专题2.12二次函数与新定义综合问题（重难点培优）-九年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）北师大版_北师大初中数学_9下-北师大版初中数学_05习题试卷_1课时练习

2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题2.12二次函数与新定义综合问题（重难点培优） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷 规定的位置． 一、解答题（本大题共24小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） P(a,b) Q a�b 1．（2020•金华二模）在平面直角坐标系中，我们定义：点 的“变换点”为 ，且规定：当 时， 点 Q 为 (b,a) ．当ab．点 Q 为 (a,b) ． (6,0) (0,6) (2,2) (0,3) （1）分别写出各点的“变换点”： ； ； ； （2）当点 A(a,2) 的“交换点”在函数 yx1 的图象上，求a的值； （3）已知直线l与坐标轴交于 (6,0) ． (0,3) 两点，将直线l上所有的“变换点”组成一新的图形，记为M ． 当抛物线 yx2 c 与图形M 的交点个数2个或3个时，求出相应c的取值范围． 【分析】（1）由变换点的定义可求得答案； （2）由变换点的定义可求得A的变换点，代入函数解析式可求得a的值； （3）先求得直线 yx 与直线l的交点坐标，然后分为当 x�2 和x2两种情况，求得M 的关系式，然后 再画出M 的大致图象，再将抛物线 yx2 c 与图形M 的函数关系式组成方程组，利用一元二次方程根的判别式进行判断即可． (6,0) (0,6) 【解析】（1）由“变换点”的定义可得 的变换点为 ， (2,2) (2,2) 的变换点为 ， (0,3) (0,3) 的变换点为 ， (0,6) (2,2) (0,3) 故答案为： ， ， ； （2）①当 a� 2 时，点A的变换点为 (2,a) ， 把 (2,a) 代入 yx1 ，得：a21， 解得：a1； ②当a2时，点A的变换点为 (a,2) ， 把 (a,2) 代入 yx1 ，得：a12， 解得：a1； 综上所述，a1； （3）设直线l的解析式为 ykxb(k 0) ， 6kb0  将 (6,0) 、 (0,3) 代入 ykxb 得：b3 ，  1 k   2 解得：  b3 ， 1 y x3 直线l的解析式为 2 ， 1 x x3 当 x y 时， 2 ， 解得：x2， 点 C(2,2) ，点C的变换点的坐标为 C(2,2) ，(6,0) (0,6) 点 的变换点的坐标为 ， (0,3) (0,3) 点 的变换点的坐标为 ， x�2 C(2,2) (0,6) y2x6 x�2 当 时，所有变换点组成的图形是以 为端点，过 的一条射线，即： ，其中 ， 1 y x3 当x2时，所有变换点组成的图形是以 C(2,2) 为端点，过 (0,3) 的一条射线，即： 2 ，其中 x2， 新的图形M 是以 C(2,2) 为端点的两条射线组成的图形， 如图所示：  1 y x3  2 y2x6  由  yx2 c 和yx2 c ， 1 x2  xc30 得： 2 ①和x2 2xc60②， 讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C的位置关系可得： 47 5c Ⅰ．当方程②无实数根，且方程①有两个不相等的实数根时，即：当 16 时，抛物线 yx2 c 与 图形M 有两个交点； Ⅱ．当方程②有两个相等的实数根或抛物线 yx2 c 恰好经过点C时，即：当c5或c6时，抛物线 yx2 c 与图形M 有三个交点； Ⅲ．当c6时，抛物线 yx2 c 与图形M 有两个交点；47 5�c 综上所述，c的取值范围是 16 或 c� 6 ． 2．