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专题 06 二次函数（十四大题型+题型综合专训）
目录;
题型1：二次函数的有关概念及应用
题型2：待定系数法求二次函数的解析式
题型3：二次函数图像的平移
题型4：特殊二次函数的图像和性质
题型5：二次函数 的图像和性质
题型6：二次函数的图像与系数的关系
题型7：二次函数的对称性
题型8：二次函数的最值
题型9：图像法确定一元二次方程的近似根
题型10：二次函数与一元二次方程
题型11：二次函数与不等式
题型12：二次函数的实际应用
题型13：二次函数综合（几何应用）
题型14：二次函数解答综合题
+题型综合专训
题型1：二次函数的有关概念及应用
1．下列 关于 函数中，一定是二次函数的有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】形如 （ 是常数，且 ）的函数，叫做二次函数．据此即可获得答案．
【详解】解：① ，当 时，不是二次函数；
② ，等号右侧不是整式，不是二次函数；
③ ，是二次函数；
④ ，不是二次函数，是一次函数；
1⑤ ，是二次函数．
综上所述，一定是二次函数的是③⑤，共计2个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是理解并掌握二次函数的定义．
2．若 是关于 的二次函数，则 的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】C
【详解】根据二次函数的定义：形如 （ 是常数，且 ）的函数叫做二次函数．据
此可列出关于参数 的方程与不等式，求解即可．令 ，解得 或 ，又
，故当 时，这个函数是关于 的二次函数，故选C．
【易错点分析】明确二次函数的定义是解题的关键，尤其需要注意的是二次项的系数应不等于零，忽略关
于二次项系数取值范围的限制，容易导致错选D．
3．正方形的边长为3，若边长增加 ，则面积增加 ， 与 的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先表示出原边长为3的正方形面积，再表示出边长增加x后正方形的面积，再根据面积随之增
加y列出方程即可．
【详解】解：原边长为3的正方形面积为： ，
边长增加 后边长变为： ，
则面积为： ，
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出正方形的面积．
24．抛物线 经过点 ，是 ．
【答案】
【分析】把点 的坐标代入抛物线 即可得到答案，熟练掌握抛物线上的点满足函数表达式是解
题的关键．
【详解】解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
故答案为：
5．已知抛物线 与x轴的一个交点为 ，则代数式 的值为 ．
【答案】2020
【分析】先将点 代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．
【详解】解：将 代入函数解析式得， ，
∴ ，
∴
．
故答案为：2020．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点 代入函数解
析式得到有关m的代数式的值．
题型2：待定系数法求二次函数的解析式
6．顶点为 ，且过点 的抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】设解析式为顶点式即 ，再把点 代入解析式，求得a的值，即可确定函数解析
3式．
【详解】解：设解析式为 ，
把点 代入解析式，得 ，
解得： ，
即 ，化为一般式为： ．
故答案为： ．
7．一个二次函数的图象与抛物线 的形状相同，且顶点为 ，那么这个函数的解析式是
．（结果写成一般式）
【答案】 或
【分析】根据顶点设出顶点式，再结合抛物线形状相同可得结果．
【详解】解：图象顶点坐标为 ，
可以设函数解析式是 ，
又 形状与抛物线 相同，即二次项系数绝对值相同，
，
这个函数解析式是： 或 ，
即 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，如果已知三点坐标可以利用一般式求解；若已知对称
轴或顶点坐标利用顶点式求解比较简单．
8．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为 ．此二次函数的
解析式可以是 ．
4【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据二次函数的性质可得出 ，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出 ，取 ，
即可得出结论．
【详解】解：设二次函数的解析式为 ．
∵抛物线开口向下，
∴ ．
∵抛物线与y轴的交点坐标为 ，
∴ ． 取 ， 时，二次函数的解析式为 ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数
图象上点的坐标特征，找出 ， 是解题的关键．
9．已知抛物线过点 ，顶点是 ，求此抛物线的解析式．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式；根据顶点式，设抛物线解析式为 ，将
点 代入即可求解．
【详解】解：依题意，设抛物线解析式为 ，将点 代入得，
解得：
∴抛物线解析式为
10．抛物线的图像如图所示，其中点 为顶点．
5(1)写出点 ， 的坐标；
(2)求出抛物线的解析式．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标、待定系数法求二次函数解析式等知识，解题关键是
通过图像获得所需信息．
（1）观察图像，即可确定点 ， 的坐标；
（2）设抛物线的解析式为 利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：根据图像可知， ， ；
（2）设抛物线的解析式为 ，
将点 代入，
可得 ，解得 ，
所以抛物线的解析式为 ．
题型3：二次函数图像的平移
11．将抛物线 先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的新抛物线解析式为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
6【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线 向右平移3个单位长度所得的抛物线的解析式
为： ；
再向下平移两个单位长度所得抛物线的解析式为： ．
故选：C
12．将抛物线 平移，使平移后得到抛物线 ．则需将原抛物线（ ）
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度
B．先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
C．先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度
D．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．求得两个抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标的平移规律得
到抛物线的平移规律．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ，
抛物线 的顶点坐标是 ，
所以将点 向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点 ．
所以需要将原抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线 ．
故选：D．
13．将抛物线 先向右平移 个单位，再向下平移 个单位得到的抛物线解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数
图象的平移规律：“左加右减，上加下减”即可求解．
7【详解】将抛物线 先向右平移 个单位，再向下平移 个单位得到的抛物线解析式是
，即 ，
故选：A．
题型4：特殊二次函数的图像和性质
14．抛物线 共有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是 轴 C．都有最高点 D． 随 的增大而增大
【答案】B
【分析】此题考查了二次函数的图像与性质， 根据选项可对每条抛物线从开口方向、对称轴、最值、增
减性几个方面进行分析确定共同的特点即可．
【详解】解：抛物线 开口向上，对称轴为 轴，有最低点，顶点为原点；
抛物线 开口向下，对称轴为 轴，有最高点，顶点为原点；
抛物线 开口向上，对称轴为 轴，有最低点，顶点为原点；
所以抛物线 ， ， 共有的性质为对称轴是y轴，而所有抛物线在没有限定自变量的
取值范围时，增减性都不一致，故D不正确．
故选：B．
15．对于抛物线 ，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标
C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数 的性质是解答本题的关键．
对于二次函数 (a，h，k为常数， )，当 时，抛物线开口向上；当 时，抛物线
开口向下．其顶点坐标是 ，对称轴为直线 ．根据性质逐项分析即可．
8【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向下，顶点坐标 ．
故选C．
16．已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为
C．函数的最大值是 D．函数的最小值是
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，
进而求解，解题关键是熟练掌握二次函数图象与性质．
【详解】 、 的对称轴为 轴，此选项说法错误，不符合题意；
、 的顶点坐标为 ，此选项说法正确，符合题意；
、 中 ，开口向下，则函数有最大值 ，此选项说法错误，不符合题意；
、 中 ，开口向下，则函数有最大值 ，此选项说法错误，不符合题意；
故选： ．
17．二次函数 图象上有两点 与 ，则m n．（选填＞、＜
或＝）
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由题意知，函数图象开口向下，对称轴为直线 ，当 时， 随 的增大而减小，然后判断作答即
可．
【详解】解：∵ ，
∴图象开口向下，对称轴为直线 ，当 时， 随 的增大而减小，
∵ ，
9∴ ，
故答案为： ．
18．已知二次函数 ，当 时，y随着x的增大而减小，则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是根据二次函数 ，当 时， 随
着 的增大而减小，可以得到 ，然后求解即可．
【详解】解： 二次函数 ，
∴开口向下，对称轴为直线 ，
当 时， 随 的增大而减小，
当 时， 随着 的增大而减小，
，
解得 ，
故答案为： ．
题型5：二次函数 的图像和性质
19．直线的抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】A
【分析】根据对称轴公式 ，可得答案．
本题考查了对称轴公式的应用，关键找到抛物线中a和b的值，再进行代入求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线 的对称轴是直线 ．
故选：A．
1020．已知点 、 在二次函数 的图象上．若 ，则 与 的大小关系
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质．根据函数解析式确定出对称轴，
再根据二次函数的增减性解答．
【详解】解： 的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ 时y随x的增大而减小，
∵ ，
∴ ．
故选：D．
21．已知二次函数 的y与x的部分对应值如表：
x … 0 2 4 …
y … 2 2 …
下列结论错误的是（ ）
A．该函数有最大值 B．该函数图象的对称轴为直线
C．当 时，函数值y随x增大而减小 D．方程 有一个根大于3
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上坐标点的特征，解答本题的关键是明确题意，利用二
次函数的性质解答；根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得
以解决．
【详解】解：A、由表格中的数据可得，该函数有最大值，故选项正确，不符合题意；
B、该函数图象的对称轴为直线 ，故选项正确，不符合题意；
C、当 时，y随x的增大而减小，故选项正确，不符合题意；
11D、由表格中的数据可得该函数图象的对称轴为直线 ，且方程 有一个根
，
方程 有一个根 ，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
22．已知点 ， ， 都在抛物线 上，若 ，且点A在点B左
侧，点C在第三象限，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，先根据题意得出抛物线的对称轴，开口方向，增减性，再
确定三个点的位置即可得出答案．
【详解】∵抛物线 ，
∴该抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向下，当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x
的增大而增大.
