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专题 06 三角形中的倒角模型之 A 字、8 字、燕尾模型
目录
A题型建模・专项突破
题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型........................................................................................................1
题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型........................................................................................................6
题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型..............................................................................................................9
B综合攻坚・能力跃升
题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型
模型总结：如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。
条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
1．（25-26八年级上·四川广安·月考）如图，在四边形 中， ，若沿图中虚线剪去 ，则
．
【答案】 /230度
【分析】本题考查了外角的性质，三角形的内角和定理，熟练运用外角的性质是解题的关键；根据外角的
性质再结合三角形的内角和定理即可得解．
【详解】解：如图，
， ，
，故答案为： ．
2．（25-26七年级上·山东淄博·月考）如图，在 中， ， ，点 、 在边 、
上，沿 向内折叠 得到 ，则图中 等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查折叠的性质和外角的性质，解决此题的关键是作出合理的辅助线；根据折叠的性质
可知 ，根据三角形的内角和得到 的度数，再根据外角的性质即可得到答案；
【详解】解：如图，连接AD，
∵ ， ，
∴ ，
由折叠的性质可知： ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（2025八年级上·全国·专题练习）探索归纳：
(1)如图 ，已知 为直角三角形， ，若沿图中虚线剪去 ，则 ________；
(2)如图 ，已知 中， ，剪去 后形成四边形，则 ________；
(3)如图 ，根据上面的求解过程，猜想 与 的数量关系，并证明；
(4)若 没有剪掉，而是把它折成如图 的形状，请猜想 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)(3) ．证明见解析
(4) ．理由见解析
【分析】本题主要考查了折叠的性质及三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的
两个内角和、三角形的内角和是 度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是 ”这一隐含的条
件．
( )利用三角形的外角定理及直角三角形的性质求解；
( )利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；
( )根据( )、( )中思路即可求解；
( )根据折叠对应角相等，得到 ， ，进而求出 ，
最后利用 即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
∴
∵ 为直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）如图所示：
在 中，由外角性质可知：
；
∵
∴故答案为：
（3）解：由( )、( )中思路，由三角形外角性质可知：
， ；
∴
，
∴ 与 的关系是： ，
故答案为： ；
（4） ．
理由：连接 ．
∵ 是由 折叠得到的，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 与 的关系为： ．
4．如图1，直线 与 的边 ， 分别相交于点 ， （都不与点 重合）.
(1)若 ，①求 的度数；②如图2，直线 与边 ， 相交得到 和 ，直接写出
的度数.(2)如图3， ， 分别平分 和 ，写出 和 的数量关系，并说明
理由；
(3)如图4，在四边形 中，点 ， 分别是线段 、线段 上的点， ， 分别平分
和 ，直接写出 与 ， 的关系.【答案】(1)① ；② (2) ，理由见解析(3) .
【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等
知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键．（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计
算即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答；
（3）由（2）的结论可得 ，再根据三角形内角和定理进行解答即可．
【详解】（1）解：①如图1，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ；
②由①方法可得： ．
（2）解： ，理由如下：由（1）可得 ．
∵ ， 分别平分 和 ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解： ，理由如下：由图2可得， ，
∵ ， 分别平分 和 ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型
模型总结：
1）8字模型（基础型）
条件：如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：① ；② 。
证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；
在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；
在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴ 。
2）8字模型（加角平分线）
条件：如图，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则 ，即2∠P=∠B+∠D
5．（25-26八年级上·吉林·月考）如图， 和 相交于点 ，连接 和 ，若 ， ，
，则 ．
【答案】 /73度
【分析】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键；因此此题可根据三角形内角
和进行求解即可．
【详解】解：在 中， ，在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ；
故答案为 ．
6．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图， ， ， ，则 的度数为
．【答案】
【分析】此题考查了三角形的内角和定理，垂线，先根据垂直的定义得 ，由三角形内角和定
理求出 ，再根据三角形内角和定理求出 的度数即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）“8”字的性质及应用：
(1)如图①， 相交于点O，得到1个“8”字 ．求证： ．
(2)如图②，以图中已有字母的顶点组成的“8”字有多少个？请分别写出来．
(3)如图②， 和 的平分线相交于点E，利用（1）中的结论说明： ．
【答案】(1)见解析
(2)有3个，分别是
(3)见解析
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质和对顶角相等的综合运用，解题的关键是
掌握三角形的内角和定理,外角的性质.