（2020秋•越秀区校级期中）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为 (x 1， y 1 ) ，点 Q (x y ) x  x y  y PQ y 的坐标为 2， 2 ，且 1 2， 1 2，若 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与 轴 垂直，则称该等腰三角形为点P， Q 的“伴随等腰三角形”． （1）若P， Q 为抛物线 yx2 2x3 上的点，它的“伴随等腰三角形”记为 PQM ，且底边PM 2， 点M ， Q 均在点P的右侧，设点P的横坐标为m． ①若点M 在这条抛物线上，求 PQM 的面积； Q y y y y ②设P， 两点的纵坐标分别为了 1， 2，比较 1与 2的大小； ③当 PQM 底边上的高等于底边长的2倍时，求点P的坐标； （2）若P， Q 是抛物线 yx2 2nx3n 上的两点，它的“伴随等腰三角形 PQN ”以PN 为底，且点N， Q 均在点P的同侧（左侧或右侧），点 Q 的横坐标是点P的横坐标的2倍，过点P，N分别作垂直于x轴 的直线 l 1， l 2．设点P的横坐标为n1，该抛物线在直线 l 1， l 2之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐 标为 y 0，直接写出 y 0与n之间的函数关系式，并写出自变量n的取值范围． 【分析】（1）①运用配方法将抛物线解析式变形为顶点式，可得抛物线顶点和对称轴，再结合题意求出 点P， Q 的坐标即可求得 PQM 的面积； ②用m表示P， Q 的坐标，然后列不等式即可得到答案； 1 1 m m ③根据题意可得：当 2 时， Q 点的纵坐标比P点的纵坐标大4，当 2时， Q 点的纵坐标比P点的纵坐标小4，据此可求出点P的坐标； y （2）分情况讨论，注意点P在 轴右侧和左侧时情况不同，找到不同情况下最高点即可． yx2 2x3(x1)2 4 【解析】（1）① ， 该抛物线的对称轴为直线x1，顶点 (1,4) ， 点M 在这条抛物线上， 点P、M 关于直线x1对称，  P， Q 为抛物线 yx2 2x3 上的点， Q Q(1,4) 点 即为抛物线顶点， ， 底边PM 2， 点P的横坐标为0， 当x0时， y3 ， P(0,3) ， 点 Q 到PM 的距离为1， 1 S  211 PQM 2 ； P(m,m2 2m3) Q(m1,m2 4) ②由题意，得： ， ， 设P， Q 两点的纵坐标分别为了 y 1， y 2， y m2 2m3 y m2 4 y  y 1 ， 2 ，且 1 2， 当 y 1  y 2时，有m2 2m3m2 4， 1 m 解得： 2 ， 当 y 1  y 2时，有m2 2m3m2 4， 1 m 解得： 2，1 m 当 2 时， y 1  y 2， 1 m 当 2时， y 1  y 2． 1 m ③由题意知：当 2 时， Q 点的纵坐标比P点的纵坐标大4， 1 m 当 2时， Q 点的纵坐标比P点的纵坐标小4， P， Q 两点的坐标分别为 P(m,m2 2m3) ， Q(m1,m2 4) ， 1 m 当 2 时，m2 2m34m2 4， 3 m 解得： 2， 3 9 (  ) 点P的坐标为 2， 4 ； 1 m 当 2时，m2 2m3m2 44， 5 m 解得： 2， 5 7 ( ) 点P的坐标为 2，4 ； 3 9 5 7 (  ) ( ) 综上所述，点P的坐标为 2， 4 或 2，4 ． Q （2）点 的横坐标是点P的横坐标的2倍， 点 Q 的横坐标为2n2， 由等腰三角形可知点N的横坐标为 2n2[2n2(n1)]3n3 ， 抛物线 yx2 2nx3n 的对称轴为直线xn， 当n1n3n3时，直线 l 1， l 2之间的部分（包括端点）的最高点为顶点， Q 又 P， 两点的纵坐标不能相等，2n2nn(n1) ，即n3， 3 n 当 2 ，且n3时， y 0 n2 3n ， 当n10时，P点在 y 轴左侧，此时最高点即为点P， 当n1时， y 0 n2 3n1 ， 当n3n3，且P点在 y 轴右侧时，最高点即为点N， 3 1n� 当 2时， y 0 3n2 15n9 ， 3 3 1n� n 综上所述，当 n1时， y 0 n2 3n1 ，当 2时， y 0 3n2 15n9 ，当 2 ，且 n3时， y n2 3n 0 ． 