文档内容
专题 24 圆锥曲线综合大题归类
目录
题型一： 大题基础：五个方程...........................................................................................................................................1
题型二：直线横截式.............................................................................................................................................................4
题型三：直线“双变量”型过定点.....................................................................................................................................8
题型四：面积最值范围型...................................................................................................................................................11
题型五：面积比值范围型...................................................................................................................................................16
题型六：定值型...................................................................................................................................................................20
题型七：斜率“和”型.......................................................................................................................................................25
题型八：斜率“积”型.......................................................................................................................................................28
题型九：斜率“比值”型...................................................................................................................................................32
题型十：斜率复合型...........................................................................................................................................................36
题型十一：切线型...............................................................................................................................................................40
题型十二：三角函数型转化难题.......................................................................................................................................44
题型十三：韦达定理不能直接用：定比分点...................................................................................................................47
题型十四：非对称型...........................................................................................................................................................51
题型十五：点代入型...........................................................................................................................................................55
题型一： 大题基础：五个方程
基本模板实战模板
1、设点，
2、方程1：设直线： -----此处还有千言万语，在后边分类细说。
3、方程2：曲线：椭圆，双曲线，抛物线，或者其他（很少出现），注意一个计算技巧，方程要事先去
分母
4、方程3:联立方程，整理成为关于x(或者y）的一元二次方程。要区分，椭圆，双曲线，和抛物线联立
后方程
的二次项能否为零-----这就是实战经验。
5、（1） ； （2）二次项系数是否为0；------这两条，根据题确定是直接用，或者冷处理。但是必
须考虑。
6、方程4、5：韦达定理
7、寻找第六个方程，第六个方程其实就是题目中最后一句话
1．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知动点 在抛物线 上， ，点 到
的准线的距离为 ，且 的最小值为5.
(1)求 的方程；
(2)若过点 的直线 与 交于 两点，且直线 的斜率与直线 的斜率之积为 ，求 的斜率.
【答案】(1) (2)4或
【分析】（1）利用抛物线的定义转化一个距离，则可用两点间距离线段最短得解；
（2）利用方程组思想结合韦达定理，转化到坐标法来研究，即可得解.
【详解】（1）设抛物线 的焦点为 ，由抛物线的定义可得 ，则 ，当 三点共线且点 在线段 上时， 取得最小值 ， 则 ，整理得
，解得 或 ，因为 ，所以 ，故 的方程为 .
（2）设过点 的直线 .
联立 ，消元得 ，则 ，由
，
得
代入韦达定理得：
化简得 ，得 或 .故 的斜率为4或 .
2．（2022·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C与双曲线 有相同的焦点，且椭圆C过点 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知椭圆C的左焦点为F，过F作直线l与椭圆C交于A、B两点，若弦 中点在直线 上，求直
线l的方程．
【答案】(1) (2) 或 ．
【分析】（1）根据椭圆的焦点及椭圆上的点列出方程求解即可；
（2）由题意直线斜率不为0，设直线方程 ，联立椭圆方程，由根与系数的关系求出中点纵坐标，
代入 求出 即可得直线方程.
【详解】（1）由题意，椭圆C与双曲线 有相同的焦点为 ，
设椭圆的方程为： ，又 椭圆C过点 ， ，解得 ，
．
椭圆C的标准方程为 ．
（2）当直线l与x轴重合时不满足题意；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为 ，
由 消去x化简得 ．
设A(x ,y )，B(x ,y )，则 ． 弦 中点在直线 上，
1 1 2 2，解得 或 ． 直线l的方程为 或 ．
3．（2024·四川南充·一模）已知动点 与定点 的距离和P到定直线 的距离的比是常数
，记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)设点 ，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且 ， ，求直线FM
的斜率.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据距离公式列出方程即可求解；
（2）设 ，可得直线 的方程，呢绒联立方程组，结合对称性与弦长公式列出方程即可求解.
【详解】（1）由题意， ，整理化简得， ，所以曲线C的标准方程为
.
（2）由题意，直线 的斜率都存在，设 ，则直线 的方程为 ，
分别延长 ， 交曲线 于点 ，设 ，联立 ，即
，则 ，根据对称性，可得 ，
则 ，
即 ，解得 ，所以直线FM的斜率为 .
4．（24-25高三上·广东惠州·期中）已知双曲线 及直线 .
(1)若 与 有两个不同的交点，求实数 的取值范围；
(2)若 与 交于 两点， 是坐标原点，且 的面积为 ，求实数 的值.
【答案】(1) (2) 或
【分析】（1）将双曲线 及直线 联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，根据题
意即可求解；
（2）方法一：根据面积 ，其中d为O到直线l的距离，然后用含k的式子
表示出 ，解方程即可求出k的值；方法二：根据得 ，然后用含k的式子表示出 ，解方程即可求出k的值.
【详解】（1）直线 与双曲线 有两个不同的交点，则方程组 有两组不同的实数根，
整理得 . ，解得 且 ，双曲线 与直线
有两个不同的交点时， 的取值范围是 .
（2）解法一：设交点 ，由（1）知双曲线 与直线 联立的方程为 .
由韦达定理得： ，则
又 到直线 的距离 ，
所以 的面积 ，解得 或 ，
又因为 且 ，所以 或 .所以当 或 时， 的面积为 .
解法二：设交点 ，直线 与 轴交于点 ，
由（1）知双曲线 与直线 联立的方程为 .由韦达定理得：
，
当 在双曲线的一支上且 时，
；当 在双曲线的两支上且 时，
综上， .
由已知得 ，故 ，即
所以 ，解得 或 ，又因为 且 ，所以 或.所以当 或 时， 的面积为 .
题型二：直线横截式
（1）直线AB方程为 ，联立曲线方程，
结合韦达定理化简整理得到只关于t、m的方程，即可求出t、m的关系，即可进一步讨论直线AB过定点
的情况；
（2）设直线时注意考虑AB斜率不存在的情况，联立方程也要注意讨论判别式.
1．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知双曲线 的左、右顶点分别为
，离心率为 .过点 的直线l与C的右支交于M、N两点，设直线 的斜
率分别为 ．(1)若 ，求： ；
(2)证明： 为定值．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）依题意，求得双曲线，设出直线 的方程，联立方程组，由韦达定理可解；
（2）利用两点斜率公式，结合双曲线方程求得 ，再结合（1）中结论即可得证.
【详解】（1）设双曲线的焦距为 ，由题意得， ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以C的标准方程为 ．
直线 ，由 消去y化简并整理得 ，
解得 或 （舍），所以 ．
又直线 过点 ，所以直线 的方程为 ，所以 ．
（2）设M(x ,y )，则 ．
1 1
因为 ，所以 ．
设直线 ，由 消去x化简并整理得 ．设N(x ,y )，则 ，故
2 2
．所以 为定值．
2．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆C： ，若椭圆的焦距为4且经过点
，过点 的直线交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆方程；
(2)若直线 与x轴不垂直，在x轴上是否存在点 使得 恒成立？若存在，求出s的值；
若不存在，说明理由．
【答案】(1) (2)存在，
【分析】（1）由焦距是4求出 ，将 代入椭圆方程求出 ，得到答案；
（2）根据题意有 ，转化为 ，由韦达定理代入运算得解.
【详解】（1）由题意， ，将点 代入椭圆方程得 ，解得 ， ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）在 轴上存在点 使得 ，理由如下：设 ,直线
，联立 与椭圆 可得 ，
则 ，因为 ，所以 ，即 ，
整理得 ，即 ，即 ，
则 ，又 ，解得 ，所以在 轴上存在点 使得.
3．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知焦距为 的椭圆 的右焦点为 ，
右顶点为 ，过F作直线 与椭圆 交于 、 两点（异于点 ），当 轴时， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明： 是钝角．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据条件，求 ，可得椭圆 的方程.
（2）设直线 方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，再证 即可.
【详解】（1）由题意： ，所以椭圆 的方程为： .
（2）如图： 因为 、 两点异于点 ，故直线 斜率不为 .
设直线 ： ，由 .设 ， ，则
， .所以
，
所以 为钝角或平角（舍去）.故 为钝角.
4．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知椭圆 ： 的右焦点F在直线
上，A，B分别为 的左、右顶点，且 .
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点 的直线 交C于M，N两点，使得直线 ， 的斜率之和等于-1？若存在，求
出 的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2)存在， .
【分析】（1）先求出点 的坐标，得出椭圆中的 ，结合椭圆的几何性质可出答案.（2）设直线 的方程为： ，M(x ,y )，N(x ,y )，将直线方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，
1 1 2 2
由题意 ，将韦达定理代入可出答案.
