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专题 06 图形平移的三种考法全攻略
题型一、几何图形中的平移问题
例．原来是重叠的两个直角三角形，将其中的一个三角形沿着BC方向平移4个单位长度，就得到如图所
示的图形，下列结论：①AC∥DF ②HE＝5 ③CF＝4 ④阴影部分面积为 ，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：①对应线段平行可得AC∥DF，正确；
②对应线段相等可得AB=DE=8，则HE=DE-DH=8-3=5，正确；③平移的距离CF=BE=4，正确；
④S HDFC=S ABEH 错误故选：C
四边形 梯形
【变式训练1】如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置．已知 的面积为9，阴影
部分三角形的 为4．若 ，则 等于_______．【答案】2
【详解】如图，设BC与 交于点E，与 交于点F，
∵ ， ，且AD为BC边上的中线，∴ ， ，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移到 ，
∴ ，∴△ ∽△DAB，∴ ，
解得 或 （舍），
故答案为：2．
【变式训练2】如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移
到 DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．42 B．48 C．84 D．96
【答案】B
【详解】解：∵平移距离为6，
∴BE=6，
∵平移，
∴AB=DE，阴影部分的面积等于直角梯形OEBA的面积
∵AB＝10，DO＝4，
∴OE=10-4=6，
∴直角梯形OEBA的面积为：（6+10）×6÷2=48．故选B．
【变式训练3】平移是一种常见的图形变换,如图1， 经过平移后得到 ，连接 ，若
△
平分 ， 平分 ，则称这样的平移为“平分平移”．
(1)如图1， 经过“平分平移”后得到 ，请问 有怎么样的位置关系： ．
(2)如图2,在 中, 经过“平分平移”后得到 ，求 的度数．
△
(3)如图3,在(2)的条件下， ， 平分 ,求 的度数．
(4)如图4, ABC经过“平分平移”后得到 ， ， 平分 ，若
△ △
．（用含 的式子表示）
【答案】(1)平行；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【详解】（1）解：∵ 经过“平分平移”后得到
∴ ．
故答案为：平行．
（2）解：∵ , 平分 ,
∴ ,
∵ 经过“平分平移”后得到∴
∵ 平分
∴ ,
∵ 经过“平分平移”后得到
∴ ,
∴
∵ ,
∴ ．
（3）解：如图：连接 ,与延长DO至E,
∵ 平分 , 平分 ,
∴
∵
∴
即
∵ ,
∴ ．
（4）解： ,∵ , ∴ ,
∵ , ∴
∴
∵ 平分 , 平分 ,
∴
∴ ．
故答案为： ．
【变式训练4】已知：如图①，在矩形 中， ，垂足是E点F是点E关于
的对称点，连接 ．
（1）求 和 的长；
（2）若将 沿着射线 方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿 方向所经过的线段长
度）当点F分别平移到线段 上时，求出相应的m的值;
（3）如图②，将 绕点B顺时针旋转一个角 ，记旋转中的 为 ，在旋转
过程中，设 所在的直线与边 交于点P与直线 交于点Q是否存在这样的P、Q两点，使
为等腰三角形？若存在，直接写出此时 的长：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）AE=4，BE=3；（2）3或 ；（3） 或 或 或
【详解】解：（1）在 中， ， ，
由勾股定理得： ．， ．
在 中， ， ，由勾股定理得： ．
（2）设平移中的三角形为△ ，如答图2所示：
由对称点性质可知， ．
由平移性质可知， ， ， ．
①当点 落在 上时， ， ， ， ，即 ；
②当点 落在 上时， ， ，
， ， ，又易知 ， △ 为等腰三角形，
， ，即 ．
（3）存在．理由如下：
在旋转过程中，等腰 依次有以下4种情形：
①如答图 所示，点 落在 延长线上，且 ，易知 ，
， ， ， ， ．
在 △ 中，由勾股定理得： ． ；
②如答图 所示，点 落在 上，且 ，易知 ，， ， ，则此时点 落在 边上．
， ， ， ．
在 中，由勾股定理得： ，
即： ，解得： ， ；
③如答图 所示，点 落在 上，且 ，易知 ．
， ， ．
， ． ，
， ， ， ．
在 △ 中，由勾股定理得： ， ；
④如答图 所示，点 落在 上，且 ，易知 ．， ， ， ，
， ．
综上所述，存在4组符合条件的点 、点 ，使 为等腰三角形；
的长度分别为 或 或 或 ．
【变式训练5】如图，等腰三角形 中， ，D为 边上一点，E为射线 上一点，连接 ．
(1)如图1，点F在线段 上，连接 、 ．若 ， 为等边三角形， ， ，
求 的长；
(2)如图2，F为线段 的垂直平分线上一点，连接 、 、 ，M为 的中点，连接 、 ．若
，求证： ；
(3)如图3， ，D为 中点，F为 中点， 与 交于点G，将 沿射线 方向平移得
，连接 、 ．若 ，直接写出 的最小值．
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)