∵点 ， ， 都在抛物线 上，点A在点B左侧，点C在
第三象限，
∴点 ， 在对称轴的左侧，点 在对称轴的右侧，
∴ ， ，
∴ .
故选：D．
23．如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，下列说法正确的是（ ）
12A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C． ， 两点之间的距离为7 D．当 时， 的值随 值的增大而增大
【答案】C
【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵二次函数 的图象与x轴交于 ， 两点，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ，
∴对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵ ，抛物线开口向上，当 时， 的值随 值的增大而增大，故D选项不正确，不符合题意；
当 时， ，
解得 ， ，
∴ ，
∴ ，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握
二次函数的性质是解题的关键．
题型6：二次函数的图像与系数的关系
24．在平面直角坐标系中，二次函数 的图象如图所示，则点 所在象限是（ ）
13A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系．二次函数 系数符号由抛物线开口方向、
对称轴、抛物线与y轴的交点．根据二次函数的图象判断a、b、c的符号，再判断点P所在的象限．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵抛物线对称轴 ，且 ，
∴ ，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴ ，
∴ ，
∴点 在第二象限．
故选：B．
25．已知二次函数 的图象如图所示抛物线的顶点坐标是 ，有下列结论
；④若点 在该抛物线上，则 ．其中正确的
结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质和函
数图象，可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴ ，故①正确；
∵抛物线与x轴没有交点，
14∴ ，故②错误；
由抛物线的顶点坐标是 ，可设抛物线为 ，
∵过点 ，
∴ ，解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确，
∵抛物线的最低点是 ，
∴若点 在该抛物线上，则 ，故④正确．
故选：C．
26．如图是二次函数 （a，b，c是常数， ）图象的一部分，与x轴的交点A在点
和 之间，对称轴是直线 ．对于下列说法：
① ；
② ；
③ ；
④ （m为实数）；
⑤当 时， ，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【答案】A
15【分析】①抛物线对称轴的位置可得结论；②由抛物线对称轴 ，可得结论；③根据抛物线的对
称性，可知 时， ，结合 ，可得结论；④根据抛物线y的取值列不等式，可得结论；⑤
由图可得结论．
【详解】解：①∵对称轴在y轴右侧，开口向下，
则 ，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上，
∴ ，
∴ ，故正确；
②∵对称轴 ，
∴ ，故正确；
③当 时， ，
又∵ ， ，
∴ ，故结论错误；
④由图可知当 时，有最大值 ，
∴ ，即 ，故正确；
⑤如图，当 时，y不只大于0，故结论错误．
故选：A
【点睛】本题考查二次函数图像的性质，解题关键是掌握抛物线的对称性，结合图像和解析式列不等式．
27．如图，抛物线 与 轴交于点 、 ，顶点为 ，对称轴为直线 ，给出下列结
16论：① ；②若点 的坐标为 ，则 的面积可以等于2；③ ， 是抛物线
上两点 ，若 ，则 ；④若抛物线经过点 ，则 的方程 的两根为
0，2，其中正确的结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的
关系．解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力．①根据该抛物线开口向下，对称轴在y轴右
侧，抛物线与y轴相交于正半轴，得出 ，
即可判断①；②由图可知， ，推出 ，根据对称轴为直线 ，推出
，则 ，即可判断；③根据 ，抛物线对称轴为直线 ， 得出点M离对称轴更
近，结合该抛物线开口向下，即可判断③；④根据抛物线的对称轴为直线 ，得出抛物线还经过点
，则方程 的两根为0，2．即可判断④．
【详解】解：①∵该抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴相交于正半轴，
∴ ，
∴ ；故①正确，符合题意；
②由图可知， ，
∵ ，
17∴ ，
令抛物线与x轴两交点的横坐标为 ，且 ，
∴ ，
∵对称轴为直线 ， ，
∴点A到对称轴距离 ，
∴ ，
∴ ，故②错误，不符合题意；
③∵ ，
∴
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴点M离对称轴更近，
∵该抛物线开口向下，
∴ ，故③错误，不符合题意；
④∵抛物线 经过点 ，对称轴为直线 ，
∴抛物线 还经过点 ，
∴方程 的两根为0，2．
∴方程 的两根不为0，2．
故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①，共1个，
故选：A．
题型7：二次函数的对称性
28．若抛物线 经过 ， 两点，则抛物线的对称轴经过的点的坐标是（ ）
18A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质；根据纵坐标相等的两个点关于对称轴对称轴，即可求得对称轴为直
线 ，进而即可求解．
【详解】解：∵抛物线 经过 ， 两点，
∴对称轴为直线 ，
故选：B．
29．已知二次函数 （ ）的图象与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线 ，方
程 的两实数根为 ， ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据题意
可简略画出二次函数的图象，然后根据二次函数的图象可进行求解．
【详解】解：∵二次函数 （ ）的图象与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线
，
∴该图象与x轴的一个交点坐标为 ，即 ，
由方程 （即 ）的两个根 ， 可把它看作直线 与二次函数
的交点的横坐标，大致图象如图所示：
19∴由图象可知： ；
故选D．
30．已知抛物线 是由抛物线 先关于 轴作轴对称图形，再将所得的图象向下平
移 个单位长度得到的，点 、 都在抛物线 上，则 ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数与几何变换，根据关于 轴对称的抛物线形状相同、顶点横坐标互为相
反数、纵坐标相同得出轴对称的抛物线，再得出平移后的抛物线的解析式，分别求出 、 的值，即可得
出答案．解题的关键是根据轴对称的性质和平移的规律得出新抛物线的解析式．
【详解】 ，
抛物线 的顶点为 ，
抛物线 先作关于 轴的轴对称抛物线的顶点为 ，再向下平移 个单位长度顶点为
，
抛物线 的解析式为 ，
20点 、 都在物线 上，
， ，
，
故选：A．
题型8：二次函数的最值
31．已知二次函数的图象（ ）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的
是（ ）
A．函数有最小值1，有最大值3
B．函数有最小值 ，有最大值0
C．函数有最小值 ，有最大值3
D．函数有最小值 ，无最大值
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和最值，能根据x的取值范围利用数形结合求解是解答此题的关键．由
图象可直接得出当 时，函数有最小值 ；当 时，函数有最大值3，即可解答．
【详解】解：由图象可知该函数在所给自变量取值范围内，当 时，函数有最小值 ；当 时，函
数有最大值3．
故选C．
32．在平面直角坐标系中，二次函数 （ 为常数）的图象经过点 ，其对称轴在
轴的右侧，该二次函数有（ ）
A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握根据“二次函数 的最值：若自变
21量 的取值范围是全体实数，则当 时，抛物线开口向上，有最低点，当 时，函数取得最小值
”求解是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数 （ 为常数）的图象经过点 ，
∴ ，
解得： 或 ，
∵对称轴在 轴的右侧，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴二次函数 ，
∴该二次函数图象开口向上，有最小值 ，
故选：A．
33．已知抛物线 经过点 和点 ，则t的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的对称性和增减性，根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定 ，即
可得到 ，由抛物线 经过点 和点 得到
，结合 即可确定 的最小值．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
22∵抛物线 经过点 和点 ，
∴点 和点 关于对称轴对称， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 时，t有最小值为： ．
故选：A．
题型9：图像法确定一元二次方程的近似根
34．如表给出了二次函数 的自变量 与函数值 的部分对应值，那么方程
的一个根的近似值可能是（ ）
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
A．1.08 B．1.14 C．1.28 D．1.38
【答案】B
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线 与 轴的一个
交点在 和点 之间，更靠近点 ，然后根据抛物线与 轴的交点问题可得到方程
一个根的近似值．掌握二次函数的图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，
是解题的关键．
【详解】解： 时， ；
时， ；
抛物线 与 轴的一个交点在 和点 之间，
23方程 有一个根约为1.14．
故选：B．