【详解】（1）设右焦点F(c,0)，直线 与x轴的交点为(1,0)，
所以椭圆C右焦点F的坐标为(1,0)，故在椭圆C中 ，由题意 ，结合 ，
则 ， ，
所以椭圆C的方程为： ；
（2）当直线 的斜率为0时，显然不满足条件 ，当直线 的倾斜角不为 时，
设直线 的方程为： ，M(x ,y )，N(x ,y )，由 ，可得 ，
1 1 2 2
由题意 ，则 ， ，
由
，由 ，即 ，
故存在满足条件的直线，直线 的方程为： .
题型三：直线“双变量”型过定点
当题中的直线既无斜率，又不过定点线，就要设成“双变量”型： ，依旧得讨论k是否存在
情况
当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。
（1）
（2） ，此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。
设“双变量”时，第一种设法较多。因为一般情况下，没有了定点在x轴上，那么第二种设法实
（3）
际上也没有特别大的计算优势。如第1题。
重要！双变量设法，在授课时，一定要讲清楚以下这个规律：
（4）
一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定
点的理论根据之一。
1．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知动点 到定点 的距离与动点 到定直线 的距离相
等，若动点 的轨迹记为曲线 ．
(1)求 的方程；(2)不过点 的直线与 交于横坐标不相等的A，B两点，且 ，若 的垂直平分线交 轴于
点 ，证明： 为定点．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义进行求解即可；
（2）设出直线 的方程，将直线方程与曲线 的方程联立，利用韦达定理及 得到
， ， ，求出 的中点坐标和直线 的方程，进而即可得证．
【详解】（1）因为动点 到定点 的距离与动点 到定直线 的距离相等，
所以动点 的轨迹为焦点在 轴，开口朝右的抛物线，此时 ，则曲线 的方程为 ；
（2）证明：设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，此时 ，
解得 ，由韦达定理得 ， ，因为 ，
所以 ，因为 ，所以 ，解得 ，
设点 为 的中点，此时 ，所以直线 的方程为 ，
令 ，解得 ．故点 为定点，坐标为 ．
2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知椭圆 ，点 为椭圆上顶点，直线
与椭圆 相交于 两点，
(1)若 为 的中点， 为坐标原点， ，求实数 的值；
(2)若直线 的斜率为 ，且 ，证明：直线 过定点，并求定点坐标．
【答案】(1) (2)证明见解析；定点坐标
【分析】（1）直曲联立表示出韦达定理，再由中点坐标公式求出 ，最后结合两点间距离公式求
出即可；
（2）当直线 的斜率不存在时，设直线方程为 ，则 ，由斜率关系求出 ；当直
线 的斜率存在时，直曲联立表示出韦达定理，再由斜率的定义结合 化简得到 和 的关系，
然后再求出直线所过定点即可；
【详解】（1）当 时， ，设 ， ，消去 可得
， ，
，由中点坐标公式可得 ， ，又 ，解得 ，符合题意；
（2）当直线 的斜率不存在时，设直线方程为 ，则 ，
因为点 为椭圆上顶点，所以 ，所以 ，则 ，
所以 ，当直线 的斜率存在时，直线方程为 ，
联立椭圆方程 ，消去 可得 ，
， ，
则 ，
将韦达定理代入上式并化简可得 ，即 ， 舍，所以 ，
所以直线 ，此时直线过定点 ，
综合以上可知直线 过定点 .
3．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 在
上.
(1)求 的方程；
(2)设 的右顶点为 ，点 ， 是椭圆上的两点（异于顶点），若直线 ， 与 轴交于点 ， ，若
，求证：直线 恒过定点.
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率、 点坐标列方程求得 ，由此求得椭圆方程.
（2）设 ，不妨设 在 左侧，可得 ，将椭圆平移至 ，设 方
程为 ，联立方程组可得 ，进而可得 的值，可求定点.
【详解】（1）由题意知 ， 的方程为 .
（2）设 ，不妨设 在 左侧， ， ， ，
， ， ，将椭圆平移至 ，即 ，此时 平移至 ， ， 分别平移至 ，
，设 方程为 ， ， ，
， 是关于 的方程 的两不等实根，
由 ，
直线 的方程为 ， 恒过定点(2,0)， 恒过定点(2,1).
4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知 ，点 在圆 上运动，线段 的垂
直平分线交线段 于点 ，设动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程；
(2)设 与 轴交于 两点（A在 点左侧），直线 交 于 两点（ 均不在 轴上），设直线
的斜率分别为 ，若 ，证明：直线 过定点．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）利用垂直平分线的性质及椭圆的定义计算即可；
（2）设 方程及 坐标，联立椭圆方程，利用韦达定理及两点斜率公式化简计算即可.
【详解】（1）易知圆 的圆心为 ，半径为4，由题得
，所以动点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，
不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距为 ，其中 ，所以 的方程为
．
（2）易知直线 的斜率不为0，设 的方程为 ， ，
联立 ，得 ，则 ，又可知点
，所以 ，由 得 ，又 ，所以
，即 ，又 ，代入得
，整理可得 ，
因为 两点不在 轴上，所以 ，所以 ，化简得
，所以 ，直线 的方程为 ，故直线 恒过定点 ．题型四：面积最值范围型
求最值求范围，属于前边知识额综合应用，主要是以下两点要注意
1. 注意变量的范围。
2. 式子转化为求值域或者求最值的专题复习
一些常见的思维：
1.可以借助均值不等式求最值。
2.分式型，多可以通过构造来求最值，如下几种常见的。
分式型：以下几种求最值的基本方法
（1）
（2） 与 型，可以设mx+n=t，换元，简化一次项，然后构造均值或者对勾函数
求解。
（3） 型，判别式法，或者分离常数，然后转化分子为一次，再换元求解
1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知 为坐标原点，双曲线 的焦距是实轴长
的 倍，过 上一点 作 的两条渐近线的平行线，分别交 轴于 两点，且 ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过双曲线 的右焦点 的直线 与双曲线的左、右两支分别交于 两点，点 是线段 的中点，过
点 且与 垂直的直线 交直线 于点 ，点 满足 ，求四边形 面积的最小值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）设P(x ,y )，求出过点 作 的两条渐近线的平行线方程，再利用 和
0 0
解出双曲线方程即可；
（2）设直线 ， ，直曲联立，利用韦达定理，三点共线，
斜率之积为 ，列出等式求出 点坐标，结合向量关系得到四边形 是平行四边形，然后再
由弦长公式，点到直线的距离公式，以及换元法求导分析单调性，求最小值即可求解；【详解】（1） 设P(x ,y )，则 ，即 ，过点 作 的两条渐近线的
0 0
平行线方程分别为： ，则不妨取 ，
于是 又 ，且 ，可得 ，
所以双曲线方程为 ，
（2） 设直线 ， ，联立方程
，可得 ，① ，
，由于直线 与双曲线的左右两支相交，所以方程①有两个同号的实根，，
故 ，由 三点共线得 ，②
由 得 ，③由②③解得 ，由 可知，四边形 是平行
四边形，所以 ， ，
， ，
令 ，则 ，则 ，令 ，则
，令 ，所以 在 上单调递减，在
上单调递增，故 ，所以 ，当且仅当 ，即
时取等号.
2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知 为坐标原点， 是圆 上一点，
且 ，线段 的垂直平分线交线段 于点 ，设动点 的轨迹为曲线 ，且曲线 与直线相切．
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率为 的直线 与曲线 交于 两点，求 面积的最大值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先确定圆心A及半径，由垂直平分线的性质结合椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系计算
即可；
（2）设直线 方程，联立椭圆方程，由韦达定理、弦长公式、点到直线的距离及基本不等式计算即可.
【详解】（1）由题意可知圆 ，所以圆心 ，半径 ，
因为 ，线段 的垂直平分线交线段 于点 ，所以 ，
又 ，所以 ，即点 的轨迹是以点 为左、右焦点的椭圆，所以
曲线 ．因为曲线 与直线 相切，故 ，
解得 ，所以 的方程为 ．
（2）由题意得直线 ，由 ，得 ，
令 ，所以 ，即 或 ．
设 ，则 ，
所以
，令 ，则 ，则
，当且仅当 即 时，等号成立，
所以 面积的最大值为 ．
3．（24-25高三上·浙江·阶段练习）平面内有一点 和直线 ，动点 满足： 到点 的距
离与 到直线 的距离的比值是 .点 的运动轨迹是曲线 ，曲线 上有 四个动点.