3．（2021•长沙模拟）定义：若函数 yx2 bxc(c0) 与x轴的交点A，B的横坐标为 x A， x B，与 y 轴 的交点C的纵坐标为 y C，若 x A， x B中至少存在一个值，满足 x A  y C（或 x B  y C ) ，则称该函数为“M 函 数”．如图，函数 yx2 2x3 与x轴的一个交点 A的横坐标为3，与 y 轴交点C的纵坐标为3，满足 x A  y C，则称 yx2 2x3 为“M 函数”． （1）判断 yx2 4x3 是否为“M 函数”，并说明理由； （2）请探究“M 函数” yx2 bxc(c0) 表达式中的b与c之间的关系； （3）若 yx2 bxc 是“M 函数”，且ACB为锐角，求c的取值范围．【分析】（1）求出函数 yx2 4x3 与坐标轴的交点，可直接根据“M 函数”的定义进行判断； （2）当x0时， yc ，即与 y 轴交点的纵坐标为c，将 (c,0) 代入 yx2 bxc ，即可求出b与c之间的 关系； （3）分情况讨论：①当C在 y 轴负半轴上时，画出草图，求出函数与 x轴的一个交点为 (1,0) ，则 ACO45，所以只需满足BCO45，即可判断c的取值范围；②当C在 y 轴正半轴上，且A与B不 重合时，画出草图，显然都满足ACB为锐角，即可写出c的取值范围；③当C与原点重合时，不符合题 意． 【解析】（1） yx2 4x3 是“M 函数”，理由如下： 当x0时， y3 ；当 y0 时，x1或3， yx2 4x3 与x轴一个交点的横坐标和与 y 轴交点的纵坐标都是3， yx2 4x3 是“M 函数”； （2）当x0时， yc ，即与 y 轴交点的纵坐标为c，  yx2 bxc 是“M 函数”， xc时， y0 ，即 (c,0) 在 yx2 bxc 上， 代入得：0c2 bcc，0c(cb1) ， 而c0， bc1； （3）①如图1，当C在 y 轴负半轴上时， 由（2）可得：cb1，即 yx2 bxb1 ， 显然当x1时， y0 ， 即与x轴的一个交点为 (1,0) ， 则ACO45， 只需满足BCO45，即BOCO， c1； ②如图2，当C在 y 轴正半轴上，且A与B不重合时， 显然都满足ACB为锐角， c0，且c1；③当C与原点重合时，不符合题意， 综上所述，c1或c0，且c1． 4．（2019•东湖区校级开学）寻找神奇点！每条抛物线内都有一个神奇的点F （也叫焦点），还有一条与 之配套的直线！（也叫准线），使得抛物线上的每个点到F 的距离等于到直线l的距离．如图，对于抛物 线上任意一点D，都有DF DH ． 根据以上知识，我们来完成以下问题： （1）因为抛物线是轴对称图形，由对称性可知这个神奇的点F 应在抛物线的 对称轴 上，且准线l一定 与对称轴垂直即l MN （对称轴）． （2）若准线l与对称轴MN 交于E，则PE 、PF 的数量关系是PE PF （填、、 ) ， （3）求抛物线 y(x2)2 4 的神奇点（焦点）F 的坐标．（为了老师阅卷方便，请大家统一设 PF c) ． 【分析】（1）抛物线是轴对称图形，则点E应该在抛物线的对称轴上，即可求解； （2）点P应该为EF 的中点，故答案为：； （3）设PF c，点 P(2,4) ，则点 F(2,4c) ，直线 l:yc4 ，则 DF2 (x2)2 [(x2)244c]2 ， 而 HD2 [c4(x2)2 4]2 ， DF DH ，则 (x2)2 [(x2)2 44c]2 [c4(x2)2 4]2 ，即可 求解． 