文档内容
专题 2.1-5 不等式与一元一次不等式
典例体系 （本专题共 7 2 题 3 5 页）
一、知识点
1、不等式的性质：
①性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。
用字母表示为： 如果a>b，那么a±c>b±c； 如果a <
用字母表示为： 如果 a>b,c>0 ，那么 ac>bc (或c c )；如果a0，那么 ac0 ，那么 ac≥bc (或c c )；如果 a≤b,c>0 ，那么 ac≤bc (或c c )；
③性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，不等号的方向 改变 。
a b a b
< >
用字母表示为： 如果 a>b,c<0 ，那么 acbc (或c c )；a b a b
≤ ≥
如果 a≥b,c<0 ，那么 ac≤bc (或c c )；如果 a≤b,c<0 ，那么 ac≥bc (或c c )；
2、解一元一次不等式
3、一元一次不等式的应用
4、一元一次不等式与一次函数
二、考点点拨与训练
考点1：不等式的定义和意义
典例：（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的
剂量设为x，则x的取值范围是______．
用法用量：口服，每天 ，分2~3次服用
规格：□□□□
贮藏：□□□□
【答案】10≤x≤25
【详解】
解：若每天服用2次，则所需剂量为15~25mg之间，
若每天服用3次，则所需剂量为10~ mg之间，
所以，一次服用这种药的剂量为10~25mg之间，
所以10≤x≤25．
故答案为：10≤x≤25．
方法或规律点拨
本题考查了不等式的意义、有理数的除法运算．解题的关键是理解题意，首先明白每天要服用的药量，然
后根据分几次服用，可求出最小药量和最大药量．
巩固练习
1．（2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学八年级月考）下列说法错误的是（ ）
A． 是不等式 B．平方最小的实数是0
C． 的整数部分是 D．负数没有立方根
【答案】D
【详解】解：A、 ，含有“ ”，是不等式，故此说法正确；
B、平方最小的数是0，故此说法正确；
C、 ，
∴ ，
∴ 的整数部分是3，故此说法正确；
D、负数有立方根，故此说法错误．故选：D．
2．（2021·全国八年级）在数学表达式：-3<0，4x+3y>0，x=3， ， ，x+2>y+3中，是
一元一次不等式的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】
解：-3＜0是不等式，不是一元一次不等式；
4x+3y＞0是二元一次不等式，不是一元一次不等式；
x=3是方程，不是一元一次不等式；
是整式，不是一元一次不等式；
是一元一次不等式；
x+2＞y+3是二元一次不等式，不是一元一次不等式；
∴以上各式中一元一次不等式有1个．
故选：A．
3．（2020·嵊州市三界镇中学八年级期中）式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤
；⑥ ．其中是不等式的有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】解：①3＜5；②4x+5＞0；⑤x≠-4；⑥x+2≥x+1是不等式，
∴共4个不等式．
故选：C．
4．（2020·山西八年级期中）李明乘车驶入地下车库时，发现车库入口处有几个标志码（如图1），其中
第一个标志（如图2）表示“限高2m”．若设车的高度为 m，则以下几个不等式中对此标志解释准确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设车的高度为 m ，则“限高2m”的意义为x≤2．
故答案为C．
5．（2020·广西百色市·七年级期末）已知 是正数，则用不等式表示 正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】∵a是正数，
∴a＞0，
故选：A．
6．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，身高为 的1号同学与身高为 的2号同学站在一起时，
如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成 ________ ．（用“ ”或“ ”填
空）
【答案】>
【详解】解：由图形可得：1号同学的身高比2号同学的身高高，
如果用一个不等式来表示他们的身高关系
则这个式子可以表示成x>y
故答案为：>
7．（2020·四川巴中市·八年级期末）“数 不小于1”的数学表达式为______．
【答案】
【详解】“数 不小于1”的数学表达式为x≥1．
故答案为：x≥1．
8．（2020·浙江杭州市·八年级期中）给出下列表达式：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ，其中属于不等式的是______．（填序号）
【答案】②③④⑥
【详解】解：①a（b+c）=ab+ac是等式；
②-2＜0是用不等号连接的式子，故是不等式；
③x≠5是用不等号连接的式子，故是不等式；
④2a＞b+1是用不等号连接的式子，故是不等式；
⑤x2-2xy+y2是代数式；
⑥2x-3＞6是用不等号连接的式子，故是不等式，
故答案为：②③④⑥．
9．（2020·河南洛阳市·七年级期中）若x≥﹣5的最小值为a，x≤5的最大值是b，则a+b＝_____．
【答案】0
【详解】
解：∵x≥﹣5的最小值是a，∴a＝﹣5；
∵x≤5的最大值是b，∴b＝5；则a+b＝﹣5+5＝0．
故答案为：0．
10．（2020·全国课时练习）若 ，且 ，则a______0；b________0．
【答案】> <
【详解】
解：∵ ，
∴a＞0，b＜0或a＜0，b＞0
又∵ ，
∴a＞0，b＜0
故答案为：＞；＜．
考点2：不等式性质
典例：（2021·全国八年级）下列变形是怎样得到的？
（1）由 ，得 ；
（2）由 ，得 ；
（3）由 ，得 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【详解】（1） ，
两边除以 得： ，
两边减去 得： ；
（2） ，
两边减去 得： ，
两边除以 得： ；
（3） ，
两边除以 得： ，
两边加上 得： ，
两边乘以 得： .
