文档内容
专题04 一元二次方程（难点）
一、单选题
1．若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．无法确定
【答案】B
【分析】由a﹣b+c＝0特点可知把x换成1成立，则可求得答案．
【解析】解：∵a﹣b+c＝0，
∴a×12﹣b×1+c＝0，
∴方程ax2﹣bx+c＝0必有一根为1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的定义，熟知方程根的含义，观察出a、b、c的特点是解题的关
键．
2．已知一元二次方程 ，若方程有解，则必须（ ）
A．n=0 B． n=0或mn异号
C．n是m的整数倍 D．mn异号
【答案】B
【分析】首先求出x2的值为- ，再根据x2≥0确定m、n的符号即可．
【解析】mx2+n=0，
x2=- ，
∵x2≥0，
∴- ≥0，
∴ ≤0，
∴m、n异号，或n=0
故选B．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是表示出x2的值，根据x2的取值范围确定m、n
的符号．
13．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先进行移项，然后把二次项系数化为1，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半
的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
【解析】∵ax2+bx+c=0，
∴ax2+bx=−c，
∴x2+ x=− ，
∴x2+ x+ =− + ，
∴(x+ )2= .
故选A.
4．用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ）
A．x 、 = B．x 、 =
1 2 1 2
C．x 、 = D．x 、 =
1 2 1 2
【答案】D
【解析】∵3x2+4=12x，
∴3x2-12x+4=0，
∴a=3，b=-12，c=4，
∴ ，
故选D.
5．下面结论错误的是（ ）
2A．方程 ，则 ，
B．方程 有实根，则
C．方程 可配方得
D．方程 两根 ，
【答案】A
【分析】A、根据根与系数的关系和根的判别式即可得到结论；B、由根的判别式即可得到结论；C、把原
方程配方后可得结果；D、解方程即可得到结论；
【解析】解：A、方程x2+4x+5=0，∵△=42-4×5＜0，则方程无实数根，此选项错误；
B、∵方程2x2-3x+m=0有实根，∴△=9-8m≥0，∴m≤ ，此选项正确；
C、方程x2-8x+1=0可配方得（x-4）2=15，此选项正确；
D、解方程x2+x-1=0得x = ，x = ，此选项正确；
1 2
故选A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，熟
练掌握各知识点是解题的关键．
6．关于x的方程a2x2+（2a﹣1）x+1＝0，下列说法中正确的是（ ）
A．当a＝ 时，方程的两根互为相反数
B．当a＝0时，方程的根是x＝﹣1
C．若方程有实数根，则a≠0且a≤
D．若方程有实数根，则a≤
【答案】D
【分析】先讨论原方程是一元一次方程，还是一元二次方程，然后再根据a的取值范围解答即可．
【解析】解：若a≠0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，
∴△=（2a-1）2-4a2=-4a+1≥0，
3∴a≠0且a≤ ，即A错误；
若a=0，则原方程为-x+1=0，所以方程有实数根为x=1，则B错误，C错误．
综上所述，当a≤ 时方程有实数根.