【解析】（1）抛物线是轴对称图形，则点E应该在抛物线的对称轴上， 故答案为：对称轴； （2）点P应该为EF 的中点， 故答案为：；（3）设PF c，点 P(2,4) ，则点 F(2,4c) ， l:yc4 直线 ， DF2 (x2)2 [(x2)244c]2 则 ， HD2 [c4(x2)2 4]2 而 ， DF DH ，则 (x2)2 [(x2)2 44c]2 [c4(x2)2 4]2 ， 化简得：12c2c， 1 c 解得： 4， 15 F(2, ) 故点 4 ． yx2 4x3 yx1 5 ． （ 2021• 长 丰 县 模 拟 ） 对 于 二 次 函 数 和 一 次 函 数 ， 我 们 把 yt(x2 4x3)(1t)(x1) 称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作 A(1,0) B(2,n) 抛物线E．现有点 和抛物线E上的点 ，请完成下列任务： 【尝试】 7 9 (  ) （1）当t 2时，抛物线 yt(x2 4x3)(1t)(x1) 的顶点坐标为 4， 8 ． （2）判断点A是否在抛物线E上； （3）求n的值． 【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，定点的坐标为． y3x2 8x5 yx2 4x3 yx1 【应用】二次函数 是二次函数 和一次函数 的一个“再生二次函 数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由． 7 x 【分析】【尝试】（1）t 2时， y2(x2 4x3)(12)(x1)2x2 7x5 ，函数的对称轴为： 4 ， 即可求解； （2）当x1时， yt(x2 4x3)(1t)(x1)0 ，即可求解； （3）x2时， n yt(x2 4x3)(1t)(x1)1 ，即可求解 【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，即可求解； y3x2 8x5t(x2 4x3)(1t)(x1) 【应用】由题意得： ，即可求解． 【解析】【尝试】 （1）t 2时， y2(x2 4x3)(12)(x1)2x2 7x5 ， 7 7 9 x (  ) 函数的对称轴为： 4 ，故顶点的坐标为： 4， 8 ， 7 9 (  ) 故答案为： 4， 8 ； （2）当x1时， yt(x2 4x3)(1t)(x1)0 ， 故点A在抛物线E上； （3）x2时， n yt(x2 4x3)(1t)(x1)1 ； 【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点， (1,0) (2,1) 定点坐标为： 和 ， (1,0) (2,1) 故答案为： 和 ； 【应用】是，理由：y3x2 8x5t(x2 4x3)(1t)(x1) 由题意得： ， 化简并整理得：t 3． 6．（2021春•岳麓区校级期末）有一组邻边相等的凸四边形叫做“乐学四边形”，如菱形，正方形等都是 “乐学四边形”，这一组相等的邻边叫做“善思线段”．抛物线 yax2 bxc 与x轴交于 A、B两点 （点A在点B的左侧），与 y 轴交于点C，抛物线的顶点为点D． 3 3 a b （1）当 16， 2，c5，请判断四边形COBD是否为“乐学四边形”，如果是，请说明理由并指 出“善思线段”，如果不是，请说明理由． 16 6 S  （2）在第（1）问的条件下，试探究在第一象限内，抛物线上是否存在一点E使得 ABE 3 ，若存在， 请求出点E的横坐标，若不存在，请说明理由． （3）四边形COBD为“乐学四边形”，且CDOC．抛物线还满足： ①a0，ab0，c2； ②ABD为等腰直角三角形； 10505 t�m 点 P(x 0， y 0 ) 是抛物线 yax2 bxc 上任意一点，且 t  y 0  3x 0．若 8084 恒成立，求m的最小 值． 8 6 8 6 A(4 B(4 【分析】（1）先求得 3 ， 0) ， 3 ， 0) ， C(0,5) ， D(4,8) ，由勾股定理得CD5，运用 新定义“乐学四边形”，“善思线段”即可得出答案． 