(1)求曲线 的方程；
(2)若 在 轴上方， ，求直线 的斜率；
(3)若 都在 轴上方， ，直线 ，求四边形 的面积的最大值.【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）由已知条件列出方程化简即可；
（2）设A(x ,y ),B(x ,y )，设 ，与 的方程联立，由 ，有 ，结合
1 1 2 2
韦达定理求出 ，得直线 的斜率；
（3）延长 ，交椭圆于点 ，四边形 的面积 ，设
，利用韦达定理结合基本不等式求 的最大值.
【详解】（1）由题意 ，两边平方得 ，化简得
，
所以曲线 的方程为 ；
（2） ，即 ，则直线 的斜率是正数，设 ，直线 的斜率为
，
设A(x ,y ),B(x ,y )，联立 ，化简得 ，所以
1 1 2 2
，
由题意知 ，代入 ，消 ，可得 ，
解得 ，所以直线 的斜率是 ；
（3）延长 ，交椭圆于点 ，
，由对称性可知 ， 和 等底等高， ，
四边形 的面积 ，
设 ，由（2）知 ，
所以 ，即 ，
令 ，所以 ，
当且仅当 即 时， 取到最大值 ，此时 分别在 正上方.
x2 y2
4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左､右焦点分别为 和 ，焦距为
a2 b22.动点 在椭圆 上，当线段 的中垂线经过 时，有 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)如图，过原点 作 的两条切线，分别与椭圆 交于点 和点 ，直线
的斜率分别记为 .当点 在椭圆上运动时，
①证明： 恒为定值，并求出这个值；
②求四边形 面积的最大值.
【答案】(1) (2)①证明见解析， ；②1
【分析】（1）根据已知条件以及椭圆的定义求得 ，从而求得椭圆方程.
（2）①由直线和圆相切列方程，利用根与系数求得 恒为定值 .
②先求得四边形 面积的表达式，然后利用基本不等式求得面积的最大值.
【详解】（1）取 的中点记为 ，连结 .
在 中， ，所以 ，则
，
即 ，所以椭圆方程为
（2）①直线 与 相切，则 ；
直线 与 相切，同理有 ；则 是关于 的方程
的两根，由韦达定理知
（注：上式中，先由 消去的 ，再代入 ）②由①问知 ，如图，设 ，由
，
同理可得 ，
.
， ，
当 ， 时， .
题型五：面积比值范围型
x2 y2
1．（23-24高二下·湖南·期末）已知椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率 ，且 上的点到点
a2 b2
的距离的最大值为 .
(1)求 的方程；
(2)过 的直线 与 交于 ，记 关于 轴的对称点为 .
①试证直线 恒过定点 ；
②若 在直线 上的投影分别为 ，记 的面积分别为 ，求 的
取值范围.
【答案】(1) (2)①证明见解析；② .
【分析】（1）根据椭圆的离心率及距离的最大值，列出方程组求解即得.
（2）（i）设出直线 的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得；
（ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再利用函数的单调性求出最大值.
【详解】（1）由 的离心率 ，则 ， ，设 上的点M(x,y)，
则 ， ，
①当 ，即 时， 的最大值为 ，由 ，则 ，
又 ，所以 ，所以此时椭圆 的方程为
②当 ，即 时， 的最大值为 ，
由 ，即 ，解得 ，不合题意.综上可知， 的方程为 .
（2）①当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
由 得 ， ，即
，直线 方程为 ，
当 时， ，
故直线 恒过定点 .当直线 斜率不存在时，直线 方程为 也过 .
故直线 恒过定点 .
②由题意知，此时 的斜率 一定存在.
，由 及 ，
所以
，因为 ，令 ，所以 在
上单调递增.故 的取值范围为 .
2．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，
且焦距为4，左顶点为E，过右焦点 的动直线l交C于A，B两点，当l垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)若动直线l与C的左支交于点A，右支交于点B，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）求出焦点坐标，结合 ，可求出点 坐标，再利用双曲线方程与 ，即可求
出C的方程；
（2）将面积之比转化为 ， 纵坐标的比值问题，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理可得出 ，进
而求得 的取值范围.
【详解】（1）设 ，由题意知，焦距为4，故 ，所以 ， ，又因为当l垂直于x轴时， ，所以可得 ．
把 代入C中得， ①，又 ②，则联立①②方程解得， ， ．
所以双曲线C的方程为 ．
（2）如图，由双曲线C的性质可得： ， ．设A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
则 ， ，所以 ．
设 ，联立 得， ，则
恒成立，所以 ， ，
由于l与C交于异支，则 ，解得： ；又
，且
．令 ，且 ，则 ，所以 ，
所以 ，所以 的取值范围为 ．
3．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知圆 与直线 相切于点 ，圆心 在 轴
上.
(1)求圆 的标准方程；
(2)若直线 与圆 交于 两点，当 时，求实数 的值；
(3)过点 且不与 轴重合的直线与圆 相交于 两点， 为坐标原点，直线 分别与直线 相
交于 两点，记 的面积为 ，求 的最大值.
【答案】(1) (2) .(3) .
【分析】（1）设圆的方程为 ，根据直线 与圆相切于点 列方程组求解；
（2）求出圆心到直线的距离为 ，求出 ；（3）求出 ，设直线 的斜率为 ，求出直线 的方程，联立直线与圆的方程，求出点
的坐标，求出点 的坐标，求出点 和点 的坐标，求出 、 的表达式，即可求出 得表达式，
根据基本不等式求出 的最大值.
【详解】（1）由题可知，设圆的方程为 ，由直线 与圆相切于点 ，
得 ，解得 ，所以圆的方程为 ；
（2）设圆心到直线 的距离为 ，因为 ，所以
，所以 ，解得 ；
（3）（3）由题意知， ， 设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
由 ，得 ，解得 或 ，则点 的坐标为 ，
又直线 的斜率为 ，同理可得：点 的坐标为 ，由题可知： ，
，又 ，同理 ，
，当且仅当 时等号成立， 的最大值为 .
4．（23-24高三上·浙江·开学考试）如图，已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，抛物线
的焦点为 ，抛物线的弦 和椭圆的弦 交于点 ，且 为 的中点.
(1)求 的值；
(2)记 的面积为 的面积为 ，求 的最小值.【答案】(1)1(2) .
【分析】（1）根据题意可得 ，可得 ，结合抛物线焦点为 ，从而可求解.
（2）设直线 为为 ，则直线 为 ，与抛物线联立，再结合韦达定理可得，
，记 即得 ， ，然后构造函数
，利用导数求出其最小值，即可求解.
【详解】（1）易得 ，故 ，
又 是抛物线 的焦点，所以 ，解得 . 故 .
（2）设直线 为 ，则直线 为 ，联立 解得 ，
设 ， ，由韦达定理知 ，
所以 ，
，记 ，
，令 ，
，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；以当 时， 取到极小值也是最小值 ，
所以 ，此时 ，即 .所以 的最小值为 .
题型六：定值型
求定值问题常见的思路和方法技巧：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
求定值题型，运算量大，运算要求高，属于中等以上难度的题
1．（2024·湖南衡阳·一模）如图，已知点 、 分别是椭圆 的左、右焦点，点 是负半轴
上的一点， ，过点 的直线 与 交于点 与点 .(1)求 面积的最大值；
(2)设直线 的斜率为 和直线 的斜率为 ，椭圆 上是否存在点 ，使得 为定值，若存在，求
出点 与 值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2)存在，答案见解析
【分析】（1）利用两个公共底的三角形面积差表示出所求三角形面积，再由根与系数的关系化简，化简
后换元，利用均值不等式求最值；
（2）设 ，表示出 ，再利用 在直线上及根与系数的关系化简，观察式子当当 ，
时为定值，即可得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，所以 ，
由 ，可设 ，由题意 ，联立 ，消元得 ，
设 ， ，则 ，且 ， ，
所以 的面积
，
令 ，则 ，
当且仅当 ，即 ， 时（此时适合 的条件）取得等号.
故 面积的最大值为 .
（2）设椭圆上存在满足条件的点 ，定值 ，如图，
由（1）知 ， ，所以 ， ，
，由 ， 在 上，所以 ， ，
所以 ，
当 ， ， 时，该等式成立与 取值无关，此时 ，故满足条件
的椭圆上的点 对应 或 对应 .