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
7．空地上有一段长为a米的旧墙 ，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总
长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则有一种围法
B．若 ，则有一种围法
C．若 ，则有两种围法
D．若 ，则有一种围法
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：，图2围法，设矩形菜园垂直于墙的边为x米，分别表示矩形的长，再利用矩
形面积列方程，解方程，注意检验x的范围，从而可得答案．
【解析】解：设矩形菜园的宽为x米，则长为 米，
∴
当 时，采用图1围法，则此时
当 时，
解得：
此时都不符合题意，
采用图2围法，如图，
4此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为 米，
结合 可得
∴
解得： 经检验不符合题意，
综上：若 ，，则没有围法，故A符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为 米，
∴
当 时，采用图1围法，则此时
当 时，
解得： 经检验 符合题意；
采用图2围法，如图，
5此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为 米，
结合 可得
∴
解得： 经检验 符合题意，
综上：若 ，则有两种围法，故B不符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为 米，
∴
当 时，采用图1围法，则此时
当 时，
解得： 经检验都符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为 米，
结合 可得
6∴
解得： 经检验都不符合题意，
若 ，则有两种围法，C不符合题意，
设矩形菜园的宽为x米，则长为 米，
∴
当 时，采用图1围法，则此时
当 时，
解得： 经检验符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为 米，
结合 可得
∴
解得： 经检验都不符合题意，
综上所述，若 ，则有一种围法，D不符合题意；
故选A
7【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键．
8．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x，x，则x2+3x+xx+1的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【分析】根据方程的根及根与系数的关系得到x2﹣3x+1＝0，x+x=3，xx=1，将其代入代数式计算即可．
1 1 1 2 1 2
【解析】解：由题意得x2﹣3x+1＝0，x+x=3，xx=1，
1 1 1 2 1 2
∴x2+1=3x，
1 1
∴x2+3x+xx+1
1 2 1 2
=3x+3x+xx
1 2 1 2
=3（x+x）+ x x
1 2 1 2
=
=10，
故选：A．
【点睛】此题考查一元二次方程的解，根与系数的关系式，求代数式的值，正确掌握根与系数的关系是解
题的关键．
9．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（ ）
A．若﹣1＜a＜1，则 B．若 ，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则 D．若 ，则0＜a＜1
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后
结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k，
∴Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a( a−b−1)＝0，
又∵ab≠0，
∴a−b−1＝0，
即a＝b＋1，
∴ax2＋2ax＋a＝0，
解得：x＝x＝−1，
1 2
∴k＝−1，
8∵ ＝ ，
∴当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0，
此时 ＞0，即 ；
当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0，
此时 ＜0，即 ；
故A、C错误；
当 时，即 ＞0，
＞0，
解得：a＞1或a＜0，
故B错误；
当 时，即 ＜0，
＜0，
解得：0＜a＜1，
故D正确
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是
解题关键．
10．两个关于 的一元二次方程 和 ，其中 ， ， 是常数，且 ，如果
是方程 的一个根，那么下列各数中，一定是方程 的根的是（ ）
A． 2020 B． C．-2020 D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【解析】∵ ， ，a+c=0
9∴ ，
∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 是方程 的一个根，
∴ 是方程 的一个根，
∴ 是方程 的一个根，
即 是方程 的一个根
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念．
11．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足 ，
，则 的值为（ ）
A． B． C．2012 D．2011
【答案】A
【分析】根据题意可将a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，把所求的式子被减数利用
积的乘方逆运算变形后换为x x ，把方程整理后，利用根与系数的关系表示出x x ，代入整理后的式子中，
1 2 1 2
