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专题 06 不等式（组）的应用
题型一 不等式（组）一一次函数图像
1．如图，直线 与 相交于点 ，则关于 的不等式 的解集为 ．
【解答】解：当 ，函数 的图象在函数 图象的上方，
所以关于 的不等式 的解集为 ．
故答案为 ．
2．直线 与 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 的不等式 的解
集为
A． B． C． D．
【解答】解：根据图象可知：
直线 与 的交点坐标为： ，
则关于 的不等式 的解集为 ．
故选： ．3．如图，一次图数 与一次函数 图象交于点 ，则关于 的不等式组
的解集为
A． B． C． D．
【解答】解：直线 与 轴的交点坐标为 ，
所以不等式组 的解集为 ．
故选： ．
4．如图，直线 和直线 分别与 轴交于 和 两点，则不等式组
的解集为
A． B． C． D． 或
【解答】解：当 时， ，则 时， ，当 时， ，则 时， ，
所以当 时， ， ，
即不等式组 的解集为 ．故选： ．
5．如图，已知：函数 和 的图象交于点 ，则根据图象可得不等式
的解集是
A． B． C． D．
【解答】解： 函数 和 的图象交于点 ，
则根据图象可得不等式 的解集是 ，故选： ．
6．直线 与 的交点的横坐标为 ．则关于 的不等式 的解
集为 ．
【解答】解： 直线 与 的交点的横坐标为 ，
关于 的不等式 的解集为 ，
时， ，
不等式 的解集为 ．故答案为： ．7．如图，函数 和 的图象相交于点 ，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
【解答】解： 函数 过点 ，
，解得： ， ， ， 不等式 的解集为 ．故选： ．
8．直线 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则关于 的不等式 的解集为 ．
．
【解答】解：由图象可以知道，当 时， ，
当 时， ， ， 随 的增大而增大，故不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
9．如图，过 点的一次函数 的图象与正比例函数 的图象相交于点 ，则不等式
的解集是 ．【解答】解：把 代入 中，解得 ，则 ，又 ，
设一次函数 经过 、 两点，
，
解得： ， ．
故： ，
，解得： ．故答案为 ．
10．如图，直线 经过 和 ， 两点，则不等式组 的解集为
．
【解答】解：由题意可得：一次函数图象在 的下方时 ，在 的上方时 ，
关于 的不等式 的解集是 ．
故答案为： ．
11．已知直线 ， ， 的图象如图所示，若无论 取何值， 总取 、 、中的最小值，则 的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：由于 总取 、 、 中的最小值，所以 的图象如图所以，分别求出 ， ， 交点
的坐标 ， ； ， ； ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
所以 最大值为 ．
故选： ．题型二 不等式与最值、范围
12．如图，规定程序运行到“判断结果是否大于 100”为第一次运算，若运算进行了三次才停止，则满足
条件的整数 的个数为 7 ．
【解答】解：依题意，得： ，
解得： ．
又 为整数，
可以为5，6，7，8，9，10，11，
满足条件的整数 的个数为7．
故答案为：7．
13．对于实数 ， ，我们定义符号 ， 的意义为：当 时， ， ；当 时，
， ；如： ， ， ， ，若关于 的函数为 ， ，则该
函数的最小值是 2 ．
【解答】解：联立两函数解析式成方程组，得： ，
解得： ．
当 时， ， ；当 时， ， ．
函数 ， 最小值为2．
故答案为：2．
14．定义：对于实数 ，符号 表示不大于 的最大整数．例如： ， ， ．如果，则 的取值范围是 ．
【解答】解： ，
的取值范围是 ；
故答案为： ．
15．对于实数 ， ，定义符号 ， ，其意义为：当 时， ， ；当 时， ，
．例如： ， ，若关于 的函数 ， ，则该函数的最大值为 ．
【解答】解：由题意得：
，
解得： ，
当 时， ，
当 时， ， ，
由图象可知：此时该函数的最大值为 ；
当 时， ，
当 时， ， ，
由图象可知：此时该函数的最大值为 ；
综上所述， ， 的最大值是当 所对应的 的值，
如图所示，当 时， ，故答案为： ．
16．一次函数 的自变量的取值范围是 ，相应函数值的取值范围是 ，
则这个函数的解析式为 或者 ．
【解答】解：分两种情况：
①当 时，把 ， ； ， 代入一次函数的解析式 ，
得 ，
解得 ，
则这个函数的解析式是 ；
②当 时，把 ， ； ， 代入一次函数的解析式 ，
得 ，
解得 ，则这个函数的解析式是 ．
故这个函数的解析式是 或者 ．
17．已知非负数 ， ， 满足 ，则 的最大值是 ；最小值是
．
【解答】解：设 ，
则 ， ， ，
； ； ，
； ； ；
解得 ； ； ；
， ，把 ， ， ，代入得：
， ，解得， ．
的最大值是 ；最小值是19．
