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专题 2.1-5 不等式与一元一次不等式
典例体系 （本专题共 7 2 题 3 5 页）
一、知识点
1、不等式的性质：
①性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。
用字母表示为： 如果a>b，那么a±c>b±c； 如果a <
用字母表示为： 如果 a>b,c>0 ，那么 ac>bc (或c c )；如果a0，那么 ac0 ，那么 ac≥bc (或c c )；如果 a≤b,c>0 ，那么 ac≤bc (或c c )；
③性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，不等号的方向 改变 。
a b a b
< >
用字母表示为： 如果 a>b,c<0 ，那么 acbc (或c c )；a b a b
≤ ≥
如果 a≥b,c<0 ，那么 ac≤bc (或c c )；如果 a≤b,c<0 ，那么 ac≥bc (或c c )；
2、解一元一次不等式
3、一元一次不等式的应用
4、一元一次不等式与一次函数二、考点点拨与训练
考点1：不等式的定义和意义
典例：（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的
剂量设为x，则x的取值范围是______．
用法用量：口服，每天 ，分2~3次服用
规格：□□□□
贮藏：□□□□
方法或规律点拨
本题考查了不等式的意义、有理数的除法运算．解题的关键是理解题意，首先明白每天要服用的药量，然
后根据分几次服用，可求出最小药量和最大药量．
巩固练习
1．（2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学八年级月考）下列说法错误的是（ ）
A． 是不等式 B．平方最小的实数是0
C． 的整数部分是 D．负数没有立方根
2．（2021·全国八年级）在数学表达式：-3<0，4x+3y>0，x=3， ， ，x+2>y+3中，是
一元一次不等式的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2020·嵊州市三界镇中学八年级期中）式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤
；⑥ ．其中是不等式的有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2020·山西八年级期中）李明乘车驶入地下车库时，发现车库入口处有几个标志码（如图1），其中
第一个标志（如图2）表示“限高2m”．若设车的高度为 m，则以下几个不等式中对此标志解释准确的是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·广西百色市·七年级期末）已知 是正数，则用不等式表示 正确的是（ ）
A． B． C． D．6．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，身高为 的1号同学与身高为 的2号同学站在一起时，
如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成 ________ ．（用“ ”或“ ”填
空）
7．（2020·四川巴中市·八年级期末）“数 不小于1”的数学表达式为______．
8．（2020·浙江杭州市·八年级期中）给出下列表达式：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ，其中属于不等式的是______．（填序号）
9．（2020·河南洛阳市·七年级期中）若x≥﹣5的最小值为a，x≤5的最大值是b，则a+b＝_____．
10．（2020·全国课时练习）若 ，且 ，则a______0；b________0．
考点2：不等式性质
典例：（2021·全国八年级）下列变形是怎样得到的？
（1）由 ，得 ；
（2）由 ，得 ；
（3）由 ，得 ．
方法或规律点拨
此题考查不等式的性质：不等式的两边加（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边
乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方
向改变.
巩固练习
1．（2020·浙江八年级期末）若实数a，b满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·浙江八年级期末）若a>b，则（ ）
A．a+1>b-1 B．a-1>b+1 C．a-1≥b D．b+1≥a
3．（2020·浙江八年级期末）若 ，则 成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·浙江八年级期末）已知 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·浙江八年级期末）若 ，则下列各式中一定成立的是（ ）A． B． C． D．
6．（2021·浙江金华市·八年级期末）若a＞b，则下列不等式变形正确的是（ ）
A．3a＜3b B．ac2＞bc2 C．a﹣c＞b﹣c D．﹣ac＜﹣bc