即可求出所求式子的值．
【解析】解：设a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，
方程整理得：x2-（c2012+d2012）x+（cd）2012-2012=0，
则（ab）2012-（cd）2012=x x −(cd)2012，
1 2
又x x =（cd）2012-2012，
1 2
则（ab）2012-（cd）2012=x x −(cd)2012=（cd）2012-2012-（cd）2012=-2012．
1 2
故选：A．
【点睛】此题考查了根与系数的关系的运用，利用了方程的思想，其中当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
有解，即b2-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x ，x ，则有x +x = ，x x = ．
1 2 1 2 1 2
1012．已知平行四边形 的面积为12，且 的长是方程 的两个根．过点
A作直线 的垂线交 于点E，过点A作直线 的垂线交 于点F，则 的值为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或 或
【答案】B
【分析】先求出一元二次方程的两个根即可求出AB和BC，根据平行四边形的性质即可求出CD和AD，然
后根据∠A为锐角和钝角分类讨论，分别画出对应的图形，利用平行四边形的面积求出AE和AF，利用勾
股定理求出BE和DF，即可求出结论．
【解析】解：由 得 ．
，
．
四边形 是平行四边形，
．
①如图（1），当∠A为锐角时，
，
．
在 中， ．
在 中， ，
．
②如图（2），当∠A为钝角时，
11，
．
在 中， ，
在 中， ，
．
综上可得 的值为 或 ．
故选B．
【点睛】此题考查的是解一元二次方程，平行四边形的性质和勾股定理，掌握一元二次方程的解法、平行
四边形的性质和勾股定理是解决此题的关键．
二、填空题
13．已知a，b是方程 的两个根，则 的值 ．
【答案】
【分析】由根与系数关系知 ， ，即知a＜0，b＜0，化简原式
，所以原式
故答案为：﹣14．
【解析】解：∵a，b是方程 的两个根，
∴ ， ，
∴a＜0，b＜0，
12∴
∴原式
故答案为：﹣14．
【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系
式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．
14．已知m是方程式 的根，则式子 的值为 ．
【答案】2020
【分析】由题意可得出 ，可变形为 ， ．再由
，将 代入化简得 ，再将
代入求值即可．
【解析】∵m是方程式 的根，
∴ ，
∴ ， ．
，
将 代入，得： ，
再将 代入，得： ．
故答案为：2020．
【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，代数式求值．利用整体代入的思想是解题关键．
15．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实
数根，则a+b+c的值为 ．
【答案】0
13【分析】设这个相同的实数根为t，把x＝t代入3个方程得出a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0，3
个方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案．
【解析】解：设这个相同的实数根为t，
把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得：
a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0
相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0，
（a+b+c）（t2+t+1）＝0，
∵t2+t+1＝（t ）2 0，
∴a+b+c＝0，
故答案是：0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
16．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程 的两个根为 ，
则 ．
【答案】
【分析】由根与系数的关系得 ， ，所以
，则
，然后代入即可求解．
【解析】由根与系数的关系得 ， ，
所以 ，
则 ，
则
14．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求
值．
17．对于实数a，b，定义运算“*”： ，例如：4*2，因为 ，所以
，若 、 是一元二次方程 的两个根，则 的值是 ．
【答案】 或
【分析】求出一元二次方程 的解，代入新定义对应的表达式即可求解．
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，或 ，
∴ ， ，或 ， ，
当 ， 时根据 ，
∴ ，
当 ， 时根据 ，
∴ ，
故答案为： 或
15【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，对新定义的正确理解是解题的关键．
18．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②
若两个根为x，x，且x＞x，则x＞3，x＜3；③若两个根为x，x，则（x﹣2）（x﹣2）＝（x﹣3）
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
（x﹣3）；④若x＝ （p为常数），则代数式（x﹣3）（x﹣2）的值为一个完全平方数，其中正
2
确的结论是 ．
【答案】①③
【分析】由Δ＝1+4p2＞0，可判定①正确；设p＝0，可得x＝3，x＝2，可判断②不正确；根据（x﹣2）
1 2 1
（x﹣2）＝﹣p2，（x﹣3）（x﹣3）＝﹣p2，可判定③正确；由（x﹣3）（x﹣2）＝（ ）2，可判定④
2 1 2
不正确．