（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解决.
（2）根据题中的“8”字的概念解答即可.
（3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质解答即可.
【详解】（1）证明： ，
， ，
．
（2）解：有3个，分别是 ．
（3） 平分 ， 平分 ，
．
由（1），同理可证得 ，，
，
．
8．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图1，线段 ， 相交于点O，连接 ， ，我们把形如图
1的图形称为“8字形”．
(1)求证： ；
(2)如图2，点M是线段 上一点，连接 ，求 的度数；
(3)如图3，点E是 延长线上一点， 与 的平分线交于点P，试猜想 ， 与 之间
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3) ，理由见详解
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义及角平分线的性质．
（1）在 和 中，分别利用三角形内角和定理，再结合对顶角相等来推导；
（2）先在 中得到 与 的关系，再在 中利用三角形内角和定理来求解；
（3）利用角平分线的性质和“8字形”的结论，通过等量代换和化简来找出 ， 与 之间的关系．
【详解】（1）证明：∵ 和 的内角和都为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：在 中， ，
在 中， ，
∴ ．
（3）解： ，
理由：由（1）知， ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型
模型总结：条件：如图，凹四边形ABCD； 结论：① ；② 。
证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D；
又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。
延长BC交AD于点P；在△ABQ中， ；在△CDQ中， 。
即： ，故 。
拓展模型1：条件：如图，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O= （∠A+∠C）。
证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO= ∠ABC；∠ADO= ∠ADC；
根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A= ∠ABC+ ∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；
∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O= （∠A+∠C）。
9．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）一个零件的形状如图，按规定 ．已知 ，要判断这个零件是否合格，只要检验 的度数就可以了．量得 ，这个零件 （填
“合格”或“不合格”）．
【答案】合格
【分析】本题考查了三角形的外角知识，熟练掌握三角形的外角性质，连接 并延长是解题的关键；
连接 并延长，根据三角形的外角的性质得到 ， ，因此
，即可作出判断．
【详解】解：连接 并延长，如图：
由三角形的外角性质可得， ， ，
∴ ， ，
∴
，
∴这个零件符合规定，是合格的．
故答案为：合格．
10．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图， 平分 ，交 于点 ，若 ， ，
，则 的度数为 ．
【答案】 /60度
【分析】本题考查三角形外角的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形外角的性质和角平分线的定义．
作射线 ，根据三角形外角的性质和角平分线的定义，再结合题意，即可得到答案．
【详解】解：作射线 ，如图，
由三角形外角的性质得到： ，
又 ， ， ，
则 ，
平分 ，
，
，
即 ．
故答案为： ．
11．（23-24七年级下·江苏南京·月考）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解
决下列问题：
(1)用图①证明： ；
(2)在图①中，若 平分 ， 平分 ， 与 交于E点，运用（1）的结论写出 、
和 之间的关系，并说明理由；
(3)如图②，若 ， ，试探索 ， 和 三个角之间的关系为
______（直接写出结果即可）．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，解答的关键是熟知三角形的内角和等于 是
解答此题的关键．（1）根据三角形内角和定理得 ， ，即
，即可求得 ，则容易
得到 ；
（2）用题中给出的结论表示出 与 ，再把两式相减即可得出结论；
（3）利用题中给出的结论解答即可．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
在 中， ，
；
在 中，
，
即 ，
而 ，
，
即 ．
（2） ，理由如下：
由题意得， ①，
②，
平分 ， 平分 ，
， ，
① ②得， ，
；
（3） ，理由：
， ，
， ，
①，
②，
② ①得，
，，
，
，
．
故答案为： ．
12．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形 ．因为酷似燕尾，所
以称之为“燕尾型”求证： ；
【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示， ， ， ，
，求椅面和椅背的夹角 的度数；
【模型迁移】（3）如图③， ， ，求 的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）
【分析】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理，
（1）连接 ，并延长，如图①所示：根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形内角和定理即可得到结论；
