区中考数学一模试卷
答案解析版
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 已知在 中, , 那么 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画出 ，根据三角函数进行解题即可．
【详解】解：由图可知，
∵ ，
∴BC= ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角函数的应用，熟练掌握所学三角函数的性质是解题的关键．
2. 如果向量 与向量 方向相反, 且 , 那么向量 用向量 表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的表示方法直接解答即可【详解】解：向量 与向量 方向相反, 且 , 那么向量 用向量 表示为
故选D
【点睛】本题考查了向量的表示方法，理解 是解题的关键．
3. 如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例得到 ，然后利用比例性质计算出BC，从而求出CE即可．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ ，即 ，
∴BC= ，
∴CE=BE-BC=12- = ，
故选C．
【点睛】本题考查了平行线线段成比例，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4. 抛物线 (其中 ) 一定不经过的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C【解析】
【分析】根据二次函数的各项系数进行判断对称轴以及与 点的坐标，画出草图，进而即可求得答案
【详解】解：
抛物线 的对称轴为 则对称轴在 轴的右侧，且开口向上，
令 ，即抛物线与 点的坐标大于0，如图，
故该函数的图象不经过第三象限
故选C
【点睛】本题考查了二次函数 的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关
键．
5. 下列命题中, 说法正确的是（ ）
A. 所有菱形都相似
B. 两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似
C. 三角形的重心到一个顶点的距离, 等于它到这个顶点对边距离的两倍
D. 斜边和直角边对应成比例, 两个直角三角形相似
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似多边形的性质，相似三角形的判定，三角形重心的性质逐项分析判断即可
【详解】解：A. 所有菱形不一定相似，故该选项不正确，不符合题意；
B. 两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，故该选项不正确，不符合题意；
C. 三角形的重心到一个顶点的距离, 等于它到这个顶点对边中点距离的两倍，故该选项不正确，不符合题意；
D. 斜边和直角边对应成比例, 两个直角三角形相似，故该选项正确，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定，三角形重心的性质，掌握以上知识是解题的
关键．
6. 如图, 点 是线段 的中点, , 下列结论中, 说法错误的是（ ）
A. 与 相似 B. 与 相似
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据外角的性质可得 ，结合已知条件即可证明 ，从而判断
A，进而可得 ，根据 是中点，代换 ，进而根据两边成比例夹角相等可证
，进而判断B，C，对于D选项，利用反证法证明即可．
【详解】解： ，
又
故A选项正确为 的中点
又
故B、C选项正确
若
则
根据现有条件无法判断 ，故
故D选项不正确
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
二、填空题（本大题共 12 题, 每题4 分, 满分 48 分）
7. 已知 , 那么 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例的性质求得 ，代入代数式求值即可
【详解】解：∵
∴∴
故答案为：
的
【点睛】本题考查了比例 性质，掌握比例的性质是解题的关键．
8. 抛物线 的顶点坐标是________．
【答案】（0，-1）
【解析】
【详解】∵a=2，b=0，c=-1，∴- =0， ，
∴抛物线 的顶点坐标是(0，-1)，
故答案为（0，-1）.
9. 在比例尺为1：10000的地图上，相距5厘米的两地A、B的实际距离为___米．
【答案】500
【解析】
【分析】设相距5厘米的两地A、B的实际距离为x厘米，根据题意可得方程 ，解此方程即可求
得答案．
【详解】解：设相距5厘米的两地A、B的实际距离为x厘米，
根据题意得： ，
解得：x=50000，
经检验，x=50000是上述方程的解，
∵50000cm=500m，
∴相距5厘米的两地A、B的实际距离为500m，
故答案为：500．
【点睛】本题考查比例线段，比例尺．解题的关键是注意理解题意，根据题意列方程，注意单位之间的换
算．的
10. 已知点 是线段 黄金分割点, 㓚果 , 则 _______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据黄金分割比可直接进行列式求解．
【详解】解：∵点C是线段AB 的黄金分制点，且AC>BC,
∴
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了黄金分割点的定义，即：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与
较短线段的比例中项，黄金分割比为 ．
11. 如果两个相似三角形周长之比为 , 那么这两个三角形的面积之比为_______．
【答案】9:4##
【解析】
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方进行求解即可
【详解】解：两个三角形的周长比为3:2，
两个三角形的相似比为3:2，
两个三角形的面积比即为9:4
故答案为：9:4．
【点睛】本题考查相似三角形的面积比，本题难度不大，主要是掌握相似三角形面积比等于边长的平方比．