1 S  ABEH （2）过点 E作 EH x轴于点 H ，连接 AE， BE ，利用 ABE 2 ，求出 EH ，令 y2 ，得3  (x4)2 82 16 ，解方程即可． b 8ab2 ( ) （3）在抛物线 yax2 bx2 中，顶点 D的坐标为 2a ， 4a ， C(0,2) ，根据CDOC．可得 b 8ab2 8ab2 1 b2 8a ( 0)2 ( 2)2 22   2a 4a ①，根据ABD为等腰直角三角形，可得 4a 2 a ②，联立 1 2 3 1 2 3 a b y x2  x2 ①②，且 ab0，解得 3， 3 ，得出抛物线解析式为 3 3 ，进而可得 1 3 9 3 9 t  y  3x  (x  )2  x  0 0 3 0 2 4 ，运用二次函数性质可得：当 0 2 时，t有最大值4 ，再结合题意求 解即可得出答案． 【解析】（1）四边形COBD是“乐学四边形”， OC ，CD是“善思线段”． 理由如下： 3 3 3 3 a b y x2  x5 当 16， 2，c5时， 16 2 ， 3 3  x2  x50 令 y0 ，得 16 2 ， 8 6 8 6 x 4 x 4 解得： 1 3 ， 2 3 ， 令x0，得 y5 ， 8 6 8 6 A(4 B(4 3 ， 0) ， 3 ， 0) ， C(0,5) ， 3 3 3 y x2  x5 (x4)2 8  16 2 16 ， D(4,8) 顶点 ， OC 5， CD (40)2 (85)2 5  ， OC CD， 四边形COBD是“乐学四边形”， OC ，CD是“善思线段”．（2）存在．点E的横坐标为44 2 ． 过点E作EH x轴于点H ，连接AE，BE ， 1 16 6 S  ABEH  则 ABE 2 3 ， 8 6 8 6 16 6 AB4 (4 )  3 3 3 ， EH 2， 点E在第一象限内， 点E的纵坐标为2， 3  (x4)2 82 令 y2 ，得 16 ， x 44 2 x 44 2 解得： 1 ， 2 （舍去）， 点E的横坐标为44 2 ． b 8ab2 ( ) （3）在抛物线 yax2 bx2 中，顶点D的坐标为 2a ， 4a ， C(0,2) ，  CDOC． CD2 OC2 ． b 8ab2 ( 0)2 ( 2)2 22 2a 4a ①，  ABD为等腰直角三角形，过点D作DK  AB于点K， 1 DK  AB 2 ， 在 yax2 bx2 中，令 y0 ，得ax2 bx20， b b2 8a b b2 8a x  x  解得： 1 2a ， 2 2a ， b b2 8a b b2 8a A( B( 2a ， 0) ， 2a ， 0) ，b b2 8a b b2 8a b2 8a AB   2a 2a a ， 8ab2 DK   4a ， 8ab2 1 b2 8a    4a 2 a ②， 联立①②，且ab0， 1 2 3 a b 得 3， 3 ， 1 2 3 y x2  x2 抛物线解析式为 3 3 ， 1 2 3 1 3 1 3 9 t  y  3x  x2  x 2 3x  x2  x 2 (x  )2  0 0 3 0 3 0 0 3 0 3 0 3 0 2 4， 3 9 x  当 0 2 时，t有最大值4 ， 10505 t�m  8084 恒成立， 10505 t �m 最大值 8084 ， 9 10505 �m  4 8084 ， 9 10505 9202110505 1921 m�    4 8084 8084 2021， 1921 m的最小值为2021． 7．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 y 是 x的函数，对于这个函数图象上的一点 A(a,b) 和给定的实数t(t 0) ．若这个函数在 a剟x at 上有定义且满足：当 a剟x at 时，函数值 y 的最大值M 与最小值m的 差M mt，就称这个函数满足性质 (A,t) ． 