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jiajiao6767 )
2022-2023 学年上海市长宁区七年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I 卷（选择题）
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，是无理数的是( )
24 𝜋
A. 9 B. C. D. 3 8
7 2
2. 下列等式中，正确的是( )
1 1
A. ( −5)²=5 B. (− 5)²=5 C. 25=±5 D. 9 =3
4 4
3. 在平面直角坐标系中，点𝑃(−2,3)向下平移2个单位得到点𝑄，那么点𝑄的坐标是( )
A. (−2,1) B. (−2,5) C. (0,3) D. (−4,3)
4. 下列图中∠1，∠2不是同位角的是( )
A. B.
C. D.
5. 已知三角形的两条边长分别为3和4，那么该三角形的第三条边长可能是( )
A. 1 B. 3 C. 7 D. 9
6. 下面是“作∠𝐴𝑂𝐵的平分线”的尺规作图过程：
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①在𝑂𝐴、𝑂𝐵上分别截取𝑂𝐷、𝑂𝐸，使𝑂𝐷 =𝑂𝐸；
1
②分别以点𝐷、𝐸为圆心，以大于 𝐷𝐸的同一长度为半径作弧，两弧交于∠𝐴𝑂𝐵内的一点𝐶；
2
③作射线𝑂𝐶．
𝑂𝐶就是所求作的角的平分线．
该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是( )
A. 三边对应相等的两个三角形全等
B. 两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
C. 两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等
D. 两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
7. 16的四次方根是______．
8. 把3 52表示成幂的形式是______．
9. 比较下列两实数的大小：−2 ______ − 5．
10. 用科学记数法表示，并保留三个有效数字：0.002023≈ ______ ．
1
11. 计算：(8×27 = ______ ．
)3
12. 在平面直角坐标系中，已知点𝑀(𝑥,𝑦)在第二象限，且它到𝑥轴、𝑦轴的距离分别为2、3，
那么点𝑀的坐标为______ ．
13. 直角坐标平面内，经过点𝐴(2,−3)并且垂直于𝑦轴的直线可以表示为直线______．
14. 如图，直线𝐴𝐵、𝐶𝐷相交于点𝑂，𝐸𝐹 ⊥ 𝐴𝐵于𝑂，且∠𝐶𝑂𝐸 =50°，则
∠𝐵𝑂𝐷等于______ ．
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15. 如图，𝐴𝐵//𝐶𝐷，直线𝐸𝐹分别交𝐴𝐵、𝐶𝐷于点𝐸、𝐹，𝐸𝐺平分
∠𝐵𝐸𝐹交𝐶𝐷于点𝐺.∠𝐸𝐹𝐺 =60°，𝐸𝐹 =6，那么△𝐸𝐹𝐺的周长等于
______ ．
16. 如图，在△𝑃𝐴𝐵中，𝑃𝐴 =𝑃𝐵，𝑀、𝑁、𝐾分别是𝑃𝐴，𝑃𝐵，𝐴𝐵上的点，且𝐴𝑀 =𝐵𝐾，
𝐵𝑁 =𝐴𝐾.若∠𝑀𝐾𝑁 =40°，则∠𝑃的度数为 ．
17. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵 =90°，点𝐷在边𝐴𝐵上，将△𝐵𝐶𝐷沿着直
线𝐶𝐷翻折，点𝐵的对应点𝐸恰好在边𝐴𝐶上，如果∠𝐴 =25°，那么∠𝐴𝐷𝐸 =
______ 度.
18. 在等腰△𝐴𝐵𝐶中，如果过顶角的顶点𝐴的一条直线𝐴𝐷将△𝐴𝐵𝐶分别割成两个等腰三角
形，那么∠𝐵𝐴𝐶 =___________．
三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题5.0分)
8 1 1
计算：( + (−2)2− × 20．
27)3 5
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20. (本小题5.0分)
利用幂的性质计算：3 16× 8÷6 32．
21. (本小题7.0分)
如图，已知∠𝐴𝐷𝐸 =∠𝐵，∠1 +∠2 =180°，𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵，请填写理由，说明𝐺𝐹 ⊥ 𝐴𝐵．
解：因为∠𝐴𝐷𝐸 =∠𝐵(已知)，所以𝐷𝐸//𝐵𝐶(______).