35．根据下面表格中的对应值判断关于x的方程 的一个解x的范围是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是根据表中数据得到 时，
； 时， ，则 取2.24到2.25之间的某一个数时，使
，于是可判断关于 的方程 的一个解 的范围是 ．
【详解】解： 时， ； 时， ，
关于 的方程 的一个解 的范围是 ．
故选：B．
36．已知二次函数 中 ， 的一些对应值如下表，则可以估计一元二次方程
的一个近似解 的范围为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求一元二次方程的近似根，根据表格中的数据可得出“当 时， ；当
时， ．”由此即可得出结论．
24【详解】解：由表格知，当 时， ；当 时， ．
∴一元二次方程 的一个近似解 的范围为 ．
故选：C．
题型10：二次函数与一元二次方程
37．已知函数 的图象如图所示，那么方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点的知识，利用了数形结合的数学思想，根据二次函数的图象与x
轴的交点坐标确定一元二次方程的解即可．
【详解】解：观察函数的图象知：二次函数 的图象与x轴交于 ，
∴关于x的方程 的解为： ．
故选：A．
38．已知函数 的图像与 轴只有一个交点，则 的值为 ．
【答案】2或11
【分析】本题考查二次函数与 轴的交点问题，熟记二次函数与 轴的交点个数与判别式 的关系，由题
中交点个数为1得到 ，列方程求解即可得到答案，数形结合，灵活运用二次函数图像与性质是解决问
题的关键，注意系数的讨论．
【详解】解：①当 ，即 时，函数为 ，是一条直线，与 轴只有一个交点，
25②当 ，即 时，令 ，则 ，
∵函数图像与 轴只有一个交点，
∴ ，解得 ，
综上所述， 的值为2或11，
故答案为：2或11．
39．二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线 且与x轴的一个交点坐
标为 ．下列结论：① ；② ；③ ；④关于x的一元二次方程 有
两个相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是正确的由图象得出 的数量
关系，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．根据对称轴、开口方向、与 轴的交点位置即可判断
①；由对称轴可以判断②；将 代入 可以判断③；由根的判别式可以判断④，从
而得到答案．
【详解】解：①由图象可得： ， ， ，
，
，故①错误，不符合题意；
② ，
，故②正确，符合题意；
26③将 代入 得： ，
，
，故③正确，符合题意；
④由图象可得：二次函数 与 轴有两个交点，
，
在 中， ，
方程 有两个不相等的实数根，故④错误，不符合题意；
综上所述，其中正确的序号有：②③，
故选：B．
40．已知二次函数 的图象与坐标轴有三个公共点，则k的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查二次函数与 轴的交点，根据 ，且 解出 的范围即可求出答
案．解题的关键是正确列出 进行计算．
【详解】解：由题意可知： 且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
41．抛物线 与 轴相交于 、 两点，其顶点为 ，将此抛物线在 轴下方的部分沿 轴翻
折，其余部分保持不变，如图得到一个新的图象．现有直线 与该新图象有四个交点，则 的取值
范围为( )
27A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据解析式求与 轴交点 、 的坐标，确定翻折后二次函数的解析式，求直线 过
边界点时对应的 的值，并求直线与新抛物线相切时的 值，继而得出 的取值范围．
【详解】解：当 时， ，
，
或 ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴沿 轴翻折后所得抛物线的解析式为 ，
如图，作直线 ，分别过 作直线 的平行线 交 轴于点 ，作直线 平行于 ，且与抛
物线 有唯一的公共点 ，设直线 ： ，直线 ∶ ，
∵ 过 ， ，
28∴ ，
∴ ，
∴直线 ： ，
∵ 与抛物线 有唯一的公共点 ，
∴ 即 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 ∶ ，
结合图形可得直线 与该新图象有四个交点，则 的取值范围为 ，
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程与抛物线的关系，待定系数法求一次函数的解析式，抛物线与x轴的交
点和几何变换问题以及直线的平移，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式以及二次函数的性质是解题
的关键．
题型11：二次函数与不等式
42．一次函数 与二次函数 的图象如图所示，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
29【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当 时，二次函数图象位于一次
函数图象的上方，即可求解．
【详解】解：观察图象得：当 时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，
∴不等式 的解集为 ，
即不等式 的解集为 ．
故选：C．
43．二次函数 （ 、 、 为常数， ）中的 与 的部分对应值如下表：
0 3
3 3
当 时，下列结论：① ；②若点 ， 在该抛物线上，则 ；③ ；④
对于任意实数 ，总有 ．其中正确的结论有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，根据已知条件求出抛物线的对称轴及c的值，可得
，可判断①；根据当 时， ，可得 ， ，可判断②③；求出函数的最大值，
可判断④．熟练掌握二次函数的性质和图象是解题的关键．
【详解】解：由表可知，当 和 时， ，
二次函数 图象的对称轴为直线 ， ，
．
， ，
a与b异号，
，
，故①正确；
对称轴为直线 ，且当 时， ，
30将 代入 ，得： ，
即 ，
，
，
抛物线开口向下，
，
，故②正确；
，
，故③错误；
当 时，y有最大值，
将 代入 ，得最大值为 ，
对于任意实数 ，总有
，故④正确．
综上可知，正确的有①②④，共3个，
故选A．
44．二次函数 的部分对应值如下表：
则关于二次函数 下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为 B．图象关于 轴对称的抛物线为
C．当 时， 随着 的增大而减小 D．当 时， 的取值范围为：
【答案】D
31【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的对称轴，增减性，结合表中数据进行
判断．
【详解】解：A、∵ 和 时的函数值都是7，
∴抛物线的对称轴为直线 ，故错误，不合题意；
B、由表可知：在 中，当 时， ，
在 中，当 时， ，
∴图象关于 轴对称的抛物线不是 ，故错误，不合题意；
C、由图表数据可知，当 时， 随着 的增大而增大，
故当 时， 随着 的增大而增大，故错误，不合题意；
D、∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 时，函数值最小，且为 ，
当 和 时，函数值相等，且为 ，
当 和 时，函数值相等，且为 ，
∴当 时， 的取值范围为： ，故正确，符合题意；
故选：D．
题型12：二次函数的实际应用
45．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线 的一部分（如图，水平地
面为x轴，单位：米），则羽毛球到达最高点时离地面的距离是（ ）
A．1米 B．3米 C．5米 D． 米
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质的运用，二次函数顶点式的运用，将解析式化为顶点式求出顶点坐标即
32可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴顶点坐标为 ，
∵ ，
∴ 有最大值 ，
∴此次羽毛球最高可达到 ，
故选：D．
46．日渐强大的祖国给了我们安静祥和的学习环境，殊不知，这个世界并不安宁，尤其是最近战事日渐白
热化的巴勒斯坦加沙地区，当地武装集团“哈马斯”正在顽强的抵抗以色列地面部队，据报道新型“铁
刺”迫击炮为哈马斯最常用的武器，已知一门迫击炮发射炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为
，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（ ）
A．60秒 B．65秒 C．70秒 D．75秒
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质的应用，掌握炮弹落到地上即 ，再建立方程可以解答本题．
【详解】解：令 ，则 ，
解得 （舍去）， ，
故选C．
47．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径
为 ，水池中心 处立着一个圆柱形实心石柱 ，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水
柱呈拋物线型，水柱在距水池中心 处到达最大高度为 ，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点
处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则 的高度是（）
33A． B． C． D．
【答案】B
【分析】该题主要考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，解题的关键是根据题意得到点的坐标；
设解析式为 由题意得到顶点坐标及与 轴交点的坐标，代入求解即可得到抛物线解析式；
令 ，代入求解即可得到答案；
【详解】选择图2中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式，
由题意，得抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线对应的函数关系式为 6，
将点 代入，得 ，解得 ，
∴抛物线对应的函数关系式为 ，
当 时， ，
∴点 的纵坐标为 ；
则 的高度是 ，
故选：B．
题型13：二次函数综合（几何应用）
48．如图，在等边 中， ，点P从点B出发，沿 方向运动至点C停止，点Q是
上的一点，满足 ．若 的面积为S， ，则S与x之间的函数图象大致是（ ）