2．（23-24高二下·上海金山·期末）已知椭圆 常数 ，点 为坐标原点．
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)若 是椭圆 上任意一点， ，求 的取值范围；
(3)设 是椭圆 上的两个动点，满足 ，试探究 的面积是否为定值，
说明理由．
【答案】(1) ；(2) ；(3)是定值，理由见解析
【分析】（1）根据已知 结合离心率公式化简计算；
（2）应用向量间关系结合基本不等式化简求范围即可；
（3）应用斜率积的公式化简得出 结合三角形面积公式
结合点在椭圆上化简求值.
【详解】（1）由椭圆方程为 ，则离心率 ，又 所以 ；
（2）由已知得 又点 是椭圆 上任意一点，
则 ，化简可得 所以
（3）法一：由已知可得 ，即 ，平方可得 ，
又 在椭圆 上，所以 ，所以 ，
化简可得 设 与 的夹角为 ，
则 ，则 ，
所以 的面积
，
故 的面积为定值；
方法二：由已知 ，即 ，①当直线 斜率不存在时， ，则，
又 在椭圆 上，则 ，所以 ，此时 ；
②当直线 斜率存在时，设直线 的方程为： ，联立直线与椭圆 ，
得 ，则 ，
，
则 ，即 ，所以
|t|
，点 到直线
的距离d=
，
√1+k2
所以 ，所以 的面积为定值．
3．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆 分别与 轴正半轴交于 两点， 为
圆 上的动点.
(1)若线段AP上有一点 ，满足 ，求点 的轨迹方程;
(2)过点 的直线 截圆 所得弦长为 ，求直线 的方程;
(3)若 为圆 上异于 的动点，直线AP与 轴交于点 ，直线BP与 轴交于点 ，求证:
为定值.
【答案】(1) (2) 或 (3)证明见解析
【分析】（1）利用相关点法求解即可；
（2）易得圆心到直线 的距离，再分直线 的斜率是否存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式即
可得解；
（3）设 ，分别求出直线 的方程，进而可得点 的坐标，再结合两点间的距离公式计算
化简即可.
【详解】（1）根据题意， ， ，设 ，则 ，
由于 ，所以 ，则 ，得 ，故 ，
又 为圆 上，所以 ，化简得 ，故点 的轨迹方程为；
（2）因为过点 的直线 截圆 所得弦长为 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
此时圆心 到直线 的距离为 ，符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，解得 ，所以直线直线 的方程为 ，
即 ，综上所述，直线 的方程为 或 ；
（3）设 ，则 ，直线 方程是 ，代入 ，得 ，即
，
直线 方程是 ，代入 ，得 ，即 ，
所以
，所以 为定值．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知点 分别为椭圆 的左､右焦点，直线 与椭
圆 有且仅有一个公共点，直线 ，垂足分别为点 ．
(1)求证： ；
(2)求证： 为定值，并求出该定值；
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析，定值为1
【分析】（1）联立直线与椭圆方程得 ，然后利用判别式法化简证明即可；
（2）结合（1）的结论，利用点到直线的距离和数量积的定义即可求得 为定值1.【详解】（1）联立 与 消y得： ，
由直线与椭圆有一个公共点可知： ，化简得： ；
（2）由题意得： ，因为 ，所以 ∥ ，故 ，
其中 ， ，所以
， 为定值，该定值为1.
题型七：斜率“和”型
x2 y2
+ =1（a>b>0）
a2 b2
给定椭圆 ，与椭圆上定点P
，过P点走两条射线PA、PB，与椭圆交与A
和B两点，记直线PA、PB的斜率分别为K1,K2,则有
1．（2024·河南郑州·模拟预测）设抛物线 的焦点为 ， 是 上一点且
，直线 经过点 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)①若 与 相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；
②若 与 在第一象限内的两个不同交点为 ，且 关于原点 的对称点为 ，证明：直线 的倾
斜角之和为 ．
【答案】(1) (2)① ；②证明见解析
【分析】（1）由 化简得 ，再根据定义得 ，代入即可的抛物
线方程；
（2）①设切点坐标为 ，通过导数求出切线方程 ，将点 代入即可；②设
直线 的方程为 ， ， ，联立 得 ， ，然后
计算 即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，又P是C上一点，所以 ，所以 ，解得 ，所以抛物线C的方程为
．
（2）①设切点坐标为 ，因为 ，所以 ，切线的斜率为 ，所以切线方程为 ，将 代入上式，得 ，
所以 ，所以切点坐标为 ． ②由①得，直线 的斜率都存在，
要证：直线 的倾斜角之和为 ，只要证明：直线 的斜率之和为 ．
设直线 的方程为 ， ， ， ,则 ，
， 由 得 ，所以 ， ， ，即
， 所以 ，即直线 的倾斜角之和为 ．
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，过点 的直线 与
椭圆 相交于 两点，当 过坐标原点 时， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)当 斜率存在时，线段 上是否存在定点 ，使得直线 与直线 的斜率之和为定值．若存在，求
出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)存在，点 .
【分析】（1）根据给定条件，求出 即可求得椭圆 的方程.
（2）设出直线 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式求解即得.
【详解】（1）直线l过坐标原点O时， ， ，
由椭圆 离心率为 ，得 ，解得 ，所以椭圆C的方程为 .
（2）假设存在定点 ， ，设直线l： ， ，
由 消去y得 ，
， ， ，
直线 的斜率 有
，
则当 时， 为定值，所以存在定点 ，使得直线QA与直线QB的斜率之和恒为0.3．（2024·山东淄博·二模）已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，且四个顶点所围成的菱形的
面积为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设 ，满足 ．
①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；
②求四边形ABCD面积的最大值．
【答案】(1) (2)①证明见解析；②4
【分析】（1）根据题意，找出 之间的关系式，列方程求解即可；
（2）①设出方程，直线与曲线联立，运用韦达定理，以及斜率公式求证即可；②结合①的信息，令
，则 ，根据点到直线距离公式和三角形面积公式,结合基本不等式求解
即可.
【详解】（1）由题意 ，2ab=4，又 ，解得 ，
所以椭圆的标准方程为 ．
（2）如图所示①设直线AB的方程为 ，设
联立 ，得
(*)
= ， ，
整理得 ，
所以直线 和直线 的斜率之和为定值0．②由①，不妨取 ，则
设原点到直线AB的距离为d，则
又 ，所以
当且仅当 时取等号． ．即四边形ABCD的面积的最大值为4．4．（2024·四川宜宾·三模）已知椭圆E： 的左右焦点分别为 ， ，过焦点 斜率为 的直线
与椭圆E交于A，B两点，过焦点 斜率为 的直线 与椭圆E交于C，D两点，且 ．
(1)求直线 与 的交点N的轨迹M的方程；
(2)若直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为 ， ， ， ，问在（1）的轨迹M上是否存在点P，
满足 ，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1) （ 且 ）(2)存在， 或
【分析】（1）设 ： ， ： ，直线 与 的交点是N，且 ，消去
即可得解；
（2）通过 得到 ，然后求解点 的坐标.
【详解】（1）由已知 ， ，则 ： ， ： ，
∴点 满足 ，即 ，∴① ② ，
∴点P的轨迹方程是 （ ），又依题意可知 ，
综上可知：直线 与 的交点N的轨迹M的方程为： （ 且 ）；
（2）由题意知直线 ： ，与椭圆方程联立 ，消元得
， ，
，同理可得 ，
所以 ，即 ．
由（1）知 ，所以 ，令点 ， ，解得 ，
∴存在 或 满足题意．
题型八：斜率“积”型1．（2025·广东·一模）设 两点的坐标分别为 . 直线 相交于点 ，且它们的
斜率之积是 . 设点 的轨迹方程为 .
(1)求 ;
(2)不经过点 的直线 与曲线 相交于 、 两点，且直线 与直线 的斜率之积是 ，求证：直线
恒过定点.
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）设点 的坐标为 ，然后表示出直线 的斜率，再由它们的斜率之积是 ，列
方程化简可得点 的轨迹方程；
（2）设 ，当直线 斜率不存在时，求得直线 为 0，当直线 斜率存在时，设直线
，由 得 ，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系
数的关系，代入上式化简可得 ，从而可求得直线恒过的定点.
【详解】（1）设点 的坐标为 ，因为点 的坐标是 ，所以直线 的斜率
，同理，直线 的斜率 ，由已知，有
，化简，得点 的轨迹方程为 ，
即点 的轨迹是除去 两点的椭圆.
