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2021-2022 学年北师大版数学八年级下册压轴题专题精选汇编
专题 04 一元一次不等式与一元一次不等式组
一、选择题
1．（2021八上·鄞州期末）已知a＜b，下列式子正确的是（ ）
A．a+3＞b+3 B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣3a＜﹣3b D．
【答案】B
【完整解答】解：A、∵a＜b，∴a+3＜b+3，故本选项错误；
B、∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣3，故本选项正确；
C、∵a＜b，﹣3a＞﹣3b，故本选项错误；
D、∵a＜b，∴ ，故本选项错误.
故答案为：B.
【思路引导】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
2．（2021八上·鄞州期末）若a＞b，则下列各式正确的是（ ）
A．a﹣b＜0 B．3﹣a＜3﹣b C．|a|＞|b| D．
【答案】B
【完整解答】解：A.若a＞b，则a﹣b＞0，即A项错误，
B.若a＞b，不等式两边同时乘以﹣1得：﹣a＜﹣b，不等式两边同时加上3得：3﹣a＜3﹣b，即B项正确，
C.若a和b同为负数，若a＞b，|a|＜|b|，即C项错误，
D.若a＞b，不等式两边同时乘以 ， ，即D项错误，
故答案为：B.
【思路引导】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
3．（2021八上·瓯海月考）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，
则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数
为（ ）
A．24人 B．23人 C．22人 D．不能确定
【答案】C
【完整解答】解：设每组预定的学生数为x人，由题意得，
{9(x+1)>200
9(x−1)<190
解得
是正整数
故答案为：C.
【思路引导】由若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人，可列不等式9（x+1）＞200；由若
每组比预定人数少1人，则学生总数不到190人，可列不等式9（x-1）＜190，联立两不等式求解并根据x
为正整数及即求出学生人数.
4．（2021八上·秀洲月考）不等式组 的解是x＞a，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a=3 C．a＞3 D．a≥3
【答案】D
【完整解答】解：∵不等式组 的解是x＞a，
∴ ，
故答案为：D.
【思路引导】根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解
集即可.5．（2021八上·余杭月考）已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解： 不等式 的解集为 ，
，
解得： .
故答案为：C.
【思路引导】根据不等式的两边同时除以同一个正数，不等号的方向不改变可得4-a>0，求解可得a的范
围.
6．（2021八上·金东期中）不等式 的整数解是1，2，3，4.则实数a的取值范围是（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【完整解答】解：
显然：
当 时，不等式的解集为： ，
不等式没有正整数解，不符合题意，
当 时，不等式的解集为：
不等式 的整数解是1，2，3，4，由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
故答案为：A.
【思路引导】当a>0时，不等式组的解集为： ≤x≤-1a，此时不等式组没有正整数解；当a<0时，不
等式组的解集为-1a≤x≤-5a，结合不等式组的整数解可得0<-1a≤1、4≤-5a<5，联立可得a的范围.
7．（2021八下·郑州期中）如果关于x的分式方程 ＝1+ 有正整数解，且关于y的一元
一次不等式组 的解集为y≤a，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．8 B．7 C．3 D．2
【答案】D
【完整解答】解：不等式组整理得： ，
由解集为y≤a，得到a＜5，
分式方程去分母得：x﹣a+2x﹣5＝x﹣2，即2x＝a+3，
解得：x＝ ，∵x＝ < =4，由x为正整数解，且x≠2
∴x＝﹣1，3，
若x＝1，则 ＝1，得a＝﹣1；
若x＝3，则 ＝3，得a＝3.
∴和为：﹣1+3＝2.
满足条件的整数a的和为2.
故答案为：D.
【思路引导】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式
方程有正整数解，确定出a的值，求出之和即可.
8．（2020八下·南岸期末）如图，已知直线 与 交点为P，根据图象有以下3个
结论：① ；② ③ 是不等式 的解集.其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【完整解答】解：由图象可知，a＜0，故①错误；
b＞0，故②正确；
当x＜2是直线y=ax+3在直线y=bx-3的上方，
即x＜2是不等式ax+3＞bx-3的解集，故③错误.
故答案为：B.
【思路引导】根据一次函数的图象和性质可得a＜0；b＞0；当x＜2时，直线y=ax+3在直线y=bx-3的上方，即x＜2是不等式ax+3＞bx-3的解集.
9．（2020八上·余杭期末）如图，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于
点 ，则关于 的不等式组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：∵
∴
解得
∵直线 与直线 交于点
∴
∵
∴
解得
∵直线 与直线 交点的横坐标为：-2
∵直线 与 轴交于点又∵当y=0时，
∴
∴
∵直线 与 轴交于点
∴直线 与 轴交于点
故可得图象
由图象可知， 的解集是 .