7．（2021·湖南岳阳市·八年级期末）若 ，则下列式子错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·沙坪坝区·重庆八中八年级月考）若不等式 的解集是 ，则 必满足
（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·杭州采荷实验学校八年级期中）下列哪个数是不等式 的一个解（ ）
A． B． C． D．2
10．（2021·全国八年级）一直关于 的不等式 两边都除以 ，得 ．
（1）求 的取值范围；
（2）试化简 ．
11．（2021·全国八年级）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成 或 的形式．
（1） ． （2） ． （3） ． （4） ．
考点3：不等式的解集
典例：（2021·江西赣州市·八年级期末）在 中，已知 ， ， 的取值范围在数轴上表
示如图所示，则 的长为______
方法或规律点拨
本题考查三角形三边关系，涉及一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关
键．
巩固练习
1．（2020·河南驻马店市·七年级期末）下列说法不正确的是（ ）
A．由 ，得 B．由 得C．不等式 的解一定是不等式 的解 D．若 ，则 （c为有理数）
2．（2020·福建宁德市·八年级期末）下列各数中，是不等式x＞3的解的是（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．5
3．（2020·山西七年级期末）下列各数是不等式 的解的是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
4．（2020·丰县欢口镇欢口初级中学七年级月考）不等式 的非负整数解的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2021·浙江绍兴市·八年级期末）用“ ”或“ ”填空：若 ，则 ______ ．
考点4：解一元一次不等式
典例：（2020·浙江嘉兴市·八年级期末）小明解不等式 的过程如图．
解：去分母得： ①
去括号得 ②
移项得 ③
合并同类项得 ④
两边都除以-1得 ⑤
（1）请指出他解答过程中从第___________（填序号）步开始出现错误；
（2）写出正确的解答过程．
方法或规律点拨
此题考查解一元一次不等式．其关键是掌握相关法则和解一元一次不等式的一般步骤，要注意去分母时两
边都要乘及两边乘以或除以负数时，不等号要改变方向．
巩固练习
1．（2016·山西九年级专题练习）一元一次不等式2(x＋1)≥4的解集在数轴上表示为( )
A． B． C． D．
2．（2020·湖北荆州市·七年级月考）如果关于 的方程 的解是负值，那么 与 的关系是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·湖南怀化市·八年级期末）不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江湖州市·八年级期末）不等式 的解在数轴上表示正确的是（ ）A． B．
C． D．
5．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）在实数范围内定义一种新运算“ ”，其运算规则为：
．如： ，则不等式 的解集为是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级月考）关于 x 的一元一次不等式 3x＞6 的解都能满
足下列哪一个不等式的解（ ）
A．4x﹣9＜x B．2x+4＜0 C．﹣3x+2＜0 D．x＜2
8．（2020·山东泰安市·八年级期末）已知如图是关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解集，则a的值为_____．
9．（2021·河南南阳市·七年级期末）关于x的不等式﹣2x+a≥4的解集如图所示，则a的值是__ ．
10．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）现定义一种新的运算： ，例如
，则不等式 的解集为________．
11．（2020·浙江八年级期末）解不等式： ．
12．（2021·湖南邵阳市·八年级期末）已知不等式： ，
（1）解此不等式并把解集在数轴上表示出来；
（2）试判断x= 是否为此不等式的解．
13．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）解一元一次不等式 ．
考点5：一元一次不等式的应用
典例：（2021·浙江绍兴市·八年级期末）某市居民用电收费采用分段计费，计费方式如下表所示：每月用电超过50千瓦
每月用电不超过50千瓦 每月用电超过150千瓦
月用电量 时，不超过150千瓦时
时的部分 时的部分
的部分
计费单价 0.53元/千瓦时 0.59元/千瓦时 0.64元/千瓦时
设每月用电量为x千瓦时．
(1)当 时，用含x的代数式表示应缴电费_______元；
(2)小林家六、七月份共用电200千瓦时，共缴电费不超过114.2元，已知六月份用电不超过100千瓦时，
请帮小林计算一下他家7月份最多用了多少千瓦时的电?