（2）证明：设 ①当直线 斜率不存在时，可知 ，
且有 ，解得 ，此时直线 为 0，
②当直线 斜率存在时，设直线 ，则此时有：
联立直线方程与椭圆方程 ，消去 可得： ，
根据韦达定理可得： ， ，所以 ，
所以 ，所以
所以 ，则 或 ，当 时，则直线 恒过 点与题意不符，舍去，
故 ，直线 恒过原点 ，结合①，②可知，直线 恒过原点 ，原命题得证.2．（2024·辽宁·模拟预测）已知双曲线 过点 ，离心率为2.
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 交 于 ， 两点（异于点 ），证明：当直线 ， 的斜率均存在时， ，
的斜率之积为定值.
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据题中条件找到双曲线中的 ，从而求出 的方程.
（2）利用平移齐次化进行证明即可.
x2 y2
【详解】（1）由双曲线C: − =1(a>0,b>0)过点 ，则 ，又离心率为2，则 ，
a2 b2
即 ， ，即 ，代入 ，可得， ， ，
因此， 的方程为： .
（2） 将双曲线 向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，得到双曲线
为 ，得到的双曲线 如图所示，
则 平移到 ， 平移到 ，
平移后 ， 变为 ， ，设 ， ，直线 的方程为： ①，
②，
将①代入②，用“1”的代换得 ，则
，
各项同时除以 ，得 ，则 ，
又直线 过 ，则 ，即 ，因此 ，
故当直线 ， 的斜率存在时， ， 的斜率之积为定值 .3．（2024·江西九江·二模）已知双曲线 的离心率为 ，点 在 上．
(1)求双曲线 的方程；
(2)直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，若直线 ， 的斜率互为倒数，证明：直线 过定点．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率及 ， ， 的平方关系得出 ，再由点 在 上，可求解 ， ，进
而可得双曲线 的方程；
（2）当 斜率不存在时，显然不满足条件．当 斜率存在时，设其方程为 ，与方程联立 联立，
可得根与系数的关系，表示出直线 ， 的斜率 ， ，由 ，结合根与系数的关系可得 与 的
关系，从而可证得直线 过定点．
【详解】（1）由已知得 ， ，所以 ，又点 在 上，故 ，
解得 ， ，所以双曲线 的方程为： ．
（2）当 斜率不存在时，显然不满足条件．
当 斜率存在时，设其方程为 ，与方程联立 联立，消去 得 ，
由已知得 ，且 ，
设 ， ，则 ， ，
直线 ， 的斜率分别为 ， ，由已知 ，故
，即 ，所以
，
化简得 ，又已知 不过点 ，故 ，
所以 ，即 ，故直线 的方程为 ，所以直线 过定点 ．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆 ： 的离心率为 ，右顶点 与 的上，下
顶点所围成的三角形面积为 ．
(1)求 的方程；
(2)不过点 的动直线 与 交于 ， 两点，直线 与 的斜率之积恒为 ，证明直线 过定点，并求出
这个定点．
【答案】(1) ；(2)证明见解析；
【分析】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得；
（2）对直线 的斜率分等于0和不等于0讨论，设出直线 的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，
结合韦达定理推理即得.
【详解】（1）令椭圆 的半焦距为c，由离心率为 ，得 ，解得
，由三角形面积为 ，得 ，则 ， ，所以 的方程是 .
（2）由（1）知，点 ，当直线 的斜率为0时，设直线 ，
则 ， ，且 ，即 ，
，不合题意；
当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ，设 ，
由 消去x得： ，则 ，
直线 与 的斜率分别为 ， ，
于是
，整理得 ，解得 或 ，
当 时，直线 过点 ，不符合题意，因此 ，直线 ： 恒过定点 .
题型九：斜率“比值”型
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知点 ， ，点P在以AB为直径的圆C上运动， 轴，
垂足为D，点M满足 ，点M的轨迹为W，过点 的直线l交W于点E、F.
(1)求W的方程；
(2)若直线l的倾斜角为 ，求直线l被圆C截得的弦长；(3)设直线AE，BF的斜率分别为 ， ，证明 为定值，并求出该定值.
【答案】(1) (2) (3)证明见解析，2
【分析】（1）由已知可得圆的方程，设M(x,y)，P(x ,y )， ，根据 ，可得 ，
0 0
，代入圆的方程即可求解；
（2）由已知可得直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解；
（3）根据题意可知直线 斜率不为0，设直线 的方程为 ， ， ，联立直线和椭
圆构成方程组，根据斜率的计算公式结合韦达定理即可求解.
【详解】（1） 由题意，点 在圆 上运动，设M(x,y)，P(x ,y )， ，
0 0
由 得 ， ，又 ，所以 ，所以 的方程为 ；
（2）直线 的方程为 ，即 ，圆心 到直线 的距离为
，所以直线 被圆C截得的弦长为 ；
（3） 由题意，直线 斜率不为0，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得 ，所以 ， ，
故 ， .
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知在平面直角坐标系 中，双曲线 ： 过
和 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 ， 为双曲线 上不关于坐标轴对称的两点， 为 中点，且 为圆 的一条非直径的弦，记
斜率为 ， 斜率为 ，证明： 为定值.
【答案】(1) (2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线上两点，代入方程解方程组即可得解；
（2）利用“点差法”可得直线 斜率与 斜率关系，再由圆的性质可得 斜率的关系，化简即
可得证.
【详解】（1）代入双曲线上两点得 ， ，故 ，解得 ， ，
故双曲线C标准方程为： .
（2）如图， 设 ， ，
由题知 ，相减得 ，又 ，
所以 ，
由 为圆 的一条非直径的弦， 为 中点得 ，故 ，因此 为定值.
3．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且 ，
过点 作两条直线 ，直线 与 交于 两点， 的周长为 ．
(1)求 的方程；
(2)若 的面积为 ，求 的方程；
(3)若 与 交于 两点，且 的斜率是 的斜率的2倍，求 的最大值．
【答案】(1) (2) 或 ．(3) ．
【分析】（1）根据椭圆的定义求得 ，即可求解；
（2）由题意设 ，联立椭圆方程，根据韦达定理表示出 ，结合
的面积建立方程，计算即可求解；
（3）由（2）可得 ，进而 ，则 ，
结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为 ，由题意知 ，所以 ，
的周长为 ，所以 ，
所以 ，故 的方程为 ．（2）易知 的斜率不为0，设 ，联立 ，得
，所以 ．所以
，由 ，
解得 ，所以 的方程为 或 ．
（3）由（2）可知 ，
因为 的斜率是 的斜率的2倍，所以 ，得 ．
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最大值为 ．
4．（2024·广西·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为椭圆C的左，
右顶点和坐标原点，点 为椭圆 上异于 的一动点， 面积的最大值为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F的直线交椭圆C于 两点，直线 交 轴于 ，过 分别作 的垂线，交 于
两点， 为 上除点 的任一点.
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）设直线 、 、 的斜率分别为 、 、 ，求 的值.
【答案】(1) ；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2
【分析】（1）由已知条件可得出关于 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）（ⅰ）分析可知，直线 不与 轴重合，设直线 的方程，设点 ，将该直线
方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式即可证明；（ⅱ）设点 ，其中 ，利用斜率公式结合韦达定理可求得 的值.
【详解】（1）由题意知 ，解得 ， ，所以 的方程为 .
（2）（ⅰ）由题可知点 、 ，
若直线 与x轴重合，则M、P、N重合，则 不存在，不合乎题意；
设直线 的方程为 ，设点M(x ,y )、N(x ,y )，
1 1 2 2
联立 可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
所以
，
所以 .
（ⅱ）设点 ，其中 ，则
.
题型十：斜率复合型
1．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 分别为椭圆 的左､右顶点， 分别为椭圆
的左､右焦点，斜率存在的直线 交椭圆 于 两点，记直线 的斜率分别为 .(1)证明： ；
(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）设出直线，联立后消去 得与 有关的韦达定理后结合斜率公式计算即可得；
（2）借助（1）中的结论，将 面积用未知数表达后结合换元法，借助函数性质求最最值即可得.
【详解】（1）设 的方程为 ，联立 ，消去 ，得 ，
需满足 ，设 ，则 ， 易知 ，
所以 ，同理
；
（2）因为 ，则由（1）知， ，即 ，
由 与 轴不垂直可得 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，整理得
， ，
整理得 ，解得 或 ，因为 在 轴的两侧，所以 ，解得
，又 时，直线 与椭圆 有两个不同的交点，因此 ，直线 恒过点 ，
当 时， ，
，
设 ，则 ，由 与 轴不垂直得 ，且 ，
因为函数 在 上为减函数，所以 的取值范围为 .3．（2023·广东·模拟预测）已知点 为椭圆 ： 上的一点，点 ．
(1)求C的离心率；
(2)若直线l交C于M，N两点（M，N不与点B重合），且直线BM，BN，MN的斜率满足
，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1) (2)证明见解析，定点 ．
【分析】（1）代入点 可得 ，即可得椭圆方程，即可得离心率；
（2）设出直线l的方程，联立曲线，可得其交点横坐标有关韦达定理，结合斜率公式计算可得所设方程，
即可得其定点坐标.
