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第二章 重点突破训练：
一元一次不等式和一元一次不等式组类型题举例
典例体系 （本专题 10 0 题 6 0 页）
考点1：由不等式性质求字母范围
典例：（2020·浙江绍兴市·八年级期中）已知关于 的不等式 ，两边同除以 ，得
，试化简： ．【答案】-1
【详解】
解：因为 ，两边同除以 ，得 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以
方法或规律点拨
此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向
不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）等式的两边同时加
上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；解答此题的关键是判断出 ．
巩固练习
1．（2021·全国八年级）若 ，两边同除以 后，变为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：若 ，两边同除以 后，变为 ，
则 的取值范围是 ．
故选：B．
2．（2020·浙江杭州市·八年级期中）如果关于 的不等式 的解集为 ，那么 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵不等式 的解集为 ，
∴ ，
故选：A．
3．（2020·河北秦皇岛市·七年级期末）如果不等式 的解集为 ，则 必须满足的条件
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：不等式 的解集是 ，符号改变了，所以 ，即 ．故选：B．
4．（2020·淮阳第一高级中学七年级期末）已知不等式 的解集是 ，则 的取值范围
是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：不等式（a-3）x＜3-a的解集为x＞-1，
∴a-3＜0，
解得a＜3．
故选：C．
5．（2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学八年级月考）已知关于x的不等式 的
解集为 ，化简 的结果为______．
【答案】
【详解】∵ 的解集为 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：-a-2．
6．（2020·浙江八年级期中）若 ，且 ，则a的取值范围是________．
【答案】
【详解】
解：∵ ，而 ，
∴ ，即 ．
故答案是： ．
考点2：不等式（组）解的归一问题
典例：（2020·浙江杭州市·杭州英特外国语学校八年级期中）已知关于x的不等式组 的解
集为 ，则 的值为___________．
【答案】
【详解】 ，
解不等式①得： ，解不等式②得： ，
由题意得： ，
解得 ，
则 ，
故答案为： ．
方法或规律点拨
本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组，熟练掌握不等式组和方程组的解法是解题关键．
巩固练习
1．（2020·陕西商洛市·七年级期末）如图，是关于x的不等式2x-m< -1的解集，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解不等式2x-m< -1得： ，
因为由图可得不等式的解集为 ，
所以 ，
所以m=-1．
故选：D．
2．（2021·全国九年级）已知不等式 与不等式 的解集相同，则 _______．
【答案】
【详解】解： 解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
两个不等式的解集相同，
，．
故答案为： ．
3．（2020·浙江嘉兴市·八年级期末）小张同学在解一元一次不等式时，发现一个不等式右边的数被墨迹污
染看不清了，所看到的部分不等式是 ，他查看练习本后的答案知道这个不等式的解是 ，则
被污染的数是__________．
【答案】−5
【详解】解：设被污染的数为a，不等式为1−3x＜a．
解得：x＞ ，
由已知解集为x＞2，得到 ＝2，
解得：a＝−5，
故答案为：−5
4．（2020·贵州安顺市·七年级期末）若关于x的不等式3m﹣2x＜5的解集是x＞3，则实数m的值为_____．
【答案】
【解析】试题分析：根据解不等式，可得不等式3m﹣2x＜5的解集 ，根据不等式的解集，可得
关于m的方程 ，根据解方程，可得m= ．
5．（2020·全国单元测试）关于 的不等式 的解为 ，则 _______．
【答案】-2
【详解】
．
∵ 是该不等式的解，
∴ ，
解得 ，
故答案为：-2．
6．（2020·江西赣州市·七年级期末）若不等式 的解集为 ，则a，b的值分别为
_______________．【答案】 、
【详解】
解：∵不等式组 的解集为2＜x＜3，
而解不等式组 得-a＜x＜b，
∴-a=2，b=3，
即a=-2，b=3．
故答案为： 、 ．
7．（2021·全国八年级专题练习）已知，关于x的不等式（2a-b）x+a-5b＞0的解集为x＜ ．
（1）求 的值．
（2）求关于x的不等式ax＞b的解集．
【答案】（1） ；（2） ．
【详解】
（1）不等式 可变形为 ，
此不等式的解集为 ，
，
则解不等式 得： ，
，
整理得： ，
解得 ；
（2）由（1）可知， ， ，
则 ，解得 ，
故关于x的不等式 的解集 ，即 ．
考点3：不等式（组）的整数解问题典例：（2021·全国八年级专题练习）已知关于x的不等式组 的整数解共有3个，则a的取值范
围是___________．
【答案】2＜a≤3．
【详解】解： ，
解不等式①得：x -a，
解不等式②得：x＜1，
∴不等式组的解集为-a＜x＜1，
∵不等式组的整数解共有3个，即-2，-1，0，
∴-3≤-a＜-2，
∴2＜a≤3，
故答案是：2＜a≤3．
方法或规律点拨
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式组的整数解和
已知得出关于a的不等式组．
巩固练习
1．（2021·全国八年级专题练习）若实数 是不等式 的一个解，则 可取的最小整数为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意， 是不等式的一个解，
∴将 代入不等式，得： ，
解得： ，
则 可取的最小整数为 ，
故选：D.