【详解】（1）∵ ， ， 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
（2）如图，延长 到点N，使得 ，连接 ，
∵M为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵F为线段 的垂直平分线上一点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：如图，过点C作 ，∵ ， ，D为 中点，
∴ 为等边三角形，直线 是线段 的垂直平分线，
∴ ，∴ ；
∵点B平移到点 ，∴过点B作 ，交直线 于点 ，根据平移性质，得到四边形 是平行四边形，
∴ ， ，根据平移性质，得到 ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，
∴ ；作出点B关于直线 的对称点M，连接 交 于点Q，连接 交 于点N，当
点 与点N重合时， 取得最小值，
过点M作 ，交 的延长线于点P，
∵ ， ， ， 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴四边形 是矩形， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
题型二、函数图像中的平移问题
例1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A
的对应点A′在直线y＝x上，则点B与其对应点B′间的距离为（ ）A．9 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解：如图，连接AA′、BB′．
∵点A的坐标为（0，3），
△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，∴点A′的纵坐标是3．
又∵点A的对应点在直线y=x上一点，∴3=x，解得x=3，
∴点A′的坐标是（3，3），
∴AA′=3，
∴根据平移的性质知BB′=AA′=3．
故答案为B．
例2．如图，平面直角坐标系中， ， ， ， ， ．(1)求 的面积；
(2)如图 ，点 以每秒 个单位的速度向下运动至 ，与此同时，点 从原点出发，以每秒 个单位的速
度沿 轴向右运动至 ， 秒后， 、 、 在同一直线上，求 的值；
(3)如图 ，点 在线段 上，将点 向右平移 个单位长度至 点，若 的面积等于 ，求点 坐
标．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【详解】（1） ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ；
（2）由题意知： ， ，
， ， ．
（3）连接 ， ，设 ，
， ，
点 向右平移 个单位长度得到 点， ，
，
， ，
，
【变式训练1】在平面直角坐标系中， ， ，a，b满足 ，连接AB交
y轴于C．
(1)直接写出 ______， ______；
(2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；
(3)如图2，直线BD交x轴于 ，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点 在直线AE上，且
三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的 ，求点Q横坐标x的取值范围．
【答案】(1)-3，4
(2)-3，4
(3)-4≤x≤-2且x≠-3
【详解】（1）解： ，又∵ ， ，
，
解得： ，
故答案为：-3，4．
（2）过点 作 轴于 ，
设 ，
三角形 的面积 四边形 的面积 三角形 的面积，
，
即 ，
解得： ，
点 的坐标为 ，
过点 作 轴于 ，
三角形 的面积 三角形 的面积 三角形 的面积，
，
即 ，
，
点 的坐标为 或 ．
（3）点 向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度到点A，∵点D向左平移4个单位长度后的对应点正好在y轴上，
∴点 平移后的对应点恰好是点 ，
连接 ，过点 作 轴，如图所示：
，
三角形 的面积 三角形 的面积，
当三角形 的面积 三角形 的面积时， ，
当点 在第三象限时，
，
解得： ，
当点 在第二象限时，
，
解得： ，
当三角形 的面积不超过三角形 面积的 时，
点 的横坐标 的取值范围是 ，且 ．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于 两点，点 坐标
为 ，连接 ．(1)求点 的坐标及线段 的长度；
(2)将线段 沿 轴向下平移 个单位至 ，连接 ．
当 为直角三角形时，求 的值；
当 周长最小时， 的值是 ；此时，最小周长等于 ．
【答案】(1) ，
(2) 1或 ； ，
【详解】（1）解：令 ，则 ，
，
点 坐标为 ，
；
（2） 解：令 ，则 ，
，
线段 沿 轴向下平移 个单位至 ，
，
，
当 时， ，
解得 ，
当 时， ，
此时 不存在实数根，
当 时， ，
解得 ，综上所述： 的值为1或 ；
作 点关于直线 的对称点 ，连接 ，
，
，
当 三点共线时， 的值最小，此时 周长最小，
，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
将点 代入， ，
，
，
周长最小值为 ，