故答案为： ；19．
18．已知非负数 ， ， 满足条件 ， ，设 的最大值为 ，最小值为 ，则
的值
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解： ， ， 为非负数；
；
又 ；；
；
；
；
又 ；
时 最小，即 ，即 ；
；
；
；
时 最大，即 ，即 ；
．故选： ．
19．设 为实数，我们用 表示不小于 的最小整数，如： ， ．我们可以得出
．那么满足 的 的取值是 或 ．
【解答】解：依据题意有 且 为整数，
解得： ，
，
整数 为 ， ，
解得： 或 ．
故答案为： 或 ．
20．阅读下列材料：
问题：已知 ，且 ， ，试确定 的取值范围．解： ．
，
又 ，
．
．
又 ，
．①
．
即 ．②
① ②得 ．
的取值范围是 ．
请按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知 ，且 ， ，则 的取值范围是 ； 的取值范围是 ；
（2）已知 ，且 ， ，若根据上做法得到 的取值范围是 ，求 、
的值．
【解答】解：（1） ，
，
又 ，
，
．又 ，
，①
即 ，②
由① ②得
的取值范围是 ；
故答案为： ， ；
（2） ，
，
又 ，
，
，
又 ，
当 ，即 时，
，
，① ，
即 ，②
由 ② ①得 ，
即 ，
的取值范围是 ，
，．
21．阅读材料：如果 是一个实数，我们把不超过 的最大整数记作 ．
例如： ， ， ．
那么： ， ， ．
则： ．
请你解决下列问题：
（1） ；
（2）若 ，则 的取值范围是 ；
（3）若 ，求 的值．
【解答】解：（1） ，
故答案为： ；
（2） ，
，
故答案为： ；
（3）如果 ，
那么 ．
解得： ．
是整数．
．
22．定义运算 ， ：当 时， ， ；当 时， ， ；如： ， ；， ； ， ．根据该定义运算完成下列问题：
（1） ， ，当 时， ， ；
（2）若 ， ，求 的取值范围；
（3）如图，已知直线 与 相交于点 ，若 ， ，结合图象，
直接写出 的取值范围是 ．
【解答】解：（1） ， ，当 时， ， ；
故答案为： ， ；
（2）由题意得： ，
，
；
（3） ， ，
，
由图象得： ，
故答案为： ．
23．阅读材料：
如果 是一个有理数，我们把不超过 的最大整数记作 ．例如， ， ， ．
那么， ，其中 ．
例如， ， ， ．
请你解决下列问题：
（1） 4 ， ；
（2）如果 ，那么 的取值范围是 ；
（3）如果 ，那么 的值是 ；
（4）如果 ，其中 ，且 ，求 的值．
【解答】解：（1） ， ．
故答案为：4， ．
（2）如果 ．
那么 的取值范围是 ．
故答案为： ．
（3）如果 ，
那么 ．
解得： ．
是整数．
．
故答案为： ．
（4） ，其中 ，
，，
，
，
，
，0，1，2．
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
或 或 或 ．
24．定义：对于实数 ，符号 表示不大于 的最大整数．例如 ， ， ．
（1） 3 ， ；
（2）如果 ，那么 的取值范围是 ；
（3）如果 ，求满足条件的所有正整数 ．
【解答】解：（1） ， ；
故答案为：3， ．
（2） ，
的取值范围是 ；
故答案为： ．（3）根据题意得：
，
解得： ，
则满足条件的所有正整数为5，6．
题型三 不等式（组）的实际应用
25．现有一批学生住若干间宿舍，若每间住4人还余19人，若每间住6人将有一间宿舍不满不空，则学生
人数最多有 6 7 人．
【解答】解：方法1：设有 间宿舍，
最后一间不空也不满，
最后一间房的人数大于0小于6，
或 或 或 或 ，
解得 ，11，12，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
故学生人数最多有67人．
方法2：设有 间宿舍，依题意有
，
解得 ，
则当 时， （人 ．
故学生人数最多有67人．故答案为：67．
26．某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人 5
盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人6盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足 4盒，
但至少1盒．则这个敬老院的老人最少有 3 0 人．
【解答】解：设这个敬老院的老人有 人，依题意得： ，
解得： ，为整数，
最少为31，故答案是：31．
27．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人
就分不到3本，那么这些书共有 2 6 本．
【解答】解：设共有 名学生，则图书共有 本，
由题意得： ，
解得： ，
为非负整数，
．
这些书共有： （本 ．
故答案为：26．
28．肺炎疫情期间，口罩成了家家户户必备的防疫物品．在某超市购买2只普通医用口罩和3只 口罩
的费用是22元；购买5只普通医用口罩和2只 口罩的费用也是22元．
（1）求该超市普通医用口罩和 口罩的单价；