故答案为：A
【思路引导】根据函数的解析式可以求出交点坐标，后画出函数图象，根据函数图象可以直接写出不等式
组 的解集.
二、填空题
10．（2022八下·长兴开学考）如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3）．则关于x的不等式
x+2≥ax+c的不等式的解为 。
【答案】x≥1【完整解答】解： 直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3） ，
∴3=m+2,
∴m=1，即点P（1，3），
∴如图所示：当x=1时，两条直线相交，即x+2=ax+4，
∴当x≥1时，有不等式x+2≥ax+c成立.
故答案为：x≥1.
【思路引导】由直线y=x+2过点P（m，3）确定点P的坐标，然后结合图象写出直线y=ax+c在直线y=x+2
下方所对应的x取值范围即可.
11．（2021八上·南京期末）在平面直角坐标系中，一次函数 （ 是常数， ）与
（m、n是常数， ）的图象如图所示，则关于x的不等式 的解集为
.
【答案】
【完整解答】解：由函数图象可知关于x的不等式 的解集即为正比例函数图象在一次函数图
象上方自变量的取值范围，
∴关于x的不等式 的解集为 ，
故答案为： .
【思路引导】观察图象，可知两图象的交点的横坐标为x=-3，观察直线x=-3左右两边的图象，写出直线
y＝kx在直线y＝mx＋n上方所对应的自变量的范围即可．
1 2
12．（2021八上·开化期末）一次中学生宪法知识竞赛中共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答
都扣3分.若小丽答了所有的题，要想获得优胜奖（75分及以上)，则她至少要答对 道题.
【答案】17
【完整解答】解：设至少答对x道题，则失分为（20-x）道，
则5x-3（20-x）≥75，解得x≥16 ，
∵x为正整数，
∴x=17.
故答案为：17.
【思路引导】设至少答对x道题，则失分为（20-x）道，根据得分不少于75分，建立不等式求解，结合x
为正整数，即可解答.
{x 1
−1≤ (x−1)
13．若数a使关于x的不等式组 3 2 有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程
2x−a≤3(1−x)
＝1 有整数解，则满足条件的所有a的值之和是
【答案】-18
{x 1
−1≤ (x−1)①
【完整解答】解： 3 2 ，
2x−a≤3(1−x)②
解①得x≥-3，
解②得x≤ ，
不等式组的解集是-3≤x≤ .
∵仅有三个整数解-3，-2，-1，
∴-1≤ ＜0
∴-8≤a＜-3，＝1
3y-a+12=y-2.
∴y= ，
∵y≠2，
∴a≠18
又y= 有整数解，
∴a=-8，-6，-4，
所有满足条件的整数a的值之和是-8-6-4=-18，
故答案为：-18.
【思路引导】 分别解出不等式组中的每一个不等式的解集，根据不等式组有且仅有三个整数解，可
得-1≤ ＜0，求出-8≤a＜-3；解出分式方程y= ，由分式方程有整数解且y≠2，求出a的整数
解，再相加即可.
14．（2021八上·鼓楼月考）如图，已知直线 ： 与直线 ： 相交于点 ：
，则关于x的不等式 的解集为 ．
【答案】x＞-4
【完整解答】解：根据图象可知，不等式 的解集为x＞-4．
故答案为：x＞-4．【思路引导】根据图象，找出直线l 在直线l 下方部分所对应的x的范围即可.
2 1
15．（2021八上·拱墅月考）已知直线y＝﹣x+2与直线y＝2x+4相交于点A，与x轴分别交于B，C两点，
若点D（m，﹣2m+1）落在△ABC内部（不含边界），则m的取值范围是 .
【答案】
【完整解答】解：∵点D（m，﹣2m+1）落在△ABC内部（不含边界），
∴D点在两条直线的下方同时在x轴上方，
∴列不等式组 ，
解得： ，
故答案为： .
【思路引导】由题意可得D点在两条直线的下方同时在x轴上方，则-2m+1<-m+2，-2m+1<2m+4，-2m+1>0，
联立求解即可.