2．（2021·浙江宁波市·八年级期末）已知关于 的不等式组 的整数解共有3个，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：
解不等式①得：x ,解不等式②得：x< ，
∴不等式组的解集是 8，则m的值是_____．【答案】m＜-6．
【详解】解：
①+②得， ，解得，x=2m-1，
把x=2m-1代入②得， ，解得，y=4-5m，
将x=2m-1，y=4-5m代入不等式2x+y＞8得
4m-2+4-5m＞8，
∴m＜-6，
故答案为：m＜-6．
3．（2020·浙江八年级期末）若方程组 的解x、y满足 ，则a的取值范围为
_________．
【答案】a＞-4
【详解】
，
由②-①得：2y−2x＝2−a，
∵ ，则 ，
∴2−a＜6，
∴a＞-4，
故答案是：a＞-4．
4．（2021·全国八年级专题练习）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足 ，则
a的取值范围为________．
【答案】 ．
【详解】解： ，
直接把两个方程相加，得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
5．（2020·嵊州市马寅初初级中学八年级期中）关于 ， 的二元一次方程组 的解满足
不等式 ，则 的取值范围是______．
【答案】
【详解】 ，由①－②得 ，
建立不等式 ，解得 ，
故答案为： ．
6．（2021·全国八年级）关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y＞﹣1，则m的取值
范围是_____．
【答案】
【详解】
，
两个方程相加得： ，即 ，
由题意得： ，
解得 ，
故答案为： ．
7．（2019·山西七年级期末）若关于 、 的二元一次方程组 的解满足 ，
则满足条件的 的取值范围是____________．
【答案】
【详解】
① -②得： ，将 代入②得： ，
∵ ，
∴ + ，
∴ ．
故答案为： ．
8．（2020·浙江杭州市·九年级期中）已知
（1）若 ，求m的值；
（2）求 关于 的表达式；
（3）若 ，求 的值的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【详解】
（1）由题可知： ，
．
（2）∵ ，
∴ ，代入 中．
∴ ．
（3）由题可知 ，
解得： ．
由（1）知 ，
∴ ，即 ．
9．（2021·全国八年级专题练习）已知方程组 的解满足条件 ， ，求 的取值
范围．
【答案】
【详解】②×2-①得： ，
把 代入②得： ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ．
10．（2021·全国八年级专题练习）已知点 的坐标满足方程组 且点 在第四象限．
（1）请用含 的代数式表示 ；
（2）请求出 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【详解】
解：（1）由 ，可得：
①＋②可得： ；
（2）由（1）得： ，
∴把 代入①可得： ，解得： ，
∵点 在第四象限，
∴ ，解得： ．
11．（2021·全国八年级专题练习）关于x，y的方程组 的解都是非正数，求m的取值范
围．
【答案】 ．
【详解】
，
由① ②得： ，即 ，由① ②得： ，即 ，
此方程组的解都是非正数，
，即 ，
解得 ．
考点7：解不等式（组）
典例：（2021·沙坪坝区·重庆南开中学八年级开学考试）（1）解不等式：
（2）解不等式组 ，并在数轴上表示解集
【答案】（1） ，（2） ．
【详解】
解：（1） ，
去分母得， ，
移项得， ，
系数化为1得， ，
（2） ，
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
∴不等式组的解集为 ．
方法或规律点拨
本题考查解一元一次不等式（组），解题关键是熟练解不等式和利用数轴确定不等式组的解集．
巩固练习
1．（2021·浙江湖州市·八年级期末）解不等式 ．并把解集在数轴上表示出来．【答案】 ；图见解析
【详解】
去括号，得:
移项，合并同类项得: ，
．
在数轴上表示为：
2．（2021·全国八年级专题练习）解不等式： ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ；数轴见解析
【详解】 ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为 ，得 ．
在数轴上表示此不等式的解集如图：
3．（2021·全国八年级专题练习）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来
（1） （2）
【答案】（1） ，数轴表示见解析；（2） ，数轴表示见解析．
【详解】解：（1） ，
移项得 ，
合并得 ，
系数化为1得 ；
（2）
去分母得 ，
去括号得 ，
移项得 ，
合并得 ，
系数化为1得 ．
在数轴上表示为：
4．（2020·杭州市大关中学八年级期中）解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来．
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ，在数轴上表示见解析；（2） ，在数轴上表示见解析
【详解】解：（1）移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
不等式的解集在数轴上表示如下：
（2）去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项， ，合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
不等式的解集在数轴上表示如下：
5．（2020·江苏苏州市·苏州草桥中学七年级月考）解下列不等式：
（1） ；（2） ．
【答案】（1）x≤−3（2）x＞−1．
【详解】
（1）
去括号，得3−3x≥2x＋18，
移项，得−3x−2x≥18−3，
合并同类项，得−5x≥15，
系数化成1得：x≤−3．
（2）
去分母，得10−2（2−3x）＞5（1＋x），
去括号，得10−4＋6x＞5＋5x，
移项，得6x−5x＞5−10＋4，
合并同类项，得x＞−1．
6．（2021·北京师范大学株洲附属学校八年级期末）解不等式组： ，并将解集在数轴上
表示出来．
【答案】-2≤x＜2，数轴表示见解析
【详解】
解： ，
由①得x<2，
由②得x≥-2，
所以原不等式组的解集为-2≤x＜2，
数轴表示：7．（2020·浙江八年级期末）解不等式（1）7+2x>6．（2）解不等式组
【答案】（1） （2）
【详解】
解：（1）
解得： ；
（2）
由①得： ，
由②得： ，
∴不等式组的解集为 ．
8．（2020·浙江八年级期末）解下列一元一次不等式（组）：
（1） ，并把它的解表示在数轴上．
（2） ．
【答案】（1）x＜1，数轴见解析；（2）
【详解】
解：（1）移项得，6x-9x＞-4+1，
合并同类项得，-3x＞-3，
系数化为1，得：x＜1，
表示在数轴上如下：
（2）解不等式①得：x＞-1，
解不等式②得：x 5，
则不等式组的解集为 ；
9．（2021·湖南益阳市·八年级期末）已知不等式组 ．
（1）求它的解集并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）在（1）的条件下化简 ．
【答案】（1） ，见解析；（2） ．
【详解】
解：（1）解不等式①，得：
，
解不等式②，得：
，
解集表示在数轴上如下：
不等式组的解集为 ；
（2）由（1）知 ，
．考点8：不等式与一次函数
典例： （2020·明光市明湖学校八年级期中）如图，正比例函数 与一次函数 相交于点