34A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与几何图形面积的应用，根据点P在 和 上所对应的 情况，以及结
合 的面积为 ，进行求解即可作答．
【详解】解：依题意，
因为
所以
因为等边 中， ，
所以 ，
当 ，此时点P在 上，
则 ，
35那么 ，
此时开口向上；
当 ，此时点P在 上，
则 ，
那么 ，
那么 ，
此时开口向下；
故选：A
49．抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的右侧），且与 轴交于点 ，在直线
上有一动点 ，若使 的值最小，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出B、C的坐标，再证明 ，从而得到当B、C、D三点共线时， 最小，即此
时 最小，求出直线 解析式即可求出答案．
【详解】解：在 中，当 时，解得 或 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵抛物线对称轴为直线 ，点D在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴当B、C、D三点共线时， 最小，即此时 最小，
设直线 解析式为 ，
36∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，确定出当B、C、D三点共线时， 最小是解题
的关键．
50．已知二次函数 ，经过点 和点 ．当 时， 的取值范围为
或 ．则 与 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数的性质，利用函数图像上的点的关系和函数解析式解得对称轴分别为
， ，得 ，代入二次函数变为 ，将点 和点 代入求得m，n
即可求得答案．
【详解】解：∵二次函数 ，
37∴函数的对称轴为 ，
∵当 时， 的取值范围为 或 ，
∴二次函数与直线 的交点为 和 ，
∴对称轴为 ，
∴ ，解得 ，
则二次函数 ，
∵点 和点 过二次函数 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故选∶A．
51．如图二次函数 图象与 轴交于 ， 两点（点 在 轴的负半轴），与 轴交于
一点 ，过 作 轴交图象于点 ，连结 ， ，若 ，则点 的横坐标为 ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】易得四边形 为平行四边形，则 ，求得抛物线的对称轴为直线 ，利用抛物线
的对称性可得 ，设点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，于是 ，再根据根与系数的
38关系可得 ，求出 即可．
【详解】解： 轴， 轴，
，
，
又 ，
四边形 为平行四边形，
，
二次函数 的对称轴为直线 ，
根据抛物线的对称性可知，点 关于直线 的对称点为点 ，
点 的横坐标为2，即 ，
，
设点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
，
，
，
解得： ，
点 的横坐标为4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质、二次函数的图象与性质、抛物线与 轴的交点坐标，利
用平行四边形的性质和抛物线的对称性得出点 的横坐标是解题关键．
52．如图，抛物线为 ，直线 交抛物线于A，B两点，P为抛物线的顶点，若
为直角三角形，且面积为 ，则a的值为（ ）
39A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设二次函数的解析式为 ，根据二次函数图象上的点的坐标特征可得 ，
两点关于对称轴对称，故 ．结合 为直角三角形且面积为 ，可得 ， 的长，进而由勾
股定理求出 的长．设法表示出 点的坐标代入抛物线解析式计算后即可得解．
【详解】解：由于其图象关于直线 对称，
∴ ，
∴ ， ．
又 面积为 ，
即 ，
∴ ， ．
由勾股定理可得 ．
作 于点C，由三线合一性质可得C为 中点．
∴ ．
又∵ ，
40∴ ．
由此可得到A点的坐标为 ．
将A点坐标代入二次函数解析式 中，
得 ，解得 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，综合性较
强．得到 的坐标是解题关键．
题型14：二次函数解答综合题
53．二次函数 的自变量x与函数值y的对应值如表，根据下表回答问题．
x … 0 …
y … 0 4 …
(1)求出该二次函数的表达式；
(2)写出向下平移2个单位后，图象所对应的二次函数表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数图象的平移，注意计算的准确性．
（1）将 和 代入 ，即可求解；
（2）上下平移改变因变量的值：上加下减．
【详解】（1）解：将 和 代入 得：
，
41解得： ，
∴该二次函数的表达式为：
（2）解：向下平移2个单位后，二次函数得表达式为：
，
即：
54．如图，抛物线 的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 在该抛物线上，求b的值；
(3)若点 ， 在此抛物线上，比较 与 大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由点A坐标求出 ，进一步得到点B坐标，再利用待定系数法求解；
（2）将 代入 ，即可求出b值；
（3）根据对称轴和开口方向判断增减性，再结合D，E两点的横坐标判断即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 的顶点为A，
42∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，代入 中，
得： ，
解得： ，
∴ ；
（2）将 代入 中，
得： ，
解得： ；
（3）∵抛物线 的对称轴为直线 ，且开口向下，
∴当 时，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，
利用增减性判断函数值的大小．
55．如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路
线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的
高度为 ．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m．
(1)求羽毛球经过的路线对应的函数表达式．
(2)通过计算判断此球能否过网．
(3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为 m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平
43距离．
【答案】(1)y=
(2)能
(3)2米
【分析】（1）根据题意，抛物线顶点坐标为 ，与 轴交点坐标为 ，用待定系数法即可求得；
（2）将 代入所求解析式中，求出 的值与 比较大小即可判断出结果；
（3）把 代入所求解析式中，对方程求解，再减去5即可得到答案．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式．
【详解】（1）解：根据题意，抛物线顶点坐标为 ，与 轴交点坐标为 ，
设羽毛球经过的路线对应的函数表达式为 ，
把 代入得： ，
解得 ，
；
∴羽毛球经过的路线对应的函数表达式为
（2）解：在 中，
令 得
，
∴此球能过网；
（3）解：在 中，
令 得：
解得 （舍去）或 ，
44（米），
∴乙与球网的水平距离为2米．
56．如图①，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左
侧），与 轴交于点 ，其中 ．
(1)求 的坐标；
(2)如图②，点 是第一象限内抛物线上的动点，连接 交 于点 ，当 的值最大
时，求此时点 的坐标及 的最大值．
【答案】(1) ，
(2)当 的值最大时，此时点 的坐标为 ，此时 的最大值为
【分析】（1）根据题意，可确定点 的坐标，代入抛物线，与联立 方程组求解即可；
（2）根据题意，设点 到 的距离为 ，可得 ，则 的最大值即 的最大值，如图所
示，过点 作 轴交 与点 ，可证 ，可得 ，根据抛物线的
顶点式的知识即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于 ， ，且点 在 轴的负半轴上，
45∴ ，
∴ ，整理得， ，
∵ ，
∴联立方程组得， ，解得， ，
∴抛物线的解析式为 ，
令 ，则 ，整理得， ，解得， ， ，
∵ ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ， ．
（2）解：设点 到 的距离为 ，
∴ ，则 的最大值即 的最大值，
如图所示，过点 作 轴交 与点 ，
∵ ， ，设 所在直线的解析式为 ，
46∴ ，解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∵点 在抛物线 ，点 在 上，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，且 ，
∴当 时， 取得最大值 ，
∴ ，
∴当 的值最大时，此时点 的坐标为 ，此时 的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，相似三角形
的判定和性质，配方法等知识是解题的关键．
题型综合专训
一、单选题
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c
C．s＝2t2﹣2t+1 D．y＝（x﹣1）（2+x）﹣x2
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），逐项判断即可解答．
【详解】A、y＝3x﹣1，是一次函数，故A不符合题意；
47B、y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，故B不符合题意；
C、s＝2t2﹣2t+1，是二次函数，故C符合题意；
D、y＝（x﹣1）（2+x）﹣x2＝2x+x2﹣2﹣x﹣x2＝x﹣2，是一次函数，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的判断，掌握定义是解题的关键．
2．抛物线y＝﹣x2＋2的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣2 B．直线x＝﹣1 C．y轴 D．直线x＝2
【答案】C
【分析】由抛物线解析式，利用对称轴公式 进行计算即可．
【详解】解： 抛物线 ，
对称轴为直线 ，
