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专题2.13 《一元一次不等式和一元一次不等式组》全章复习与巩
固（知识讲解）
【学习目标】
1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；
2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；
3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；
4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；
5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是
学习数学的一种重要途径.
【要点梳理】
要点一、不等式
1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
特别说明：
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如 ， 等；另一种
是用数轴表示，如下图所示：
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或 )．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或 )．要点二、一元一次不等式
1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高
次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，
特别说明：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解法：
解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
特别说明：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是
定边界点，二是定方向，三是定空实.
3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大
于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
特别说明：
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超
过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式
解决问题的关键.
要点三、一元一次不等式组
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
特别说明：
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的
公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等
式组的解集及实际意义确定问题的答案．
【典型例题】
类型一、不等式1．用适当的不等式表示下列不等关系：
（1）x的 与x的2倍的和是非负数；
（2）一枚炮弹的杀伤力半径不小于300米；
（3）三件上衣和四条裤子的总价钱不高于368元；
（4）明天下雨的可能性不小于70%；
（5）小明的体重不比小亮的轻；
解：（1） x+2x≥0；
（2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有r≥300；
（3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a+4b≤368；
（4）用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%；
（5）设小明的体重为a千克，小亮的体重为b千克，则应有a≥b．
【点拨】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做
不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠．
举一反三：
【变式】根据下列数量关系列不等式：
（1）a与1的和是正数 ；
（2）a的 和b的 的差是负数 ；
（3）a与b的两数和的平方不大于9 ；
（4）a的 倍与b的和的平方是非负数 ．
【答案】（1）a+1＞0；（2） a- b＜0；（3）（a+b）2≤9；（4）（ a+b）2≥0．
【分析】
（1）首先表示a与1的和为a+1，再表示是正数可得a+1＞0；
（2）首先表示a的 和b的 的差为 a- b，再表示“是负数”为 a- b＜0；
（3）首先表示a与b的两数和的平方为（a+b）2，再表示“不大于9”即可；
（4）首先表示a的 倍与b的和的平方为（ a+b）2，再表示“是非负数”即可．解：（1）a+1＞0；（2） a- b＜0；（3）（a+b）2≤9；（4）（ a+b）2≥0．
【点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的
关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”
等等，正确选择不等号．
2.a、b、c表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的>”“<”或“=”．
（1） ______ ． （2） ________0．
（3） __________ ． （4） ________ ．
（5） ________ ． （6） _______ ．
（7） ________ ． （8） _______ ．
【答案】（1）>；（2）>；（3）>；（4）<；（5）<；（6）>；（7）>；（8） ．
解：由数轴的定义得： ，
（1）不等式 的两边同加上3，不改变不等号的方向，则 ；
（2）不等式 的两边同减去 ，不改变不等号的方向，则 ，即 ；
（3）不等式 的两边同乘以 ，不改变不等号的方向，则 ；
（4）不等式 的两边同乘以 ，改变不等号的方向，则 ；
（5）不等式 的两边同乘以 ，改变不等号的方向，则 ；不等式
的两边同加上1，不改变不等号的方向，则 ；
（6）不等式 的两边同乘以正数 ，不改变不等号的方向，则 ；
（7）不等式 的两边同减去 ，不改变不等号的方向，则 ；
（8）不等式 的两边同乘以正数 ，不改变不等号的方向，则 ．
【点拨】本题考查了不等式的性质、数轴的定义，熟记不等式的性质是解题关键．
举一反三：
【变式1】若 ，试比较下列各式的大小并说明理由．（1） 与 ； （2） 与 ．
【答案】（1） ．理由见解析；（2） ．理由见解析.