16．（2020八下·禹城期末）已知一次函数 为常数），当x＜2时，y＞0，则
的取值范围为 ．
【答案】
【完整解答】当y=0时， ，
解得 ，
∵x＜2时，y＞0，
∴2m-1＜0， ，解得 ，
故答案为： ．
【思路引导】根据x＜2时，y＞0，得出图象2m-1＜0， ，从而得出m的取值范围．
17．（2020八上·来宾期末）对于任意实数m，n，定义一种运算m※n=mn-m-n+3，等式的右边是通常的加
减和乘法运算。例如：3※5=3×5-3-5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a<2※x<7，且解集中有两个整
数解，则a的取值范围是 。
【答案】4≤a<5
【完整解答】解： ∵2※x =2x-2-x+3=x+1,
∴a2x
2
{3(x+1)≥x−1①
【答案】解： x+9
>2x②
2
由①得
由②得
把不等式组的解集表示在数轴上，如图，
∴原不等式组的解为
【思路引导】分别求出不等式组中各不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找”即可
求出原不等式组的解集，并在数轴上表示出解集。
20．（2021八上·双峰期末）解不等式组 ，把解集在数轴上表示出来，并将解集中的整数
解写出来.【答案】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
所以这个不等式组的解集是： ，
解集在数轴上表示如下：
通过观察数轴可知该不等式组的整数解为2，3.
【思路引导】首先分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分即为不等式组的解集，根据解集的表示
方法表示在数轴上，据此可得不等式组的整数解.
21．（2021八上·金华期中）某业主贷款88000元购进一台机器，生产某种产品，已知产品的成本是每个
5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的10%，若每个月能生产、销售8000个产品，问至
少几个月后能赚回这台机器贷款？（用列不等式的方法解决）
【答案】解：设至少几个月后能赚回这台机器贷款，根据题意得
（8-8×10％-5）×8000x≥8800
解之：x≥5.
答：至少5个月后能赚回这台机器贷款.
【思路引导】此题的不等关系为：（售价-进价）×数量≥总进价，设未知数，列不等式，然后求出不等
式的最小值即可.
22．（2021八上·萧山期中）某业主贷款3.3万元购进一台机器，生产某种产品．已知产品的成本是每个
3元，售价是每个5元，应付的税款和其它费用是售价的10%．若每个月能生产、销售6000个产品，问至
少几个月后能赚回这台机器的贷款？（用列不等式的方法解决）．
【答案】解：设x个月后能赚回这台机器的贷款
由题意得（5－3－5×10%）×6000x≥33000
解得x≥
答：至少4个月后能赚回这台机器的贷款.【思路引导】此题的不等关系为x个月后能赚回这台机器的贷款量≥33000，设未知数，列不等式；求出不
等式的解集；然后求出不等式的最小整数解.
23．（2021八上·海曙期末）已知y是x的一次函数，且当 时， ；当 时，
．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，求函数y的值；
（3）当 时，求自变量x的取值范围．
【答案】（1）解: ，将点 ， 代入得：
，解得
函数解析式为
（2）解:将 代入 得，
（3）解:∵
∴ 随 的增大而减小
将 和 代入得 ，
解得 ，
∴当 时，
自变量x的取值范围为
【思路引导】（1）利用y是x的一次函数，设函数解析式为y=kx+b，将x，y的两组对应值分别代入函数
解析式，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式.（2）将x= 代入函数解析式，可求出对应的y的值.
（3）分别求出当x=-3和x=2时的函数值，再利用一次函数的增减性，可得到此时x的取值范围.
24．（2022八下·长兴开学考）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突
破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相
同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用相同的费用，购买的足球数量
与购买的篮球数量之比为3：2．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500
元，学校最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）解：设每个足球x元，每个篮球(2x-30)元，
根据题意得：3x=2(2x-30)，
解得x=60，
答：每个足球60元，每个篮球90元
（2）解：设买篮球m个，则买足球(200-m)个，
由题意得：90m+60(200-m)≤15500，
解得m≤
∵m为正整数，∴最多购进篮球116个
【思路引导】（1） 设每个足球x元，每个篮球(2x-30)元， 由用相同的费用，购买的足球数量与购买的
篮球数量之比为3：2，可列方程，解出x即可；
（2） 设买篮球m个，则买足球(200-m)个 ，由足球和篮球的总费用不超过15500元，列出不等式， 求m
的范围，结合m为正整数求出符合题意的m值即可.
25．（2021八上·鄞州期末）校八年级举行英语演讲比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记
本的单价分别是12元和8元.根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本，并且所购买A笔记本的数量要不
多于B笔记本数量的 ，但又不少于B笔记本数量 ，设买A笔记本n本，买两种笔记本的总费为w
元.