即抛物线的对称轴为y轴．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．将抛物线 向左平移一个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图像平移法则“左加右减、上加下减”，将题中文字描述转化为数学符号即可解决问题．
【详解】解：将抛物线 向左平移一个单位，再向上平移2个单位，根据函数图像平移法则“左加右
减自变量、上加下减常数项”，
平移后得到的抛物线解析式为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线平移，熟记函数图像平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键．
4．抛物线 与坐标轴的交点个数是（ ）
48A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】先根据判别式的值得到Δ＜0，根据Δ= 决定抛物线与x轴的交点个数得到抛物线与x轴没
有交点，由于抛物线与y轴总有一个交点，即可求解．
【详解】解：∵△= ，
∴抛物线与x轴没有交点，
而抛物线 与y轴的交点为（0，-1），
∴抛物线 与坐标轴的交点个数为1．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数 （a,b,c是常数，a≠0）与x轴的交点
坐标，令y=0，即 ，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数
（a,b,c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程 根之间的关系，Δ= 决定抛物线与x轴
的交点个数：Δ= ＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ= =0时，抛物线与x轴有1个交点；
Δ= ＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．下列对二次函数 的图像描述不正确的是（ ）
A．开口向下
B．顶点坐标为
C．与 轴相交于点
D．当 时，函数值 随 的增大而减小
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
49【详解】解： 、 ，
抛物线的开口向下，正确，不合题意；
B、抛物线的顶点坐标是 ，故本小题正确，不合题意；
C、令 ，则 ，
所以抛物线与 轴的交点坐标是 ，故原选项不正确，符合题意；
D、抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，
当 时，函数值 随 的增大而减小，故本小题正确，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，与 轴的交点，
掌握其性质是解决此题关键．
6．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数 的图象大致为（ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【分析】根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中a、c的正负情况，即可判断哪个选项
是正确的．
50【详解】解：A．一次函数y=ax+c中a＞0，c＞0，二次函数 中a＜0，c＞0，故选项A不符合题
意；
B．一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，二次函数 中a＜0，c＞0，故选项B符合题意；
C．一次函数y=ax+c中a＜0，c＜0，二次函数 中a＞0，c＜0，故选项C不符合题意；
D．一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，二次函数 中a＞0，c＜0，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质，
利用数形结合的思想解答．
7．一身高1.8m的篮球运动员在距篮板AB=4m（DE与AB的水平距离）处跳起投篮，球在运动员头顶上方
0.25m处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用 来描述，那么球
出手时，运动员跳离地面的高度为（ ）
A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25
【答案】C
【分析】当 时，代入解析式 ，解得 ，求得 ，当 时，
，即可得到结论．
【详解】解：当 时，
即 ，
解得： ，
，
51当 时， ，
（m），
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，求出球出手时，对应的横坐标，代入表达式是解题关键．
8．对于二次函数 ，下列结论错误的是（ ）
A．它的顶点坐标为
B．当 时，它的图象经过第一、二、三象限
C．点 与 是二次函数图象上的两点，则
D．无论 取何实数，它的图象一定经过点
【答案】C
【分析】将二次函数解析式化成顶点式，逐一分析选项即可得出答案．
【详解】解： ，
可得它的顶点坐标为 ，A正确；
当 时， ，顶点在第三象限，开口向上， 时， ，
它的图象经过第一、二、三象限，B正确；
函数对称轴为 ，开口向上，距离 越远，函数值越大，
距离 的的距离 距离 的的距离，
，C错误；
，
当 时， ，无论 取何实数，它的图象一定经过点 ，D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，将二次函数形式进行正确化简，进行正确计算即可选出
52正确答案．
9．已知 的对称轴为直线 ，与 轴的其中一个交点为 ，该函数在 的取
值范围，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值 ，有最大值3
C．有最小值 ，有最大值4 D．有最小值 ，有最大值4
【答案】B
【分析】由抛物线对称轴为直线 及抛物线经过 可求出 ， 的值，将二次函数解析式化为顶点式，
进而求解．
【详解】 图象的对称轴为直线 ，
，
抛物线经过 ，
，
将 代入 得 ，
解得 ，
，
，
抛物线顶点坐标为 ，
时，函数最小值为 ．当 时， 为最大值，
故选： ．
【点睛】本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
10．如图是二次函数 （a，b，c是常数， ）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，
0）和（3，0）之间，对称轴是 ．对于下列说法：① ；② ；③ ；④
（m为实数）；⑤当 时， ，其中正确的是（ ）
53A．①②④ B．①② C．②③④ D．③④
【答案】A
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称
轴判定b与0的关系以及2a＋b＝0；当x＝−1时，y＝a−b＋c；然后由图像确定当x取何值时，y＞0．
【详解】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
②∵对称轴x＝− ＝1，
∴2a＋b＝0；故正确；
③∵2a＋b＝0，
∴b＝−2a,
∵当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0，
∴a−（−2a）＋c＝3a＋c＜0，故错误；
④根据图示知，当x＝1时，有最大值；
当m≠1时，有am2＋bm＋c＜a＋b＋c,
所以a＋b≥m（am＋b）（m为实数）．
故正确．
⑤如图，当−1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口
方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同
决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称
轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
54二、填空题
11．已知二次函数 ，当x<0时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．
【答案】减小
【分析】根据二次函数的二次项系数a以及对称轴即可判断出函数的增减性．
【详解】解：∵二次函数 的图象开口向上，对称轴为y轴，
∴当x<0时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴为y轴，开口向上，
此题难度不大．
12．二次函数 的图象的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可
【详解】二次函数顶点式为 ，顶点坐标为（h，k），所以顶点为（1,2）；
故答案为（1,2）
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
13．已知点 都在二次函数 的图像上，则 与 的大小关系
为 ．
【答案】 /
【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质
判断对应函数值的大小即可．
【详解】二次函数 的图像开口方向向上，对称轴是x=-1，
∵点 距对称轴的距离是6， 距对称轴的距离是2， 距对称轴的距离是5，
∴ ．
55故答案为： ．
【点睛】此题考查的是二次函数的图像与性质，求出抛物线的对称轴和开口方向是解题关键．
14．如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，则关于 的不等式
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】不等式 可以理解为二次函数图像比一次函数图像高的部分，通过观察图像可知所求
的是两个交点中间的部分，由此可以得到答案．
【详解】∵ 的图像为抛物线， 的图像为直线，
∴不等式 可以理解为二次函数函数值大于一次函数函数值的部分，
通过图像可知该部分为A，B两个交点之间，即不等式的解为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次函数图像与不等式，利用图像数形结合快速求出不等式的解集，理解不等式并
能够通过观察图像得到答案是解题关键．
15．已知函数 在 上有最大值4，则常数 的值为 .
【答案】 或
【分析】分两种情况： 和 分别求 的最大值即可．
【详解】解： .
当 时，
当 时， 有最大值，
，
∴ ；
56当 时，
当 时， 有最大值，
，
，
综上所述： 的值为 或 .
故答案是： 或 .
【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，解题时，注意要分类讨论，以防
漏解.
