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期末考试B卷压轴题模拟训练（三）
一、填空题
19．已知a=b﹣2 ，则代数式 的值为_____．
【答案】12
【分析】由已知等式得出 ，代入到原式 计算可得答案．
【详解】解： ，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了完全平方的运算，其中熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
20．不等式组 的解集是x≤3，那么a的取值范围_____．
【答案】a＞1
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式的同小取小列出不等式，然后求解即
可．
【详解】解： ，
解不等式②得，x≤3，
∵不等式组的解集是x≤3，
∴2a+1＞3，
解得a＞1，
∴a的取值范围a＞1．
故答案为a＞1．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的
口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
21．若一次函数 的图象经过第一，三，四象限，且关于 的分式方程的解为非负数，则满足条件 的取值范围为_________．
【答案】 且
【分析】根据一次函数 经过第一、三、四象限则 得到 ；再解分式方程得到
，结合分式方程解得情况求解即可．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过第一，三，四象限，
∴ ，解得 ；
去分母得： ，去括号得： ，∴ ，
∵关于 的分式方程 的解为非负数，∴ ，解得 且 ，
综上所述， 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，根据分式方程解的情况求参数，解一元一次不等式
组，灵活运用所学知识是解题的关键．
22．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，将边AD绕点D逆时针旋转60°得到DE，线段DE交边BC于点
F，连接BE．若∠C+∠E＝150°，BE＝2，CD＝2 ，则线段BC的长为_____．
【答案】2
【分析】过C作CM⊥DE于M，过E作EN⊥BC于N，根据平行四边形的性质得到BC∥AD，根据平行线的性
质得到∠BFE=∠DFC=∠ADE，根据旋转的性质得到∠BFE=∠DFC=∠ADE=60°，推出∠DCM=∠EBN，根据相似三角形的性质得到CM= BN，DM= EN，得到FM=BN，设FM=BN=x，EN=y，则DM= y，CM= x，根据
勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过C作CM⊥DE于M，过E作EN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BFE＝∠DFC＝∠ADE，
∵将边AD绕点D逆时针旋转60°得到DE，
∴∠BFE＝∠DFC＝∠ADE＝60°，
∴∠FCM＝∠FBN＝30°，
∵∠DCF+∠BEF＝150°，
∴∠DCM+∠BEN＝90°，
∵∠BEN+∠EBN＝90°，
∴∠DCM＝∠EBN，
∴ ＝ ＝ ，
∴CM＝ BN，DM＝ EN，
在Rt△CMF中，CM＝ FM，
∴FM＝BN，
设FM＝BN＝x，EN＝y，则DM＝ y，CM＝ x，
∴CF＝2x，EF＝ y，
∵BC＝AD＝DE，
∴ y+x+ y＝2x+ y+x，∴x＝ y，∵x2+y2＝4，
∴y＝ ，x＝ ，
∴BC＝2 ，
故答案为：2 ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正确的作出
辅助线是解题的关键．
23．如图，在 中， ， ， 于点D， 平分 交 于点E，交
于点G，过点A作 于点H，交 于点F，下列结论：① ；② ；③
；④ ，其中正确的序号有______．
【答案】①③④
【分析】根据角平分线定义得到 ，根据余角的性质得到 ，等量代换得到
，故①正确；如图，连接 ，根据全等三角形的性质得到 ，根据线段垂直平分
线的性质得到 ，求得 ，故②错误；根据全等三角形的性质得到 ，根
据等腰直角三角形的性质得到 ，求得 ，故③正确；根据全等三角
形的性质得到 ，推出 ，得到 ，于是得到 ．故
④正确．
【详解】解：∵ 平分 交 于点E，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
如图，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②错误；
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
∵ ， ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．故④正确；
综上所述：正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平
分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理是解题的关键．
二、解答题
24．沙坪坝区2017年已经成功创建国家卫生城区，现在正全力争创全国文明城区（简称“创文”），某街
道积极响应“创文”活动，投入一定资金用于绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共72棵，其中甲
种树木每棵90元，乙种树木每棵80元，共用去资金6160元.
（1）求甲、乙两种树木各购买了多少棵？
（2）经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好，该街道决定再购买一批这两种树木绿化
另一块闲置空地，两种树木的购买数量均与第一批相同，购买时发现甲种树木单价上涨了 ，乙种树木
单价下降了 ，且总费用不超过6804元，求 的最大值.
【答案】（1）甲种40棵，乙种32棵，（2）25.