方法或规律点拨
本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·河南南阳市·七年级期末）妈妈将某服饰店的促销活动内容告诉爸爸后，爸爸假设某一商品的定
价为x元，并列出关系式为0.8（2x﹣100）＜1500，则下列哪一项可能是妈妈告诉爸爸的内容（ ）
A．买两件等值的商品可减100元，再打2折，最后不到1500元
B．买两件等值的商品可打2折，再减100元，最后不到1500元
C．买两件等值的商品可减100元，再打8折，最后不到1500元
D．买两件等值的商品可打8折，再减100元，最后不到1500元
2．（2021·广东佛山市·八年级期末）某电信公司推出两种手机收费方案．方案A：月租费30元，本地通
话话费0.15元/分；方案B：不收月租费，本地通话话费为0.3元/分．设婷婷的爸爸一个月通话时间为x分
钟，婷婷的爸爸一个月通话时间为多少时，选择方案A比方案B优惠？（ ）
A．100分钟 B．150分钟 C．200分钟 D．250分钟
3．（2021·浙江湖州市·八年级期末）假期，小云带150元去图书馆，下表记录了他当天的所有支出，其中
小零食支出的金额不小心被涂黑了，如果平均每包小零食的售价为5元，那么小云可能剩下的金额是（
）
午
支出 购买课外资料 公交车票 小零食
餐
金额（元） 15 120 4
A．1元 B．2元 C．3元 D．4元
4．（2021·湖南益阳市·八年级期末）李老师网购了一本《好玩的数学》，让大家猜书的价格．甲说：“不
少于10元”，乙说：“少于12元”．老师说：“大家说的都没有错”．则这本书的价格 （元）所在的
范围为（ ）
A．10≤ ＜12 B．10≤ ≤12 C．10＜ ＜12 D．10＜ ≤12
5．（2021·浙江湖州市·八年级期末）某超市开展促销活动，一次购买的商品超过88元时，就可享受打折
优惠．小明同学准备为班级购买奖品．需买 本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本 元．钢笔每支
元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔（ ）A． 支 B． 支 C． 支 D． 支
6．（2021·河南南阳市·七年级期末）某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标，由甲，乙两
个工程队来完成，已知甲队5天能完成绿化的面积等于乙队10天完成绿化的面积，甲队3天能完成绿化的
面积比乙队5天能完成绿化面积多60m2．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；
（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，要使这次绿化的总费用不超过32万
元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
7．（2021·广西梧州市·八年级期末）就目前情况，新冠肺炎疫情防控一点也不能放松，“戴口罩､勤洗手､
少聚会”仍是疫情防控的有效措施．为保证防疫口罩供应，某医药公司保持每月生产甲､乙两种型号的防
疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本､售价如下表：
口罩型号 甲 乙
成本（元/只） 1 3
售价（元/只） 1.5 6
（1）该公司去年十二月份的口罩销售总收入为39万元，求该月公司生产甲､乙两种型号的口罩分别是多少
万只?
（2）设该公司每个月生产甲种型号口罩a万只，月利润为w万元，求w与a的函数关系式（不要求写自变
量的取值范围）；
（3）如果公司在今年一月份投入口罩生产的总成本不超过28万元，应怎样安排甲､乙两种型号防疫口罩的
产量，可使本月公司所获利润最大?并求出最大利润．
8．（2021·广东广州市·八年级期末）今年，“地摊经济”成为了社会关注的热门话题．小明从市场得知如
下信息：
甲商品 乙商品
进价（元/件） 35 5
售价（元/件） 45 8
小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售．设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润
为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）小明用不超过2000元资金一次性购进甲，乙两种商品，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于632.5元，请说明小明有哪些
可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大．
9．（2021·浙江宁波市·八年级期末）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，
某垃圾处理厂计划向机器人公司购买A型号和B型号垃圾分拣机器人共60台，其中B型号机器人不少于
A型号机器人的1.4倍．（1）该垃圾处理厂最多购买几台A型号机器人？
（2）机器人公司报价A型号机器人6万元/台，B型号机器人10万元/台，要使总费用不超过510万元，则
10．（2021·广西河池市·七年级期末）列方程解应用题：
七年级1班计划购买一批书包和词典作为“迎新知识竞赛”活动奖品，了解到每个书包价格比每本词典多
8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．