16．如图，在平面直角坐标系中，点A(4，7)在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另
一点B．点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点，当四边形CDFE为
正方形时，线段CD的长为 ．
【答案】 /
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD=CE=2m，从而得出点E坐标为
（m，7-2m），将点坐标代入解析式求解．
【详解】解：把A（4，7）代入 中得7=16a-1，
解得a= ，
∴ ，
设点C横坐标为m，则CD=CE=2m，
∴点F坐标为（m，7-2m），
∴ ，
57解得m=-2-2 （舍）或m=-2+2 ．
∴CD=2m=-4+4 ．
故答案为：-4+4 ．
【点睛】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是利用待定系数法求得函数解析式．
三、解答题
17．如图，已知抛物线 经过点M(- 4，5)．
(1)求b的值，并写出此抛物线的对称轴；
(2)当-3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．
【答案】(1)b=-4，抛物线的对称轴是直线x =- 2
(2)5≤y≤9
【分析】（1）将点M(- 4，5)代入抛物线 ，即可求出b，将 变形
可得抛物线对称轴；
（2）利用二次函数的性质，x=-2时，y的值最大，而x=0是，y=5，从而得到y的取值范围．
【详解】（1）解：将点M(- 4，5)代入抛物线 ，得，
58，
b=-4，
∵
∴抛物线的对称轴是直线 ；
（2）当x=0时，y=5，
又∵x=-2时，y的最大值是9，
∴当-3≤x≤0时，y的取值范围：5≤y≤9．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数对称轴的求法，解题的关键是将抛物线 变
形 ．
18．如图，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A（1，m）和B（﹣2，4），与y轴交
于点C．
(1)求k，b，a的值；
(2)求△AOB的面积．
【答案】(1)k=−1，a=1，b=2
(2)S AOB=3
△
【分析】（1）用待定系数法，先将B(−2，4)代入 ，求出a的值为1，再将A(1，m)代入 ，求
出点A(1，1)，然后将A(1，1)，B(−2，4)代入y=kx+b分别求出k，b的值．
（2）利用y轴将△AOB分割为△AOC和△BOC，分别算出它们的面积后，即可求出△AOB的面积．
【详解】（1）∵点B(−2，4)在二次函数 的图象上，
59∴4a=4
解得：a=1
∴二次函数关系式为：
将A(1，m)代入 得：m=1
∴A(1，1)
∵点A(1，1)，B(−2，4)在一次函数y=kx+b的图象上
∴
解得：
∴k=−1，a=1，b=2
（2）由（1）可知一次函数关系式
当x=0时，y=2
则一次函数 与y轴交点坐标为C(0，2)
∵OC=2，点A横坐标为xA=1，点B的横坐标为−2
∴S AOC= = =1
△
S BOC= = =2
△
∴S AOB=S AOC+S BOC=1+2=3
△ △ △
∴△AOB的面积为3
【点睛】本题考查一次函数与二次函数图象知识的综合题．第一小问，关键是利用待定系数法先将
的a先求出来，再求出点A的坐标，最后求出y=kx+b中k，b的值．第二小问，关键是利用坐标轴把三角
形分割成两个容易算出面积的三角形，在二次函数图象求面积的题型中，割补法是常用解题技巧，该题利
用y轴分割即可．
19．如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路
线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的
60高度为 ．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m．
(1)求羽毛球经过的路线对应的函数表达式．
(2)通过计算判断此球能否过网．
(3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为 m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平
距离．
【答案】(1)y=
(2)能
(3)2米
【分析】（1）根据题意，抛物线顶点坐标为 ，与 轴交点坐标为 ，用待定系数法即可求得；
（2）将 代入所求解析式中，求出 的值与 比较大小即可判断出结果；
（3）把 代入所求解析式中，对方程求解，再减去5即可得到答案．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式．
【详解】（1）解：根据题意，抛物线顶点坐标为 ，与 轴交点坐标为 ，
设羽毛球经过的路线对应的函数表达式为 ，
把 代入得： ，
解得 ，
；
∴羽毛球经过的路线对应的函数表达式为
61（2）解：在 中，
令 得
，
∴此球能过网；
（3）解：在 中，
令 得：
解得 （舍去）或 ，
（米），
∴乙与球网的水平距离为2米．
20．如图，二次函数 的图象交 轴于 ， ，交 轴于 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点 在该二次函数图象的对称轴上，且使 最大，求点 的坐标；
(3)若点D在对称轴上，抛物线上是否存在点 ，使 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 、 或
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，轴对称、平行四边形的判定与性质．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
62（2）作C点关于对称轴的对称点 ，连接 与对称轴交于点P， ，此时
有最大值，直线 与对称轴的交点即为P点；
（3）设 ，分点E在对称轴左侧和右侧两种情况利用中点坐标公式结合平行四边形
的性质列式求出点E的横坐标，即可得出点E的纵坐标，即可解决问题
【详解】（1）将 ， ， 代入 ，得：
∴ ，
解得， ，
∴二次函数解析式为 ；
（2）∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线
作C点关于对称轴的对称点 ，连接 与对称轴交于点P，
∵ ，
∴ ，此时 有最大值，
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
63把 ， 代入得， ，
解得 ，
∴ ，
当 时，
∴ ；
（3）①当点E在对称轴右侧，若 为 的对角线时，
∵ ， ， ，
由中点坐标公式得， ，
解得， ，
∴
∴ ；
若 为 的边时，
∵ ， ， ，
由中点坐标公式得， ，
解得， ，
∴
∴ ；
②当点E在对称轴左侧，若 为 的边时，
∵ ， ， ，
由中点坐标公式得， ，
解得， ，
∴
64∴ ；
综上，点E的坐标为 、 或
21．在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点A，与 于点 ，已知抛物线 经过
A、 两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 在抛物线上，且 与 的面积相等，直接写出点 的坐标为________；
(3)如图，点 是在直线 上方的抛物线上的动点，连接 、 ，当点 到直线 的距离最大值为 ，
求 的值．
(4)当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为6，直接写出 的值________．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
(4)
【分析】（1）求出直线 与x轴的交点A，与y轴的交点B的坐标，然后代入 ，求
出 的值，即可求出抛物线的解析式；
（2）分两种情况：点P是在直线 上方的抛物线上的动点，②点P是直线 下方的抛物线上的点，分
别进行求解即可；
65（3）点P是在直线 上方的抛物线上的动点， 长度不变，当点P到直线 的距离最大值时，
最大，转化为求 最大时，求点 到直线 的距离最大值；
（4）求出抛物线 的对称轴 ，顶点为 ，由 得到当 时，y随着x的增大
而增大，当 时，y随着x的增大而增大，得到当 时，最大值为 ，当
时，最小值为 ，根据当 时，二次函数 的最大值与最小
值的差为6列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：对于 ，
当 ，即
当 时，即 ，
将 ， 代入 得：
，
解得：
∴抛物线的解析式为： ；
（2）①当点P是在直线 上方的抛物线上的动点， 不动，当点P到直线 的距离最大值时，
最大，过点P作 轴，交 于点N，设点 ， ，设A到 距离为 ，B
到 距离为 ，
66∴
，
∵ ，
∴当 时， 的面积最大值为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴点P不可能是在直线 上方的抛物线上的点，
当点P是直线 下方的抛物线上的点时，根据两平行线间距离处处相等可知，
点P在过点O且平行于直线 的直线上，
即点P在直线 上，
与抛物线 联立可得，
，
67解得， 或 ，
即点P的坐标为 或 ；
故答案为： 或
（3）∵点P是在直线 上方的抛物线上的动点， 不动，当点P到直线 的距离最大值时， 最
大，过点P作 轴，交 于点N，设点 ， ，设A到 距离为 ，B到
距离为 ，
∴
，
∵ ，
68∴当 时， ，
点P到直线 的距离最大值为s，
∵ ， ，
解得 ；
（4）对于 ，
∴抛物线 的对称轴 ，顶点为 ，
∵ ，
∴当 时，y随着x的增大而增大，
当 时，y随着x的增大而增大，
当 时，最大值为 ，
当 时，最小值为 ，
∵当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为6，
∴
整理得到 ，
解得 ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，平行线的距离，
正确理解题意，用分类讨论的数学思想是解题的关键．
一、单选题
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c
C．s＝2t2﹣2t+1 D．y＝（x﹣1）（2+x）﹣x2
【答案】C
69【分析】根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），逐项判断即可解答．
【详解】A、y＝3x﹣1，是一次函数，故A不符合题意；
B、y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，故B不符合题意；
C、s＝2t2﹣2t+1，是二次函数，故C符合题意；
D、y＝（x﹣1）（2+x）﹣x2＝2x+x2﹣2﹣x﹣x2＝x﹣2，是一次函数，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的判断，掌握定义是解题的关键．