，并且一次函数 经过x轴上的点 ．
（1）求一次函数 的表达式；
（2结合函数图像，求关于x，y的二元一次方程组 的解；
（3）结合函数图像，求关于x的不等式 的解集．
【答案】（1） ；（2） ；（3）x＞1
【详解】
解：（1）∵正比例函数 过点A（a，-3），
∴-3=-3a，解得：a=1，
∵直线y=kx+b过点A和点B，
则 ，解得： ，
∴直线的表达式为： ；
（2） 变形为 ，
即正比例函数与一次函数的交点A的坐标，
∴二元一次方程组 的解为 ；
（3）不等式 变形为： ，
即一次函数值大于正比例函数值，
即一次函数图像在正比例函数图像上方的部分对应的x的范围，
由图可知：当x＞1时， ．方法或规律点拨
本题考查了一次函数和正比例函数的图像，求函数表达式，函数与方程、不等式的关系，解题的关键是正
确利用数形结合的思想解决问题．
巩固练习
1．（2021·江苏扬州市·八年级期末）在平面直角坐标系 中，一次函数 （ ）的图像由函
数 的图像平移得到，且经过点 ．
（1）请在所给平面直角坐标系中画出这个一次函数的图像并求该一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值函数 （ ）的值大于一次函数 的值，求出 的
取值范围．
【答案】（1）见解析； ；（2） ．
【详解】
解：（1）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由直线y=x平移得到，
∴k=1，
将点（1，2）代入y=x+b，
得1+b=2，解得b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
（2）把点（1，2）代入y=mx，求得m=2，
∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值大于一次函数y=x+1的值，
∴m≥2．
2．（2021·江苏苏州市·八年级期末）已知点P（m，n）在一次函数y＝2x﹣3的图象上，且m＞2n，求m
的取值范围．【答案】 ＜
【详解】解： 点P（m，n）在一次函数y＝2x﹣3的图象上，
m＞2n ，
＞
＞
＜
＜
3．（2021·安徽合肥市·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知直线经过 ， 两点．
（1）画出该一次函数的图象，求经过 ， 两点的直线的解析式；
（2）观察图象直接写出 时 的取值范围；
（3）求这个一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积．
【答案】（1）y＝−2x＋1，图像见详解；（2）x≥ ；（3）
【详解】
（1）一次函数图像如图所示：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，
由题意，得： ，解得： ，
∴一次函数的表达式为y＝−2x＋1；
（2）令y=0，代入y＝−2x＋1得：x= ，
∴直线与x轴的交点坐标为（ ，0），
∵直线在x轴下方部分所对应的y≤0，
∴当 时 的取值范围：x≥ ；
（3）令x=0，则y=1，
∴直线与y轴的交点坐标为（0，1），
∴一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积= ．
4．（2021·昌江黎族自治县红林学校八年级月考）如图，已知直线y＝kx＋b经过点A（5，0），B（1，
4）．（1）求直线AB的函数解析式；
（2）若直线y＝2x－4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，写出关于x的不等式2x－4≤kx＋b的解集．
【答案】（1）y=-x+5；（2）（3，2）；（3）x≤3
【详解】
解：（1）根据题意得：
，解得： ，
则直线AB的解析式是y=-x+5；
（2）根据题意得 ，
解得： ，
则C的坐标是（3，2）；
（3）根据图象可得不等式的解集是x≤3．
5．（2021·全国八年级）如图，直线y=kx+b经过点A（5，0），（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图，若直线y=mx+n（m＞0）与直线AB相交于点B，请直接写出关于x的不等式mx+n＜4的解．
【答案】（1） ；（2） ＜1．
【详解】
解：（1）∵直线y=kx+b经过点A（5，0）、B（1，4），
∴ ，
解方程组得 ，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；
（2）∵直线y=mx+n（m＞0）与直线AB相交于点B（1，4），
∴当x=1时，mx+n=4，∵m＞0，
∴函数y=mx+n随x的增大而增大，
∴关于x的不等式mx+n＜4的解集是x＜1．
6．（2019·南京东山外国语学校八年级月考）如图，直线 ： 与直线 ：
交于点 ，直线 分别交 轴、 轴于点 、 ，直线 交 轴于点 ．
（1）求 、 的值．
（2）请直接写出使得不等式 成立的 的取值范围．
（3）在直线 上找点 ，使得 ，求点 的坐标．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3） 点的坐标为 或
【详解】（1）把 代入 得 ，解得 ，所以 点坐标为 ，
把 代入 得 ，解得 ．
（2）由图可知，不等式 成立的x的取值范围为 ；
（3）当 时， ，解得 ，则 ；
当 时， ，则 ，
当 时， ，解得 ，则 ，
所以
，
设 点坐标为 ，
因为 ，所以 ，解得 或 ，
所以 点的坐标为 或 ．
7．（2020·安徽阜阳市·八年级期中）如图，在直角坐标系中，直线 与直线 交于
点 ．
（1）求m的值．
（2）设直线 ， ，分别于y轴交于点B，C，求 的面积．
（3）结合图像，直接写出不等式 的解集．
【答案】（1）m=-2；（2）3；（3）-2＜x＜-1
【详解】解：（1）∵直线l：y= x+2过点A（m，1）．
2
∴1= m+2，解得m=-2；
（2）∵直线l：y=kx-1过点A（-2，1），
1
∴1=-2k-1，解得k=-1，
∴直线l 的表达式为y=-x-1，
1
∴B（0，-1），
由直线l：y= x+2可知C（0，2），
2
∴BC=3，
∴S = ×3×2=3；
ABC
△
（3）在直线l：y=-x-1中，令y=0，则x=-1，
1
观察图象可知，不等式0＜kx-1＜ x+2的解集是-2＜x＜-1．
8．（2020·安徽安庆市·八年级期中）如图，直线 ： 与直线 ： 相交于点 ．（1）求点 的坐标；
（2）若 ，求 的取值范围；
（3）点 为 轴上的一个动点，过点 作 轴的垂线分别交 和 于点 ， ，当 时，求
的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 ．
【详解】
解：（1）把 代入 解析式得：
，
∴ ．
（2）把 代入 解析式得：
，
∴ ，
∴ ： ，
当 时， ，
∴当 时 的取值范围为 ．
（3）把 分别代入 解析式得：
和 ，
∴点 ，
∴当 时，
，
∴ ，
当 时，
，
∴ ．9．（2020·合肥市第四十五中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx-1与直线
1
l：y= x+2交于点A(m，1)．
2
（1）求m的值和直线l 的表达式；
1
（2）设直线l、 l 分别与y轴交于点B、C，求 ABC的面积；
1 2
（3）结合图象，直接写出不等式0-6
【详解】
（1）当y=0时，得 ，
解得x=-6，
∴A（-6,0），
当x=0时，得y=3，
∴B（0,3），
故答案为：（-6,0），（0,3）；
（2）∵A（-6,0），B（0,3），
∴OA=6，OB=3,
∴ 的面积 ,
故答案为：9；
（3）由图象知：当 时， 的取值范围是x>-6，
故答案为：x>-6.