如图，对于函数 yx ，给定其图象上的点 O(0,0) 和t 1，在 0剟x 1 上函数值 y 的最大值M 1，最小值 m0，满足，M mt，因此函数 yx 满足性质 (O,1) ． yx2 (O,1) （1）根据定义，判断函数 是否满足性质 ，并说明理由；  1  x,x�0 y 2 （2）已知函数  kx,x0 ，点M 的坐标为 (2,1) ，若这个函数满足性质 (M,3) ，结合函数图象，求 k的值； 1 1 y x2 y x2 （3）点P为二次函数 2 图象上的动点，若存在唯一的t 0，使得函数 2 满足性质 (P,t) ，直 接写出点P的横坐标m的取值范围． 【分析】（1）运用新定义，使函数 yx2 满足性质 (O,1) ，即在 0剟x 1 时， yx2 的最大值与最小值的差 为1，即可得出答案； （2）根据新定义，函数满足 (M,3) ，即 M m3，且在范围 2剟x 1 内，分四种情况讨论：①当 1 1 剟k 1 0�k  2 时，②当k 1时，③当k 0时，④当 2时，分别运用新定义求解即可； 1 1 m2 b m2 （3）点P的横坐标为m，纵坐标为2 ，即am， 2 ，运用新定义分三种情况：①当m0时， (mt)2 1 M  m m2 最大值 2 ，最小值 2 ，得出2t 2mtt2 ，由t 0，建立不等式求解即可；②当mt0时，③当原点在 m剟x mt 中时，即m0且mt 0时，仿照①的方法即可求解． 【解析】（1）已知 O(0,0) ，即a0，b0， (O,1)  ， t 1， at 1， 根据新定义可知，若使函数 yx2 满足性质 (O,1) ，即在 0剟x 1 时， yx2 的最大值与最小值的差为1， 显然，当x1时， y1 ，当x0时， y0 ，即在 0剟x 1 时， yx2 的最大值为1，最小值为0， 故101t， yx2 (O,1) 函数 满足性质 ． （2）已知 M(2,1) ，即a2，b1， (M,3)  ， t 3， 根据新定义，函数满足 (M,3) ，即M m3，且在范围 2剟x 1 内， 1 剟k 1 ①当2 时，最大值M 1，最小值m0，不符合题意，舍去； ②当k 1时，最大值M k ，最小值m0，即k03， k 3； ③当k 0时，最大值M 1，最小值mk ，  M m1k 3， k 2； 1 0�k  ④当 2时，最大值M 1，最小值m0，M m101，不符合题意，舍去； 综上所述，k的值为2或3． 1 1 m2 b m2 （3）点P的横坐标为m，纵坐标为2 ，即am， 2 ， 1 y x2 且由函数 2 满足性质 (P,t) ，可得 m剟x mt ，(mt)2 1 M  m m2 ①当m0时，最大值 2 ，最小值 2 ， (mt)2 1 2mtt2 M m  m2  2 2 2 ， 2mtt2 t  2 ，即2t 2mtt2 ，  t 0， 22mt ，即t 22m， 由t 0，得22m0， m1， 0m1； 1 (mt)2 1 (mt)2 2mtt2 M  m2 m M m m2   ②当mt0时，最大值 2 ，最小值 2 ， 2 2 2 ， 2mtt2 t  即 2 ，同理t 2m2成立， 由t 0，得2m20， m1且mt； ③当原点在 m剟x mt 中时，即m0且mt 0时， t m 由 |mt||m| ，得 2， (mt)2 M  2 ，m0， (mt)2 t  2 ，此时t值不唯一； 综上所述，当0t1时，m的取值范围为：m1或0m1，当t 1时，m的取值范围为：mt或 0m1． 8．（2020•天心区校级模拟）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M 0，对于任意的函数值 y ，都 满足 M剟y M ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值． 