【分析】（1）设甲种树苗购买了 棵，乙种树苗购买了 棵，根据总费用 单价 数量结合“购买了甲、
乙两种树木共72棵，共用去资金6160元”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总费用 单价 数量结合总费用不超过6804元，即可得出关于 的一元一次不等式，解之取其中
的最大值即可得出结论．
【详解】解：（1）设甲种树苗购买了 棵，乙种树苗购买了 棵，
根据题意得： ，
解得： ．
答：甲种树苗购买了40棵，乙种树苗购买了32棵．
（2）根据题意得： ，
解得： ．
答： 的最大值为25．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6和2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．
(1)当旋转至图1位置时，连接BE，DG，线段BE和DG是否相等且垂直？请说明理由；
(2)在图1中，连接BD，BF，DF，请直接写出在旋转过程中 的面积最大值；
(3)在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，请求出线段BE的长．
【答案】(1)相等且垂直，理由见解析
(2)30
(3)BE的长为 或
【分析】（1）如图，证明 ，可得结论；（2）如图，取 的中点 ，连接 、 、 ，过点 作 于点 ，根据三角形的三边关系，
推出 的最大值，由此可得结论；
（3）分两种情形：如图，当点 在线段 上时．如图当点 在线段 的延长线上时，利用勾股定理即
可得出结论．
【详解】（1）解：（1）数量关系： ，位置关系： ，
理由如下：如图，设 与 交于点 ，连接 ，
∵四边形 、四边形 都是正方形，
∴ ， ， ，
∴ 即 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
即 ，
，
故 与 的数量关系为： ，位置关系为： ；
（2）解：如图，取 的中点 ，连接 、 、 ，过点 作 于点 ，， 为 中点， ，
，
，
，
四边形 是正方形 ，
，
，
即 的最大值为 ，
，
当 最大时， 的面积也最大，
面积的最大值为 ；
（3）解：当点 在线段 上时，如图，连接 交 于点 ，
四边形 是正方形，
， ，在 中，由勾股定理得 ，
，
，
当点 在线段 的延长线上时，如图，连接 交 于点 ，
同理可得： ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
，
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，
解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
26．如图，在直角坐标系中，A(-a,0),B(b,0),C(0,c),且满足 .
(1)如图1，过B作BD⊥AC,交y轴于M，垂足为D，求M点的坐标．
(2)如图2，若a=3 ，AC=6，点P为线段AC上一点，D为x轴负半轴上一点，且PD=PO，∠DPO=45°，求点D的坐标．
(3)如图3，M在OC上，E在AC上，满足∠CME=∠OMA,EF⊥AM交AO于G，垂足为F，试猜想线段
OG,OM,CM三者之间的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）M（0,2）；（2）D（ ，0）；（3）OG+OM=CM，证明见解析.
【分析】（1）由被开方数大于等于0，可得a=c，b=2，则B点坐标为（2,0），易得△OAC和△OBM为等
腰直角三角形，所以OM=OB=2，从而得到M点坐标；
（2）由“一线三等角”模型，易证△PAD≌△OCP，从而得到AP=OC，AD=PC，即可求出OD的长度，进而
得到D点坐标；
（3）设OM=m，则M点坐标为（0，m），分别求出AC、AM、EM的解析式，将EM与AC联立求得E点
坐标，再根据EF⊥AM，可得EF的斜率，进而求出EF的解析式，然后求出G点坐标即可得出关系.
【详解】解：（1）由题意得 ，
∴ ，
∴OA=OC，B点坐标（2,0）
∴∠OAC=∠OCA=45°，
又∵BD⊥AC
∴∠OBM=45°，
∴∠OMB=∠OBM=45°，
∴OM=OB=2
∴M点的坐标为（0,2）
（2）∵∠APO=∠APD+∠DPO=∠PCO+∠POC，且∠DPO=∠PCO=45°
∴∠APD=∠POC
在△PAD和△OCP中，
∴△PAD≌△OCP（AAS）
∴AP=OC= ，AD=PC∴PC=AC-AP= =AD
∴OD=OA-AD=
∵D点在x轴负半轴，
∴D点坐标为（ ，0）
（3）OG+OM=CM，证明如下：
设OM=m，则M点坐标为（0，m）
由（1）可知OA=OC=a，A点坐标为（-a，0），C点坐标为（0，a）
∴AC直线解析式为：
AM直线解析式为：
如图，延长EM，AO交于点H，
∵∠CME=∠OMA，∠CME=∠OMH
∴∠OMA=∠OMH
又∵MO⊥AH
∴OA=OH=a
∴直线EH解析式为：
将直线AC与直线EH联立得
解得
∴E点坐标为（ ， ）
∵EF⊥AM∴k ·k =-1
EF AM
∴k =
EF
设EF解析式为：
将E点坐标（ ， ）代入得
= ，解得
设EF解析式为：
当y=0时，
解得
∴G点坐标为（ ，0）
∵G在x轴的负半轴
∴OG=
∴OG+OM=
又∵CM=OC-OM=
∴OG+OM=CM
【点睛】本题考查了坐标系中的几何问题，熟练掌握几何模型，以及一次函数的图像与性质，是解决本题
的关键，难度较大，需要综合运用所学知识.