故答案为： ， ．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系 中，已知点 其中 满足：
．
（1）
（2）在坐标平面内，将△ABC平移，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，
若平移后E、F两点都在坐标轴上，请直接写出点E的坐标；
（3）若在△ABC内部的 轴上存在一点P，在（2）的平移下，点P的对应点为点Q，使得△APQ的面积
为10，则点P的坐标为_________．
【答案】（1）b=－3，c=1；（2）E（－4，0）或E（0，5）；（3）P的坐标为（0，3）或（0， ）．
【详解】（1）由题意得： ，解得： ，∴b=－3，c=1．
（2）∵b=－3，c=1，∴B（－3，6），C（1，1）．分两种情况讨论：
①若E在x轴上，F在y轴上，设B（－3，6）平移后为E（a，0），C（1，1）平移后为F（0，b），则平移方式为左1下6，∴E（－4，0）；
②若E在y轴上，F在x轴上，设B（－3，6）平移后为E（0，a），C（1，1）平移后为F（b，0），则
平移方式为右3下1，∴E（0，5）．
综上所述：E（－4，0）或E（0，5）．
（3）设P（0，y），其中（1＜y＜7）．分两种情况讨论：
①若平移方式为左1下6，则Q（－1，y-6），如图1．
∵ ，∴ =10，解得：y=3，
∴P（0，3）；
②若平移方式为右3下1，则Q（3，y-1），如图2．
∵ ，阿∴ =10，解得：y= ，∴P
（0， ）．
综上所述：P的坐标为（0，3）或（0， ）．题型三、动点或最值问题
例1.如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC平移4个单位长度得到△ABC ，M是AB的中点，则MA1的
1 1 1
最小值为________．
【答案】1
【详解】解：
如图：连接AA，∵将△ABC平移4个单位长度得到△ABC ，∴ ＝4，
1 1 1 1
∵M是AB的中点，∴AM＝ AB＝3，∴4-3≤MA1≤4+3，即1≤MA1≤7，∴MA1的最小值为1,
故答案为：1．
例2.如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，2），B（b，4），且a，b满足关系式（a+5）2+ ＝0
（1）直接写出A，B两点的坐标：A（ ， ），B（ ， ）；
（2）线段AB以每秒2个单位长度的速度向右水平移动，A，B的对应点分别为A，B；（友情提示：
1 1
S ABO表示三角形ABO的面积）
△
①如图2，若线段AB 交y轴于点C，当 时，求平移时间t的值；
1 1②若直线AB 交y轴于点C，当 时，试求出平移时间t的值，并直接写出点C的坐标．
1 1
【答案】（1） ， ；（2）① ；② ，
【详解】解：（1） ，
， ， ， ， ， ，
故答案为： ， ；
（2） 线段 以每秒2个单位长度的速度向右水平移动，
平移 秒后， ， ，
①如图2，作 轴于 ， 轴于 ，
， ，
即 ，
整理得： ，解得 ；
② ，即 ，解得 ， 此时 ， ， ， ，
，
即 ， ，解得 ，
点的坐标为 ．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，将线段 向右平移，则
在平移过程中， 的最小值是__．
【答案】
【详解】
如图：过点C作直线 ，作B点关于 的对称点E，连接AE，将直线AE向右平移至过C点得到直线
DF，连接 ，过点 做 轴交 轴于
∵平移后A点对应点为D点，B点对应点为G点，根据对称性：
∴ ，∴ 的最小值为DF的长度
∵点 ， ， ，根据对称性知
∴ ，∴ ，∴ 的最小值为 ．【变式训练2】如图，已知点 满足 ．将线段 先向上平移2个单位，
再向右平移1个单位后得到线段 ，并连接 ．
（1）请求出点 和点 的坐标；
（2）点 从 点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为 秒，问：是否存在这样的 ，
使得四边形 的面积等于8？若存在，请求出 的值：若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点 从 点出发的同时，点 从点 出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，
设射线 交 轴于点 ．设运动时间为 秒，问： 的值是否会发生变化？若不变，请求出它
的值：若变化，请说明理由．
【答案】（1）（-1,0）、（3,0）；（2）存在，t= ；（3）不变，理由见解析．
【详解】解：（1）∵ ，∴3a+b=0，b-3=0，即a=-1，b=3
∴点 和点 的坐标分别为（-1,0）和（3,0）
（2）存在；过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H.
由题意得点C和点D的坐标分别为（0,2）和（4,2），∴CD=4,DH=2,OB=3
设D点坐标为（0，t），连接MD、OD，∴OM=t
∵S =S +S =8，∴ ,即 ，解得t= ；
四边形OMDB OBD OMD
△ △
（3）不变，理由如下：如图：当运动时间为 秒，OM=t，ON=3-2t，过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H,连接OM，OD
∵ =S ，S = S +S
四边形OMDN 四边形OMDN OND OMD
△ △
∴ = S +S = = =3-2t+2t=3
OND OMD
△ △
∴ 的值不会变化