得∠1 =∠3(______).
又因为∠1 +∠2 =180°(已知)，所以∠2 +∠3 =180°(______).
所以______//______(______).
所以∠𝐹𝐺𝐵 =∠𝐶𝐷𝐵(______).
因为𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵(已知)，所以∠𝐶𝐷𝐵 =90°(垂直的意义)．
得∠𝐹𝐺𝐵 =90°，
所以𝐺𝐹 ⊥ 𝐴𝐵(垂直的意义)．
22. (本小题8.0分)
如图，已知△𝐴𝐵𝐶，根据下列要求画图并回答问题：
(1)画𝐵𝐶边上的高𝐴𝐻，过点𝐶画直线𝐶𝐷//𝐴𝐵，交𝐴𝐻于点𝐷；(不要求写画法和结论)
(2)在(1)的图形中，如果𝐴𝐵 =7，𝐵𝐶 =4，𝐴𝐻 = 6，那么直线𝐴𝐵与𝐶𝐷间的距离等于
______ ．
23. (本小题7.0分)
已知点𝐴的坐标为(3,2)，设点𝐴关于𝑦轴对称点为𝐵，点𝐴关于原点的对称点为𝐶，点𝐴绕点𝑂顺
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时针旋转90°得点𝐷．
(1)点𝐵的坐标是______ ；
点𝐶的坐标是______ ；
点𝐷的坐标是______ ；
(2)顺次连接点𝐴、𝐵、𝐶、𝐷，那么四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是______ ；
(3)在𝑦轴上找一点𝐹，使𝑆 △𝐴𝐵𝐹=𝑆
△𝐴𝐵𝐶
，那么点𝐹的所有可能位置是______ (用坐标表示
)．
24. (本小题8.0分)
如图，已知点𝐵、𝐶、𝐷在一直线上，△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐸都是等边三角形，联结𝐷𝐸，试说明
𝐴𝐵//𝐷𝐸的理由．
25. (本小题12.0分)
在△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐷 =𝐵𝐷，点𝐶、𝐸分别在𝐵𝐷、𝐴𝐷上，且𝐴𝐵 =𝐴𝐶，联结𝐵𝐸交𝐴𝐶于点𝐹．
(1)如图1，𝐴𝐻是△𝐴𝐵𝐶底边上的中线，且∠𝐵𝐴𝐻 =∠𝐴𝐵𝐸．
①试说明𝐵𝐶 =2𝐴𝐸的理由；
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②如果△𝐵𝐶𝐹为等腰三角形，求∠𝐵𝐴𝐶的度数；
(2)如图2，联结𝐶𝐸并延长，交𝐵𝐴延长线于点𝐺，如果𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐷，𝐴𝐸 =𝐶𝐷，试说明𝐸𝐺 =𝐴𝐷
的理由．
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答案和解析
1.【答案】𝐶
【解析】解：𝐴、 9=3是有理数，故A错误；
24
B、 是有理数，故B错误；
7
𝜋
C、 是无理数，故C正确；
2
D、3 8=2是有理数，故D错误；
故选：𝐶．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数
与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判
定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：𝜋，2𝜋等；开方开不尽的数；
以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2.【答案】𝐵
【解析】解：𝐴.由于 −5无意义，即负数没有平方根，因此选项A不符合题意；