考点9： 函数与不等式的实际应用综合题
典例：（2021·安徽合肥市·八年级期末）为落实“精准扶贫”，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地，
准备种植 ， 两种蔬菜，若种植20亩 种蔬菜和30亩 种蔬菜，共需投入36万元；若种植30亩 种
蔬菜和20亩 种蔬菜，共需投入34万元．（1）种植 ， 两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？
（2）经测算，种植 种蔬菜每亩可获利0.8万元，种植 种蔬菜每亩可获利1.2万元，村里把100万元扶
贫款全部用来种植这两种蔬菜，总获利 万元．设种植 种蔬菜 亩，请直接写出 关于 的函数关系
式；
（3）在（2）的条件下，若要求 种蔬菜的种植面积不能少于 种蔬菜种植面积的2倍，请你设计出总获
利最大的种植方案，并求出最大总获利．
【答案】（1）种植A，B两种蔬菜，每亩各需分别投入0.6和0.8万元；（2） ＝−0.1m＋150；（3）当
种A蔬菜100亩，B种蔬菜50亩时，获得最大利润为140万元．
【详解】
（1）设种植A，B两种蔬菜，每亩各需分别投入x，y万元，
根据题意得： ，
解得： ，
答：种植A，B两种蔬菜，每亩各需分别投入0.6和0.8万元；
（2）由题意得：
＝0.8m＋1.2× ＝−0.1m＋150，
即： ＝−0.1m＋150；
（3）由（2）得：m≥2× ，
解得：m≥100，
∵w＝−0.1m＋150，k＝−0.1＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝100时，w最大＝140，
此时， ＝50，
∴当种A蔬菜100亩，B种蔬菜50亩时，获得最大利润为140万元．
方法或规律点拨
本题主要考查一次函数实际应用问题，二元一次方程组、不等式、列一次函数关系式和根据自变量取值范
围求一次函数的最值．根据题意，列出方程和一次函数解析式，掌握一次函数的性质，是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·浙江八年级期末）某通讯公司推出一款针对手机用户的5G收费套餐（包括上网流量费和语音
通话费两部分）．套餐的收费方式是：上网流量费固定；通话时间不超过200分钟时，免收语音通话费；
通话时间超过200分钟时，超过部分按每分钟0.25元收取语音通话费．套餐收费y（元）与当月语音通话
时间x（分钟）之间的关系如图所示．（1）套餐的上网流量费是多少元？
（2）请写出通话时间超过200分钟时，y关于x的函数表达式．
（3）若要使套餐费用不超过165元，则当月最多能通话多少分钟？
【答案】（1）100元；（2）y=0.25x+50；（3）460分钟
【详解】解：（1）由图像可知：
套餐的上网流量费是100元；
（2）当x=400时，
y=100+（400-200）×0.25=150，
设y与x的表达式为y=kx+b，
则 ，
解得： ，
∴y关于x的函数表达式为y=0.25x+50；
（3）0.25x+50≤165，
解得：x≤460，
∴当月最多能通话460分钟．
2．（2020·浙江八年级期末）某校八年级举行数学说题比赛，准备用2400元钱（全部用完）购买A，B两
种钢笔作为奖品，已知A，B两种每支分别为10元和20元，设购入A种x支，B种y支．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若购进A种的数量不少于B种的数量，则至少购进A种多少支？
【答案】（1）y＝ ；（2）至少购进A种钢笔80支
【详解】
解：（1）由题意得：10x＋20y＝2400，
∴y＝ ；
（2）①∵购进A种的数量不少于B种的数量，
∴x≥y，∴x≥ ，
∴x≥80，
∵x为正整数，
∴至少购进A种钢笔80支．
3．（2021·江苏盐城市·八年级期末）某县在创建省文明卫生城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进
A、B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；
购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元
（1）求A种、B种树木每棵各多少元？
（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：
在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价八折优惠，请设计一种购买树木
的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
【答案】（1）A种树每棵100元，B种树每棵80元；（2）当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所
需费用最少，最少为7600元
【详解】
解：（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元
依题意得：
解得
答：A种树每棵100元，B种树每棵80元
（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为 棵
则
解得
设实际付款总金额是w元，则
即
∵ ，w随a的增大而增大
∴当 时，w最小
即当 时， （元）
答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为7600元．
4．（2021·贵州毕节市·八年级期末）国庆节期间，小王一家乘坐飞机前往大连市旅游，计划第二天租出租
车自驾游．
公司 租车收费方式甲 每日固定租金 元，另外每小时收费 元．
无固定租金，直接以租车时间计费﹐每小时租车费
乙
元．
（1）设租车时间为 小时 ，租用甲公司的车所需费用为 元，租用乙公司的车所需费用为
元，分别求出 与 之间的函数关系式；
（2）请你帮助小王计算选择哪家公司租车更合算．
【答案】（1） ； ；（2）见解析
【详解】
解：（1）根据表格信息可得：
租用甲公司的车所需费用 ，
租用乙公司的车所需费用 ；
（2）当 时，
解得：
故当 时，甲乙两家公司一样优惠；
时，
解得：
