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专题 06 三角形中的倒角模型之 A 字、8 字、燕尾模型
目录
A题型建模・专项突破
题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型........................................................................................................1
题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型........................................................................................................6
题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型..............................................................................................................9
B综合攻坚・能力跃升
题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型
模型总结：如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。
条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
1．（25-26八年级上·四川广安·月考）如图，在四边形 中， ，若沿图中虚线剪去 ，则
．
2．（25-26七年级上·山东淄博·月考）如图，在 中， ， ，点 、 在边 、
上，沿 向内折叠 得到 ，则图中 等于 ．
3．（2025八年级上·全国·专题练习）探索归纳：(1)如图 ，已知 为直角三角形， ，若沿图中虚线剪去 ，则 ________；
(2)如图 ，已知 中， ，剪去 后形成四边形，则 ________；
(3)如图 ，根据上面的求解过程，猜想 与 的数量关系，并证明；
(4)若 没有剪掉，而是把它折成如图 的形状，请猜想 与 的数量关系，并说明理由．
4．如图1，直线 与 的边 ， 分别相交于点 ， （都不与点 重合）.
(1)若 ，①求 的度数；②如图2，直线 与边 ， 相交得到 和 ，直接写出
的度数.(2)如图3， ， 分别平分 和 ，写出 和 的数量关系，并说明
理由；
(3)如图4，在四边形 中，点 ， 分别是线段 、线段 上的点， ， 分别平分
和 ，直接写出 与 ， 的关系.
题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型
模型总结：
1）8字模型（基础型）
条件：如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：① ；② 。
证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；
在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴ 。
2）8字模型（加角平分线）
条件：如图，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则 ，即2∠P=∠B+∠D
5．（25-26八年级上·吉林·月考）如图， 和 相交于点 ，连接 和 ，若 ， ，
，则 ．
6．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图， ， ， ，则 的度数为
．
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）“8”字的性质及应用：
(1)如图①， 相交于点O，得到1个“8”字 ．求证： ．
(2)如图②，以图中已有字母的顶点组成的“8”字有多少个？请分别写出来．
(3)如图②， 和 的平分线相交于点E，利用（1）中的结论说明： ．8．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图1，线段 ， 相交于点O，连接 ， ，我们把形如图
1的图形称为“8字形”．
(1)求证： ；
(2)如图2，点M是线段 上一点，连接 ，求 的度数；
(3)如图3，点E是 延长线上一点， 与 的平分线交于点P，试猜想 ， 与 之间
的数量关系，并说明理由．
题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型
模型总结：条件：如图，凹四边形ABCD； 结论：① ；② 。
证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D；
又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。
延长BC交AD于点P；在△ABQ中， ；在△CDQ中， 。
即： ，故 。
拓展模型1：条件：如图，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O= （∠A+∠C）。
证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO= ∠ABC；∠ADO= ∠ADC；
根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A= ∠ABC+ ∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；
∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O= （∠A+∠C）。9．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）一个零件的形状如图，按规定 ．已知 ，
要判断这个零件是否合格，只要检验 的度数就可以了．量得 ，这个零件 （填
“合格”或“不合格”）．
10．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图， 平分 ，交 于点 ，若 ， ，
，则 的度数为 ．
11．（23-24七年级下·江苏南京·月考）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解
决下列问题：
(1)用图①证明： ；
(2)在图①中，若 平分 ， 平分 ， 与 交于E点，运用（1）的结论写出 、
和 之间的关系，并说明理由；
(3)如图②，若 ， ，试探索 ， 和 三个角之间的关系为
______（直接写出结果即可）．
12．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形 ．因为酷似燕尾，所
以称之为“燕尾型”求证： ；
【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示， ， ， ，
，求椅面和椅背的夹角 的度数；
【模型迁移】（3）如图③， ， ，求 的度数．一、单选题
1．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图， ， ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·贵州黔南·期中）在如图所示的三角形纸片 中剪去 ，得到四边形 ，
若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·广西玉林·期中）利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的
生活方式逐渐影响居民的生活习惯．周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的
一块四边形的余料，经过测量， ， ， ，那么 的度数是（ ）
A． B． C． D．二、填空题
4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图， ， ， ，则 的度数为 ．
5．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）小聪一笔画成了如图所示的图形，则 的度
数为 ．
6．（25-26八年级上·江西南昌·期中）一个三角板 和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的
两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．若 ， ，则 ．
三、解答题
7．（25-26八年级上·广东肇庆·月考）【问题背景】
（1）如图①的图形我们把它称为“8字形”，请说明 ；
【简单应用】
（2）如图②， 、 分别平分 、 ，若 ，求 的度数；8．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图①，有一块直角三角尺 放置在 上（点 在
内），三角尺 的两条直角边 ， 恰好分别经过点 和点 ．
(1)请猜想 与 的关系，并证明；
(2)如图②，使点 在 外，其两条直角边 ， 分别经过点 和点 ，（1）中的结论是否仍然成
立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出新的结论．
9．（25-26八年级上·云南红河·期中）【问题呈现】
小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：
如图①， 与 分别为 的两个外角，求证： ．
【推理证明】
(1)补全证明过程．
证明： 与 分别为 的两个外角，
_____， _____
_____
，
．
(2)如图②，在 纸片中剪去 ，得到四边形 ．若 ，则 的大小为_____度．
(3)如图③，在 中， 分别为外角 ， 的平分线，写出 与 之间的数量关系，
并说明理由．10．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图 ，已知线段 相交于点 ，连接 ，则我们把
形如这样的图形称为“ 字型”．
(1)求证： ；
(2)如图 ，若 和 的平分线 和 相交于点 ，与 分别相交于点 ．
以线段 为边的“ 字型”有______个，以点 为交点的“ 字型”有______个；
若 ， ，求 的度数；
若角平分线中角的关系改为“ ， ”，试探究 与 之间存在
的数量关系，并证明理由．
11．（25-26八年级上·广东阳江·月考）[问题背景]学习三角形内角和定理后，我们认识到：任何一个三角
形的三个内角之和都等于 ．现在请同学们通过探索归纳，解答下列问题：
【问题引入】
（1）如图1，已知 为直角三角形， ，若沿图中的虚线剪去 ，则 ________度．
【类比探究】
（2）如图2，在 中， ，剪去 后得到一个四边形，则 ______度．
【归纳总结】
（3）根据（1）与（2）的思考和解答过程，请你猜想 与 的数量关系，并证明你的结论．
【知识拓展】
（4）如图3，如果沿着剩下的四边形再剪一刀，得到 与 ，那么 和 的数量关系为
___________．
12．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明 ；
【简单应用】
（2）如图2， 分别平分 ，若 ，求 的度数；
【问题探究】（3）如图3，直线 平分 的外角 平分 的外角 ，若
，请猜想 的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4）在图4中，若设 ， 平分 平分 的外角 ，猜想 与
的关系，直接写出结论（用 表示 ）．