B.(− 5)²=5，因此选项B符合题意；
C. 25=5，因此选项C不符合题意；
1 37 37
D. 9 = = ，因此选项D不符合题意；
4 4 2
故选：𝐵．
根据平方根、算术平方根的定义以及二次根式的性质和化简逐项进行计算即可．
本题考查算术平方根、平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．
3.【答案】𝐴
【解析】解：点𝑃(−2,3)向下平移2个单位得到点𝑄(−2,1)，
故选：𝐴．
根据点的平移规律计算求解．
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本题考查了坐标与图形的平移，掌握点的平移规律是解题的关键．
4.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴.由图可知，∠1，∠2是同位角，故A不符合题意．
B.由图可知，∠1，∠2是同位角，故B不符合题意．
C.由图可知，∠1，∠2是同位角，故C不符合题意．
D.由图可知，∠1，∠2不是同位角，故D符合题意．
故选：𝐷．
根据同位角的定义(在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角)解决此题．
本题主要考查同位角，熟练掌握同位角的定义是解决本题的关键．
5.【答案】𝐵
【解析】解：设第三边长为𝑥，根据三角形的三边关系定理可得：
4−3<𝑥 <4+3，
1<𝑥 <7，
观察选项，只有选项B符合题意．
故选：𝐵．
设第三边长为𝑥，根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于
第三边可得4−3<𝑥 <4+3，再解不等式即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于
两边的和．
6.【答案】𝐴
【解析】解：连接𝐶𝐷，𝐶𝐸，
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由作图得：𝑂𝐷 =𝑂𝐸，𝐶𝐷 =𝐶𝐸，𝑂𝐶 =𝑂𝐶，
∴△ 𝑂𝐶𝐷≌△𝑂𝐶𝐸(𝑆𝑆𝑆)，
∴ ∠𝐴𝑂𝐶 =∠𝐵𝑂𝐶，
故选：𝐴．
根据𝑆𝑆𝑆证明三角形全等．
本题考查了基本作图，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
7.【答案】2
【解析】解：∵24=16，
∴ 16的四次方根是2，
故答案为：2
利用四次方根定义计算即可得到结果．
此题考查了分数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2
8.【答案】
53
2
【解析】解：把3 52表示成幂的形式是 ．
53
2
故答案为 ．
53
表示为被开方数的指数除以根指数的形式即可．
考查分数指数幂的相关知识；掌握转化方式是解决本题的关键．
9.【答案】>
【解析】解：∵ 2= 4< 5，
∴ −2>− 5．
故答案为：>．
依据题意，先比较2与 5的大小，进而可以得解．
本题主要考查了实数的大小比较及算术平方根，解题时要能熟练掌握并灵活运用．
10.【答案】2.02×10−3
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【解析】解：0.002023≈0.00202=2.02×10−3．
故答案是：2.02×10−3．
用科学记数法保留有效数字，要在标准形式𝑎 ×10𝑛中𝑎的部分保留，从左边第一个不为0的数字数