故当 时，乙公司优惠．
当 时，
解得：
故当 时，甲公司优惠．
5．（2021·江苏泰州市·八年级期末）一辆汽车在普通公路上行驶35km后，驶入高速公路，并以90km/h的
速度匀速行驶了xh，设汽车行驶的总路程为ykm．
（1）直接写出y与x的函数关系；
（2）若汽车在高速公路上行驶了2小时，求此时汽车行驶的总路程；
（3）若汽车在高速公路上行驶的路程不超过675km，求汽车在高速公路上行驶时间的取值范围．
【答案】（1）y＝90x＋35；（2）2小时后汽车行驶215km；（3）0 ≤ x ≤7.5．
【详解】
解：（1）y＝90x＋35．（2）当x＝2时，y＝90×2＋35＝215；
答：2小时后汽车行驶215km．
（3）由题意得：90x≤675，
∴x≤7.5
∵x≥0
∴0≤x ≤7.5
答：汽车在高速公路上行驶时间的取值范围是0≤x≤7.5．
6．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学八年级期末）在2019年全国青少年信息学联赛中，巴蜀中学创历史新高，
有69人获得“全国信息学联赛一等奖”，充分展现了巴蜀人探索求知的精神，实力冠绝重庆．学校想借此
提升信息课的教学质量，准备更换一批硬件设备，包括电脑主机，显示器和鼠标．其中学校通过招标拟采
购两种类型的鼠标，分别为无线鼠标和有线鼠标．根据计划的采购清单，采购12个无线鼠标和16个有线
鼠标共花费972元，采购25个无线鼠标比采购8个有线鼠标多花费909元．
（1）求采购的无线鼠标和有线鼠标单价各为多少？
（2）学校本次计划拟采购两种鼠标一共420个，若采购的无线鼠标数量不少于有线鼠标的数量，用W（单
位：元）表示本次计划采购的总费用，请求出W的最小值．
【答案】（1）45元， 27元．（2）15120元．
【详解】
解：（1）设采购的无线鼠标单价为x元，有线鼠标单价为y元，根据题意得
解得
答：采购的无线鼠标单价为45元，采购的无线鼠标单价为27元．
（2）设采购的无线鼠标的个数为a个，则采购的有限鼠标的个数为(420-a)个，根据题意得
a≥420-a
解得a≥210，
∵W=45a+27(420-a)=18a+11340，
∴当a取最小值时，W取最小值，
∴当a=210时，W取最小值W =18×210+11340=15120，
最小值
∴W的最小值为15120元．
7．（2021·江苏无锡市·八年级期末）某企业准备购买一批爱心物资捐赠给学校．经了解，若购买洗手液
300瓶和口罩200包，则共需6000元；若购买洗手液500瓶和口罩300包，则共需9500元．
（1）问：每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元？
（2）现计划购买洗手液和口罩，若购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之
和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍．设购买洗手液m瓶，购买这两种物资的总费用为W
元，请写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，并求出W的最小值．【答案】（1）每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为10元、15元；（2）W＝﹣5m+15000，W的最小值是
11250．
【详解】
解：（1）设每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为a元、b元，
，
解得 ，
答：每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为10元、15元；
（2）由题意可得，
W＝10m+15（1000﹣m）＝﹣5m+15000，
∴W随m的增大而减小，
∵购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大
于口罩包数的3倍，
∴ ，
解得700≤m≤750，
∴当m＝750时，W取得最小值，此时W＝11250，
答：W（元）与m（瓶）之间的函数关系式是W＝﹣5m+15000，W的最小值是11250．
8．（2021·广西百色市·八年级期末）某县举办运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品5件和B种
奖品2件，共需80元；若购买A种奖品3件和B种奖品3件，共需75元．
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？
（2）大会组委会计划购买A．B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B
种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式，
并求出自变量m的取值范围，以及确定最少费用W的值．
【答案】（1）A、B两种奖品的单价分别是10元、15元；（2） ， ，
当 时，W有最小值为1125．
【详解】
解：（1）设A、B两种奖品的单价分别为x、y元
则 ，解得
∴A、B两种奖品的单价分别是10元、15元．
（2）设购买A种奖品m件，则B为（ ）件由题意得： ，
解得：
∵ ，
∴ 随 的增加而减少，
当 时，W有最小值为1125．
9．（2021·安徽蚌埠市·八年级期末） 年新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球疫情大考面前，中国始终同
各国安危与共、风雨同舟，时至 月，中国已经向 多个国家和国际组织提供医疗物资援助．某次援助，
我国组织 架飞机装运口罩、消毒剂、防护服三种医疗物资共 吨，按计划 架飞机都要装运，每架
飞机只能装运同一种医疗物资，且必须装满．根据如下表提供的信息，解答以下问题：
防疫物资种类 口罩 消毒剂 防护服
每架飞机运载量
（吨）
每吨物资运费(完)
（1）若有 架飞机装运口罩，有 架飞机装运消毒剂，求 与 之间的函数关系式；
（2）若此次物资运费为 元，求 与 之间的函数关系式；
（3）如果装运每种医疗物资的飞机都不少于 架，那么怎样安排运送物资，方能使此次物资运费最少，最
少运费为多少元?