（2）若准备在该超市购买两种口罩共50只，且 口罩不少于总数的 ，试通过计算说明，在预算不
超过190元的情况下有哪些购买方案．
【解答】解：（1）设普通医用口罩的单价为 元， 口罩单价为 元，依题意有
，解得 ．
故普通医用口罩的单价为2元， 口罩单价为6元；
（2）设购买普通医用口罩 个，则购买 口罩 个，依题意有
，解得 ．
购买方案：①购买普通医用口罩28个，购买 口罩22个；②购买普通医用口罩29个，购买 口罩
21个；③购买普通医用口罩30个，购买 口罩20个．
29．为应对新冠肺炎疫情，某服装厂决定转型生产口罩，根据现有厂房大小决定购买10条口罩生产线，现
有甲、乙两种型号的口罩生产线可供选择．经调查：购买3台甲型口罩生产线比购买2台乙型口罩生产线多花14万元，购买4条甲型口罩生产线与购买5条乙型口罩生产线所需款数相同．
（1）求甲、乙两种型号口罩生产线的单价；
（2）已知甲型口罩生产线每天可生产口罩9万只，乙型口罩生产线每天可生产口罩7万只，若每天要求产
量不低于75万只，预算购买口罩生产线的资金不超过90万元，该厂有哪几种购买方案？哪种方案最省钱
最少费用是多少？
【解答】解：（1）设甲型号口罩生产线的单价为 万元，乙型号口罩生产线的单价为 万元，由题意得：
，
解得： ，
答：甲型号口罩生产线的单价为10万元，乙型号口罩生产线的单价为8万元．
（2）设购买甲型号口罩生产线 条，则购买乙型号口罩生产线 条，由题意得：
，
解得： ，
又 为整数，
，或 ，或 ，
因此有三种购买方案：
①购买甲型3条，乙型7条；
②购买甲型4条，乙型6条；
③购买甲型5条，乙型5条．
当 时，购买资金为： （万元），
当 时，购买资金为： （万元），
当 时，购买资金为： （万元），
，
最省钱的购买方案为：选购甲型3条，乙型7条，最少费用为86万元．
30．潮州绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了 、 两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜
的种植面积与总收入如下表：
种植户 种植 类蔬菜面 种植 类蔬菜面积 总收入（单位：
积（单位： （单位：亩） 元）亩）
甲 3 1 12500
乙 2 3 16500
说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等
（1）求 、 两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？
（2）某种植户准备租20亩地用来种植 、 两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植 类蔬菜
的面积多于种植 类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），问该种植户共有几种租地方案？
【解答】解：（1）设 、 两类蔬菜每亩平均收入分别是 元， 元．
由题意得： ，
解得： ，
答： 、 两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元，3500元．
（2）设用来种植 类蔬菜的面积 亩，则用来种植 类蔬菜的面积为 亩．
由题意得： ，
解得： ．
取整数为：11、12、13、14． 租地方案有4种．
31．某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题．已知新建1个地上停车位和1个地下停车
位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元．
（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位需多少万元？
（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有几种建造停车位的方案？
【解答】解：（1）设新建1个地上停车位需要 万元，新建1个地下停车位需 万元，
根据题意，得 ，
解得： ．答：新建1个地上停车位需要0.1万元，新建1个地下停车位需0.5万元．
（2）设建 为整数）个地上停车位，则建 个地下停车位，
根据题意，得： ，
解得： ．
为整数，
，31，32，共有3种建造方案．
①建30个地上停车位，20个地下停车位；
②建31个地上停车位，19个地下停车位；
③建32个地上停车位，18个地下停车位．
32．“震灾无情人有情”．民政局将全市为四川受灾地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共 320件，
帐篷比食品多80件．
（1）求打包成件的帐篷和食品各多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区．已知甲种货车最多
可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件．则民政局安排甲、乙两种货车时有几
种方案？请你帮助设计出来．
（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费4000元，乙种货车每辆需付运输费3600元．