起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．
本题主要考查了科学记数法以及有效数字，从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为
止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；注意后面的单位不算入有效数字．
11.【答案】6
1 1 1
【解析】解：原式=(23×33 =(23 ⋅(33 =2×3=6．
)3 )3 )3
故答案为：6．
依据题意，根据分数指数幂的性质进行计算即可得解
本题主要考查了分数指数幂，解题时需要熟练掌握并理解．
12.【答案】(−3,2)
【解析】解：∵点𝑀在第二象限，且它到𝑥轴、𝑦轴的距离分别为2、3，
∴点𝑀的横坐标是−3，纵坐标是2，
∴点𝑀的坐标是(−3,2)．
故答案为：(−3,2)．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到𝑥轴的距离等于纵坐标的长度，到𝑦轴的
距离等于横坐标的长度解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到𝑥轴的距离等于纵坐标的长度，到𝑦轴的距离等于横坐标的长度是
解题的关键．
13.【答案】𝑦 =−3
【解析】解：由题意得：经过点𝐴(2,−3)且垂直于𝑦轴的直线可以表示为直线为：𝑦 =−3，
故答案为：𝑦 =−3．
垂直于𝑦轴的直线，纵坐标相等，都为−3，所以为直线：𝑦 =−3．
此题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是抓住过某点的坐标且垂直于𝑦轴的直线的特点：纵坐
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标相等．
14.【答案】40°
【解析】解：∵ 𝐸𝐹 ⊥ 𝐴𝐵于𝑂，∠𝐶𝑂𝐸 =50°，
∴ ∠𝐴𝑂𝐶 =90°−50° =40°，
∵ ∠𝐴𝑂𝐶与∠𝐵𝑂𝐷是对顶角，
∴ ∠𝐵𝑂𝐷 =∠𝐴𝑂𝐶 =40°．
故答案为：40°．
先根据𝐸𝐹 ⊥ 𝐴𝐵于𝑂，∠𝐶𝑂𝐸 =50°求出∠𝐴𝑂𝐶的度数，再根据对顶角相等即可得出结论．
本题考查的是垂线，熟知互相垂直的两条直线组成的角是90°是解答此题的关键．
15.【答案】18
【解析】解：如图所示：
∵ 𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴ ∠𝐸𝐹𝐺 +∠𝐵𝐸𝐹 =180°，
∵ ∠𝐸𝐹𝐺 =60°，
∴ ∠𝐵𝐸𝐹 =120°，
∵ 𝐸𝐺平分∠𝐵𝐸𝐹，
1
∴ ∠𝐹𝐸𝐺 = ∠𝐵𝐸𝐹 =60°，
2
∴△ 𝐸𝐹𝐺是等边三角形，
∴ 𝐸𝐹 =𝐸𝐺 =𝐹𝐺，
∵ 𝐸𝐹 =6，
∴ 𝐸𝐹 +𝐸𝐺 +𝐹𝐺 =18，
即：△𝐸𝐹𝐺的周长等于18．
故答案为：18．
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本题先根据两直线平行，同旁内角互补求出∠𝐵𝐸𝐹的度数，再利用角平分线的定义求出∠𝐹𝐸𝐺的度
数，就能得到△𝐸𝐹𝐺是等边三角形，从而得出结论．
此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等边三角形判定和性质，利用两直线平行，同
旁内角互补是解题的关键．
16.【答案】100°
【解析】解：∵ 𝑃𝐴 =𝑃𝐵，
∴ ∠𝐴 =∠𝐵，
在△𝐴𝑀𝐾和△𝐵𝐾𝑁中，
{𝐴𝑀 =𝐵𝐾
∠𝐴 =∠𝐵，
𝐴𝐾 =𝐵𝑁
∴△ 𝐴𝑀𝐾≌△𝐵𝐾𝑁(𝑆𝐴𝑆)，