【详解】（1）∵ 在C： 上∴ ，解得 或 （舍去），
∴ ： ．∴ 的离心率为 ；
（2）由（1）得 ： ，设l： ，联立方程组 ，消去y可得
， ，解得 ，
有 ，∵ ， ，
∴ ，
将（*）代入其中可得
．
由题意知 ，∴ 或 ．∵ 不过点
，∴ ，∴ 过定点 ．
3．（2024·四川南充·模拟预测）在平面直角坐标系中，点 在运动过程中，总满足关系式
.
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过点 作两条斜率分别为 的直线 和 ，分别与 交于 和 ，线段 和 的中点分别
为 ，若 ，证明直线 过定点.
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆定义求解即可；（2）设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，直线与椭圆联立方程求得
，两直线联立可得 ，可得 点横坐标所在方程
，同理可得 点横坐标所在方程 ，
再由 建立等式求解即可得证.
【详解】（1）由椭圆定义，点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为6的椭圆，
所以点 的轨迹 的方程为 ；
（2）设直线 的方程为 直线 的方程为 因为过点 ，所以:
联立直线 与椭圆的方程，消去 y 整理得 ，
设 由韦达定理可得： ，所以 ，
联立直线 的方程 和直线GH的方程 ，
可解得 所以 整理得 点横坐标所在方程
，同理可得 点横坐标所在方程 ，
因此， 是一元二次方程 的两个根，则有
，又 ，所以 ，整理得：
，所以直线 的方程为 ，故直线 过定点 .
4．（2024·新疆喀什·三模）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 是直线 ：
（其中 是实半轴长， 是半焦距）上不同于原点 的一个动点，斜率为 的直线 与双曲线
交于 ， 两点，斜率为 的直线 与双曲线 交于 ， 两点．
(1)求 的值；
(2)若直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，问是否存在点 ，满足
，若存在，求出 点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)-3(2)存在， ，或
【分析】（1）设 ，利用斜率公式求解；
（2）设 ，直线 方程为 ，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到 ， ，结合 求解.
【详解】（1）由题可得双曲线E： ，则 ，
∴左、右焦点分别为 ， ，直线l的方程为： 设 ，
，同理可得 ．∴ ；
（2）设 ，如图，
直线 方程为 ，代入双曲线方程可得： ，
所以 ，则 ， 则 ，
，
， ．同理 ，即 ， 即
，
∴ 或 ，又 ， 若 ．无解，舍去．∴ ，解得 ，
，或 ， ，若 ， ，由A在直线 上可得， ，
∴ ．此时 ，若 ， ，由A在直线 上可得， ，
∴ 此时 ∴存在点 ，或 ，满足 ．
题型十一：切线型在利用椭圆（双曲线）的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
（1）设切线方程为 与椭圆方程联立，由 进行求解；
（2）椭圆（双曲线） 在其上一点 的切线方程为 ，再应用此方程时，首先应
证明直线 与椭圆（双曲线） 相切.
双曲线 的以 为切点的切线方程为
抛物线的切线：
（1）点 是抛物线 上一点，则抛物线过点P的切线方程是： ；
（2）点 是抛物线 上一点，则抛物线过点P的切线方程是： ．
1．（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）已知抛物线 ，过点 的直线l交抛物线于A，B两点，
抛物线在点A处的切线为 ，在点B处的切线为 ，直线 与 交于点M.
(1)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，证明： ；
(2)设线段AB的中点为N，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）设切线方程，分别用点 的横坐标表示 ，联立直线l与抛物线的方程，结合韦达定理，
可得结果；
（2）联立直线方程求点M坐标，由中点坐标公式可得 点坐标，从而得到|MN|，再由弦长公式可得
|AB|，由 的表达式求取值范围即可.
【详解】（1）由题意知，直线l的斜率存在，设点A(x ,y )，B(x ,y )，直线l的方程为 ，
1 1 2 2
由 得 ， ， ， .
由 ，得切点 ， ，则切线 的方程为 ，代入 ，得
，所以 ，解得 ，同理，得切线 的斜率 ，所以 .
（2）由（1）可得 ，故 ， .
由（1）得 ，可化为 ，①同理得 ，②
由①②，得 ， ，即 ，则 .
，
所以 .由 ， ，得 ，故 ，
即 的取值范围为 .
2．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知 为椭圆C： 上的点，C的焦距为
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P为椭圆C上的动点，过点P作圆O： 的两条切线，切点分别为A，B，求 的取值
范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据点在椭圆上，代入即可列方程求解，
（2）根据点点的距离可得 ，即可根据模长公式以及数量积的运算，结合二倍角公式
即可求解.
【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，故椭圆方程为
（2）设 ，则 ，由于 ，故 ，
故
，由于故 ，因此 ，故
3．（24-25高三上·上海·开学考试）已知双曲线 的左、右顶点分别为点A、B，M为双曲线
上的动点，点 .
(1)求点M到 的两条渐近线的距离之积；
(2)求经过点Q的双曲线 的切线方程；
(3)设点P在第一象限，且在渐近线的上方，直线PA，PB分别与y轴交于点C，D.过点P作 的两条切线，
分别与y轴交于点E，F（E在F的上方），证明： .
【答案】(1) (2) (3)证明见详解
【分析】（1）设出点 的坐标，写出关系式，求出两个渐近线方程，求出点M到 的两条渐近线的距离
之积；
（2）设经过点 的切线方程为 ，联立直线与双曲线方程，根据判别式为 求出 ，求出切线方
程；
（3）设 ，再由 坐标得到直线 的方程，继而可得 坐标，设过 且与双曲线相切的
直线为 ，联立双曲线与直线方程，由 及韦达定理可得 坐标，继而可得
，即 ，即 ，即可求证.
【详解】（1）设点 ，所以 ，两个渐近线方程为 ，
所以点M到 的两条渐近线的距离之积为 ；
（2）由题意得切线方程斜率存在，设经过点 的切线方程为 ，
联立 ，所以 ，因为直线与双曲线相切，所以 ，
所以 ，所以切线方程为 ；
（3） 设 ， ， ， ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，所以 ， ，
设过 且与双曲线相切的直线方程为 ，联立 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，所以 ，所以
的方程为 ，所以 ，同理 的方程为 ，
所以 ，所以 ，，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 .
4．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点 到 的距离等于到直线x=−1的
距离.
(1)求M的轨迹方程；
(2)P为不在x轴上的动点，过点 作（1）中 的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O
为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q；
（ⅰ）求证：R是一个定点；
（ⅱ）求 的最小值.
【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）利用抛物线的定义求M的轨迹方程；
（2）（ⅰ）设点 ，由切线AP和BP的方程，得到直线AB的方程为
，又直线AB与PO垂直得 ，则直线AB的方程 ，可得所过定点. （ⅱ）
联立直线AB与直线OP的方程得交点Q的坐标，表示出 ，结合基本不等式求最小值.
【详解】（1）因为动点 到 的距离等于到直线x=−1的距离，所以M的轨迹为开口向右的抛物线，
又因为焦点为 ，所以轨迹方程为 .
（2）（ⅰ）证明：设点 ，设以A(x ,y )为切点的切线方程为 ，
1 1
联立抛物线方程,可得 ，由 ，得 ，
所以切线AP： ，同理切线BP： 点P在两条切线上，则 ，
由于 均满足方程 ，故此为直线AB的方程，
由于垂直 即 ，则 ，所以直线AB的方程 ，恒过 ；
（ⅱ）解：由（ⅰ）知 ，则 ，直线
联立直线AB与直线OP的方程 得 ，因此 ， 时取等号.
即 的最小值是 .
题型十二：三角函数型转化难题
在一直一曲五个方程（韦达定理代入型）题型中，主要的难点在于怎么转化出“第六个方
程”。
1. 具有明显的可转化为韦达定理特征的。属于较容易的题。
2. 隐藏较深的条件，需要用一些技巧，把条件转化为点坐标之间的关系，再转化为韦达定理。
3. 没有固定的转化技巧，可以在训练中积累相关化归思想。
1．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的右焦点为点F，椭圆上
顶点为点A，右顶点为点B，且满足 ．
(1)求椭圆的离心率；
(2)是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足
，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)因此存在直线 满足条件．
【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解 ，即可结合 的关系求解，
（2）联立方程可得 坐标，即可根据 根据 ，
即可求解.