方法或规律点拨
此题考查不等式的性质：不等式的两边加（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边
乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
巩固练习
1．（2020·浙江八年级期末）若实数a，b满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵ ，
∴ ，不能推出 或者 ，故A和B选项不符合题意；
，C选项符合题意；
，不能推出 ，故D选项不符合题意．
故选：C．
2．（2020·浙江八年级期末）若a>b，则（ ）
A．a+1>b-1 B．a-1>b+1 C．a-1≥b D．b+1≥a
【答案】A
【详解】
A、∵a>b，∴a+1>b-1恒成立，故A选项符合题意；
B、反例：当a＝2，b＝1，2－1＜1+1，故B选项不符合题意；
C、反例：当a＝1.5，b＝1，1.5－1＜1，故C选项不符合题意；
D、反例：当a＝5，b＝1，1+1＜5，故D选项不符合题意；
故选：A
3．（2020·浙江八年级期末）若 ，则 成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵ ，
∴当 时， ，
故选：D．
4．（2020·浙江八年级期末）已知 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：∵ ，∴ ， 故A选项不成立，
∵ ，∴ ，故B选项不成立，
∵ ，∴ ，故C选项不成立，
∵ ，∴ ，故D选项成立，故选D．
5．（2020·浙江八年级期末）若 ，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、在不等式两边同时减2，不等号方向不变，故错误；
B、在不等式两边同时加1，不等号方向不变，故正确；
C、在不等式两边同时乘2，不等号方向不变，故错误；
D、在不等式两边同时除以-3，不等号方向改变，故错误；
故选：B．
6．（2021·浙江金华市·八年级期末）若a＞b，则下列不等式变形正确的是（ ）
A．3a＜3b B．ac2＞bc2 C．a﹣c＞b﹣c D．﹣ac＜﹣bc
【答案】C
【详解】A、若a＞b，两边同乘以3得3a>3b，故本选项不符合题意；
B、若a＞b，则ac2≥bc2（当c=0时，ac2=bc2），故本选项不符合题意；
C、若a＞b，两边同减去c得：a﹣c＞b﹣c，故本选项符合题意；
D、若a＞b，当c＜0时，则-c>0得-ac>-bc，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．（2021·湖南岳阳市·八年级期末）若 ，则下列式子错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、根据不等式两边同时加上或减去一个数不等式仍成立可得 正确，故不符合
题意；
B、∵ ，∴ 正确，故不符合题意；
C、根据不等式两边同时乘或除以一个负数时，不等号方向要改变可得 ，该选项错误，故符合
题意；
D、∵ ，∴ ，∴ 正确，故不符合题意；
故选C．
8．（2020·沙坪坝区·重庆八中八年级月考）若不等式 的解集是 ，则 必满足
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】解： 不等式 的解集是 ，
＜
＜
故选：
9．（2020·杭州采荷实验学校八年级期中）下列哪个数是不等式 的一个解（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】
解：解不等式 ，得 ，
因为只有 ，所以只有 是不等式 的一个解，
故选： ．
10．（2021·全国八年级）一直关于 的不等式 两边都除以 ，得 ．
（1）求 的取值范围；
（2）试化简 ．
【答案】（1） ；（2） ．
【详解】（1）∵ 关于 的不等式 两边都除以 得 ,
∴ ,
∴ ；
由（1）得 ,
∴ ， ,
∴ .