【答案】（1） 且x为正整数；（2） 且x为正
整数；（3）9架飞机装运口罩，4架飞机装运消毒剂，7架飞机装运防护服，方能使此次物资运费最少，
最少运费为24200元．
【详解】
（1）根据题意得，
设有 架飞机装运口罩，有 架飞机装运消毒剂，则有 架飞机装运防护服，
解得： ；
与 之间的函数关系式： 且x为正整数；
（2）且x为正整数；
（3）由题意得：
解得： 且x为正整数，
或 ，
随 的增大而减小，
当 时，
最小， （元）
答：9架飞机装运口罩，4架飞机装运消毒剂，7架飞机装运防护服，方能使此次物资运费最少，最少运费
为24200元．
10．（2021·四川成都市·石室中学八年级期末）某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，
若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉，
共需要资金4400元．
（1）求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？
（2）该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这
两种型号的微波炉共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；
（3）甲型微波炉的售价为1400元，售出一台乙型微波炉的利润率为45%．为了促销，公司决定甲型微波
炉九折出售，而每售出一台乙型微波炉，返还顾客现金m元，要使（2）中所有方案获利相同，则m的值
应为多少？
【答案】（1）甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元；（2）有4种进货方案，
分别为：甲型号7台则乙型号13台；甲型号8台则乙型号12台；甲型号9台则乙型号11台；甲型号10台
则乙型号10台；（3）要使（2）中所有方案获利相同，则m的值应为100元
【详解】
解：（1）设甲型号微波炉每台进价为x元，乙型号微波炉每台进价为y元，根据题意得：，
解得： ，
答：甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元．
（2）设购进甲型号微波炉为a台，则乙型号微波炉为 台，由（1）及题意得：
，
解得： ，
∵ 为正整数，
∴ 的值为7、8、9、10，
∴有4种进货方案，分别为：甲型号7台则乙型号13台；甲型号8台则乙型号12台；甲型号9台则乙型号
11台；甲型号10台则乙型号10台．
（3）设总利润为w，则由（2）可得：
，
∵（2）中方案利润要相同，
∴ ，解得： ，
答：要使（2）中所有方案获利相同，则m的值应为100．
考点10：方程（组）与不等式（组）的实际应用问题
典例：（2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学八年级月考）某电器超市销售A、B两种型号的电
风扇，表中是近两周的销售情况：
销售数量
销售时段 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1800元
第二周 4台 10台 3100元
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价．
（2）若A、B两种型号的电风扇每台进价分别为200元，170元，该超市准备采购这两种型号的电风扇共
30台，且费用不多于5400元．
①最多能采购A种型号的电风扇多少台？
②设超市销售完这30台电风扇所获得的利润为W元，试问利润能否达到1400元？若能，请给出相应的采
购方案；若不能，请说明理由．【答案】（1）250元；210元；（1）①10台；②不能，理由见解析．
【详解】
（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得： ，
解得： ，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元．
（2）①设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇 台，
依题意得：
解得： ，
答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元．
②不能实现．
依题意有： ，
解得： ，
∵ ，
∴超市不能实现利润1400元的目标．
方法或规律点拨
此题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题
意是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·浙江八年级期末）某厂贷款8万元购进一台机器生产商品.已知商品的成本每个8元，成品后售
价是每个15元，应付税款和损耗总费用是销售额的 .若每个月能生产销售1000个该商品，问至少几
个月后能赚回这台机器的贷款？
【答案】20
【详解】解：设至少x个月后能赚回这台机器的贷款
则
解得：
答：至少20个月后能赚回这台机器的贷款.
2．（2021·浙江杭州市·八年级期末）某水果店购买某种水果的进价为18元/千克，在销售过程中有10%的
水果损耗，该水果店以a元/千克的标价出售该种水果．
(1)为避免亏本，求a的最小值．
(2)若该水果店以标价销售了70%的该种水果，在扣除10%损耗后，剩下的20%水果按10元/千克的价格售
完．为确保销售该种水果所得的利润率不低于20%，求a的最小值．【答案】（1）a的最小值为20；（2） ．
【详解】
解：（1）由题意得：
，
解得 ，即a的最小值为20；
（2）由题意得:
，
解得 ．
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）台州某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，
答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是5名参赛者的得分情况．
答对题
参赛者 不答题数 答错题数 得分
数
A 15 3 2 79
B 19 0 1 94
C 18 1 1 91
D 16 2 2 82
E 18 2 0 94
（1）由表格知，不答一题得________分，答错一题扣_________分．
（2）某参赛者F一共对了14题，不答题数与总得分有何关系？
（3）某参赛者G答错题数比不答题数的2倍多1题，最后得分为64分，他答对了几道题？
（4）在前10道题中，参赛者N答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才
有可能使最后得分不低于79分？为什么？
【答案】（1）2；1；（2）不答题数=(总得分-64) 3；（3）13；（4）至少要答对6题才有可能使最后得
分不低于79分；理由见解析
【详解】
（1）由 可知，不答一题的得分为： ，
由 可知，答错一题的得分为： ；
答：不答一题得2分，答错一题扣1分．
（2）设不答题数为 ，
∴答错题数为 ，
∴总得分 ，
总得分 ，总得分 ，
∴不答题数与总得分关系为：不答题数=(总得分-64) 3；
（3）设该选手不答题数为 ，
∴则答错题数为 ，
∴答对题数为 道，
∴ ，
解得： ，
∴答对题数 ；
（4）前10道题得分为： 分，
设后10道题答对 道题，
则， ，
解得： ，
∴至少要答对6题才有可能使最后得分不低于79分．
4．（2021·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）近两年，重庆市奉节县紧紧围绕“村有骨干产业、户有致富门
路”的发展思路，大力实施农产品产业扶贫项目，实现助农增收其中“乡坛子”什锦套菜礼盒、奉节脐橙
10km装广受好评，单价分别为100元/盒和60元/盒．
（1）某公司大力响应扶贫政策，准备用不低于15000元购买什锦套菜礼盒、奉节脐橙共200盒，则至少购
入什锦套菜礼盒多少盒？
（2）2021年春节将至，该公司准备再次购入以上两种产品作为员工新春福利．恰逢“学习强国”重庆学
习平台开展“党员直播带货、‘渝’你抗疫助农”扶贫农产品公益直播活动．直播中，什锦套菜礼盒以原
价8折销售，该公司购买数量在（1）问最少数量的基础上增加了 ；奉节脐橙售价比原价降低了