∴ ∠𝐴𝑀𝐾 =∠𝐵𝐾𝑁，
∵ ∠𝐴 +∠𝐴𝑀𝐾 =∠𝑀𝐾𝑁 +∠𝐵𝐾𝑁，
∴ ∠𝐴 =∠𝑀𝐾𝑁 =40°，
∴ ∠𝑃 =180°−∠𝐴−∠𝐵 =180°−40°−40° =100°，
故答案为100°．
由条件可证明△𝐴𝑀𝐾≌△𝐵𝐾𝑁，再结合外角的性质可求得∠𝐴 =∠𝑀𝐾𝑁，再利用三角形内角和可
求得∠𝑃．
本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理，利用条件证得△𝐴𝑀𝐾≌△𝐵𝐾𝑁是解
题的关键．
17.【答案】40
【解析】解：∵ ∠𝐴𝐶𝐵 =90°，∠𝐴 =25°，
∴ ∠𝐵 =65°，
∵△ 𝐵𝐶𝐷沿直线𝐶𝐷翻折得到△𝐸𝐷𝐶，
∴ ∠𝐵𝐶𝐷 =∠𝐸𝐶𝐷 =45°
∴ ∠𝐵𝐷𝐶 =∠𝐸𝐷𝐶 =70°，
∴ ∠𝐴𝐷𝐸 =180°−∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐸𝐷𝐶 =40°．
故答案为：40．
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先根据直角三角形的性质求出∠𝐵的度数，然后根据翻折的性质求出∠𝐸𝐶𝐷和∠𝐵𝐶𝐷的度数，进而求
出∠𝐵𝐷𝐶和∠𝐸𝐷𝐶的度数即可解答．
本题考查了翻折变换以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练应用翻折变换的性质求出∠𝐵𝐷𝐶和
∠𝐸𝐷𝐶的度数．
18.【答案】90°或108°
【解析】解：①当𝐵𝐷 =𝐶𝐷，𝐶𝐷 =𝐴𝐷时，如图①所示，
∵ 𝐴𝐵 =𝐴𝐶，
∴ ∠𝐵 =∠𝐶，
设∠𝐵 =∠𝐶 =𝑥，
∵ 𝐵𝐷 =𝐶𝐷，𝐶𝐷 =𝐴𝐷，
∴ ∠𝐵𝐴𝐷 =∠𝐵 =𝑥，∠𝐶𝐴𝐷 =∠𝐶 =𝑥，
∴ 4𝑥 =180°，
∴ 𝑥 =45°，
∴ ∠𝐵𝐴𝐶 =2𝑥 =45° ×2=90°；
②当𝐴𝐷 =𝐵𝐷，𝐴𝐶 =𝐶𝐷时，如图②所示，
∵𝐴𝐵 =𝐴𝐶，
∴ ∠𝐵 =∠𝐶
设∠𝐵 =∠𝐶 =𝑥，
∵ 𝐴𝐷 =𝐵𝐷，𝐴𝐶 =𝐶𝐷，
180°−𝑥
∴ ∠𝐵𝐴𝐷 =∠𝐵 =𝑥，∠𝐶𝐴𝐷 = ，
2
180°−𝑥
∴ +𝑥 =180°−2𝑥，
2
解得：𝑥 =36°，
∴ ∠𝐵𝐴𝐶 =180°−2𝑥 =180°−2 ×36° =108°，
故答案为：90°或108°．
根据题意画出图形，分类讨论，利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可得结论．
本题主要考查了等腰三角形的性质，根据题意画出图形分类讨论，利用三角形的内角和定理是解
答此题的关键．
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2
19.【答案】解：原式= +2−2
3
2
= ．
3
【解析】依据题意，由分数指数幂的意义及二次根式的运算法则进行计算即可得解．
本题主要考查了分数指数幂及实数的运算，解题时需要熟练掌握并准确计算．
20.【答案】解：3 16× 8÷6 32
4 3 5
= × ÷
23 22 26
=22
=4．
【解析】将各根式化为同底数幂的形式，再利用同底数幂的乘除法法则计算．
此题考查了分数指数幂的计算，将各根式正确化为同底数幂的形式及正确掌握分数指数幂的计算
法则是解题的关键．
21.【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换； 𝐶𝐷，𝐹𝐺，同旁内
角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【解析】解：∵ ∠𝐴𝐷𝐸 =∠𝐵(已知)，