【详解】（1）依题意， ，解得 ，又因为 ，所以 ．
（2）设直线 的方程为 ，椭圆的方程为 ，
设点 ， 联立方程组，整理得 ，解得 ， ①，直线AF方程为 ，设点 ，
，联立方程组，解得 ， ②，又因为 ，
设 ，则有 ，
即 ，所以 ，所以 ．所以 ，则有
，
代入①②有 ，解得 ，由题意得 ，所以 ，因此存在直线
满足题中条件．
2．（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线 的准线过点 ，
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若角 为锐角，以角 为倾斜角的直线经过抛物线的焦点 ，且与抛物线交于A、B两点，作线段
的垂直平分线 交 轴于点 ，证明: 为定值，并求此定值.
【答案】(1)y2＝8x(2)证明见解析，8
【分析】（1）根据准线过点 即可求出p，进而可知抛物线标准方程；
（2）假设直线 的方程，与抛物线联立，进而可以得到 与其中垂线的交点坐标，进而可以表示出中
垂线方程，进而求点 的坐标，再求 即可.
【详解】（1）解:(1)由题意得 ∴抛物线的方程为
（2）设 ，直线AB的斜率为 则直线方程为
将此式代入 ，得 ，故
设 的中垂线为直线m，设直线m与 的交点为
则 故直线m的方程为
令 得点P的横坐标为 故∴ 为定值8
3．（2024·广西桂林·模拟预测）已知椭圆C： 过定点 ，过点 的两条动直线交椭圆
于A(x ,y ),B(x ,y )，直线 的倾斜角互补， 为椭圆C的右焦点.
1 1 2 2
(1)设 是椭圆 的动点，过点 作直线 的垂线 为垂足，求 .
(2)在 中，记 ，若直线AB的斜率为 ，求 的最大值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先求出椭圆方程，再设动点 ，由距离公式求解；
（2）由（1）的结论及结合正弦定理得 ，又由 得
，进行求解．
【详解】（1）因为点P在椭圆C上，所以 ，解得 ；
所以椭圆C的方程为 ，故 ，设动点 ，则 ，所以 ，
故 ， ，
所以 ．（2）不妨设 ， 的外接圆半径为 ，
则由正弦定理得 ，所以 .
如图，过 作直线 的垂线，垂足为 ，过 作 于点 ，由（1）的结论可得
，所以 ，即 ，
所以 ，又 ，得 ，则 ，即
，所以 ，当且仅当 时等号，所以 的最大值为 .
4．（2024·广东湛江·一模）已知 为双曲线 上一点， 分别为双曲线
的左、右顶点，且直线 与 的斜率之和为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)不过点 的直线 与双曲线 交于 两点，若直线 的倾斜角分别为 和 ，且
，证明：直线 过定点．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）利用 及点 在双曲线上，可构造方程求得 ，从而得到双曲线方程；
（2）验证可知直线 斜率均存在，由斜率与倾斜角关系可得 ，将直线 方程与双曲线
方程联立可得韦达定理的结论；利用两点连线斜率公式，结合韦达定理可表示出 ，化简整
理得到 或 ，验证可知 满足题意，由直线过定点的求法可求得结果.
【详解】（1）由题意知： ， ， ， ，
又 在双曲线 上， ，解得： ； 双曲线 的方程为： .
（2）当直线 中的一条斜率不存在时，不妨设直线 斜率不存在，则 ， ，
，直线 ，即 ，由 得： ，解得： ，
即直线 与双曲线 相切于点 ，不合题意； 直线 斜率均存在，则 ，
，
， ，即 ， ；
设A(x ,y ),B(x ,y )，由 得： 且
1 1 2 2
， ， ，
， ，
由 得： ，
，，
，
整理可得： ，即 ， 或 ，
当 时，直线 恒过点 ，不合题意；
当 时，满足 ，此时直线 恒过点 ；
综上所述：直线 过定点 .
题型十三：韦达定理不能直接用：定比分点
若有
1.利用公式 ，可消去参数
2.可以直接借助韦达定理反解消去两根
定比分点型，即题中向量（或者线段长度满足）
可以利用公式 ，可消去
1．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆C： 的左､右焦点分别为 ，两焦点 与
短轴的一个顶点构成等边三角形，点 在椭圆 上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线 与椭圆 交于 两点，与直线 交于点 .设 ，
证明： 为定值.
【答案】(1) (2)详见解析
【分析】（1）根据题意，列出关于 的方程组，解之即得椭圆C的标准方程；
（2）依题意设出直线 的横截距式方程，与椭圆方程联立，写出韦达定理，根据 ，
代入坐标，求得 ， ，计算 并将韦达定理代入化简即得【详解】（1）由题意得： 解得 ， 椭圆 的标准方程是 .
（2）由（1）知F (−1,0)，由条件可知 的斜率存在且不为0，
1
设 的方程为 ，则 ，令 可得 .
联立方程 得 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，由 可得
1 1 2 2
，则有 ，解得 ，同理 .
，
故 为定值 .
2．（2024·重庆·模拟预测）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，两焦点 ，
与短轴的一个顶点构成等边三角形，点 在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线 交于点D．
①设 内切圆的圆心为I，求 的最大值；
②设 ， ，证明： 为定值．
【答案】(1) (2)① ；②证明见解析
【分析】（1）根据题意，列出关于 的方程组，解之即得椭圆C的标准方程；
（2）①结合图形，将使 最大问题转化为使 最大，即使 最小，可通过余弦定理和
基本不等式得到；
②依题意设出直线 的横截距式方程，与椭圆方程联立，写出韦达定理，根据 ， 代
入坐标，求得 ， ，计算 并将韦达定理代入化简即得.
【详解】（1）由题意得： 解得 ，∴椭圆C的标准方程是 ．（2） 如图，①因为I为 的内切圆圆心，则 ，
显然∠IAB是锐角，当且仅当∠IAB最大时， 最大，
即须使 最大，又 ，则须使 最小，
在椭圆 中， ， ，在 中，由余弦定理，
．
当且仅当 时取等号，即当 时，
为正三角形时， 取得最大值 ，∠IAB取最大值 ，此时 的最大值为 ；
②由（1）知F (−1,0)，由条件可知 的斜率存在且不为0，
1
设l的方程为 ，则 ，令 可得 ．联立方程 得
， ，设A(x ,y )，B(x ,y )，则 ， ，
1 1 2 2
由 可得 ，则有 ，解得 ，同理
．∴
．故 为定值 ．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知点 关于坐标原点 对称， 过点 且与直线
相切.
(1)求圆心 的轨迹 的方程；
(2)是否存在与圆 相切且斜率大于0的直线 ，满足：与曲线 交于 两点，与 轴交于点
，且 ？若存在，求直线 的方程，若不存在，说明理由.
【答案】(1) (2)存在， 或
【分析】（1）设 的坐标为 ，结合直线与圆相切的性质计算即可得；
（2）设出直线 ，联立曲线，消去 后，结合韦达定理计算即可得解.
【详解】（1）设 的坐标为 ，根据条件可得 ，
即 ，化简得 ，则轨迹 的方程为 ；
（2）设直线 ，因为与圆 相切，则 ，即 ，设 ，依题知 ，联立 ，得 ，
则有 ，即 ，得 ，所以 ，即 ，得 或
，
所以 或 ，均符合 ，所以存在满足条件的直线，且直线 的方程为
或 .
4．（2024·贵州·三模）已知双曲线 ，过点 的直线 与双曲线 相交于 两点.
(1)点 能否是线段 的中点？请说明理由；
(2)若点 都在双曲线 的右支上，直线 与 轴交于点 ，设 ，求
的取值范围.
【答案】(1)不是，理由见解析(2)
【分析】（1）设 ,利用点差法求解 ，求出 直线方程，与双曲线方程联立，判断
是否是 中点;
(2)设直线方程 ，求出 点坐标，设 ，联立方程，根据根与系数关系求解
的范围，根据 ,求出 ，进而求出 的取值范围.
【详解】（1）假设 是 的中点，设 ,则 ，
由 ，可得 ,则 直线方程 ,即 ，则
，即 ，故 与题设矛盾，故点 不是 的中点.
（2）设直线方程 ,则 ，令 ，设 ，联立 ，则 故 ，即 或
，根据 ，则 ，代入双曲线方程可得， ，
同理可得 ，所以 是方程 的两个根，
则 ， ，故 ，
由 或 ，则 或 ，即 或 ,
故 .
题型十四：非对称型
平移齐次化的步骤，
（1）平移；
（2）与圆锥曲线联立并其次化；
（3）同除 ；
（4）利用根与系数的关系进行证明结论；如果是过定点的问题还需要平移回去.
1．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）已知椭圆 的左､右焦点分别为 点 在
上， 的周长为 ，面积为 .
(1)求 的方程.
(2)设 的左､右顶点分别为 ，过点 的直线 与 交于 两点（不同于左右顶点），记直线
的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则是否存在实常数 ，使得 恒成立.
【答案】(1) (2)存在，
【分析】（1）根据椭圆的周长、面积可得答案；（2）设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，设 ，由韦达定理代入
可得答案.
【详解】（1）依题意，得 ，即 ，解得 ，所以 的方程
；
（2）依题意，可设直线 的方程为 ，联立方程 ，化简整理，得
，
易得 恒成立，设 ，由韦达定理，得 ，可得 ，
于是
，故存在实数 ，使得 恒成立.
2．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知椭圆E的左、右焦点分别为 ， ，点M在椭
圆E上， ， 的周长为 ，面积为 ．
(1)求椭圆E的方程．
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点 的直线l与椭圆E交于C，D两点（不同于左右顶点），
记直线AC的斜率为 ，直线BD的斜率为 ，问是否存在实常数 ，使得 ，恒成立？若成立，求
出 的值，若不成立，说明理由．
【答案】(1) (2)存在实数
【分析】（1）根据焦点三角形面积及周长列方程求出 ,即可写出椭圆方程；
（2）先设直线，再和椭圆联立方程组,结合韦达定理及斜率公式计算 化简求解即可.【详解】（1）依题意，得 ，即 ，
解得 ，所以椭圆E的方程为 ．
（2） 依题意，可设直线l的方程为 ，
联立方程 ，化简整理，得 ，易得 恒成立，
设 ， ，由韦达定理，得 ，可得 ，
于是 ，
故存在实数 ，使得 恒成立．
3．（2019·北京丰台·一模）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，长轴长为4，离心
率为 .过右焦点 的直线 交椭圆 于 两点（均不与 重合），记直线 的斜率分别为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）是否存在常数 ，当直线 变动时，总有 成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ）存在常数 使得 恒成立.
【分析】（Ⅰ）由题意由题知 解得 ，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）根据椭圆的准线方程，
设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即可求得C及D，存在λ ，使得k＝λk恒成立．
1
【详解】（Ⅰ）由题知 解得 所以求椭圆E的方程为 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣2，0），B（2，0），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1．
由 解得 或 得 或 ；均有 ．猜测存在 ．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），C（x，y），D（x，y）．
1 1 2 2
由 得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．则
故
0．
所以存在常数 使得 恒成立．
4．（23-24高二下·浙江·期中）如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为
“孪生”曲线，若双曲线 与椭圆 是“孪生”曲线，且椭圆 ， （
分别为曲线 的离心率）
(1)求双曲线 的方程；
(2)设点 分别为双曲线 的左、右顶点，过点 的动直线 交双曲线 右支于 两点，若直线
的斜率分别为
①是否存在实数 ，使得 ，若存在求出 的值；若不存在，请说明理由；
②试探究 的取值范围．
【答案】(1) (2)①存在实数 使得 ，理由见解析，② .
【分析】（1）根据“孪生”曲线定义，直接列式计算可得答案；
（2）①直线与双曲线方程联立，利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值；②根据题意得
，设直线 的方程为 ，与双曲线方程联立，利用韦达定理得出 的范围可得
答案.
【详解】（1）根据题意双曲线 ，因为 ，解得 ，
双曲线 的方程为 ；（2）①，存在实数 ，使得 ，理由如下，
若直线 的斜率不为0，则 ， 重合不符合题意，所以 ，
设直线 的方程为 ， ，由 得 ，
双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，可得 ，
，，所以存在实数 ，使得 ；
②，由① ，所以 ，设直线 的方程为 ，与双曲线方程联立
得 ，可得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，因为点 在双曲线的右支上，所以
，
解得 ，所以 .
题型十五：点代入型
1．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知椭圆 左､右顶点分别为 ，短轴长为 ，
离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若第一象限内一点 在椭圆上，且点 与 外接圆的圆心 的连线交 轴于点 ，设 ，
求实数 的值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）用椭圆的基本量的数量关系，就可求得椭圆方程；
（2）关键要用坐标法来研究，设圆心M坐标和点P坐标，然后来求出点Q坐标，再利用圆心M坐标和点
P坐标满足的相等关系，就可解出点 的横坐标为 ，从而用向量的坐标关系就可求出结果.
【详解】（1）因为短轴长为 ，所以 ，
又椭圆 的离心率为 ，则有 ，解得 ，
所以 的方程为 .（2） 因为 外接圆经过椭圆的左､右顶点，所以圆心 在 轴上，
设圆心 ，则圆 的半径为 ，所以 ，所以
又点 在椭圆上，所以 ，两方程消去 得： 再由直线 的斜率为
，
可设直线 的方程为 ，令 ，所以点 的横坐标为
又 ，所以 ，解得
2．（24-25高二上·陕西宝鸡·阶段练习）设 两点的坐标分别为 ， ．直线 相交
于点 ，且它们的斜率之积是 ．
(1)求点 的轨迹方程．
(2)若 ，在 的轨迹上任取一点 （异于点 ），求线段 长的最大值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用两点间的斜率公式的坐标表示，由斜率之积是 化简可得结果；
（2）将 满足椭圆方程并利用两点间距离公式可得 ，再由椭圆范围即可求
得结果.
【详解】（1）设点 ，因为 ，如下图所示：
所以直线 的斜率 ，同理直线 的斜率 ；
由已知可得 ，化简可得 ；
即点 的轨迹方程为 ，即点M的轨迹是除去 ， 两点的椭圆．
（2）设 ，则 ，所以 ，
即 ，根据椭圆范围可得 ，所以 时， 最大为，
所以线段PQ长的最大值为 ．
3．（2024高三·广西·阶段练习） 已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F的直线
与椭圆C相交于AB两点，当 斜率为1时，坐标原点O到 的距离为
（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有 成立？
若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ） ， =
（Ⅱ）C上存在点 使 成立，此时 的方程为
【详解】解：设 设 方程为 到 的距离为 故 由
得 ， =
（Ⅱ）C上存在点 ，使得当 绕 转到某一位置时，有 成立．
由 （Ⅰ）知C的方程为 + ="6." 设
(ⅰ)
由 得 ，
故
于是 , = ,
代入①解得， ，此时 于是 = ， 即 因此， 当
时， ， ；
当 时， ， ．
（ⅱ）当 垂直于 轴时，由 知，C上不存在点P使 成立．综上，C上存
在点 使 成立，此时 的方程为
4．（2024·全国·一模）已知抛物线C ：x2=y，圆C ：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M
1 2（1）求点M到抛物线C 的准线的距离；
1
（2）已知点P是抛物线C 上一点（异于原点），过点P作圆C 的两条切线，交抛物线C 于A，B两点，
1 2 1
若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．
【答案】（1） （2）
【详解】（1）
由于抛物线C ：x2=y准线方程为：y=﹣ ，圆C ：x2+（y﹣4）2=1的圆心M（0，4），
1 2
利用点到直线的距离公式可以得到距离d= = ．
（2）设点P（x，x2），A（x，x2），B（x，x2）；
0 0 1 1 2 2
由题意得：x≠0，x≠±1，x≠x，
0 2 1 2
设过点P的圆c 的切线方程为：y﹣x 2=k（x﹣x ）即y=kx﹣kx +x2①
2 0 0 0 0
则 ，即（x2﹣1）k2+2x（4﹣x 2）k+（x2﹣4）2﹣1=0
0 0 0 0
设PA，PB的斜率为k，k（k≠k），则k，k 应该为上述方程的两个根，
1 2 1 2 1 2
∴ ， ；
①代入y=x2得：x2﹣kx+kx﹣x2=0 因为x 应为此方程的根，
0 0 0
故x=k﹣x，x=k﹣x
1 1 0 2 2 0
∴k =x+x=k+k﹣2x=
AB 1 2 1 2 0
由于MP⊥AB，∴k •K =﹣1
AB MP
⇒
故P ∴ ．