解：（1） ．理由如下：
，
（不等式的性质2），
（不等式的性质1）．
（2） ．理由如下：
，
（不等式的性质3），
（不等式的性质1）．
【点拨】主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
类型二、一元一次不等式
3. 已知关于 的一次函数 ，其中 为常数且 ．
（1）若 的值随 的值增大而增大，则 的取值范围是_____________；
（2）若该一次函数的图象经过点 ，当 时，求 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）根据一次函数 的性质：当 时， 随 的增大而增大，当
时， 随 的增大而减小，即可得出答案；（2）把 代入 中求出 的值，确定一次函数解析式，由不等
式的性质即可得解．
（1）∵ 的值随 的值增大而增大，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ；
（2）把 代入 中得： ，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ 的取值范围为 ．
【点拨】本题考查一次函数的性质与不等式的解，掌握一次函数的性质是解题的关键．
举一反三：
【变式】阅读下列材料：根据绝对值的定义， 表示数轴上表示数x的点与原点的距
离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为x，x 时，点P与点Q之间的距离为PQ＝
1 2
．
根据上述材料，解决下列问题：如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是－4，8
（A、B两点的距离用AB表示），点M是数轴上一个动点，表示数m．
（1）AB＝ 个单位长度；
（2）若 ＝20，求m的值；（写过程）
（3）若关于 的方程 无解，则a的取值范围是 ．
【答案】（1）12；（2）m＝－8或12；（3）
【分析】
（1）根据题中所给数轴上两点距离公式可直接进行求解；（2）由题意可分当 ， ， 三种情况进行分类求解即可；
（3）由题意可分当 ， ， ， 四种情况进行分类求解，然后
根据方程无解可得出a的取值范围．
解：（1）由题意得： ；
故答案为12；
（2）由题意得：①当 时，则有： ，解得： ；
②当 时，则有 ，方程无解；
③当 时，则有 ，解得： ，
综上所述：m＝－8或12；
（3）由题意得：①当 时，则有 ，解得： ，
∵方程无解，
∴ ，解得： ；
②当 时，则有 ，解得： ，
∵方程无解，
∴ 或 ，解得： 或 ；
③当 时，则有 ，解得： ，
∵方程无解，
∴ 或 ，解得： 或 ；
④当 时，则有 ，解得： ，
∵方程无解，
∴ ，解得： ；
综上所述：当关于 的方程 无解，则a的取值范围是 ；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查数轴上两点距离、一元一次不等式的解法及一元一次方程的解
法，熟练掌握数轴上两点距离、一元一次不等式的解法及一元一次方程的解法是解题的关
键．
4.阳光超市从厂家购进甲、乙两种商品进行销售，若该超市购进甲种商品3件，乙种商品2件，共需花费900元；若购进甲种商品2件，购进乙种商品1件，共需花费500
元；
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别为多少元；
（2）由于甲、乙两种商品受到市民欢迎，十一月份超市决定购进甲、乙两种商品共
80件，且保持（1）的进价不变，已知甲种商品每件的售价为150元，乙种商品每件的售
价400元，要使十一月份购进的甲、乙两种商品共80件全部销售完的总利润不少于6500
元，那么该超市最多购进甲种商品多少件？
【答案】（1）甲种商品每件进价为100，乙种商品每件进价300元；（2）30件
【分析】
（1）设甲种商品每件进价为x元，乙种商品每件进价y元，根据等量关系：3件甲种
商品的花费+2件乙种商品的花费=900；2件甲种商品的花费+1件乙种商品的花费=500，即
可列出方程组，解方程组即可；
（2）设该超市购进甲种商品m件，根据不等关系：甲商品的利润+乙商品的利润
≥6500，列出不等式，不等式即可，再取不等式解集中最大的整数值即可．
解：（1）设甲种商品每件进价为x元，乙种商品每件进价y元，根据题意的
解得
故甲种商品每件进价为100，乙种商品每件进价300元
（2）设该超市购进甲种商品m件，根据题意得：
（150－100）m＋（400－300）（80－m）≥6500
解得m≤30
∵m为整数
∴m的最大整数值为30．
即该超市最多购进甲种商品30件．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组及解不等式的应用，关键是理解题意，找到等
量关系和不等关系，然后列出方程组和不等式即可解决问题．
【变式】某装修市场出售A和B两种款式的瓷砖，两种瓷砖的进价和售价如下表：
A款 B款进货价（元/块） 80 60
销售价（元/块） 130 90
市场计划恰好用49000元进货两种瓷砖，且B款瓷砖的数量不少于A款，如何进货可
以使利润最大？最大利润为多少元？
【答案】当A款进货350块，B款进350块时利润最大，最大利润为28000元．
【分析】
设A款瓷砖进货x块，B款瓷砖进货y块，根据所用资金49000元，购进两款瓷砖
，根据B款瓷砖的数量不少于A款，得出 ，列不等式 ，
可求A款购进范围为 ，设瓷砖利润用w表示，根据两款利润列函数关系式为
，根据函数性质k=10＞0，w随x的增大而增大，当x=350块时
元即可．
解：设A款瓷砖进货x块，B款瓷砖进货y块，
根据题意得 ，
整理得 ，
∵B款瓷砖的数量不少于A款，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
设瓷砖利润用w表示，
，
∵k=10＞0，w随x的增大而增大，
当x=350块时 元，
此时x=350块， 块，
∴当A款进货350块，B款进350块时利润最大，最大利润为28000元．
【点拨】本题考查二元一次方程应用，不等式应用，一次函数的应用，掌握二元一次方程，不等式，一次函数的性质是解题关键．
类型三、一元一次不等式组
5.解不等式组： ，并写出它的所有非负整数解．
【答案】﹣2＜x≤2，非负整数解为0，1，2．
【分析】分别得出两个不等式的解集，找出两个解集的公共部分即可得不等式组的解
集，进而可得不等式组的非负整数解．
解： ，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
∴非负整数解为0，1，2．
【点拨】本题考查解一元一次不等式组，正确得出两个不等式的解集是解题关键．
举一反三：
【变式】已知关于x、y的方程组 中，x为非负数、y为负数．
（1）试求m的取值范围；
（2）当m取何整数时，不等式3mx+2x>3m+2的解集为x<1．
【答案】（1） （2）x<1
【分析】
（1）把m看作常数，解方程组，根据x为非负数、y为负数，列不等式组解出即可；
（2）根据不等式3mx+2x>3m+2的解为x<1，求出m的取值范围，综合①即可解答．
{x−y=11−m①
（1）解：（1） ，
x+ y=7−3m②
①+②得：2x＝18﹣4m，x＝9﹣2m，
①﹣②得：﹣2y＝4+2m，y＝﹣2﹣m，
∵x为非负数、y为负数，{9−2m≥0
∴ ，解得：﹣23m+2，
（3m+2）x>3m+2，
∵不等式3mx+2x>3m+2的解为x<1，
∴3m+2<0，
∴m<﹣ ，
由（1）得：﹣23m+2的解为x<1．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方
程组的解集，同时学会利用参数解决问题．
类型四、一元一次不等式与一次函数
6. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的
图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数
的值，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；
（2）由题意可先假设函数 与一次函数 的交点横坐标为 ，则
由（1）可得： ，然后结合函数图象可进行求解．解：（1）由一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单位
长度得到可得：一次函数的解析式为 ；
（2）由题意可先假设函数 与一次函数 的交点横坐标为 ，则
由（1）可得：
，解得： ，
函数图象如图所示：
∴当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的
值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当 时，符合题意，当 时，则
函数 与一次函数 的交点在第一象限，此时就不符合题意，
综上所述： ．
【点拨】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解
题的关键．
【变式】若关于x的不等式组 恰有三个整数解，求实数a的
取值范围．【答案】
【分析】根据不等式组恰有三个整数解，即可确定不等式组的解集，从而即可得到一
个关于a不等式组，解之即可．
解：解 得： ；
解 得： ．
∴不等式组的解为 ．
∵关于x的不等式组 恰有三个整数解，
∴ ，解得 ．
∴实数a的取值范围为 ．
类型五、综合应用
7.如图，已知直线y=﹣ x+1与x轴交于点A，与直线y=﹣ x交于点B．
1 2
（1）求△AOB的面积；
（2）求y＞y 时x的取值范围．
1 2
【答案】（1）1.5；（2）x＞﹣1．
【分析】
（1）由函数的解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出△AOB的面积；
（2）结合函数图象即可求出y＞y 时x的取值范围．
1 2
解：（1）由y=﹣ x+1，
1可知当y=0时，x=2，
∴点A的坐标是（2，0），
∴AO=2，
∵y=﹣ x+1与x与直线y=﹣ x交于点B，
1 2
∴B点的坐标是（﹣1，1.5），
∴△AOB的面积= ×2×1.5=1.5；
（2）由（1）可知交点B的坐标是（﹣1，1.5），
由函数图象可知y＞y 时x＞﹣1．
1 2
考点：一次函数与一元一次不等式．
举一反三：
【变式1】某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果汁为原料，配制生产
甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含0.6千克A种果汁，含0.3千克B种果汁；每
千克乙种饮料含0.2千克A种果汁，含0.4千克B种果汁．饮料厂计划生产甲、乙两种新型
饮料共650千克，设该厂生产甲种饮料x（千克）．
（1）列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；
（2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是每1千克4
元，那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？
【答案】（1） 200≤x≤425
（2）详见解析
【分析】
（1）表示出生产乙种饮料（650﹣x）千克，然后根据所需A种果汁和B种果汁的数
量列出一元一次不等式组，求解即可得到x的取值范围．
（2）根据销售总金额等于两种饮料的销售额的和列式整理，再根据一次函数的增减性
求出最大销售额．
解：（1）设该厂生产甲种饮料x千克，则生产乙种饮料（650﹣x）千克，
根据题意得， ，
由①得，x≤425，由②得，x≥200，
∴x的取值范围是200≤x≤425．（2）设这批饮料销售总金额为y元，根据题意得，
，即y=﹣x+2600，
∵k=﹣1＜0，
∴当x=200时，这批饮料销售总金额最大，为﹣200+2600=2400元．