元，购买数量在（1）问奉节脐橙最多数量的基础上增加了40%．该公司在直播间下单后实际花费比
（1）问中最低花费增加2350元，求m的值．
【答案】（1）至少购入什锦套菜礼盒 盒；（2） ．
【详解】
（1）设购进什锦套菜礼盒x盒，则购进奉节脐橙礼盒（200-x）盒，
根据题意得： ，
解得： ．
答：至少购入什锦套菜礼盒 盒；
（2）根据题意得：
，整理得： ，
解得： ．
5．（2021·湖北省武汉市外国语学校美加分校九年级期末）某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同
学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，
共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元．
（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
（2）班主任决定再次购买甲、乙两种笔记本共35个，如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不
超过300元，求至多需要购买多少个甲种笔记本？
【答案】（1）一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；（2）25个
【详解】
解：（1）设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，
，解得 ，
答：购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元．
（2）设需要购买a个甲种笔记本，
，
解得： ，
答：至多需要购买25个甲种笔记本．
6．（2021·全国八年级）某班为了开展乒乓球比赛活动，准备购买一些乒乓球和乒乓球拍，通过去商店了
解情况，甲乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价48元，乒乓球每盒定价12
元，经商谈，甲乙两家商店给出了如下优惠措施：甲店每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定
价的9折优惠．现该班急需乒乓球拍5副，乒乓球x盒（不少于5盒）．
（1）请用含x的代数式表示：去甲店购买所需的费用 ；去乙店购买所需的费用
．（结果要求化简）
（2）当需要购买40盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家商店购买较为合算；
（3）试探究，当购买乒乓球的盒数x取什么值时，去哪家商店购买更划算？
【答案】（1）（12x+180）元，（10.8x+216）元；（2）去乙商店购买较为合算；（3）当购买乒乓球的盒
数x多于30盒时，去乙商店购买更划算；当购买乒乓球的盒数x等于30盒时，去两家商店购买都划算；
当购买乒乓球的盒数x少于30盒且不少于5盒时，去甲商店购买更划算
【详解】
解：（1）在甲店购买的费用为48×5+（x﹣5）×12=（12x+180）元，
在乙店购买的费用为48×5×0.9+12×0.9x=（10.8x+216）元，
故答案为：（12x+180）元，（10.8x+216）元；
（2）当x=40时，12x+180=12×40+180=660元，
10.8×40+216=648元，∵648＜660，
∴去乙商店购买较为合算；
（3）由12x+180＞10.8x+216得：x＞30，
由12x+180=10.8x+216得：x=30，
由12x+180＜10.8x+216得：x＜30，
故当购买乒乓球的盒数x超过30盒时，去乙商店购买更划算，当购买乒乓球的盒数x等于30盒时，去两
家商店购买都划算；当购买乒乓球的盒数x少于30盒且不少于5盒时，去甲商店购买更划算．
7．（2021·湖南长沙市一中双语实验中学九年级期末）2020年初，新冠疫情在武汉爆发．“一方有难，八
方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用 ， 两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运
输情况如下：
第一 第二
批 批
型货车的辆数（单位：辆） 8 10
型货车的辆数（单位：辆） 4 25
累计运输物资的吨数（单位：
128 400
吨）
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
（1）求 、 两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
（2）该市后续又筹集了262.4吨生活物资，现已联系了6辆 种型号货车．试问至少还需联系多少辆 种
型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？
【答案】（1）A：10吨，B：12吨；（2）至少需要B型17辆
【详解】
（1）设A，B两种型号货车每辆满载分别能运x，y吨生活物资
依题意，得 解得
∴A，B两种型号货车每辆满载分别能运10吨，12吨生活物资
（2）设还需联系m辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地
依题意，得 .
解得
又m为整数，
∴m最小取17，
∴至少还需联系17辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
8．（2020·黑龙江大庆市·九年级期末）某商店有 商品和 商品，已知 商品的单价比 商品单价多12元，若购买400件B商品与购买100件A商品所用钱数相等．
（1）求 ， 两种商品的单价分别是多少元．
（2）已知该商店购买 商品的件数比购买 商品的件数的2倍少4，如果需要购买 ， 两种商品的总
件数不少于32，且该商店购买的 ， 两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？
说明理由．
【答案】（1）A种商品的单价为16元，B种商品的单价为4元；
（2）有两种方案：方案（1）：m=12，2m﹣4=20 即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为
20件；方案（2）：m=13，2m﹣4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．
【详解】
设B种商品的单价为x元，则A种商品的单价为（x+12）元，
由题意得： ，
解得x=4，
则x+12=16（元），
答：A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元．
设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，
由题意得： ，
解得：12≤m≤13，
∵m是整数，
∴m=12或13，故有如下两种方案：
方案（1）：m=12，2m﹣4=20 即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；
方案（2）：m=13，2m﹣4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．
9．（2021·全国七年级）2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活
力，小丹准备购进 、 两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台 型风扇和5台 型风扇进
价共100元，3台 型风扇和2台 型风扇进价共62元．
（1）求 型风扇、 型风扇进货的单价各是多少元？
（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现， 型风扇销售情况比 型风扇好，小丹准
备多购进 型风扇，但数量不超过 型风扇数量的3倍，购进 、 两种风扇的总金额不超过1170元．
根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？
【答案】（1） 型风扇进货的单价是10元， 型风扇进货的单价是16元；（2）有4种进货方案，方案