民政局应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
【解答】解：（1）设该校采购了 件小帐篷， 件食品．
根据题意，得 ，
解得 ．
故打包成件的帐篷有200件，食品有120件；
（2）设甲种货车安排了 辆，则乙种货车安排了 辆．则
，
解得 ．则 或3或4，民政局安排甲、乙两种货车时有3种方案．
设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；
②甲车3辆，乙车5辆；
③甲车4辆，乙车4辆；
（3）3种方案的运费分别为：
① （元 ；
② （元 ；
③ （元 ．
方案一的运费小于方案二的运费小于方案三的运费，
方案①运费最少，最少运费是29600元．
33．绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车
共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装
枇杷和桃子各2吨．
（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，
使运输费最少？最少运费是多少？
【解答】解：（1）设安排甲种货车 辆，则安排乙种货车 辆，依题意
得
解此不等式组得 ．
是正整数
可取的值为2，3，4．
安排甲、乙两种货车有三种方案：
甲种货车 乙种货车
方案一 2辆 6辆
方案二 3辆 5辆
方案三 4辆 4辆
（2）解法一：方案一所需运费为 元；
方案二所需运费为 元；
方案三所需运费为 元．
王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元．
解法二：
设运输费为 元，根据题意可得， ，
，
随 增大而增大，
时， 有最小值：2040，
王灿应选择方案一：2辆甲种货车，6辆乙种货车．运费最少，最少运费是2040元．
34．公司为了运输的方便，将生产的产品打包成件，运往同一目的地．其中 产品和 产品共320件，
产品比 产品多80件．
（1）求打包成件的 产品和 产品各多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批产品全部运往同一目的地．已知甲种货车最多可装
产品40件和 产品10件，乙种货车最多可装 产品和 产品各20件．如果甲种货车每辆需付运输
费4000元，乙种货车每辆需付运输费3600元．则公司安排甲、乙两种货车时有几种方案？并说明公司
选择哪种方案可使运输费最少？
【解答】解（1）设打包成件的 产品有 件， 产品有 件，
根据题意得 ，解得 ，
答：打包成件的 产品有200件， 产品有120件；
（2）设租用甲种货车 辆，
根据题意得 ，解得 ，
而 为整数，
所以 、3、4，
所以设计方案有3种，分别为：
方案 甲车 乙车 运 费
① 2 6
② 3 5③ 4 4
所以方案①运费最少，最少运费是29600元．
35．某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配 ， 两种园艺造型共50个，摆放
在迎宾大道两侧，已知搭配一个 种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个 种造型需甲种花卉
5盆，乙种花卉9盆．
（1）某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？
请你帮助设计出来；
（2）若搭配一个 种造型的成本是200元，搭配一个 种造型的成本是360元，试说明哪种方案成本最
低，最低成本是多少元？
【解答】解：（1）设搭配 种造型 个，则 种造型为 个，
依题意得 ，
解这个不等式组得： ，
是整数，
可取31，32，33，
可设计三种搭配方案：
① 种园艺造型31个， 种园艺造型19个；
② 种园艺造型32个， 种园艺造型18个；
③ 种园艺造型33个， 种园艺造型17个．
（2）设总成本为 元，
则 ，
，
随 的增大而减小，
则当 时，总成本 取得最小值，最小值为12720元．
36．某校服生产厂家计划在年底推出两款新校服 和 共80套，预计前期投入资金不少于20900元，但
不超过20960元，且所投入资金全部用于两种校服的研制，其成本和售价如表：
成本价（元 套） 250 280售价（元 套） 300 340
（1）该厂家有几种生产新校服的方案可供选择？
（2）该厂家要想获得最大的利润，最大利润为多少？
（3）经市场调查，年底前每套 款校服售价不会改变，而每套 款校服的售价将会提高 元 ，且
所生产的两种校服都可以售完，该厂家又该如何安排生产校服才能获得最大利润呢？
【解答】解：（1）设生产 校服 套，则生产 校服 套，根据题意得：
，
解得： ，
为整数，
只能取48、49、50，
厂家共有三种方案可供选择，分别是：
方案一、生产 校服48套，生产 校服32套；
方案二、生产 校服49套，生产 校服31套；
方案三、生产 校服50套，生产 校服30套；
答：厂家共有三种方案可供选择，分别是：方案一、生产 校服48套，生产 校服32套；方案二、生产