2．抛物线y＝﹣x2＋2的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣2 B．直线x＝﹣1 C．y轴 D．直线x＝2
【答案】C
【分析】由抛物线解析式，利用对称轴公式 进行计算即可．
【详解】解： 抛物线 ，
对称轴为直线 ，
即抛物线的对称轴为y轴．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．将抛物线 向左平移一个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图像平移法则“左加右减、上加下减”，将题中文字描述转化为数学符号即可解决问题．
【详解】解：将抛物线 向左平移一个单位，再向上平移2个单位，根据函数图像平移法则“左加右
减自变量、上加下减常数项”，
平移后得到的抛物线解析式为 ，
故选：C．
70【点睛】本题考查抛物线平移，熟记函数图像平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键．
4．抛物线 与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】先根据判别式的值得到Δ＜0，根据Δ= 决定抛物线与x轴的交点个数得到抛物线与x轴没
有交点，由于抛物线与y轴总有一个交点，即可求解．
【详解】解：∵△= ，
∴抛物线与x轴没有交点，
而抛物线 与y轴的交点为（0，-1），
∴抛物线 与坐标轴的交点个数为1．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数 （a,b,c是常数，a≠0）与x轴的交点
坐标，令y=0，即 ，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数
（a,b,c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程 根之间的关系，Δ= 决定抛物线与x轴
的交点个数：Δ= ＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ= =0时，抛物线与x轴有1个交点；
Δ= ＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．下列对二次函数 的图像描述不正确的是（ ）
A．开口向下
B．顶点坐标为
C．与 轴相交于点
71D．当 时，函数值 随 的增大而减小
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解： 、 ，
抛物线的开口向下，正确，不合题意；
B、抛物线的顶点坐标是 ，故本小题正确，不合题意；
C、令 ，则 ，
所以抛物线与 轴的交点坐标是 ，故原选项不正确，符合题意；
D、抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，
当 时，函数值 随 的增大而减小，故本小题正确，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，与 轴的交点，
掌握其性质是解决此题关键．
6．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数 的图象大致为（ ）
A． B． C．
D．
72【答案】B
【分析】根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中a、c的正负情况，即可判断哪个选项
是正确的．
【详解】解：A．一次函数y=ax+c中a＞0，c＞0，二次函数 中a＜0，c＞0，故选项A不符合题
意；
B．一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，二次函数 中a＜0，c＞0，故选项B符合题意；
C．一次函数y=ax+c中a＜0，c＜0，二次函数 中a＞0，c＜0，故选项C不符合题意；
D．一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，二次函数 中a＞0，c＜0，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质，
利用数形结合的思想解答．
7．一身高1.8m的篮球运动员在距篮板AB=4m（DE与AB的水平距离）处跳起投篮，球在运动员头顶上方
0.25m处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用 来描述，那么球
出手时，运动员跳离地面的高度为（ ）
A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25
【答案】C
【分析】当 时，代入解析式 ，解得 ，求得 ，当 时，
，即可得到结论．
【详解】解：当 时，
73即 ，
解得： ，
，
当 时， ，
（m），
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，求出球出手时，对应的横坐标，代入表达式是解题关键．
8．对于二次函数 ，下列结论错误的是（ ）
A．它的顶点坐标为
B．当 时，它的图象经过第一、二、三象限
C．点 与 是二次函数图象上的两点，则
D．无论 取何实数，它的图象一定经过点
【答案】C
【分析】将二次函数解析式化成顶点式，逐一分析选项即可得出答案．
【详解】解： ，
可得它的顶点坐标为 ，A正确；
当 时， ，顶点在第三象限，开口向上， 时， ，
它的图象经过第一、二、三象限，B正确；
函数对称轴为 ，开口向上，距离 越远，函数值越大，
距离 的的距离 距离 的的距离，
，C错误；
，
74当 时， ，无论 取何实数，它的图象一定经过点 ，D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，将二次函数形式进行正确化简，进行正确计算即可选出
正确答案．
9．已知 的对称轴为直线 ，与 轴的其中一个交点为 ，该函数在 的取
值范围，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值 ，有最大值3
C．有最小值 ，有最大值4 D．有最小值 ，有最大值4
【答案】B
【分析】由抛物线对称轴为直线 及抛物线经过 可求出 ， 的值，将二次函数解析式化为顶点式，
进而求解．
【详解】 图象的对称轴为直线 ，
，
抛物线经过 ，
，
将 代入 得 ，
解得 ，
，
，
抛物线顶点坐标为 ，
时，函数最小值为 ．当 时， 为最大值，
故选： ．
【点睛】本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
10．如图是二次函数 （a，b，c是常数， ）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，
0）和（3，0）之间，对称轴是 ．对于下列说法：① ；② ；③ ；④
（m为实数）；⑤当 时， ，其中正确的是（ ）
75A．①②④ B．①② C．②③④ D．③④
【答案】A
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称
轴判定b与0的关系以及2a＋b＝0；当x＝−1时，y＝a−b＋c；然后由图像确定当x取何值时，y＞0．
【详解】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
②∵对称轴x＝− ＝1，
∴2a＋b＝0；故正确；
③∵2a＋b＝0，
∴b＝−2a,
∵当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0，
∴a−（−2a）＋c＝3a＋c＜0，故错误；
④根据图示知，当x＝1时，有最大值；
当m≠1时，有am2＋bm＋c＜a＋b＋c,
所以a＋b≥m（am＋b）（m为实数）．
故正确．
⑤如图，当−1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口
方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同
决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称
轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
76二、填空题
11．已知二次函数 ，当x<0时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．
【答案】减小
【分析】根据二次函数的二次项系数a以及对称轴即可判断出函数的增减性．
【详解】解：∵二次函数 的图象开口向上，对称轴为y轴，
∴当x<0时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴为y轴，开口向上，
此题难度不大．
12．二次函数 的图象的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可
【详解】二次函数顶点式为 ，顶点坐标为（h，k），所以顶点为（1,2）；
故答案为（1,2）
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
13．已知点 都在二次函数 的图像上，则 与 的大小关系
为 ．
【答案】 /
【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质
判断对应函数值的大小即可．
【详解】二次函数 的图像开口方向向上，对称轴是x=-1，
∵点 距对称轴的距离是6， 距对称轴的距离是2， 距对称轴的距离是5，
∴ ．
77故答案为： ．
【点睛】此题考查的是二次函数的图像与性质，求出抛物线的对称轴和开口方向是解题关键．
14．如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，则关于 的不等式
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】不等式 可以理解为二次函数图像比一次函数图像高的部分，通过观察图像可知所求
的是两个交点中间的部分，由此可以得到答案．
【详解】∵ 的图像为抛物线， 的图像为直线，
∴不等式 可以理解为二次函数函数值大于一次函数函数值的部分，
通过图像可知该部分为A，B两个交点之间，即不等式的解为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次函数图像与不等式，利用图像数形结合快速求出不等式的解集，理解不等式并
能够通过观察图像得到答案是解题关键．
15．已知函数 在 上有最大值4，则常数 的值为 .
【答案】 或
【分析】分两种情况： 和 分别求 的最大值即可．
【详解】解： .
当 时，
当 时， 有最大值，
，
∴ ；
78当 时，
当 时， 有最大值，
，
，
综上所述： 的值为 或 .
故答案是： 或 .
【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，解题时，注意要分类讨论，以防
漏解.