【解析】解：由（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0得x2﹣5x+6﹣p2＝0，
①Δ＝25﹣4×（6﹣p2）＝1+4p2＞0，
∴（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0总有两个不等的实数根，故①正确；
②设p＝0，关于x的一元二次方程为（x﹣3）（x﹣2）＝0，若两个根为x，x，且x＞x，
1 2 1 2
则x＝3，x＝2，这与x＞3不符合，故②不正确；
1 2 1
③若x2﹣5x+6﹣p2＝0两个根为x，x，则x+x＝5，x•x＝6﹣p2，
1 2 1 2 1 2
（x﹣2）（x﹣2）＝x•x﹣2（x+x）+4＝6﹣p2﹣2×5+4＝﹣p2，
1 2 1 2 1 2
（x﹣3）（x﹣3）＝x•x﹣3（x+x）+9＝6﹣p2﹣3×5+9＝﹣p2，
1 2 1 2 1 2
∴（x﹣2）（x﹣2）＝（x﹣3）（x﹣3），故③正确；
1 2 1 2
④∵x＝ （p为常数），
∴（x﹣3）（x﹣2）
＝x2﹣5x+6
＝
＝
16＝
＝ ，
当p为奇数时， 不是整数，此时（x﹣3）（x﹣2）不是完全平方数，故④不正确；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况及根与系数的关系，涉及完全平方数等知识，解题的关键是掌握
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及完全平方数概念．
19．如图，正方形 放在平面直角坐标系中，其中点 为坐标原点， 、 两点分别在 轴
的负半轴和 轴的正半轴上，点 的坐标为 ．已知点 、点 分别从点 、 同时出
发，点 以每秒 个单位长度的速度在线段 上来回运动．点 沿 方向，以每秒
个单位长度的速度向点 运动，当点 到达点 时， 、 两点都停止运动．在 、
的运动过程中，存在某个时刻，使得 的面积为 ．则点 的坐标为 ．
【答案】 ， ，
【分析】由于点E、F同时运动，根据它们位置的不同，可分成三种情况进行讨论： ．
【解析】解：设时间为t秒，
①当 时， ，
，
，即 ，解得 或 ，
又 ，
17．
此时，点E的坐标为 ；
②当 时， ，
，
，即 ，解得 或 ，
又 ，
．
此时，点E的坐标为 ；
③当 时， ,
，即 ，解得 ，此时，点E的坐标为 ；
故点E的坐标为 ， ， ．
【点睛】解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，会用运动时间表
示边长，面积，搞清楚正方形中的三角形的三边关系等，可有助于提高解题速度和准确率．
20．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程
的两实数根分别为 ，则方程可写成 ，即
，容易发现根与系数的关系： ．设一元三次方程
三个非零实数根分别 ，现给出以下结论：
① ，② ；③ ；④ ，其中正确的是
（写出所有正确结论的序号）．
18【答案】①③
【分析】仿照题意所给的方法，得到原方程为 ，
由此求解即可．
【解析】解；∵一元三次方程 三个非零实数根分别 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴①③正确，②不正确；
∵
，
∴④不正确，
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简，多项式乘法的应用，正确理解题意
是解题的关键．
三、解答题
21．（1）用配方法解方程：
（2）解关于x的方程：
19【答案】（1） ；（2）当a=-1时，x=3；当a≠-1时，
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）分a=-1和a≠-1两种情况，分别解一元一次方程和利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解析】解：（1）
解得：
（2）当a=-1时，代入方程，得
解得：x=3；
当a≠-1时，
解得：
【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用配方法和因式分解法解一元二次方程是解题关键，
（2）中对a分类讨论也是关键．
22．关于x的一元二次方程 ，当 时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金
分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优
选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
20(2)已知实数a，b满足： ，且 ，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足： ，求 的值．
【答案】(1)
(2)2
(3)0
【分析】（1）依据题意，将 代入然后解一元二次方程 即可得解；
（2）依据题意，将 变形为 ，从而可以看作 ， 是一元二次
方程 的两个根，进而可以得解；
（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得 ，进而可以得解．
【解析】（1）依据题意，
将 代入 得 ，
解得 ，
∵黄金分割数大于0，
∴黄金分割数为 ．
（2）∵ ，
∴ ，
则 ．
又∵ ，
∴ ， 是一元二次方程 的两个根，
则 ，
21∴ ．
（3）∵ ， ；
∴ ；
即 ；
∴ ．
又∵ ；
∴ ；
即 ．
∵ ， 为两个不相等的实数，
∴ ，
则 ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学
知识解决问题．
23．为缅怀革命英烈、传承红色基因，在今年“五一”小长假期间，各地游客纷纷来到重庆歌乐山烈士陵
园瞻仰革命遗址．据统计，重庆歌乐山烈士陵园4月30日接待游客1.2万人次，5月2日接待游客2.7万人
次．
（1）求今年4月30日到5月2日，重庆歌乐山烈士陵园接待游客的日平均增长率；
（2）由于暴雨天气，重庆歌乐山烈士陵园5月3日接待游客人次比5月2日减少了 ，5月4日天气放晴，