∴ 𝐷𝐸//𝐵𝐶(同位角相等，两直线平行)，
∴ ∠1 =∠3(两直线平行，内错角相等)，
∵ ∠1 +∠2 =180°(已知)，
∴ ∠2 +∠3 =180°(等量代换)，
∴ 𝐶𝐷//𝐹𝐺(同旁内角互补，两直线平行)，
∴ ∠𝐹𝐺𝐵 =∠𝐶𝐷𝐵(两直线平行，同位角相等)，
∵ 𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵(已知)，
∴ ∠𝐶𝐷𝐵 =90°(垂直的定义)，
∴ ∠𝐹𝐺𝐵 =90°，
∴ 𝐺𝐹 ⊥ 𝐴𝐵(垂直的定义)．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；𝐶𝐷；𝐹𝐺；同旁内角
互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
利用平行线的判定定理和性质定理解答即可．
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本题考查了垂直定义和平行线的判定的应用，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
22.【答案】解：(1)如图，线段𝐴𝐻，直线𝐶𝐷即为所求．
4 6
(2) ．
7
【解析】解：(1)见答案；
(2)过点𝐶作𝐶𝑇 ⊥ 𝐴𝐵于𝑇．
∵ 𝐴𝐵 =7，𝐵𝐶 =4，𝐴𝐻 = 6，
1 1
𝑆 △𝐴𝐵𝐶= 𝐵𝐶·𝐴𝐻 = 𝐴𝐵·𝐶𝑇，
2 2
1 1
∴ ×4× 6= ×7𝐶𝑇，
2 2
4 6
∴ 𝐶𝑇 = ，
7
4 6
因此，直线𝐴𝐵与𝐶𝐷间的距离等于 ．
7
4 6
故答案为： ．
7
(1)根据三角形高的定义画出图形即可．
(2)过点𝐶作𝐶𝑇 ⊥ 𝐴𝐵于𝑇.根据等面积法求解，构建方程求解即可．
本题考查作三角形的高，作已知直线的平行线，平行线间的距离以及面积法等知识，解题的关键
是熟练掌握三角形的高的定义，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
23.【答案】(−3,2) (−3,−2) (2,−3) 25 (0,6)或(0,−2)
【解析】解：(1)∵点𝐴的坐标为(3,2)，
又∵点𝐴关于𝑦轴对称点为𝐵，点𝐴关于原点的对称点为𝐶，
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∴点𝐵的坐标为(−3,2)，点𝐶的坐标为(−3,−2)；
∵点𝐴绕点𝑂顺时针旋转90°得点𝐷，
∴点𝐷在第四象限，𝑂𝐴 =𝑂𝐷，∠𝐴𝑂𝐷 =90°，
过点𝐴作𝐴𝐸 ⊥ 𝑥轴于𝐸，过点𝐷作𝐷𝐻 ⊥ 𝑦轴于𝐻，则∠𝑂𝐸𝐴 =∠𝑂𝐻𝐷 =90°，
∵点𝐴的坐标为(3,2)，
∴ 𝑂𝐸 =3，𝐴𝐸 =2，
∵ ∠𝐴𝑂𝐷 =∠𝐸𝑂𝐻 =90°，
∴ ∠𝐴𝑂𝐸 +∠𝐸𝑂𝐷 =∠𝐷𝑂𝐻 +∠𝐸𝑂𝐷，
即：∠𝐴𝑂𝐸 =∠𝐷𝑂𝐻，
在△𝐴𝑂𝐸和△𝐷𝑂𝐻中，
{∠𝐴𝑂𝐸 =∠𝐷𝑂𝐻
∠𝑂𝐸𝐴 =∠𝑂𝐻𝐷 =90°，
𝑂𝐴 =𝑂𝐷
∴△ 𝐴𝑂𝐸≌△𝐷𝑂𝐻(𝐴𝐴𝑆)，
∴ 𝐴𝐸 =𝐷𝐻 =2，𝑂𝐸 =𝑂𝐻 =3，
∴点𝐷的坐标为(2,−3)．
故答案为：(−3,2)；(−3,−2)；(2,−3)．
(2)∵点𝐴(3,2)，点𝐵(−3,2)，点𝐶(−3,−2)；
∴ 𝐴𝐵 =6，𝐵𝐶 =4，𝐴𝐵 ⊥ 𝐵𝐶，
1 1
∴𝑆 △𝐴𝐵𝐶= 𝐴𝐵 ⋅𝐵𝐶 = ×6×4=12，
2 2
在𝑅𝑡 △𝑂𝐴𝐸中，𝑂𝐸 =3，𝐴𝐸 =2，
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由勾股定理得：𝑂𝐴 = 𝑂𝐸2+𝐴𝐸2= 13，