（1）求每个书包和每本词典的价格；
（2）若该班计划用900元购买40份（即书包、词典的总数量）奖品，设其中购买了 个书包，请写出余
下的钱的代数式，当余下的钱为最小值时，问该班购买书包和词典的数量各是多少？
11．（2021·山东济宁市·七年级期末）某市出租车的起步价是7元（起步价是指不超过 行程的出租车
价格），超过3km行程后，其中除 的行程按起步价计费外，超过部分按每千米1.6元计费（不足
按 计算）．如果仅去程乘出租车而回程时不乘坐此车，并且去程超过 ，那么顾客还需付回程的空
驶费，超过 部分按每千米0.8元计算空驶费（即超过部分实际按每千米2.4元计费）．如果往返都乘
同一出租车并且中间等候时间不超过3分钟，则不收取空驶费而加收1.6元等候费．现设小文等4人从市
中心A处到相距 （ ）的B处办事，在B处停留的时间在3分钟以内，然后返回A处．现在有两
种往返方案：
方案一：去时4人同乘一辆出租车，返回都乘公交车（公交车票为每人2元）；
方案二：4人乘同一辆出租车往返．
问选择哪种计费方式更省钱？（写出过程）
考点6：一元一次不等式与一次函数
典例：方法或规律点拨
本题考查了作坐标系中的对称图形，利用构造法来求三角形面积和将军饮马的问题，熟练掌握相关知识点
是解决本题的关键．
巩固练习
1．（2021·广西百色市·八年级期末）关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．在 轴上的截距是3 B．它不经过第四象限
C．当x≥3时，y≤0 D．图象向下平移4个单位长度得到 的图象
2．（2020·浙江八年级期末）一次函数 与正比例 函数，若 ，则自变量 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江金华市·八年级期末）直线y＝kx+b与直线y＝kx在同一平面直角坐标系中的图象如图所
1 1 2 2
示，则关于x的不等式kx+b≤kx的解为（ ）
1 2A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x≤﹣3 D．x≥﹣3
4．（2020·浙江杭州市·八年级期末）一次函数 与正比例函数 ，若 则自变量
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·山东泰安市·八年级期末）如图，直线 与 相交于点 ，若 ，那么 的
取值范围是______．
6．（2021·江苏盐城市·八年级期末）如图，已知一次函数 的图像，则关于x的不等式
的解集是__________．
7．（2021·浙江宁波市·八年级期末）如图，函数 和 的图象相交于点
，则不等式 的解集为__________．8．（2020·浙江八年级期末）设一次函数 ， （m，n是常数，且m≠0，m≠n，
n>0）
（1）当m=3，n=2时，
①求函数y，y 图象的交点坐标．
1 2
②若y>y，求自变量x的取值范围．
1 2
（2）在0y，求证:m+n<0．
1 2
9．（2020·浙江八年级期末）一次函数 axa1（a为常数，且a0）．
（1）若点1，3在一次函数 axa1的图象上，求a的值；
（2）当-1x2时，函数有最大值5，求出此时一次函数 的表达式；
（3）对于一次函数 kx2k4k0，若对任意实数x， 都成立，求k的取值范围．
10．（2021·江苏泰州市·八年级期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y＝|x|的图像
和性质，并解决问题：
（1）完成下列步骤，画出函数y＝|x|的图像；
①列表、填空：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 1 0 2 …
②描点，
③连线（2）观察函数图像，写出该函数图像的一条性质 ．
（3）结合图像，写出不等式 x+ ＞|x|的解集为 ．
11．（2020·浙江八年级期末）在平面直角坐标系中，一次函数 （k，b是常数，且 ）的图象
经过点 和 ．
（1）求该函数的表达式；
（2）若点 在该函数的图象上，求点P的坐标；
（3）当 时，求x的取值范围．
12．（2021·贵州遵义市·九年级期末）在初中阶段的函数学习中，我们知道由含有未知数 和 的两个二
元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数；同时知道任何一个以 为未知数的一元一
次不等式都可以变形为 或 的形式，因此我们可以用画一次函数图象的方法得
到方程组的解或不等式的解集．
（1）在给出的平面直角坐标系中，直接画出函数 的图象；
（2）如图，直线 与 相交于点 ，根据图象直接写出关于 的方
程 的解；（3）根据图象直接写出不等式 的解集．
13．（2021·安徽合肥市·八年级期末）如图，一次函数 的图像与 轴交于点 ；一次函数
的图像与 轴交于点 ，且经过点 ，两函数图像交于点 ．
（1）求 ， ， 的值；
（2）根据图象，直接写出 的解集．
14．（2021·江苏连云港市·八年级期末）已知直线 经过点 ， ．
（1）求直线 的解析式；
（2）若直线 与直线 相交于点 ，求点 的坐标；
（3）根据图像，写出关于 的不等式 的解集．
15．（2021·安徽淮南市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 经过点 ，直
线 经过点 且与直线 相交于点 ．（1） _______， _______；
（2）求直线 的解析式；
（3）请把图象中直线 在直线 上方的部分描黑加粗，并直接写出不等式
的解集：________．