例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1． 1 y (x0) （1）分别判断函数 x 和 yx2(4剟x 2) 是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值； （2）若函数 yx2(a剟x b,ba) 的边界值是3，且这个函数的最小值也是3，求b的取值范围；（3）将函数 yx2(1剟x m,m�0) 的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围 3 剟t 1 时，满足4 ？ 1 y (x0) 【分析】（1）在x的取值范围内， x 的 y 无最大值，不是有界函数； yx2(4剟x 2) 是有界 函数，其边界值是4； （2）由一次函数的增减性，可得当xa时， y max 3 ，当xb时， yb2 ，由边界值定义可列出不等 式，即可求解； （3）先设m1，函数向下平移m个单位后，x0时， ym1 ，此时边界值t 1，与题意不符，故 m�1 yx2 ，判断出函数 所过的点，结合平移，即可求解． 1 y (x0) 【解析】（1）  x 的 y 无最大值， 1 y x 不是有界函数； yx2(4剟x 2)  是有界函数， 当x4时， y2 ， 当x2时， y4 ， 对于 4剟x 2 时，任意函数值都满足 4 y�4 ， 边界值为4；（2） yx2 ， y 随x的增大而减小， 当xa时， y max 3 ，当xb时， yb2 ， 边界值是3，ba， 3� b23 ， 1b�5 ； （3）若m1，图象向下平移m个单位后，x0时， ym1 ，此时函数的边界值t 1，不合题意， m�1 故 ． 函数 yx2(1剟x m,m�0) ，当x1时， y max 1 ，当x0时， y min 0 ， 向下平移m个单位后， y max 1m ， y min m ， 3 剟t 1 边界值4 ， 3 3 剟1m 1 1剟m   4 互 4， 1 3 0剟m 剟m 1 4 或4 ． 9．（2020秋•崇川区校级月考）把函数 C 1 :yax2 2ax3a(a0) 的图象绕点 P(m,0) 旋转180，得到新 函数 C 2的图象，我们称 C 2是 C 1关于点P的相关函数， C 2图象的对称轴与x轴交点坐标为 (t,0) ． （1）若a1，m0时， C 1的相关函数 C 2为 yx2 2x3 ； （2）t的值为 （用含m的代数式表示）； 1 剟x t （3）若a1，当2 时，函数 C 1的最大值为 y 1，最小值为 y 2，且 y 1  y 2 1 ，求 C 2的解析式． C C 【分析】（1）求出函数 1与函数 2的对应顶点坐标，即可求解； （2）顶点 (1,4a) 绕点 P(m,0) 旋转180后，对应顶点坐标分别为 (1,4a) 、 (2m1,4a) ，即可求t 2m1；1 3 3 �t1 1剟t t  （3）分三种情况讨论：①当2 时；②当 2时；③当 2 时，分别求出符合条件的t即可求解． yax2 2ax3aa(x1)2 4a 【解析】（1） ， (1,4a) 顶点坐标为 ， 当a1时，顶点坐标为 (1,4) ， 旋转后的函数顶点坐标为 (1,4) ， y(x1)2 4x2 2x3 ， yx2 2x3 故答案为 ； C (1,4a) （2）函数 1的顶点坐标为 ， 顶点 yax2 2ax3a(a0) 的图象绕点 P(m,0) 旋转180后的顶点坐标为 (2m1,4a) ，  C 2图象的对称轴与x轴交点坐标为 (t,0) ， t 2m1， 故答案为t 2m1； （3） a1， yx2 2x3 ， 函数的对称轴为x1， 1 �t1 ①当2 时，xt时，有最大值 y 1 t2 2t3 ， 1 15 x y  2 时，有最小值 2 4 ， y  y 1  1 2 ， 15 t2 2t3 1 4 ， t 无解；3 1剟t ②当 2时，x1时，有最大值 y 1 4 ， 3 15 x y  2 时，有最小值 2 4 ， 1 y  y  1 2 4 ，不符合题意； 3 t  ③当 2 时，x1时，有最大值 y 1 4 ， xt时，有最小值 y 2 t2 2t3 ， y  y 1  1 2 ， 4t2 2t31， t 2或t 0（舍 ) ， C yx2 4x 2的解析式 ． 