接待游客人次比5月3日增加了6a%，又因假期即将结束，5月5日接待游客人次比5月4日减少了
22a%，即使这样，5月5日接待游客人次还是比4月30日增加了50%，求a的值．
【答案】（1）50%；（2）10；
【分析】（1）设日平均增长率为 ，找到等量关系即可；
（2）求出5月3日接待游客人数，在求出5月4日接待游客人数，找到这三天的等量关系即可求a．
【解析】设日平均增长率为
∵
∴
∴
（2）5月3日接待游客人数：
5月4日接待游客人数：
5月5日接待游客人数：
∵
∴ ．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．
24．阅读材料．材料：若一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ．
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ．
(2)类比探究：已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
23(3)思维拓展：已知实数 ， 分别满足 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据阅读材料可得答案；
（2）由题意得出 ， 可看作方程 的两个根，据此知 ， ，将其代入计算
可得；
（3）把 变形为 ，据此可得实数 和 可看作方程 的两根，继
而知 ， ，进一步代入计算可得．
【解析】（1）解： ， ，
故答案为： ； ；
（2）∵ ， ，且 ，
∴ ， 可看作方程 的两个根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的值为 ；
（3）∵ ， 分别满足 ， ，且 ，
∴ ，
24∴ 和 可看作方程 的两根，
∴ ， ，
∴
，
∴ 的值为 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，因式分解的应用，求代数式的值，解题的关键是根据题意建立合适的
方程及分式的混合运算顺序和运算法则．
25．已知关于x的方程 ．
求证：不论 为何实数时，方程 有固定的自然数解，并求这自然
数；
设方程另外的两个根为 、 ，求 、 的关系式；
若方程 的三个根均为自然数，求 的值．
【答案】 证明见解析，所求自然数为 ； ； ．
【分析】 把方程整理，使含 的项“系数”为 ，求 的值，再代入不含 的项检验，可求这个自然数；
由所求自然数值可知方程的一个因式，代入方程，再将方程分解因式，由两根关系解题；
在(2)的条件下，根据解为自然数，求 的值．
【解析】 原方程整理得： ，
解方程 ，得 ， ，
25当 时， ，故所求自然数为 ；
∵ 是方程的固定解，
∴ 是方程的一个因式，原方程分解为:
，
∴ 、 是方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ；
由 可知， ， ，
设 ，则 ，
由题意可知， ， ， ， 均为自然数，
则 的个位数字必须为 ，
∴当 时，即 时，方程三个根均为自然数．
【点睛】本题考查了求高次方程固定根的方法，方程的根与系数关系，自然数解的问题，解题的关键是对
高次方程进行降次及熟练掌握根与系数之间的关系．
26．教科书中这样写道：“我们把多项式 及 叫做完全平方式”，如果一个多项式
不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，
使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看
似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式
；
例如：求代数式 的最小值为 ．可
知当 时， 有最小值，最小值是 ，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式： ______；
26(2)当a为何值时，多项式 有最大值，并求出这个最大值；
(3)当a，b为何值时，多项式 有最小值，并求出这个最小值．
【答案】(1) ；
(2)2，22；
(3) ， ，20．
【分析】（1）根据阅读材料，先将 变形为 ，再根据完全平方公式写成
，然后利用平方差公式分解即可解答；
（2）利用分解因式将多项式 转化为 ，然后利用非负数的性质即可解答；
（3）利用分解因式将多项式 转化为 ，然后利用非负数的性质
即可解答．
【解析】（1）解： ．
（2）解：∵ ，
∴当 时，多项式 有最大值22．
（3）（3）∵ ，
∴当 ， 时，多项式 有最小值20．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质、配方法等知识点，熟练掌握配方法、因式分解
的方法是解本题的关键．
27．著名数学家高斯曾说过：“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现．”我
们向伟人看齐，将这种勤思善学、励能笃行的精神运用于日常的数学学习中来，尝试发现新的惊喜．
【提出问题】
我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化，原方程的
27根与新方程的根是否也会产生某种联系？
【构造关系】
将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照 的比例放大或缩小，其中 ，我们称新
方程为原方程的“系变方程”，系变倍数为 ．
(1)当系变倍数为3时，求解一元二次方程 的“系变方程”．
【自能探究】
(2)已知某一元二次方程有两个实数根 、 ，当 时，其“系变方程”也有两个实数根 、 ，且
，求 的最小值．
(3)已知关于 的方程 有四个实数根 、 、 、 ，问是否存在
定值 ，对于任意实数 ，都满足 ，若存在，请求出 的值．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)“系变方程”为 ；
(2)最小值为 ；
(3)存在 或
【分析】（1）根据“系变方程”的定义求得各项的系数，即可求解；