12. 点 是 的重心, 过点 作 边的平行线与 边交于点 与 边交于点 , 则______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2倍得到 ，在根据EF∥BC找到与
EF、BC有关的比例即可．
【详解】如图所示，设AG交BC于D
∵点G是△ABC的重心，
∴AG=2GD，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴
∴ ，
∴∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的重心，平行线分线段成比例．熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中
点的距离的2倍是解题的关键．
13. 如图, 小明沿着坡度 的坡面由 到 直行走了 13 米时, 他上升的高度 _______米．
【答案】
【解析】
【分析】根据坡度的定义求得 ，即可求得 的长
【详解】解：∵
∴
设 ，则
根据勾股定理可得故答案为：5
【点睛】考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题和勾股定理，熟悉且会灵活应用公式：坡度=垂直高
度÷水平宽度是解题的关键。
14. 已知抛物线 与 轴交于点 ,过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ,若
,则点 坐标为______．
【答案】（-2，-2）
【解析】
【分析】根据表达式求出A点坐标再根据AB平行于x轴，AB=2可得B点坐标为（2，-2）、（-2，-2），
再根据ab＞0得 ，所以B点坐标为（-2，-2）．
【详解】解：∵ ，
∵当x=0时，y=-2，
∴A点坐标（0，-2），
又∵AB=2，直线AB平行x轴
∴B点坐标为（2，-2）、（-2，-2），
∵ab＞0，
∴ ，抛物线对称轴在y轴左侧，
∴B点坐标为（-2，-2）．
【点睛】本题主要考查二次函数与y轴得交点，二次函数对称轴和两点之间的距离，熟练掌握二次函数基
本性质是解决本题的关键．
15. 我国古代数学著作 《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小, 各中开门. 出北门三十步有木, 出 西门
七百五十步有木. 问邑方几何? ”示意图如图, 正方形 中, 分别是 和 的 中点, 若
, 且 过点 , 那么正方形 的边长为______．【答案】300
【解析】
【分析】设 ，根据题意证明 ，从而得到对应边的比相等，列出方程即可求得 ，
进而求得正方形的边长
【详解】解： 正方形 中， 分别是 和 的中点
，
，
设AF=AG=x，
即
解得故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
16. 如图, 在 中, 是斜边 上的中线, 点 是直线
左侧一点, 联结 , 若 , 则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先证明 ，则 ，进而证明 ，据
求得相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解
【详解】解： 是 斜边 上的中线，
即又
又
又
设 ，则故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，正切的定义，证明 是解题的关键．
17. 定义: 在 中, 点 和点 分别在 边、 边上, 且DE//BC，点 点 之间距离与
直线 与直线 间的距离之比称为 关于 的横纵比. 已知, 在 中, 上的
高长为 关于 的横纵比为 , 则 _______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意作出图形，由平行可得相似，列出比例式，设 ，则 ，代入数值求解
即可．
【详解】如图， 于 ，交 于点 ，，
，
关于 的横纵比为 ，
设 ，则
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，理解横纵比的定义是解题的关键．
18. 如图, 在 中， ， 点 分别在 边和 边上，沿着直线
翻折 ，点 落在 边上，记为点 ，如果 ，则 _______．【答案】 ##
【解析】
【分析】过点 作 于点 ，设 ，则 ， ，解直
角三角形 即可求得 ，即 的值
【详解】解：如图，过点 作 于点在 中， ，
，
是等腰直角三角形
=
设 ，则 ，
沿着直线 翻折 ，点 落在 边上，记为点 ，
在 中，
即
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，解直角三角形，根据题意构造直角三角形是解题的关键．
三、解答题 （本大题共 7 鿒, 满分 78 分）
19. 计算： .
【答案】1
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值进行混合运算即可【详解】
【点睛】本题考查了特殊角的三角形函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
20. 抛物线 经过点 ．
（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）填空：如果将该拋物线平移, 使它的顶点移到点 的位置， 那么其平移的过程是 平移后的抛物
线表达式是 ．
【答案】（1）y＝-x2+2x+3；顶点坐标为（1，2）；（2）向左平移1个单位，向上平移1个单位；y＝-
x2+3．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）利用顶点式写出平移过程和所得新抛物线的表达式即可．
【详解】解：（1）把 代入 得，
，
解得 ．
所以这个二次函数的解析式为y＝-x2+2x+3；
将y＝-x2+2x+3化成顶点式为y＝-(x-1)2+2，顶点坐标为（1，2）；（2）由于y＝-x2+2x+3的顶点坐标为（1，2），将该拋物线平移，使它的顶点移到点 的位置，那
么其平移的过程是向左平移1个单位，向上平移1个单位；
所以新抛物线的解析式为y＝-(x-0)2+3即y＝-x2+3，
故答案为：向左平移1个单位，向上平移1个单位；y＝-x2+3．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后
的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出