校服49套，生产 校服31套；方案三、生产 校服50套，生产 校服30套；
（2）设总利润为 ，则 ，
， 随 的增大而减小，
当 取最小值时， 最大，
当 取48时， 取得最大值为 （元 ，
答：该厂家采用生产方案一可以获得最大的利润，最大利润为4320元；
（3） 总利润 ，
分为三种情况：①当 时，安排生产 校服48套，可获得最大利润，
②当 时，怎么安排生产利润总是定值4800元，
③当 时，安排生产 校服50套，可获得最大利润．
答：①当 时，安排生产 校服48套，可获得最大利润，②当 时，怎么安排生产利润总是定值4800元，③当 时，安排生产 校服50套，可获得最大利润．
37．某工厂计划生产 、 两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
种产品 种产品
成本（万元 件） 2 5
利润（万元 件） 1 3
（1）若工厂计划获利14万元，问 、 两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？
（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．
【解答】解：（1）设生产 种产品 件，则生产 种产品 件，
依题意得： ，
解得 ，
则 ，
答：生产 产品8件，生产 产品2件；
（2）设生产 产品 件，则生产 产品 件
，
解得： ．
因为 为正整数，故 ，6或7；
方案①， 种产品5件，则 种产品5件；
方案②， 种产品6件，则 种产品4件；
方案③， 种产品7件，则 种产品3件，
（3）设 种产品 件时，获得的利润为 万元，则
，
因为 ，所以 随 的增大而减小，
所以，当 时， 取得最大值为20，
所以，生产方案①获利最大，最大利润为20万元．38．某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，
共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．
（1）求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
（2）该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两
种型号的手机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；
（3）售出一部甲种型号手机，利润率为 ，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出
一台乙型号手机，返还顾客现金 元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求 的
值．
【解答】解：（1）设甲种型号手机每部进价为 元，乙种型号手机每部进价为 元
，解得
答：甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元；
（2）设购进甲种型号手机 部，则购进乙种型号手机 部，
，
解得 ，
共有四种方案，
方案一：购进甲手机7部、乙手机13部；
方案二：购进甲手机8部、乙手机12部；
方案三：购进甲手机9部、乙手机11部；
方案四：购进甲手机10部、乙手机10部．
（3）甲种型号手机每部利润为 ，
当 时， 始终等于8000，取值与 无关．
39．为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我州北部某市向南部某贫困县中小学捐赠一批
书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套．
（1）求书籍和实验器材各有多少套？
（2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县．已知每辆甲种货
车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．运输部门安
排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来．（3）在（2）的条件下，如果甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元．
假设你是决策者，应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
【解答】解：（1）设书籍和实验器材分别为 、 套．
根据题意得：
解得：
故书籍和实验器材分别为240套，120套．
（2）设安排甲型号的货车 辆，则安排乙型号的货车 辆．
根据题意得：
解得：
又 取整数，
，1，2，3，4
，7，6，5，4，
共有4种方案，如下：
方案一：甲0辆，乙8辆
方案二：甲1辆，乙7辆
方案三：甲2辆，乙6辆
方案四：甲3辆，乙5辆
方案五：甲4辆，乙4辆
（3）方案一所需运费： （元
方案二所需运费： （元
方案三所需运费： （元
方案四所需运费： （元
方案五所需运费： （元故运输部门应选择方案一，他的运费最少，最少运费是7200元．