（3）连接 ，如图③所示：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得到结论．
掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接 ，并延长，如图①所示：
∵ 是 的外角，
∴ ①，
∵ 是 的外角，
∴ ②，
① ②，得： ，
即 ；
（2）解：如图，设 交 于点 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
由（1）知： ，
∴椅面和椅背的夹角 的度数为 ；
（3）连接 ，如图③所示：
∵ ， ，
由（1）知：
③，
④，
③+④，得： ，
∴ ，
即 的度数为 ．
一、单选题
1．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图， ， ，若 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，对顶角相等，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键．先
根据直角三角形两锐角互余得出 ，再根据 ，进而求解即可．
【详解】解：设 交于点O，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
2．（25-26八年级上·贵州黔南·期中）在如图所示的三角形纸片 中剪去 ，得到四边形 ，
若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理；由三角形外角性质及三角形内角和定理得
， ， ，即可求解．
【详解】解： ，
，
，，
故选：B．
3．（25-26八年级上·广西玉林·期中）利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的
生活方式逐渐影响居民的生活习惯．周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的
一块四边形的余料，经过测量， ， ， ，那么 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质定理，解题的关键是掌握三角形外角的性质定理．延长 交
于点E，利用三角形外角的性质定理求解即可．
【详解】解：如图，延长 交 于点E．
∵ ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
故选：C．
二、填空题
4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图， ， ， ，则 的度数为 ．
【答案】 /63度
【分析】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，由 ，
， ，得 ，然后代入即可求解，掌握三角形内
角和定理是解题的关键．【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
5．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）小聪一笔画成了如图所示的图形，则 的度
数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，连接 ，由三角形外角的性质可推出
，则可证明 ，据此由三
角形内角和定理可得答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·江西南昌·期中）一个三角板 和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的
两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．若 ， ，则 ．【答案】30
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，解决此题的关键是作出合理的辅助线；先作出辅助线，运用
两次三角形的外角性质即可得到答案；
【详解】解：如图，延长 至点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为：30．
三、解答题
7．（25-26八年级上·广东肇庆·月考）【问题背景】
（1）如图①的图形我们把它称为“8字形”，请说明 ；
【简单应用】
（2）如图②， 、 分别平分 、 ，若 ，求 的度数；【答案】（1）见解析；（2）
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理求解即可；
（2）结合（1）的结论得到 ，由角平分线的定义得到 ，再根据（1）的
结论列式求解即可
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ；
（2）根据（1）可知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 、 分别平分 、 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ．
8．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图①，有一块直角三角尺 放置在 上（点 在
内），三角尺 的两条直角边 ， 恰好分别经过点 和点 ．
(1)请猜想 与 的关系，并证明；
(2)如图②，使点 在 外，其两条直角边 ， 分别经过点 和点 ，（1）中的结论是否仍然成
立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出新的结论．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)不成立，【分析】（1）利用三角形的内角和定理即可得出结论；
（2）利用三角形的内角和定理即可得出结论．
本题考查三角形内角和定理的应用．
【详解】（1）解：猜想： ．
证明：在 中， ，
即 ，
在 中， ，
，
；
（2）解：不成立．结论： ．
在 中， ，
即
．
在 中， ，
，
．
9．（25-26八年级上·云南红河·期中）【问题呈现】
小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：
如图①， 与 分别为 的两个外角，求证： ．
【推理证明】
(1)补全证明过程．
证明： 与 分别为 的两个外角，