由旋转的性质得：∠𝐴𝑂𝐷 =90°，𝑂𝐷 =𝑂𝐴 = 13，
∵点𝐶与点𝐴关于原点𝑂对称，
∴ 𝑂𝐶 =𝑂𝐴 = 13，点𝐴，𝑂，𝐶在同一条直线上，
∴ 𝐴𝐶 =𝑂𝐴 +𝑂𝐶 =2 13，
1 1
∴𝑆 △𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐶 ⋅𝑂𝐷 = ×2 13× 13=13，
2 2
∴𝑆
四边形𝐴𝐵𝐶𝐷
=𝑆 △𝐴𝐵𝐶+𝑆 △𝐴𝐶𝐷=12+13=25，
故答案为：25．
(3)∵点𝐻在𝑦轴上，设点𝐻的坐标为(0,𝑡)，
设𝐴𝐵与𝑦轴交于点𝑇，
∵ 𝐴𝐵//𝑥轴，点𝐴的坐标为(3,2)，
∴点𝑇的坐标为(0,2)，
∴ 𝐹𝑇 =|𝑡−2|，
1 1
∴𝑆 △𝐴𝐵𝐹= 𝐴𝐵 ⋅𝐹𝑇 = ×6×|𝑡−2| =3|𝑡−2|，
2 2
∵𝑆 △𝐴𝐵𝐹=𝑆
△𝐴𝐵𝐶
，
∴ 3|𝑡−2| =12，
∴ |𝑡−2| =4，
∴ 𝑡−2 =4或𝑡−2 =−4，
由𝑡−2 =4解得：𝑡 =6，由𝑡−2 =−4解得：𝑡 =−2，
∴点𝐹的位置是(0,6)或(0,−2)，
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故答案为：(0,6)或(0,−2)．
故答案为：(1)(−3,2)，(−3,−2)，(2,−3)；(2)25；(3)(0,6)或(0,−2)．
(1)根据关于𝑦轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等可得点𝐵的坐标，根据关于原点对称的
点横坐标、纵坐标都互为相反数可得点𝐶的坐标，根据点𝐴绕点𝑂顺时针旋转得点𝐷得点𝐷在第四象
限，𝑂𝐴 =𝑂𝐷，∠𝐴𝑂𝐷 =90°，过点𝐴作𝐴𝐸 ⊥ 𝑥轴于𝐸，过点𝐷作𝐷𝐻 ⊥ 𝑦轴于𝐻，证△𝐴𝑂𝐸和
△𝐷𝑂𝐻全等得𝐴𝐸 =𝐷𝐻 =2，𝑂𝐸 =𝑂𝐻 =3，据此可得点𝐷的坐标；
(2)根据点𝐴(3,2)，𝐵(−3,2)，𝐶(−3,−2)得𝐴𝐵 =6，𝐵𝐶 =4，𝐴𝐵 ⊥ 𝐵𝐶，据此可求出𝑆 △𝐴𝐵𝐶=12，
由勾股定理求出𝑂𝐴 = 13，根据旋转的性质及点𝐶与点𝐴关于原点𝑂对称得𝑂𝐶 =𝑂𝐴 = 13，点
𝐴，𝑂，𝐶在同一条直线上，据此了求出𝑆 △𝐴𝐶𝐷=13，进而可得四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积；
(3)设点𝐻的坐标为(0,𝑡)，𝐴𝐵与𝑦轴交于点𝑇，由𝐴𝐵//𝑥轴，点𝐴(3,2)得点𝑇(0,2)，则𝐹𝑇 =|𝑡−2|，
𝑆 △𝐴𝐵𝐹=3|𝑡−2|，再由𝑆 △𝐴𝐵𝐹=𝑆
△𝐴𝐵𝐶
列出关于𝑡的方程，解方程求出𝑡的值即可得点𝐹的坐标．
此题主要考查了点的坐标，图形的旋转变换及性质，三角形的面积等，解答此题的关键是熟练掌
握关于坐标轴对称点的坐标的特征，关于原点对称点的坐标的特征，图形旋转变换及性质．
24.【答案】证明：∵△ 𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐸都是等边三角形，
∴ 𝐴𝐵 =𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷 =∠𝐶𝐴𝐸 =60°，𝐴𝐶 =𝐴𝐸，
∴ ∠𝐵𝐴𝐷 +∠𝐶𝐴𝐷 =∠𝐶𝐴𝐸 +∠𝐶𝐴𝐷，
即∠𝐵𝐴𝐶 =∠𝐷𝐴𝐸，
在△𝐵𝐴𝐶与△𝐷𝐴𝐸中，
{𝐴𝐵 =𝐴𝐷
∠𝐵𝐴𝐶 =∠𝐷𝐴𝐸，
𝐴𝐶 =𝐴𝐸
∴△ 𝐵𝐴𝐶≌△𝐷𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆)，
∴ ∠𝐵 =∠𝐴𝐷𝐸 =60°，
∴ ∠𝐵𝐴𝐷 =∠𝐴𝐷𝐸，
∴ 𝐴𝐵//𝐷𝐸．
【解析】由等边三角形性质得𝐴𝐵 =𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷 =∠𝐶𝐴𝐸 =60°，𝐴𝐶 =𝐴𝐸，则∠𝐵𝐴𝐶 =∠𝐷𝐴𝐸，
再证△𝐵𝐴𝐶≌△𝐷𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆)，得∠𝐵 =∠𝐴𝐷𝐸 =60°，则∠𝐵𝐴𝐷 =∠𝐴𝐷𝐸，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及平行线的判定等知识，熟练
掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
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25.【答案】解：(1)①∵ 𝐴𝐷 =𝐵𝐷，
∴ ∠𝐸𝐴𝐵 =∠𝐻𝐵𝐴(等边对等角)，
在△𝐴𝐵𝐻与△𝐵𝐴𝐸中，
{∠𝐵𝐴𝐻 =∠𝐴𝐵𝐸
𝐴𝐵 =𝐵𝐴 ，
∠𝐴𝐵𝐻 =∠𝐸𝐴𝐵
∴△ 𝐴𝐵𝐻≌△𝐵𝐴𝐸(𝐴𝑆𝐴)，
∴ 𝐵𝐻 =𝐴𝐸(全等三角形对应边相等)，
∵ 𝐴𝐻是△𝐴𝐵𝐶底边上的中线，𝐴𝐵 =𝐴𝐶，
∴ 𝐵𝐻 =𝐶𝐻，
∴ 𝐵𝐶 =2𝐵𝐻 =2𝐴𝐸；
②根据题意可知：要使△𝐵𝐶𝐹为等腰三角形，
只有𝐵𝐹 =𝐵𝐶，
∴ ∠𝐵𝐹𝐶 =∠𝐵𝐶𝐹，
∴ ∠𝐴𝐵𝐶 =∠𝐵𝐹𝐶 =∠𝐵𝐶𝐹，
∵ 𝐴𝐻是△𝐴𝐵𝐶底边上的中线，𝐴𝐵 =𝐴𝐶，
∴ ∠𝐵𝐴𝐻 =∠𝐶𝐴𝐻，
∴ ∠𝐵𝐴𝐻 =∠𝐴𝐵𝐸 =∠𝐶𝐴𝐻，
∴ ∠𝐵𝐹𝐶 =∠𝐵𝐴𝐻 +∠𝐴𝐵𝐸 +∠𝐶𝐴𝐻 =3∠𝐵𝐴𝐻，
∵ ∠𝐵𝐶𝐹 =90°−∠𝐶𝐴𝐻 =90°−∠𝐵𝐴𝐻，
∴ 3∠𝐵𝐴𝐻 =90°−∠𝐵𝐴𝐻，
∴ 2∠𝐵𝐴𝐻 =45°，
∴ ∠𝐵𝐴𝐶 =45°；
(2)如图，𝐴𝐻是△𝐴𝐵𝐶底边上的中线，
∵ 𝐴𝐵 =𝐴𝐶，
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∴ 𝐴𝐻 ⊥ 𝐵𝐷，
∵ 𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐷，
∴ 𝐴𝐻//𝐶𝐸，
∵ 𝐵𝐻 =𝐶𝐻，
∴ 𝐴𝐵 =𝐴𝐺，
∴ 𝐴𝐶 =𝐴𝐺，
∵ ∠𝐺𝐴𝐸 =180°−∠𝐷𝐴𝐵 =180°−∠𝐵 =180°−(90°−∠𝐵𝐴𝐻) =90° +∠𝐵𝐴𝐻 =90° +∠𝐶𝐴𝐻，
∠𝐴𝐶𝐷 =∠𝐴𝐶𝐸 +∠𝐸𝐶𝐷 =∠𝐶𝐴𝐻 +90°，
∴ ∠𝐺𝐴𝐸 =∠𝐴𝐶𝐷，
在△𝐺𝐴𝐸和△𝐴𝐶𝐷中，
{𝐴𝐺 =𝐴𝐶
∠𝐺𝐴𝐸 =∠𝐴𝐶𝐷，
𝐴𝐸 =𝐶𝐷
∴△ 𝐺𝐴𝐸≌△𝐴𝐶𝐷(𝑆𝐴𝑆)，
∴ 𝐸𝐺 =𝐴𝐷．
【解析】(1)①根据等腰三角形的性质得出∠𝐸𝐴𝐵 =∠𝐻𝐵𝐴，利用𝐴𝑆𝐴证明△𝐴𝐵𝐻≌△𝐵𝐴𝐸，根据
全等三角形的性质得出𝐵𝐻 =𝐴𝐸，再根据等腰三角形的性质即可得解；
②要使△𝐵𝐶𝐹为等腰三角形，只有𝐵𝐹 =𝐵𝐶，所以∠𝐵𝐹𝐶 =∠𝐵𝐶𝐹，得∠𝐴𝐵𝐶 =∠𝐵𝐹𝐶 =∠𝐵𝐶𝐹，
然后证明3∠𝐵𝐴𝐻 =90°−∠𝐵𝐴𝐻，得2∠𝐵𝐴𝐻 =45°，进而可以解决问题；
(2)证明△𝐺𝐴𝐸≌△𝐴𝐶𝐷(𝑆𝐴𝑆)，即可解决问题．
本题属于三角形的综合题，难度较大，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性
质，直角三角形两个锐角互余的性质，解决本题的关键是得到△𝐺𝐴𝐸≌△𝐴𝐶𝐷．
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