11．（2021·全国八年级）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成 或 的形式．
（1） ． （2） ． （3） ． （4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【详解】
（1） ，两边加上 得： ，
解得： ；
（2） ，
两边加上 得： ，即 ，
两边除以 得： ；
（3） ，
两边减去 得： ，即 ，
两边除以 得： ；
（4） ，
两边除以 得： ．
考点3：不等式的解集
典例：（2021·江西赣州市·八年级期末）在 中，已知 ， ， 的取值范围在数轴上表
示如图所示，则 的长为______
【答案】
【详解】
解：在 中，设
，
若 时
由题意得
，
解得，
若 时，
由题意得， （不符合题意，舍去）
故答案为： ．
方法或规律点拨
本题考查三角形三边关系，涉及一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关
键．
巩固练习
1．（2020·河南驻马店市·七年级期末）下列说法不正确的是（ ）
A．由 ，得 B．由 得
C．不等式 的解一定是不等式 的解 D．若 ，则 （c为有理数）
【答案】D
【详解】A．由 ，得 ，正确，不符合题意；
B．由 得 ，正确，不符合题意；
C．不等式 的解一定是不等式 的解，正确，不符合题意；
D．若 ，当c=0时， （c为有理数），故D选项错误，符合题意，
故选D．
2．（2020·福建宁德市·八年级期末）下列各数中，是不等式x＞3的解的是（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．5
【答案】D
【详解】
5是不等式x＞3的解．
故选：D．
3．（2020·山西七年级期末）下列各数是不等式 的解的是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】
解：2是不等式x<3的解．故选：A．
4．（2020·丰县欢口镇欢口初级中学七年级月考）不等式 的非负整数解的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【详解】
不等式x＜4的非负整数解有3，2，1，0，共4个．故选A．
5．（2021·浙江绍兴市·八年级期末）用“ ”或“ ”填空：若 ，则 ______ ．【答案】
【详解】
不等式的两边同加上一个数，不改变不等号的方向，且 ，
，
故答案为： ．
考点4：解一元一次不等式
典例：（2020·浙江嘉兴市·八年级期末）小明解不等式 的过程如图．
解：去分母得： ①
去括号得 ②
移项得 ③
合并同类项得 ④
两边都除以-1得 ⑤
（1）请指出他解答过程中从第___________（填序号）步开始出现错误；
（2）写出正确的解答过程．
【答案】（1）①；（2）见详解
【详解】（1）第①步给两边乘以6时，给不等式的右边没有乘，所以从第①步开始出现错误；
（2）解：
去分母得
去括号得
移项得
合并同类项得
化未知数的系数为1得
∴原不等式的解为 ．
方法或规律点拨
此题考查解一元一次不等式．其关键是掌握相关法则和解一元一次不等式的一般步骤，要注意去分母时两
边都要乘及两边乘以或除以负数时，不等号要改变方向．
巩固练习
1．（2016·山西九年级专题练习）一元一次不等式2(x＋1)≥4的解集在数轴上表示为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：2(x＋1)≥42x+2≥4
2x≥2
X≥1
∴不等式的解集在数轴上表示为：
故选：A
2．（2020·湖北荆州市·七年级月考）如果关于 的方程 的解是负值，那么 与 的关系是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解： ，
，
，
，
∵解是负值，∴ ，即 ．
故选：D．
3．（2021·湖南怀化市·八年级期末）不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：
解得： ；
故选A．
4．（2021·浙江湖州市·八年级期末）不等式 的解在数轴上表示正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解不等式 ，得 ，
故答案选C．
5．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）在实数范围内定义一种新运算“ ”，其运算规则为：
．如： ，则不等式 的解集为是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：根据题中的新定义化简得：2×4-3x＜2，
移项合并得：3x＞6，
解得：x＞2．
故选：C．
6．（2021·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：不等式4x-8≥0，
4x≥8，
x≥2；
D符合；
故选：D．
7．（2020·浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级月考）关于 x 的一元一次不等式 3x＞6 的解都能满
足下列哪一个不等式的解（ ）
A．4x﹣9＜x B．2x+4＜0 C．﹣3x+2＜0 D．x＜2
【答案】C
【详解】
解：解不等式3x＞6，可得：x＞2，
A、4x-9＜x，解得：x＜3，不符合题意；
B、2x+4＜0，解得：x＜-2，不符合题意；C、-3x+2＜0，解得：x＞ ，符合题意；
D、x＜2，不符合题意；
故选：C．
8．（2020·山东泰安市·八年级期末）已知如图是关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解集，则a的值为_____．
【答案】1
【详解】解不等式2x﹣a＞﹣3，
得x＞ ；
数轴上的解集为x＞-1
∴ =-1
解得a=1
9．（2021·河南南阳市·七年级期末）关于x的不等式﹣2x+a≥4的解集如图所示，则a的值是__．
【答案】2．
【详解】解：∵﹣2x+a≥4，
∴x≤ ，
∵x≤﹣1，
∴ ，
∴a＝2，
故答案为2．
10．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）现定义一种新的运算： ，例如
，则不等式 的解集为________．
【答案】
【详解】
解：不等式（-1）*x≥0可变形为：1-2x≥0，
解得： ．故答案为： ．
11．（2020·浙江八年级期末）解不等式： ．
【答案】
【详解】
解：去分母，得 ．
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
12．（2021·湖南邵阳市·八年级期末）已知不等式： ，
（1）解此不等式并把解集在数轴上表示出来；
（2）试判断x= 是否为此不等式的解．
【答案】（1）x 数轴表示见解析；（2）x= 不是这个不等式的解．
【详解】
（1）解：去分母：
去括号：
移项：
合并同类项：
化系数为1：
原不等式的解集为： ，
表示在数轴上为：
（2） 不是此不等式的解，理由如下:
，
不等式的解集为 ，
不是此不等式的解．13．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）解一元一次不等式 ．
【答案】
【详解】
解： ，
去分母得： ，
移项合并得： ，
系数化为1得： ．
考点5：一元一次不等式的应用
典例：（2021·浙江绍兴市·八年级期末）某市居民用电收费采用分段计费，计费方式如下表所示：
每月用电超过50千瓦
每月用电不超过50千瓦 每月用电超过150千瓦
月用电量 时，不超过150千瓦时
时的部分 时的部分
的部分
计费单价 0.53元/千瓦时 0.59元/千瓦时 0.64元/千瓦时
设每月用电量为x千瓦时．
(1)当 时，用含x的代数式表示应缴电费_______元；
(2)小林家六、七月份共用电200千瓦时，共缴电费不超过114.2元，已知六月份用电不超过100千瓦时，
请帮小林计算一下他家7月份最多用了多少千瓦时的电?
【答案】(1) ；(2)170千瓦时
【详解】
解：（1）由表格及题意得：
当 时，应缴电费为 = 元；
故答案为 ；
(2)设小林家六月份的用电量为m千瓦时，则七月份的用电量为 千瓦时，
当 时，由题意得： ，
解得 ，所以七月份的用电量的范围为： ，
当 时，
由题意得 ，故 都满足上述不等式，所以七月份的用电量的范围为： ，
综上所述， ，
答：小明家七月份最多用了170千瓦时．
方法或规律点拨
本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·河南南阳市·七年级期末）妈妈将某服饰店的促销活动内容告诉爸爸后，爸爸假设某一商品的定
价为x元，并列出关系式为0.8（2x﹣100）＜1500，则下列哪一项可能是妈妈告诉爸爸的内容（ ）
A．买两件等值的商品可减100元，再打2折，最后不到1500元
B．买两件等值的商品可打2折，再减100元，最后不到1500元
C．买两件等值的商品可减100元，再打8折，最后不到1500元
D．买两件等值的商品可打8折，再减100元，最后不到1500元
【答案】C
【详解】由题意可得，
0.8（2x﹣100）＜1500表示买两件等值的商品可减100元，再打8折，最后不到1500元，
故选：C．
2．（2021·广东佛山市·八年级期末）某电信公司推出两种手机收费方案．方案A：月租费30元，本地通
话话费0.15元/分；方案B：不收月租费，本地通话话费为0.3元/分．设婷婷的爸爸一个月通话时间为x分
钟，婷婷的爸爸一个月通话时间为多少时，选择方案A比方案B优惠？（ ）
A．100分钟 B．150分钟 C．200分钟 D．250分钟
【答案】D
【详解】解：设婷婷的爸爸一个月通话时间为x分钟，由题意得：
，
解得： ，
∴只有D选项符合题意；
故选D．
3．（2021·浙江湖州市·八年级期末）假期，小云带150元去图书馆，下表记录了他当天的所有支出，其中
小零食支出的金额不小心被涂黑了，如果平均每包小零食的售价为5元，那么小云可能剩下的金额是（
）
午
支出 购买课外资料 公交车票 小零食
餐
金额（元） 15 120 4
A．1元 B．2元 C．3元 D．4元
【答案】A
【详解】
解：设小云买了x包小零食，依题意得：小云剩下的人民币可以表示：
而 ，
，
，
又 ＞
解得：0＜ ，
又∵x是取正整数，
∴x的取值为1或2，
当x=1时， 元，
当x=2时， 元．
从A、B、C、D四个选项中，符合题意只有A答案．
故选：A．
4．（2021·湖南益阳市·八年级期末）李老师网购了一本《好玩的数学》，让大家猜书的价格．甲说：“不
少于10元”，乙说：“少于12元”．老师说：“大家说的都没有错”．则这本书的价格 （元）所在的
范围为（ ）
A．10≤ ＜12 B．10≤ ≤12 C．10＜ ＜12 D．10＜ ≤12
【答案】A
【详解】解：设这本书的价格为 元，根据题意得，
10≤ ＜12，
故选：A．
5．（2021·浙江湖州市·八年级期末）某超市开展促销活动，一次购买的商品超过88元时，就可享受打折
优惠．小明同学准备为班级购买奖品．需买 本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本 元．钢笔每支
元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔（ ）
A． 支 B． 支 C． 支 D． 支
【答案】C
【详解】设该同学买了x支钢笔，根据题意可得：
，
解得： ，
∵x为整数，
∴ ，
该同学至少买10支钢笔才能打折；
故答案选C．
6．（2021·河南南阳市·七年级期末）某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标，由甲，乙两个工程队来完成，已知甲队5天能完成绿化的面积等于乙队10天完成绿化的面积，甲队3天能完成绿化的
面积比乙队5天能完成绿化面积多60m2．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；
（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，要使这次绿化的总费用不超过32万
元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
【答案】（1）甲工程队每天能完成绿化的面积为120m2，乙工程队每天能完成绿化的面积为60m2；（2）
至少应安排乙工程队绿化40天．
【详解】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2，
依题意，得：3×2x﹣5x＝60，
解得：x＝60，
∴2x＝120．
答：甲工程队每天能完成绿化的面积为120m2，乙工程队每天能完成绿化的面积为60m2．
（2）设安排乙工程队绿化m天，则安排甲工程队绿化 天，
依题意，得：1.2× +0.5m≤32，
解得：m≥40．
答：至少应安排乙工程队绿化40天．
7．（2021·广西梧州市·八年级期末）就目前情况，新冠肺炎疫情防控一点也不能放松，“戴口罩､勤洗手､
少聚会”仍是疫情防控的有效措施．为保证防疫口罩供应，某医药公司保持每月生产甲､乙两种型号的防
疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本､售价如下表：
口罩型号 甲 乙
成本（元/只） 1 3
售价（元/只） 1.5 6
（1）该公司去年十二月份的口罩销售总收入为39万元，求该月公司生产甲､乙两种型号的口罩分别是多少
万只?
（2）设该公司每个月生产甲种型号口罩a万只，月利润为w万元，求w与a的函数关系式（不要求写自变
量的取值范围）；
（3）如果公司在今年一月份投入口罩生产的总成本不超过28万元，应怎样安排甲､乙两种型号防疫口罩的
产量，可使本月公司所获利润最大?并求出最大利润．
【答案】（1）去年十二月份公司生产了甲型号口罩18万只，乙型号口罩2万只；（2） ；
（3）应安排生产甲型号口罩16万只，乙型号口罩4万只，可使本月公司所获利润最大，最大利润为20万
元．
【详解】解：（1）设甲型号口罩生产了x万只，乙型号口罩生产了y万只，依题意得：
解之得：
答：去年十二月份公司生产了甲型号口罩18万只，乙型号口罩2万只．
（2）依题意得：
即
（3）依题意：
解之得：
又∵在 中，
∴w随着a的增大而减小
∴当 时，w取得最大值， （万元）
此时， （万只）
∴应安排生产甲型号口罩16万只，乙型号口罩4万只，可使本月公司所获利润最大，最大利润为20万元．
8．（2021·广东广州市·八年级期末）今年，“地摊经济”成为了社会关注的热门话题．小明从市场得知如
下信息：
甲商品 乙商品
进价（元/件） 35 5
售价（元/件） 45 8
小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售．设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润
为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）小明用不超过2000元资金一次性购进甲，乙两种商品，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于632.5元，请说明小明有哪些
可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大．
【答案】（1）y＝7x+300；（2）0≤x≤50；（3）甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品
进51件；甲商品进50件，乙商品进50件；当甲商品进50件，乙商品进50件时，利润有最大值．
【详解】
（1）∵购进甲、乙商品共100件进行销售，小明购进甲商品x件，
∴甲商品利润为（45-35）x=10x，乙商品利润为（100-x）（8-5）=300-3x，∵甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元，
∴y＝10x+（300-3x）＝7x+300．
（2）∵用不超过2000元资金一次性购进甲，乙两种商品，
∴35x+5（100﹣x）≤2000，
∴x≤50，
又∵x≥0，
∴0≤x≤50；
（3）∵甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于632.5元，
∴7x+300≥632.5，
∴x≥47.5，
由（2）可得0≤x≤50，
∴47.5≤x≤50，
∵x为整数，
∴x＝48，49，50，
∴进货方案有：甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲商品进50件，乙商
品进50件；
∵y＝7x+300，7＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，y有最大利润．
∴当甲商品进50件，乙商品进50件，利润有最大值．
9．（2021·浙江宁波市·八年级期末）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，
某垃圾处理厂计划向机器人公司购买A型号和B型号垃圾分拣机器人共60台，其中B型号机器人不少于
A型号机器人的1.4倍．
（1）该垃圾处理厂最多购买几台A型号机器人？
（2）机器人公司报价A型号机器人6万元/台，B型号机器人10万元/台，要使总费用不超过510万元，则
共有几种购买方案？
【答案】（1）25台；（2）3种
【详解】
解：（1）设该垃圾处理厂购买x台A型号机器人．
由题意得 ，
解得 ，
∴该垃圾处理厂最多购买25台A型号机器人；
（2） ，
解得 ，
，且x为整数，或24或25，
答：共有3种购买方案．
10．（2021·广西河池市·七年级期末）列方程解应用题：
七年级1班计划购买一批书包和词典作为“迎新知识竞赛”活动奖品，了解到每个书包价格比每本词典多
8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．
（1）求每个书包和每本词典的价格；
（2）若该班计划用900元购买40份（即书包、词典的总数量）奖品，设其中购买了 个书包，请写出余
下的钱的代数式，当余下的钱为最小值时，问该班购买书包和词典的数量各是多少？
【答案】（1）每个书包价格为28元，每本词典价格为20元；（2）购买方案为购买书包12个，词典28
本．
【详解】
（1）设每个书包价格为 元，则每本词典价格为 元，
根据题意得 ，
解得 ，
则 （元 ，
答：每个书包价格为28元，每本词典价格为20元；
（2）设购买书包 个，则购买词典 个，
余下的钱为
，
由题意知 ，即 ，
当 时， 为最小的正整数4，
答：购买方案为购买书包12个，词典28本．
11．（2021·山东济宁市·七年级期末）某市出租车的起步价是7元（起步价是指不超过 行程的出租车
价格），超过3km行程后，其中除 的行程按起步价计费外，超过部分按每千米1.6元计费（不足
按 计算）．如果仅去程乘出租车而回程时不乘坐此车，并且去程超过 ，那么顾客还需付回程的空
驶费，超过 部分按每千米0.8元计算空驶费（即超过部分实际按每千米2.4元计费）．如果往返都乘
同一出租车并且中间等候时间不超过3分钟，则不收取空驶费而加收1.6元等候费．现设小文等4人从市
中心A处到相距 （ ）的B处办事，在B处停留的时间在3分钟以内，然后返回A处．现在有两
种往返方案：
方案一：去时4人同乘一辆出租车，返回都乘公交车（公交车票为每人2元）；
方案二：4人乘同一辆出租车往返．
问选择哪种计费方式更省钱？（写出过程）
【答案】当x小于5时，方案二省钱；当x=5时，两种方案费用相同；当x大于5且不大于12时时，方案
一省钱【详解】
方案一的费用：
7+（x-3）×1.6+0.8（x-3）+4×2
=7+1.6x-4.8+0.8x-2.4+8
=7.8+2.4x，
方案二的费用：
7+（x-3）×1.6+1.6x+1.6
=7+1.6x-4.8+1.6x+1.6
=3.8+3.2x，
①费用相同时x的值
7.8+2.4x=3.8+3.2x，
解得x=5，
所以当x=5km时费用相同；
②方案一费用高时x的值
7.8+2.4x＞3.8+3.2x，
解得x＜5，
所以当x＜5km方案二省钱；
③方案二费用高时x的值
7.8+2.4x＜3.8+3.2x，
解得x＞5，
所以当x＞5km方案一省钱．
考点6：一元一次不等式与一次函数
典例：
方法或规律点拨
本题考查了作坐标系中的对称图形，利用构造法来求三角形面积和将军饮马的问题，熟练掌握相关知识点
是解决本题的关键．
巩固练习
1．（2021·广西百色市·八年级期末）关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．在 轴上的截距是3 B．它不经过第四象限
C．当x≥3时，y≤0 D．图象向下平移4个单位长度得到 的图象
【答案】D
【详解】令x=0，得y= -3，
∴函数在y轴上的截距为-3，
∴选项A错误；
∵ ，
∴函数分布在第一，第三，第四象限，∴选项B错误；
∵x≥3，
∴x-3≥0，
∴y≥0，
∴选项C错误；
∵ ，
∴图象向下平移4个单位长度得到 的图象，
∴选项D正确；
故选D．
2．（2020·浙江八年级期末）一次函数 与正比例 函数，若 ，则自变量 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：
故答案选A
3．（2021·浙江金华市·八年级期末）直线y＝kx+b与直线y＝kx在同一平面直角坐标系中的图象如图所
1 1 2 2
示，则关于x的不等式kx+b≤kx的解为（ ）
1 2
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x≤﹣3 D．x≥﹣3
【答案】C
【详解】
解：∵直线：y=kx+b与直线y=kx的交点的横坐标为-3，
1 1 2 2
∴当x -3时，y y，
2 1
∴关于x的不等式kx+b kx的解集为x -3．
1 2故选：C．
4．（2020·浙江杭州市·八年级期末）一次函数 与正比例函数 ，若 则自变量
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵ ，
∴ ，
解得， ，
故选：A．
5．（2021·山东泰安市·八年级期末）如图，直线 与 相交于点 ，若 ，那么 的
取值范围是______．
【答案】x＜2
【详解】
解：从图象上得出，当y＜y 时，x＜2．
1 2
故答案为：x＜2．
6．（2021·江苏盐城市·八年级期末）如图，已知一次函数 的图像，则关于x的不等式
的解集是__________．
【答案】
【详解】
解：不等式 可以写成 ，
即一次函数 ，当 时，x的取值范围，
由函数图象可得 ．故答案是： ．
7．（2021·浙江宁波市·八年级期末）如图，函数 和 的图象相交于点
，则不等式 的解集为__________．
【答案】
【详解】
解：两条直线的交点坐标为（-1，1），
当x＜-1时，
直线y=ax+4在直线y=kx的下方，
当x＞-1时，
直线y=ax+4在直线y=kx的上方，
故不等式kx＜ax+4的解集为x>-1．
故答案为：x>-1．
8．（2020·浙江八年级期末）设一次函数 ， （m，n是常数，且m≠0，m≠n，
n>0）
（1）当m=3，n=2时，
①求函数y，y 图象的交点坐标．
1 2
②若y>y，求自变量x的取值范围．
1 2
（2）在0y，求证:m+n<0．
1 2
【答案】（1）①（5，12）；②x>5；（2）见解析.
【详解】
解：（1）当m=3，n=2时， ，
①联立 ，解得∴交点坐标为（5，12）；
②y>y 则 解得x>5；
1 2
（2）∵ 与y轴交点为（0， ）， 过定点（1，0），
与y轴交点为（0， ），同时 过定点（-1，0），
∵在0y
1 2
∴根据图像得到 > 即m+n<0．
9．（2020·浙江八年级期末）一次函数 axa1（a为常数，且a0）．
（1）若点1，3在一次函数 axa1的图象上，求a的值；
（2）当-1x2时，函数有最大值5，求出此时一次函数 的表达式；
（3）对于一次函数 kx2k4k0，若对任意实数x， 都成立，求k的取值范围．
【答案】（1）a= -1；（2）y=4x-3或y= -2x+3；（3）k＜0或0＜k＜ ．
【详解】
（1）∵点1，3在一次函数 axa1的图象上，
∴3= -a-a+1，
解得a= -1；
（2）当a＞0时，∵y随x的增大而增大，且-1x2，
∴当x=2时，函数有最大值5，
把（2，5）代入解析式 axa1，得
5=2a-a+1，
解得a= 4，
∴一次函数 的表达式为 4x3；
当a＜0时，∵y随x的增大而减小，且-1x2，
∴当x= -1时，函数有最大值5，
把（-1，5）代入解析式 axa1，得
5= -a-a+1，
解得a= -2，
∴一次函数 的表达式为 -2x+3；
综上所述，一次函数的解析式为 4x3或 -2x+3；
（3）∵对任意实数x， 都成立，
∴当k=a＞0时，只需满足a1＞2k4，
∴k1＞2k4，
∴k=a＜ ，
∴0＜k=a＜ ；
∴当k=a＜0时，只需满足a1＞2k4，
∴k1＞2k4，
∴k=a＜ ，
∴k=a＜0，
综上所述，k的取值范围为 k＜0或0＜k＜ ．
10．（2021·江苏泰州市·八年级期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y＝|x|的图像
和性质，并解决问题：
（1）完成下列步骤，画出函数y＝|x|的图像；
①列表、填空：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 1 0 2 …
②描点，
③连线（2）观察函数图像，写出该函数图像的一条性质 ．
（3）结合图像，写出不等式 x+ ＞|x|的解集为 ．
【答案】（1）2，1，图像见解析；（2）图像关于y轴对称（答案不唯一，只要合理即可）；（3）-1＜x
＜2．
【详解】
（1）①∵|-2|=2，|1|=1，∴应该填2，1，
故答案为：2，1；
②描点，③连线如图所示：
（2）图像关于y轴对称；当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）在同一个坐标系中，画出直线y= x+ 的图像，如图所示，
图像交点的横坐标分别是-1， 2，
∴不等式 x+ ＞|x|的解集为-1＜x＜2．11．（2020·浙江八年级期末）在平面直角坐标系中，一次函数 （k，b是常数，且 ）的图象
经过点 和 ．
（1）求该函数的表达式；
（2）若点 在该函数的图象上，求点P的坐标；
（3）当 时，求x的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【详解】
解：（1）一次函数 过（2，1）和（-1,7），
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（2）由（1）可知： ，
将 代入 ，
∴ ，解得 ，
即 ，
∴ ；
（3）∵ ，
当 时，
则 ，解得： ，
∴x的取值范围： ．
12．（2021·贵州遵义市·九年级期末）在初中阶段的函数学习中，我们知道由含有未知数 和 的两个二
元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数；同时知道任何一个以 为未知数的一元一
次不等式都可以变形为 或 的形式，因此我们可以用画一次函数图象的方法得
到方程组的解或不等式的解集．
（1）在给出的平面直角坐标系中，直接画出函数 的图象；
（2）如图，直线 与 相交于点 ，根据图象直接写出关于 的方
程 的解；
（3）根据图象直接写出不等式 的解集．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【详解】
（1）∵ ，
∴ (0，2)和(2，0)两点在 上；
∴如图所示（图中下降趋势直线为画图答案）（2）∵ 与 相交于(-1，m)，
∴ 的解为： ；
（3）观察图象，当 的图象在 的下方时，
∴ ，
即： ．
13．（2021·安徽合肥市·八年级期末）如图，一次函数 的图像与 轴交于点 ；一次函数
的图像与 轴交于点 ，且经过点 ，两函数图像交于点 ．
（1）求 ， ， 的值；
（2）根据图象，直接写出 的解集．
【答案】（1）m=2；k=-1；b=4；（2）2＜x＜3
【详解】
解：（1） 点 在直线 上，
，
解得 ；点 、 在直线 上，
，
解得： ；
（2）由图象可得，不等式组 的解集为 ．
14．（2021·江苏连云港市·八年级期末）已知直线 经过点 ， ．
（1）求直线 的解析式；
（2）若直线 与直线 相交于点 ，求点 的坐标；
（3）根据图像，写出关于 的不等式 的解集．
【答案】（1）y＝－x＋5；（2）点C的坐标（3，2）；（3）
【详解】
解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx＋b，
∵一次函数的图象经过点A（5，0）和B（1，4）两点．
∴
解得
∴一次函数的表达式为y＝－x＋5；
（2）联立方程组 ，
解得 ，
∴点C的坐标（3，2）；
（3）不等式 的解集为： ．15．（2021·安徽淮南市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 经过点 ，直
线 经过点 且与直线 相交于点 ．
（1） _______， _______；
（2）求直线 的解析式；
（3）请把图象中直线 在直线 上方的部分描黑加粗，并直接写出不等式
的解集：________．
【答案】（1）2，3；（2） ；（3） ．
【详解】
解：∵直线 经过点 ，
∴ ，
∴m=2，即直线 解析式为
又∵点 在直线 ，
∴ ，
故答案为：2，3；
（2）∵直线 经过点 ，点 ，
∴ ，
解得： ，即直线 的解析式 ；
（3）如图：
不等式 的解集： ．