_____， _____
_____
，
．
(2)如图②，在 纸片中剪去 ，得到四边形 ．若 ，则 的大小为_____度．
(3)如图③，在 中， 分别为外角 ， 的平分线，写出 与 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) ， ， ．
(2)50
(3) ，理由见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关
知识是解答的关键．
（1）由三角形外角性质得 ， ，再求 与 的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证；
（2）由 进行变形为 即可解答；
（3）由角平分线的定义得 、 ，再由三角形内角和定理得出 ，
然后把 代入求解即可．
【详解】（1）证明： 与 分别为 的两个外角，
， ，
，
．
故答案为： ， ， ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
故答案为：50．
（3）解： ，理由如下：
∵ 分别为外角 ， 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
10．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图 ，已知线段 相交于点 ，连接 ，则我们把
形如这样的图形称为“ 字型”．(1)求证： ；
(2)如图 ，若 和 的平分线 和 相交于点 ，与 分别相交于点 ．
以线段 为边的“ 字型”有______个，以点 为交点的“ 字型”有______个；
若 ， ，求 的度数；
若角平分线中角的关系改为“ ， ”，试探究 与 之间存在
的数量关系，并证明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ， ； ； ，理由见解析．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角的性质等知识，掌握知识点的应用是解
题的关键．
（ ）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；
（ ）①根据“ 字型”的定义判断即可；
由（ ）结论可得 和 中， ， 和 中，
，两式相加再由角平分线的定义即可解答；
根据 ， ，得 ， ， ，
，然后可得 ， ，最后进行等
量代换即可解答．
【详解】（1）证明： 中， ， 中， ，
∵ ，
∴ ；
（2）解： 以线段 为边的“ 字型”有： 和 ， 和 ， 和 ，
共 个；
以点 为交点的“ 字型”有： 和 ， 和 ， 和 ， 和
，共 个；
故答案为： ， ；
和 中， ， 和 中， ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
，理由如下：
∵ ， ，
∴ ， ， ， ，
在 和 中， ， ，
∴ ，
在 和 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
11．（25-26八年级上·广东阳江·月考）[问题背景]学习三角形内角和定理后，我们认识到：任何一个三角
形的三个内角之和都等于 ．现在请同学们通过探索归纳，解答下列问题：
【问题引入】
（1）如图1，已知 为直角三角形， ，若沿图中的虚线剪去 ，则 ________度．
【类比探究】
（2）如图2，在 中， ，剪去 后得到一个四边形，则 ______度．
【归纳总结】
（3）根据（1）与（2）的思考和解答过程，请你猜想 与 的数量关系，并证明你的结论．
【知识拓展】
（4）如图3，如果沿着剩下的四边形再剪一刀，得到 与 ，那么 和 的数量关系为
___________．
【答案】（1）270；（2）220；（3） ，证明见解析；（4）【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和定理是解题的关键．
（1）由三角形内角和定理可得 ，由平角的定义可推出
，据此可得答案；
（2）同（1）求解即可；
（3）同（1）求解即可；
（4）由（3）的结论可得答案．
【详解】解：（1）如图所示，在 中， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图所示，在 中， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3） ，证明如下：
如图所示，在 中， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；（4）由（3）可得 ，
∴ ．
12．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明 ；
【简单应用】
（2）如图2， 分别平分 ，若 ，求 的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线 平分 的外角 平分 的外角 ，若
，请猜想 的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4）在图4中，若设 ， 平分 平分 的外角 ，猜想 与
的关系，直接写出结论（用 表示 ）．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ，理由见解析；（4）
【分析】本题主要考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学
会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型．
（1）利用三角形内角和求解即可．
（2）利用（1）中结论可得出 ，两式相加，然后再根据角平
分线的定义得出 进而可得出 ，即可求出 ．
（3）由角平分线的定义得出 由补角的定义和性质得出
由（1）中结论得出 ， ，代入可进一步
得出答案．
（4）由角平分线的定义设 ，则 ，由（1）中结论得出，
，整理即可得出 ．
【详解】解：（1）在 中， ．
在 中， ．
（2）由（1）得： ，
∵ 分别平分 ，
∴
，
．
（3） ，理由是：如图3：
平分 的外角 平分 的外角 ，
，
，
∴ ，
即
即 ，
，
（4）∵ 平分 平分 的外角 ，
∴设 ，则 ．
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴
