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专题2.12 二次根式（专项练习1）
一、单选题
知识点一、求二次根式的值
1．下面式子是二次根式的是（ ）
A． B． C． D． a
2．在数轴上，点A，B表示的数互为相反数，若点A在点B的左侧，且AB=2 ，则点
A，点B表示的数分别是（ ）
A．- ， B． ，- C．0，2 D．-2 ，2
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． ．
C． D．
知识点二、求二次根式的参数
4．已知二次根式 的结果是7，则x的值为（ ）
A．7 B．49 C．–7 D．7或–7
5．已知 是整数，则正整数m的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在式子 ， ， ， ， ， 中
二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
知识点三、二次根式意义的条件
7．若 ＝﹣a ，则a的取值范围是（ ）
A．﹣3≤a≤0 B．a≤0 C．a＜0 D．a≥﹣3
8．使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞39．若 无意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≤3 C．x＞3 D．x≥3
知识点四、二次根式的性质化简
10．实数 、 在数轴上的位置如图所示，化简 的结果
是（ ）．
A． B．0 C． D．
11．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：① ； ② ＝1；③
＝－b．其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
12．下列等式正确的是（ ）
A．（ ）2=3 B． =﹣3 C． =3 D．（﹣ ）2=﹣3
知识点五、复合二次根式的化简
13．把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
14．化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
15．下列二次根式： 、 、 、 中，是最简二次根式的（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知识点六、二次根式的乘法
16．下列计算结果正确的是( )
A． ＋ ＝ B．3 － ＝3
C． × ＝ D． ＝5
17．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
18．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
知识点七、二次根式的除法
19．计算 ÷ ÷ 的结果是（ ）
A． B． C． D．
20．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
21．在将式子 （m＞0）化简时，
小明的方法是： = = = ；
小亮的方法是： ；小丽的方法是： .
则下列说法正确的是（ ）
A．小明、小亮的方法正确，小丽的方法不正确
B．小明、小丽的方法正确，小亮的方法不正确
C．小明、小亮、小丽的方法都正确
D．小明、小丽、小亮的方法都不正确
知识点八、二次根式的乘除混合运算
22．计算 ÷ × 结果为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
23．若 ，则 的值用 、 可以表示为 （
）
A． B． C． D．
24．计算2 × ÷ 的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
知识点一、求二次根式的值
25．若 ，则 __________．
26．已知a＝﹣2，则 +a＝_____．
27．观察分析下列数据： ，则第17个数据是 _______ .
知识点二、求二次根式的参数28．已知 有意义，如果关于 的方程 没有实数根，那么 的取值范围
是__．
29．如果x＝1是关于x的方程 ＝x的一个实数根，那么k＝_____．
30．已知 ，则x＝_____，y＝______．
知识点三、二次根式意义的条件
31．若二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是______________．
32．式子 中x的取值范围是_____．
33．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是_____．
知识点四、二次根式的性质化简
34．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a _____．
35．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为
________
36．已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是
_________.
知识点五、复合二次根式的化简
37．把二次根式（x-1） 中根号外的因式移到根号内，结果是__．38．已知 ，那么 的值等于________．
39．化简： ______________.
知识点六、二次根式的乘法
40．计算 的结果是__．
41．计算：( ＋ )2015·( － )2016＝________．
42．在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空
格的实数之积为________．
2
1 6
3
知识点七、二次根式的除法
43．若一个三角形的一边长为a，这条边上的高为6 ，其面积与一个边长为3 的正
方形的面积相等，则a＝________．
44．若 成立，则x满足________
45．化简 =__．
知识点八、二次根式的乘除混合运算
46．把 的根号外因式移到根号内得____________．
47．计算： =______.
48．计算：( － )2(5＋2 )＝____．三、解答题
知识点一、求二次根式的值
49．计算：
（1） （2） （3） （4）
知识点二、求二次根式的参数
50．先化简，再求值： ，其中a，b满足
．
知识点三、二次根式意义的条件
51．若 都是实数，且 ，求 x＋3y的立方根．
知识点四、二次根式的性质化简
52．计算：
(1) ； (2) ； (3) ；
(4) ； (5) ； (6) .
知识点五、复合二次根式的化简53．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，
其意是指两个人合在一起，团结一致、优势互补、取长补短、威力无比．在二次根式中也
有这种相辅相成的“对子”．如：（ +3）（ ﹣3）＝﹣4，像（ +3）和（ ﹣
3）这样的两个二次根式，它们的积不含根号，我们就称这两个二次根式互为有理化因式，
其中一个是另一个的有理化因式．再如（ ）与（ ）也互为有理化因式．于是，
下面二次根式除法可以这样运算： ＝ ＝7+4 ．像这样，通过
分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程叫分母有理化．
解决问题：（1）2 +3 的一个有理化因式是 ， 分母有理化结果是 ；
（2）计算： + ．
知识点六、二次根式的乘法
54．计算
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
知识点七、二次根式的除法
55．观察下列等式：．．．．
请解答下列问题：
（1）按以上规律写出 = ；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式： = （n为正整数）；
（3）求 的值．
知识点八、二次根式的乘除混合运算
56．计算下列各题
（1） （2）（ —3）2＋（ —3）×（ ＋
3）
（3） （4）参考答案
1．A
分析：直接利用二次根式定义分析得出答案．
详解：A、 ，∵a2+1＞0，∴是二次根式，符合题意；
B、 是三次根式，不合题意；
C、 ，无意义，不合题意；
D、 a是整式，不合题意．
故选A．
点拨：此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2．A
【分析】根据相反数的定义即可求解．
解：由A、B表示的数互为相反数，且AB=2 ，点A在点B的左侧，得
点A，点B表示的数分别是- ， ．
故选：A．
【点拨】本题考查了相反数的知识，属于基础题，注意熟练掌握相反数的概念是解题的关
键．
3．D
【分析】根据二次根式的定义和二次根式的性质逐项计算判断即可．
解：A、 无意义，所以本选项不符合题意；
B、 ，所以本选项计算错误，不符合题意；
C、 ，所以本选项计算错误，不符合题意；
D、 ，所以本选项计算正确，符合题意．
故选D．【点拨】本题主要考查了二次根式的定义和性质，属于基本题型，熟练掌握二次根式的性
质是解题关键．
4．D
【分析】根据二次根式的性质可得： ，再根据绝对值的意义解答即可．
解：由题意得： ，所以 ，即x的值为7或–7．
故选D．
【点拨】本题考查的是二次根式的性质，属于基础题型，熟练掌握 是解题关键．
5．C
【分析】根据12=4×3，若 是整数，则12m一定是一个完全平方数，据此即可求得m
的值．
，要使 为整数，则 为整数，所以正整
数m的最小值是3．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的意义，正确理解12m是完全平方数是解答本题的关键．
6．C
【分析】根据二次根式的定义解答即可
， ，故是二次根式； 是二次根式； ，则
，故不是二次根式； ，则 故是二次根式；
不是二次根式； ， ，故是二次根式； 是多项式，故不是二次
根式；
综上所述，是二次根式的式子一共有4个
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义即形如“ ”这样的式子是二次根式是解题关键．
7．A
【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答.
∵ = =﹣a ，
∴a≤0，a+3≥0，
∴﹣3≤a≤0.
故选A.
【点拨】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键.
8．C
分析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
详解：∵式子 有意义，
∴x-3≥0，
解得x≥3．
故选C．
点拨：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
9．C
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数,可得出关于x的一元一次不等式,解出即可得出
答案.
解：∵ 无意义,
∴3-x＜0,解得:x＞3．
故选C．
【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件,解决本题的关键是掌握二次根式有意义则
被开方数为非负数．
10．A
【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对
值的性质即可求出答案．
解：由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0，
∴=
=
=-2
故选A.
【点拨】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正
确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．
11．D
【分析】先根据ab＞0，a＋b＜0，判断出a、b的符号，再逐个式子分析即可.
∵ab＞0，a＋b＜0，
∴a<0，b<0，
∴ 无意义，故①不正确；
，故②正确
，故③正确.
故选D.
【点拨】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键.
， ， （a≥0，b>0）.
12．A
分析：根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．
详解：（ ）2=3，A正确；
=3，B错误；
= ，C错误；（- ）2=3，D错误；
故选A．
点拨：本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质： =|a|是解题的关键．
13．D
【分析】由题意易得x>2，然后根据二次根式的性质可进行求解．
解：由题意得：
，解得：x>2，
∴ ；
故选D．
【点拨】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
14．D
【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简．
解：由题意可得：x＜0
∴
故选：D．
【点拨】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简
计算是解题关键．
15．B
【分析】根据所给二次根式的被开方数（式）是否能够再次被开方可以作出判断．
解： ，而 的被开方数（式）再也
不能被开方，∴最简二次根式有2个 ．
故选B．
【点拨】本题考查最简二次根式，在正确理解最简二次根式的基础上作出判断是解题关键 ．
16．C选项A. 不能计算.A错误.
选项B. ,B错误.
选项C. ,正确.
选项 D. ,D错误.
故选C.
17．D
【分析】根据二次根式的运算法则即可逐一判断．
解：A、3和 不能合并，故A错误；
B、 ，故B错误；
C、 ，故C错误；
D、 ，正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则．
18．D
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判
断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
A. 与 不能合并，所以A选项错误；
B. 原式= ，所以B选项错误；
C. 原式=6×3=18，所以C选项错误；
D. 原式 所以D选正确.
故选D.
【点拨】考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式加减乘除的运算法则是解题的关键.19．A
试题解析：原式
故选A.
20．B
【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得.
A、 与 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B、 = = = ，此选项正确；
C、 =（5 - ）÷ =5- ，此选项错误；
D、 = ，此选项错误；
故选B
【点拨】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和
运算法则.
21．C
【解析】
【分析】小明的方法为原式分子分母乘以有理化因式，化简得到结果；小亮的方法为将分
子利用二次根式性质化简，约分即可得到结果；小丽的方法为分子利用二次根式性质化简，
再利用二次根式除法法则逆运算变形，计算即可得到结果.
再将式子 （m＞0）化简时，
小明的方法是： ＝ ＝ ＝ ，正确；
小亮的方法是： ＝ ＝ ，正确；小丽的方法是： ＝ ＝ ＝ ，正确；
则小明、小亮、小丽的方法都正确，故答案选C.
【点拨】此题考查了分母有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化.二次根
式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特
点的式子.
22．B
= = = .
故选B.
23．C
【分析】根据 化简即可．
= ．
故选C．
【点拨】此题的关键是把 写成 的形式．
24．C
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
原式=
=3÷
=
故选C．
【点拨】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除法法则，本
题属于基础题型．25． 或
【分析】由于算术平方根等于本身的数有0和1，所以2x-1=0或2x-1=1，解方程即可．
解：∵ ，
∴2x-1=0或2x-1=1，
解得： 或 1．
故答案为 或 ．
【点拨】本题考查了算术平方根等于本身的数，理解题意列出方程是解题的关键．
26．0．
【解析】
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
当a＝﹣2时，
原式＝|a|+a
＝﹣a+a
＝0；
故答案为：0
【点拨】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．
27．
【解析】
分析：将原数变形为：1× ，2× ，3× ，4× …，根据规律可以得到答案．
详解：将原数变形为：1× ，2× ，3× ，4× …，所以第17个数据是：17×
＝51 ．
故答案为：51 ．
点拨：本题考查了算术平方根，解题的关键是将所得二次根式变形，找到规律解答．
28． ．【分析】把方程变形为 ，根据方程没有实数根可得 ，解不等式即可．
解：由 得 ，
有意义，且 ，
方程 没有实数根，即 ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定 的取值范
围．
29．0
【分析】先把x＝1代入方程，两边平方求出k的值．
解：把x＝1代入方程，得 ＝1，
两边平方，得1+k＝1，
解得k＝0．
经检验，k＝0符合题意．
故答案为：0．
【点拨】本题考查了方程的解，熟练掌握方程解的定义是解题的关键．
30．3 5
【分析】根据被开方数是非负数建立不等式，求解不等式即可求出x和y的值．
根据题意得： ，
解得：x＝3，
则 ．
故答案为：3，5．
【点拨】本题考查使二次根式有意义的条件，掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．
31．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
解：∵二次根式 在实数范围内有意义，
∴ ≥0，
解得： ．
故答案为 ．
【点拨】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
32． ．
【分析】 要有意义 必须是非负数．
∵
∴
∴
【点拨】此题考查的是二次根式什么情况下有意义，掌握负数没有算术平方根是解题的关
键．
33．x≥-3且x≠2
【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案．
解：∵代数式 有意义，
∴x+3≥0，且x-2≠0，
∴实数x的取值范围是：x≥-3且x≠2．
故答案为x≥-3且x≠2．
【点拨】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
34．2．
【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．
由数轴可得：0＜a＜2，则a+ =a+ =a+（2﹣a）=2．
故答案为2．
【点拨】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的取值范围是解题的关键．
35．0
【分析】根据数轴所示，a＜0，b＞0， b-a＞0，依据开方运算的性质，即可求解．
解：由图可知：a＜0，b＞0， b-a＞0，
∴
故填：0
【点拨】本题主要考查二次根式的性质和化简，实数与数轴，去绝对值号，关键在于求出
b-a＞0，即|b-a|=b-a．
36．2-a
【分析】根据a在数轴上的位置可知-1＜a＜0，可知a+1＞0，a-1＜0，然后根据绝对值和
二次根式的性质，即可求解
∵-1＜a＜0，
∴a+1＞0，a-1＜0，
∴
=a+1-a+1-a
=2-a
故答案是：2-a
37．-
【分析】根据二次根式有意义的条件可以判断x-1的符号，即可化简．
解：(x-1)
故答案是：- ．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简，正确根据二次根式有意义的条件，判断1-x＞
0，从而正确化简|1-x|是解决本题的关键．38．
【分析】通过平方或分式的性质，把已知条件和待求式的被开方数都用 的代数式表
示，然后再进行计算．
由 ，两边分别平方得： +2＝4，
∴ =2
=
=
= ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开
方数都用 的代数式表示．
39．
【解析】
【分析】将5拆成3和2，然后运用完全平方公式化简即可.解：
【点拨】本题考查二次根式的性质和完全平方公式，灵活运用所学知识是解题关键.
40．3
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
解：
=
=3 ．
故答案为3 ．
【点拨】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．
41．
原式= .
故答案为 .
42．
【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到 ，然后中间一行的三个数相乘以及最
后一行的三个数相等都是 ，即可求解．
解：由题意可知，第一行三个数的乘积为： ，
设第二行中间数为x，则 ，解得 ，
设第三行第一个数为y，则 ，解得 ，∴2个空格的实数之积为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是
解决此类题的关键．
43．2
【解析】
由题意可得： ，
∴ ，解得： .
故答案为 .
44．2≤x<3
【分析】因为二次根式的除法法则: ,所以 成立要
满足: ,解得: .
若 成立,根据二次根式除法法则可得:
,解得: .
故答案为: .
【点拨】本题主要考查二次根式的除法法则,解决本题的关键是要熟练掌握二次根式除法法
则.
45．解：原式= ．
故答案为 ．
46．
【分析】根据二次根式被开方数是非负数且分式分母不为零，将根号外的因式转化成正数
形式，然后进行计算，化简求值即可．
解： ，
；
故答案为：
【点拨】本题考查二次根式的性质和二次根式计算，灵活运用二次根式的性质是解题关键．
47．3
【分析】根据二次根式的乘除法法则进行计算即可.
=15 =3 .
故答案为3 .【点拨】本题考查了二次根式的乘除法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键.
48．1
【分析】先根据完全平方公式和乘法公式展开计算可得: ,再根据平方
差公式进行计算即可求解.
( － )2(5＋2 ),
= ,
=25-24,
=1,
故答案为1.
【点拨】本题主要考查二次根式的乘法,解决本题的关键是要熟练掌握完全平方公式和平方
差公式.
49．（1）2；（2）11；（3） ；（4）0
【分析】（1）根据二次根式的性质直接计算即可；
（2）根据算术平方根的定义计算；
（3）根据二次根式的性质直接计算即可；
（4）根据二次根式的性质分别计算每一项，再合并即可．
解：（1） ；
（2） ；
（3）原式 ；
（4）原式 ．
【点拨】本题考查了二次根式的性质和算术平方根的定义，属于应知应会题型，熟练掌握
二次根式的性质是解题关键．
50． -1【分析】根据平方差公式进行变形，再根据分式混合运算法则进行计算，再根据平方差公
式的性质和二次根式的性质进行求解，即可得到答案.
解：原式
，
∵a，b满足 ，
∴ ， ，
， ，
原式 ．
【点拨】本题考查平方差公式和二次根式的性质，解题的关键是掌握平方差公式和二次根
式的性质.
51．3
【分析】首先根据二次根式的非负性可以求出x的值，再将其代入已知等式即可求出y的
值，从而求出x+3y的值，再对其开立方根即可求解．
由题意可知，
解得：x=3，
则y=8，x+3y=27，
故x+3y的立方根是3．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，立方根及平方根的知识，属于基础题，掌握
各个知识点是关键. 二次根式有意义的条件：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
52．(1) ；(2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) .【分析】（1）原式利用二次根式的乘法法则计算、化简即可得到结果；
（2）原式利用二次根式的乘法法则计算、化简即可得到结果；
（3）原式利用二次根式的乘法法则计算、化简即可得到结果；
（4）原式利用二次根式的乘法法则计算、化简即可得到结果；
（5）原式先化为假分数，再利用二次根式的除法法则计算、化简即可得到结果；
（6）原式利用二次根式的除法法则计算、化简即可得到结果.
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） .
【点拨】本题考查了二次根式性质的应用、二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本
题的关键．
53．（1）2 ﹣3 ，3+ ；（2）1
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可求出答案．
（2）先将分母有理化，然后根据二次根式的运算法则即可求出答案．
解：（1）由题意可知： ， ．
（2）原式＝ ，
＝ ，
＝1．故答案为：（1）2 ﹣3 ，3+ ．
【点拨】本题主要考查了二次根式的知识点，二次根式的运算是解题的关键．
54．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【分析】（1）先化简 ，再合并同类二次根式即可得到答案；
（2）先计算二次根式的乘方，同时求解立方根与算术平方根，再合并即可得到答案；
（3）分别按照完全平方公式与平方差公式先计算二次根式的乘法运算，再合并即可得到答
案；
（4）先化简二次根式与计算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可得到答案．
解：（1）
（2）
（3）
（4）
【点拨】本题考查的是立方根与算术平方根的含义，二次根式的化简，二次根式的混合运算，完全平方公式与平方差公式的应用，掌握以上知识是解题的关键．
55．（1） ；（2） （ 为正整数）；（3）
【分析】（1）把分子、分母都乘以 后可得答案；
（2）把分子、分母都乘以 后可得答案；
（3）根据提示与（1）（2）的计算方法可得答案．
解：（1）
故答案为：
（2）
故答案为： （ 为正整数）．
（3）
【点拨】本题考查的是二次根式的除法，掌握分母有理化完成除法运算是解题的关键．
56．（1）7 ＋2 ；（2）16-6 ；（3）4 ；（4）4—3
【解析】
试题分析：(1)、首先根据二次根式的化简法则将各二次根式进行化简，然后进行二次根式的加法计算；(2)、根据完全平方公式和平方差公式将括号去掉，然后进行合并计算；(3)、
首先根据二次根式的化简方法和零次幂的计算将各式进行计算，从而进行化简得出答案；
(4)、根据二次根式的乘除法计算法则以及化简法则将各式进行化简，从而得出答案.
试题解析：（1）原式＝4 ＋3 —2 ＋4
＝7 ＋2
（2）原式＝5-6 ＋9＋11—9
＝16-6