1：购进 型风扇72台， 型风扇28台；方案2：购进 型风扇73台， 型风扇27台；方案3：购进
型风扇74台， 型风扇26台；方案4：购进 型风扇75台， 型风扇25台．方案4费用最低，最低费
用为1150元．
【详解】解：（1）设 型风扇进货的单价是 元， 型风扇进货的单价是 元，
依题意，得： ，
① ② 得，
把 代入①中，得
．
答： 型风扇进货的单价是10元， 型风扇进货的单价是16元；
（2）设购进 型风扇 台，则购进 型风扇 台，
依题意，得： ，
解得： ，
又 为正整数，
可以取72、73、74、75，
小丹共有4种进货方案，方案1：购进 型风扇72台， 型风扇28台；方案2：购进 型风扇73台，
型风扇27台；方案3：购进 型风扇74台， 型风扇26台；方案4：购进 型风扇75台， 型风扇
25台．
型风扇进货的单价大于 型风扇进货的单价，
方案4：购进 型风扇75台， 型风扇25台的费用最低，
最低费用为 元．
10．（2021·全国七年级）为更好地推进长沙市生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，2019年12月17日，
长沙市政府召开了长沙市生活垃圾分类推进会，意味着长沙垃圾分类战役的全面打响．某小区准备购买 、
两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个 型垃圾箱和2个 型垃圾箱共需540元，购买2个
型垃圾箱比购买3个 型垃圾箱少用160元．
（1）每个 型垃圾箱和 型垃圾箱分别是多少元？
（2）若该小区物业计划用低于2150元的资金购买 、 两种型号的垃圾箱共20个，且至少购买6个
型垃圾箱，请问有几种购买方案？
【答案】（1）每个 型垃圾箱100元，每个 型垃圾箱120元；（2）有2种购买方案．
【详解】
解：（1）设每个 型垃圾箱 元，每个 型垃圾箱 元，依题意，得： ，
解得： ，
答：每个 型垃圾箱100元，每个 型垃圾箱120元；
（2）设购买 个 型垃圾箱，则购买 个 型垃圾箱，
依题意，得： ，
解得： ，
又 为整数，
可以为6，7，
有2种购买方案．
11．（2020·沙坪坝区·重庆八中八年级月考）某木板加工厂将购进的A型、B型两种木板加工成C型，D型
两种木板出售，已知一块A型木板的进价比一块B型木板的进价多10元，且购买2块A型木板和3块B型
木板共花费220元．
（1）A型木板与B型木板的进价各是多少元？
（2）根据市场需求，该木板加工厂决定用不超过8780元购进A型木板、B型木板共200块，若一块A型
木板可制成2块C型木板、1块D型木板；一块B型木板可制成1块C型木板、2块D型木板，且生产出
来的C型木板数量不少于D型木板的数量的 ．
①该木板加工厂有几种进货方案？
②若C型木板每块售价30元，D型木板每块售价25元，且生产出来的C型木板、D型木板全部售出，哪
一种方案获得的利润最大，求出最大利润是多少？
【答案】（1）A型木板的进价为50元/块，B型木板的进价为40元/块；（2）①该木板加工厂有4种进货
方案；方案1：购进A型木板75块，B型木板125块；方案2：购进A型木板76块，B型木板124块；方
案3：购进A型木板77块，B型木板123块；方案4：购进A型木板78块，B型木板122块．②方案1购
进A型木板75块，B型木板125块利润最大，最大利润为7625元．
【详解】
解：（1）设A型木板的进价为x元/块，B型木板的进价为y元/块，
依题意，得： ，
解得： ．
答：A型木板的进价为50元/块，B型木板的进价为40元/块．（2）①设购入A型木板m块，则购入B型木板（200-m）块，
依题意，得： ，
解得：75≤m≤78．
∵m为整数， ∴m=75，76，77，78．
∴该木板加工厂有4种进货方案，
方案1：购进A型木板75块，B型木板125块；
方案2：购进A型木板76块，B型木板124块；
方案3：购进A型木板77块，B型木板123块；
方案4：购进A型木板78块，B型木板122块．
②方案1获得的利润为（75×2+125）×30+（75+125×2）×25-75×50-125×40=7625（元），
方案2获得的利润为（76×2+124）×30+（76+124×2）×25-76×50-124×40=7620（元），
方案3获得的利润为（77×2+123）×30+（77+123×2）×25-77×50-123×40=7615（元），
方案4获得的利润为（78×2+122）×30+（78+122×2）×25-78×50-122×40=7610（元）．
∵7625＞7620＞7615＞7610，
∴方案1购进A型木板75块，B型木板125块利润最大，最大利润为7625元．
10．（2020·杭州市大关中学八年级期中）随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢进入了普通百姓家庭．
某电器公司销售每台进价分别为2000元，1700元的A，B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：
销售数量
销售时
销售收入
段
A型号 B型号
第一周 3台 5台 18000元
第二周 4台 10台 31000元
（1）求A，B两种型号的净水器的销售单价；
（2）若电器公司准备用不多于54000元的金额再采购这两种型号的净水器共30台，问A型号净水器最多
能采购多少台?
（3）在（2）的条件下，公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标?若能，请给出相应的
采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）A种型号：2500元/台，B种型号：2100元/台；（2）A种型号净水器最多能采购10台；
（3）能，采购A型号净水器8，B型号净水器22台
【详解】
（1）可设A种型号净水器的销售单价是x元/台，B种型号净水器的销售单价是y元/台，
，解得 ，
∴A种型号净水器的销售单价是2500元/台，B种型号净水器的销售单价是2100元/台；
（2）可设A种型号净水器采购a台，则B种型号净水器采购（30-a）台，
2000a+1700（30-a）≤54000
解得a≤10
∴A种型号净水器最多能采购10台；
（3）A种型号净水器每台利润2500-2000=500元，B种型号每台利润2100-1700=400元
500×10+400×20=13000(元)˃12800元
能实现利润为12800元的目标．
设采购A型号净水器采购a台，则B种型号净水器采购（30-a）台
500a+400（30-a）=12800
解得a=8
因此方案：采购A型号净水器8、B型号净水器22台．
13．（2019·太原师范学院附属中学八年级月考）在“文明礼貌暨安全教育月”活动中，师院附中拟组织八
年级师生去台骀山景区参加登山活动，下面是张老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：
张老师：“客运公司有 座和 座两种型号的客车可供租用， 座客车每辆每天的租金比 座的贵
元.”
小芳：“八年级师生昨天在这个客运公司租了 辆 座和 辆 座的客车到台骀山景区，一天的租金共
计 元.”
小明：“如果我们八年级租用 座的客车 辆，那么还有 人没有座位；如果租用 座的客车则可少租
辆，最后一辆车并没有坐满，而且初步计算，我们租的车的数量大于 辆.”
根据以上对话，解答下列问题：
客运公司 座和 座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
求出满足条件的 的值.
若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有哪几种租车方案？
【答案】 元和 元
租车方案有两种：
方案一： 座 辆， 座 辆
方案二： 座 辆， 座 辆
【详解】解： 设 座和 座的客车每辆每天的租金分别是 元、 元，
由题意得
解得
答： 座和 座的客车每辆每天的租金分别是 元和 元
由已知，七年级人数为 人
由题意
解得
因为 为整数
由 七年级共 人
设 座和 座车分别为 辆 辆
则
则有
解得
为可取 至 的整数
为整数
时，
时，
租车方案有两种：
方案一： 座 辆， 座 辆
方案二： 座 辆， 座 辆