解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
21. 如图, 在梯形 中，AB//CD，且 , 点 是边 的中点, 联结 交对角线
于点 , 若 ．
（1）用 表示 ；
（2）求作 在 方向上的分向量．
（不要求写作法, 但要保留作图痕迹, 并指出所作图中表示结论的分向量）
【答案】（1） = ， ；（2）见详解．
【解析】
【分析】（1）利用向量的表示方法，表示出 ，再由 = 即可求出 ，利用平行线段成比
例，求出AF= ，即可求出 ；（2）利用向量中分向量的画法画图即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，∴ ，
∵ = ， ，
∴ = ，
∵AB//CD， ，DE=EC，
∴ ，
∴AF=
∴ ．
（２） 在 方向上的分向量如图所示， 即为所求；
【点睛】本题主要考查图形中向量的表示方法，以及分向量在平行四边形中的画法，熟练掌握向量的基本
应用是解题的关键，初中的向量问题只在上海地区出现，其他地方在高中才会学到，需要注意．
22. 如图, 某种路灯灯柱 垂直于地面, 与灯杆 相连. 已知直线 与直线 的夹角是 . 在
地面点 处测得点 的仰角是 , 点 仰角是 , 点 与点 之间的距离为 米．求：（1）点 到地面的距离；
（2） 的长度．（精确到 米）
（参考数据: ）
【答案】（1）2.8米；（2）AB的长度为0.6米
【解析】
【分析】（1）过点A作 交于点F，则 ，在 中，用三角函数即可得；
（2）过点A作 交于点H，根据 ，证明四边形AFCH是矩形，则
， ，设BC=x，则 米，根据三角形内角和定理得 ，
即 ，根据三角函数得DF=2.1米， 米，在 中，根据三角函数得
，则 ，即可得 ，则 ，根据三角函数即可得 米．
【详解】解：（1）过点A作 交于点F，则 ，
在 中， （米），
即点A到地面的距离为2.8米；
（2）过点A作 交于点H，
在四边形AFCH中， ，
∴四边形AFCH是矩形，
∴ ， ，
设BC=x，则 米，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ （米），
∴ （米），
∴ 米，
∵在 中， ，
∴ ，
∴
，
∴ （米），
∵ ，
∴ （米）．
【点睛】本题考查了三角函数，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
23. 如图, 线段 是 的角平分线, 点 点 分别在线段 的延长线上, 联结 ,
且 ．（1）求证: ；
（2）如果 , 求证: ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据 可得 ，根据线段 是 的角平分线，可得
，即可证明 ，进而可得 ，根据对顶角相等可得
，等量代换可得 ，根据等边对等角即可证明
（2）由 ，可得 ，证明 ，可得
根据 ， ，代入进行变形即可证明
【详解】证明：（1）
线段 是 的角平分线，（2）
设 ，
则
即
又
即
又
，
即
即
又【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，对于第二问恒等式的证明，不能直接找到对应的相似三角
形，解题的关键是要理清各相等线段之间的关系．
24. 抛物线 与 轴相交于 两点 (点 在点 左侧), 与 轴交于点 , 其顶点
的纵坐标为 4．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求 的正切值；
（3）点 在线段 的延长线上, 且 , 求 的长．
【答案】（1）抛物线的表达式为 ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）点 代入 即可得出c的值，再根据点D的纵坐标得出a的值，由此
得出点D的坐标；
（2）过点B作 ，求出交点坐标，得出 ， ；由面积公式列出方程计算出BE、
EC的长度，即可得出 的正切值；（3）过点D作 轴，过点A作 ，得出 ；证明 ，根据相似
比得出NB、NA的长度，根据线段加减推论出CF的长度．
【详解】解：（1）把点 代入 得：
当 时，
顶点 的纵坐标为 4．
故抛物线的表达式为
（2）过点B作 交于E点，
令
则故 ，
（3）过点D作 轴，过点A作 ，当点F在CB延长线上，F只能在第四象限，故
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理逆定理，锐角三角函数，相似三角形
的性质，解题关键是确定出抛物线解析式，是一道中等难度的中考常考题．
25. 已知, 在 中, , 点 是射线 上的动点, 点 是边 上的动点，
且 , 射线 交射线 于点 ．（1）如图 1, 如果 , 求 的值；
（2）联结 , 如果 是以 为腰的等腰三角形，求线段 的长；
（3）当点 在边 上时, 联结 , 求线段 的长．
【答案】（1）0.09，（2） ，（3）
【解析】
【分析】（1）证△ABC∽△OEC和△OBD∽△AED，求出相似比，利用相似三角形的性质可求；
（2）设AE＝OE＝OC=x，根据（1）中相似列出比例式即可求解；
（3）证明A、B、O、E四点共圆，得出AO∥DC，设OC=x，OB=8-x，利用相似列出比例式求解即可．
【详解】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠B＝∠OEC，
∴△ABC∽△OEC，
∴ ，
∴ ，
∴CE＝3.2，
∴AE＝1.8；
∵∠AED＝∠OEC＝∠B，∠D＝∠D，
∴△OBD∽△AED，
∴ ，∴ ．
（2）∵ 是以 为腰的等腰三角形，
∴AE＝OE，
∵OC＝OE，
∴设AE＝OE＝OC=x，
由（1）得，△ABC∽△OEC，
∴ ，
∴ ，
解得， ，经检验， 是原方程的解；
则 的长是为 ．
（3）由（1）得，∠B＝∠OEC，
∵∠OEC+∠OEA＝180°，
∴∠B+∠OEA＝180°，
∴A、B、O、E四点共圆，
∴∠DBE＝∠AOD，
∵ ，
∴ ，∴AO∥DC，
∴△AOE∽△CDE，△ABO∽△DBC，
∴ ， ，
∴ ，
设OC=x，OB=8-x，
∵△ABC∽△OEC，
∴ ，
∴ ，
解得， ，
∴
∴ ，
解得， ， （舍去），
则 的长是为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆内接四边形，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行证明推理和计算．