（1）写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；（2）购买这两种笔记本各多少时，费用最少？最少的费用是多少元？
【答案】（1）解：由题意可得，
w＝12n+8（30﹣n）＝4n+240，
∵所购买A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的 ，但又不少于B笔记本数量 ，
，
解得5≤n≤13 ，
∵n为整数，
∴5≤n≤13，
即w（元）关于n（本）的函数关系式是w＝4n+240（5≤n≤13且n为整数）；
（2）解：由（1）知w＝4n+240，
∴w随n的增大而增大，
∵5≤n≤13且n为整数，
∴当n＝5时，w取得最小值，此时w＝260，30﹣n＝25，
答：购买A种笔记本5本、B种笔记本25本时，费用最少，最少的费用是260元.
【思路引导】（1）根据单价×本数=总价可得W与n的关系式，根据购买A笔记本的数量要不多于B笔记
本数量的 ，但又不少于B笔记本数量 可得n≤ (30-n)，n≥ (30-n)，联立求出n的范围，据此解答；
（2）根据一次函数的性质结合n的范围进行解答即可.
26．（2021八上·鄞州期末）A、B两地相距200千米，早上8：00货车从A地出发将一批防疫物资运往B
地，途中货车出现了故障.已知货车离开A地的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数关系如图所示.（1）求货车出现故障前的速度；
（2）若货车的司机经过24分钟维修排除了故障，继续运送物资赶往B地.应防疫需要，现要求该批次
物资运到B地不迟于当天中午12：00，那么货车的速度至少应该提高到多少？
【答案】（1）解：由图象可得，
货车出现故障前的速度为：80÷1.6＝50（km/h），
答：货车出现故障前的速度为50km/h；
（2）解：设货车排除故障后的速度为xkm/h，
（12﹣1.6﹣ ﹣8）x≥200﹣80，
解得x≥60，
答：货车的速度至少应该提高60km/h.
【思路引导】（1）由图形可得：货车1.6h行驶了80km，利用路程÷时间就可求出货车出现故障前的速度；
（2）设货车排除故障后的速度为xkm/h，利用(到达的时间-1.6-维修的时间-开始的时间)×排除故障后的
速度≥200-80，求出x的范围即可.
27．（2021八上·长沙开学考）现计划把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地.已知有A、B两种不
同规格的货车共50辆，如果每辆A型货车最多可装甲种货物7吨和乙种货物3吨，每辆B型货车最多可装
甲种货物5吨和乙种货物7吨.
（1）装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案？
（2）使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元.在上述方案中，哪个方案运费最省？
最省的运费是多少元？
（3）在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元.每辆B
型车奖金为n元，38＜m＜n.且m、n均为整数，求此次奖金发放的具体方案.【答案】（1）解：设安排A种货车x辆，安排B种货车（50-x）辆.
由题意得 ，
解得28≤x≤30，
∵x为整数，
∴x=28或29或30，
∴50-x=22或21或20，
∴共有3种方案.
方案一：A种货车28辆，安排B种货车22辆，
方案二：A种货车29辆，安排B种货车21辆，
方案三：A种货车30辆，安排B种货车20辆
（2）解：∵使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元，
600＜800，
∴第三种方案运费最省，费用为600×30+800×20=34000（元）.
（3）解：由题意30m+20n=2100，
∴3m+2n=210，
∴m=70- ，
∵m，n是整数，
∴n是3的倍数，
∵38＜m＜n.
∴38＜70- ＜n，
∴42＜n＜48，
∵n为3的倍数，
∴n=45，
∴m=40
∴每辆A型车奖金为40元.每辆B型车奖金为45元.
【思路引导】(1) 设安排A种货车x辆，安排B种货车（50-x）辆，根据两辆车所装的甲货物不少于306
吨，所装乙货物不少于230吨，列出不等式组求出x的范围，然后在其范围内取整数，则可得出可能的方案；
(2)根据题意得出30m+20n=2100，根据m，n是整数，得出n是3的倍数，结合38＜m＜n，则可求出n的范
围，从而确定n的值，再求出m的值即可.
28．（2021八下·樊城期末）如图：已知直线y＝kx＋b经过点A（5，0），B（1，4），与直线y＝2x﹣
1 2
4交于C点.
（1）求直线y 的解析式以及y 与x轴的交点D的坐标；
1 2
（2）求C点的坐标；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式y＞y＞0时x的取值范围.
1 2
【答案】（1）解：根据题意得：
解得
∴y 的解析式为y=−x+5，
1 1
在y＝2x﹣4中令y=0，则可得：
2 2
2x-4=0，
∴x=2，
∴D点坐标为（2，0）
（2）解：由题意可得：解得
∴C(3，2)
（3）解：如图，分别过D和C作x轴的垂线l和m，
则两直线夹在l和m之间的部分满足y＞y＞0，此时2