（2）设原方程为 ，由 ，得到 ，“系变方程”为 ，推出
，原式变形为 配方得 ，据此求解即可；
（3）根据因式分解法解一元二次方程得出， 或 ，求得4个实数根，进而根据
题意，即可求解．
28【解析】（1）解：当系变倍数为3时，
一元二次方程 的“系变方程”的二次项系数为 、一次项系数为 、常数项为
，
∴“系变方程”为 ；
（2）解：设原方程为 ，
由题意得 ，
∴ ，
当 时，其“系变方程”为 ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
故原式的最小值为 ；
（3）解：∵
∴
29即
∴
即
∵原方程有 个解，
∴ 或
解得： 或 或 或
∵
又
∴ 或
故存在 或
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，理解“系变方程”的定义是解题的关键．
28．如图①，在 中， 于D， ，点E是 上一动点（不与点A，D
重合），在 内作矩形 ，点F在 上，点G、H在 上，设 ，连接 ．
30(1)设矩形 的面积为 ， 的面积为 ，令 ，求y关于x的函数解析式；（要求写出自变
量的取值范围）
(2)如图②，点M是（1）中得到的函数图象上的任意一点，N的坐标为 ，当 为等腰三角形时，
求点M的坐标．
【答案】(1)
(2) 或 或
【分析】（1）由题意可求出 ，即得出 ，再结合矩形的性质可求出
,即得出 ，从而得出 ，
，进而可求出 ．又可证 ，结合勾股定理即可求出
，从而可求出 ，再作比，化简即可得出答案，最后由题意即
可确定x的取值范围；
（2）根据题意画出图象，分类讨论：①当 时，如图点 ；②当 时，如图点 ；③
当 时，如图点 ，分别根据等腰三角形的定义结合勾股定理即可求解．
【解析】（1）解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴ ， ．
∴ ,
∴ ，
∴ ， ，
31∴ ．
∵ ， ,
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵点E是 上一动点（不与点A，D重合），
∴ ，
∴y关于x的函数解析式为 ；
（2）解：分类讨论：①当 时，如图点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴此时 点坐标为 ；
②当 时，如图点 ，过点 作 轴于点P．
∵ ，
∴ ．
设 ，
32∴
解得： （舍去负值），
∴ ，
∴此时 点坐标为 ；
③当 时，如图点 ，过点 作 轴于点P．
∵ ，
∴ ．
设 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
解得： ， （舍），
∴ ，
∴此时 点坐标为 ．
33综上可知点M的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查矩形的性质，一次函数的实际应用，等腰三角形的定义，等腰直角三角形的判定和性质，
勾股定理，一元二次方程的实际应用等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
29．相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟背上有妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出
来，就是三级幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵
其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数．如图1，是由1、
2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．
(1)如图2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，则x的值为______．
(2)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方称为基本三阶幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，
可组成新三阶幻方，新三阶幻方的幻和也随之变化，如图3，是由基本三阶幻方中各数加上m后生成的新
三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为 的4倍，且 ，求 的值．
(3)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三阶幻方中每个数都乘以或除以一个不为0的数也可组成一
个新三阶幻方，如图4，是由基本三阶幻方中各数乘以p再减2后生成的新三阶幻方，其中 为9个数中
的最大数，且满足 求P及 的值．
【答案】(1)
(2)15
(3) ，
【分析】（1）由题意可知， ，解方程即可．
34（2）由题意新三阶幻方是由图1生成的，可得中心数 ，幻和为： ，进而可得
，解方程即可．
（3）由 数中最大的数，可得 ， ， ， ，根据
， 可得 ，由 ， 得 ，可得
②由 ，得 ，进而得 ，则
带入②得 ，求得 ，进而可求得 ， ，
可得 ， ．
【解析】（1）由题意可知， ，解得 ，
故答案为：4；
（2）解：由题意得：中心数 ，幻和为： ，
又∵新三阶幻方的幻和为 的4倍，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ，
即 ，
∴ ，
35∴
（3）∵ 数中最大的数，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即： ，
又∵ ，
∴
又∵ ①
∴ ②
又∵ ，
∴ 即
∴ ，
∴ 带入②得
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
36∴ ， ．
【点睛】本题考查规律型问题，幻方图等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中
考常考题型．
37