16．如图，在平面直角坐标系中，点A(4，7)在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另
一点B．点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点，当四边形CDFE为
正方形时，线段CD的长为 ．
【答案】 /
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD=CE=2m，从而得出点E坐标为
（m，7-2m），将点坐标代入解析式求解．
【详解】解：把A（4，7）代入 中得7=16a-1，
解得a= ，
∴ ，
设点C横坐标为m，则CD=CE=2m，
∴点F坐标为（m，7-2m），
∴ ，
79解得m=-2-2 （舍）或m=-2+2 ．
∴CD=2m=-4+4 ．
故答案为：-4+4 ．
【点睛】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是利用待定系数法求得函数解析式．
三、解答题
17．如图，已知抛物线 经过点M(- 4，5)．
(1)求b的值，并写出此抛物线的对称轴；
(2)当-3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．
【答案】(1)b=-4，抛物线的对称轴是直线x =- 2
(2)5≤y≤9
【分析】（1）将点M(- 4，5)代入抛物线 ，即可求出b，将 变形
可得抛物线对称轴；
（2）利用二次函数的性质，x=-2时，y的值最大，而x=0是，y=5，从而得到y的取值范围．
【详解】（1）解：将点M(- 4，5)代入抛物线 ，得，
80，
b=-4，
∵
∴抛物线的对称轴是直线 ；
（2）当x=0时，y=5，
又∵x=-2时，y的最大值是9，
∴当-3≤x≤0时，y的取值范围：5≤y≤9．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数对称轴的求法，解题的关键是将抛物线 变
形 ．
18．如图，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A（1，m）和B（﹣2，4），与y轴交
于点C．
(1)求k，b，a的值；
(2)求△AOB的面积．
【答案】(1)k=−1，a=1，b=2
(2)S AOB=3
△
【分析】（1）用待定系数法，先将B(−2，4)代入 ，求出a的值为1，再将A(1，m)代入 ，求
出点A(1，1)，然后将A(1，1)，B(−2，4)代入y=kx+b分别求出k，b的值．
（2）利用y轴将△AOB分割为△AOC和△BOC，分别算出它们的面积后，即可求出△AOB的面积．
【详解】（1）∵点B(−2，4)在二次函数 的图象上，
81∴4a=4
解得：a=1
∴二次函数关系式为：
将A(1，m)代入 得：m=1
∴A(1，1)
∵点A(1，1)，B(−2，4)在一次函数y=kx+b的图象上
∴
解得：
∴k=−1，a=1，b=2
（2）由（1）可知一次函数关系式
当x=0时，y=2
则一次函数 与y轴交点坐标为C(0，2)
∵OC=2，点A横坐标为xA=1，点B的横坐标为−2
∴S AOC= = =1
△
S BOC= = =2
△
∴S AOB=S AOC+S BOC=1+2=3
△ △ △
∴△AOB的面积为3
【点睛】本题考查一次函数与二次函数图象知识的综合题．第一小问，关键是利用待定系数法先将
的a先求出来，再求出点A的坐标，最后求出y=kx+b中k，b的值．第二小问，关键是利用坐标轴把三角
形分割成两个容易算出面积的三角形，在二次函数图象求面积的题型中，割补法是常用解题技巧，该题利
用y轴分割即可．
19．如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路
线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的
82高度为 ．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m．
(1)求羽毛球经过的路线对应的函数表达式．
(2)通过计算判断此球能否过网．
(3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为 m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平
距离．
【答案】(1)y=
(2)能
(3)2米
【分析】（1）根据题意，抛物线顶点坐标为 ，与 轴交点坐标为 ，用待定系数法即可求得；
（2）将 代入所求解析式中，求出 的值与 比较大小即可判断出结果；
（3）把 代入所求解析式中，对方程求解，再减去5即可得到答案．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式．
【详解】（1）解：根据题意，抛物线顶点坐标为 ，与 轴交点坐标为 ，
设羽毛球经过的路线对应的函数表达式为 ，
把 代入得： ，
解得 ，
；
∴羽毛球经过的路线对应的函数表达式为
83（2）解：在 中，
令 得
，
∴此球能过网；
（3）解：在 中，
令 得：
解得 （舍去）或 ，
（米），
∴乙与球网的水平距离为2米．
20．如图，二次函数 的图象交 轴于 ， ，交 轴于 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点 在该二次函数图象的对称轴上，且使 最大，求点 的坐标；
(3)若点D在对称轴上，抛物线上是否存在点 ，使 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 、 或
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，轴对称、平行四边形的判定与性质．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
84（2）作C点关于对称轴的对称点 ，连接 与对称轴交于点P， ，此时
有最大值，直线 与对称轴的交点即为P点；
（3）设 ，分点E在对称轴左侧和右侧两种情况利用中点坐标公式结合平行四边形
的性质列式求出点E的横坐标，即可得出点E的纵坐标，即可解决问题
【详解】（1）将 ， ， 代入 ，得：
∴ ，
解得， ，
∴二次函数解析式为 ；
（2）∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线
作C点关于对称轴的对称点 ，连接 与对称轴交于点P，
∵ ，
∴ ，此时 有最大值，
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
85把 ， 代入得， ，
解得 ，
∴ ，
当 时，
∴ ；
（3）①当点E在对称轴右侧，若 为 的对角线时，
∵ ， ， ，
由中点坐标公式得， ，
解得， ，
∴
∴ ；
若 为 的边时，
∵ ， ， ，
由中点坐标公式得， ，
解得， ，
∴
∴ ；
②当点E在对称轴左侧，若 为 的边时，
∵ ， ， ，
由中点坐标公式得， ，
解得， ，
∴
86∴ ；
综上，点E的坐标为 、 或
21．在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点A，与 于点 ，已知抛物线 经过
A、 两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 在抛物线上，且 与 的面积相等，直接写出点 的坐标为________；
(3)如图，点 是在直线 上方的抛物线上的动点，连接 、 ，当点 到直线 的距离最大值为 ，
求 的值．
(4)当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为6，直接写出 的值________．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
(4)
【分析】（1）求出直线 与x轴的交点A，与y轴的交点B的坐标，然后代入 ，求
出 的值，即可求出抛物线的解析式；
（2）分两种情况：点P是在直线 上方的抛物线上的动点，②点P是直线 下方的抛物线上的点，分
别进行求解即可；
87（3）点P是在直线 上方的抛物线上的动点， 长度不变，当点P到直线 的距离最大值时，
最大，转化为求 最大时，求点 到直线 的距离最大值；
（4）求出抛物线 的对称轴 ，顶点为 ，由 得到当 时，y随着x的增大
而增大，当 时，y随着x的增大而增大，得到当 时，最大值为 ，当
时，最小值为 ，根据当 时，二次函数 的最大值与最小
值的差为6列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：对于 ，
当 ，即
当 时，即 ，
将 ， 代入 得：
，
解得：
∴抛物线的解析式为： ；
（2）①当点P是在直线 上方的抛物线上的动点， 不动，当点P到直线 的距离最大值时，
最大，过点P作 轴，交 于点N，设点 ， ，设A到 距离为 ，B
到 距离为 ，
88∴
，
∵ ，
∴当 时， 的面积最大值为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴点P不可能是在直线 上方的抛物线上的点，
当点P是直线 下方的抛物线上的点时，根据两平行线间距离处处相等可知，
点P在过点O且平行于直线 的直线上，
即点P在直线 上，
与抛物线 联立可得，
，
89解得， 或 ，
即点P的坐标为 或 ；
故答案为： 或
（3）∵点P是在直线 上方的抛物线上的动点， 不动，当点P到直线 的距离最大值时， 最
大，过点P作 轴，交 于点N，设点 ， ，设A到 距离为 ，B到
距离为 ，
∴
，
∵ ，
90∴当 时， ，
点P到直线 的距离最大值为s，
∵ ， ，
解得 ；
（4）对于 ，
∴抛物线 的对称轴 ，顶点为 ，
∵ ，
∴当 时，y随着x的增大而增大，
当 时，y随着x的增大而增大，
当 时，最大值为 ，
当 时，最小值为 ，
∵当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为6，
∴
整理得到 ，
解得 ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，平行线的距离，
正确理解题意，用分类讨论的数学思想是解题的关键．
91