10．（2019秋•大连期中）定义：将函数l的图象绕点 P(m,0) 旋转180，得到新的函数l的图象，我们称 函数l是函数l关于点P的相关函数． 例如：当m2时，函数 y(x1)2 2 关于点 P(2,0) 的相关函数为 y(x3)2 2 ． （1）当m0时， ①一次函数 yx3 关于点P的相关函数为 yx3 ； 6 A(1, ) ②点 5 在二次函数 y2ax2 4ax1(a0) 关于点P的相关函数的图象上，求a的值； （2）函数 y2(x1)2 3 关于点P的相关函数是 y2(x7)2 3 ，则m ； （3）当 m1剟x m2 时，函数 yx2 3mxm2 关于点 P(m,0) 的相关函数的最大值为9，求m的值． 【分析】（1）①一次函数关于原点对称后k值不变，b值变为相反数． ②先求出二次函数关于原点对称后的解析式，然后将点A坐标代入求解． （2）分别求出两函数图象的顶点坐标，两顶点中点即为点P，进而求m的值． （3）讨论抛物线对称轴与直线xm1和直线xm2的位置关系，分别得到抛物线最高点，利用其纵坐标为9列方程即可解决问题． 【解析】（1）将函数l的图象绕点 P(m,0) 旋转180，得到新的函数l的图象，我们称函数l是函数l关 于点P的相关函数， 当m0时，函数l与l关于原点对称， yx3 yx3 ①一次函数 关于原点对称后的解析式为 ， yx3 故答案为： ； ②二次函数 y2ax2 4ax1(a0) 关于点P的相关函数为 y2ax2 4ax1 ， 6 6 A(1, ) 2a4a1 把点 5 代入 y2ax2 4ax1 得5 ， 1 a 解得 10； 2(x1)2 3 (1,3) y2(x7)2 3 (7,3) （2）函数 的顶点坐标为 ， 的顶点为 ， (1,3) (7,3) (3,0) 而点 与 的中点坐标为 ， m3， 故答案为：3． yx2 3mxm2 P(m,0) yx2 mxm2 （3）函数 关于点 的相关函数为 ， m 5 m 5 yx2 mxm2 (x )2  m2 ( m2) 抛物线 2 4 ，顶点坐标为 2 ，4 ， 抛物线开口向下， m m2� 当 2 时，即 m� 4 时，抛物线上最高点为直线xm2与抛物线交点， m 5 y(x )2  m2 把xm2代入 2 4 得 ym2 2m4 ， 当m2 2m49时， 解得m1 14 （舍 ) 或m1 14 （舍 ) ， 1 m�m1 当2 时，即 m�2 时，图象最高点为直线xm1与抛物线交点，m 5 y(x )2  m2 把xm1代入 2 4 得 ym2 m1 ， 当m2 m19时， 1 41 1 41 m m 解得 2 或 2 （舍 ) ， m m1 mm2 当 2 时，即4m2时，抛物线顶点为最高点， 5 m2 9 当4 时， 6 5 6 5 m m 解得 5 （舍 ) 或 5 ， 1 41 6 5  综上所述，m的值为 2 或 5 ． yax2 bxc (a 0 a b c 11．（2020秋•岳麓区校级月考）定义：如果二次函数 1 1 1 1 ， 1、 1、 1是常数）与 ya x2 b xc (a 0 a b c a a 0 b b c c 0 2 2 2 2 ， 2、 2、 2是常数）满足 1 2 ， 1 2， 1 2 ，则这两个函数互为 “旋转函数”．请解决下列问题： yx2 2x1 （1）求出二次函数 的旋转函数的顶点坐标； （2）若二次函数 y 1 x2 (m8n)x16 与 y 2 x2 6x2n7m 互为“旋转函数”，直线l与函数 y 1， y 2 的图象都只有一个公共点，求 (mn)2020 的值以及直线l的解析式； （3）在平面直角坐标系中，坐标原点为O，已知点 P(2,0) ， p 与 y 轴相切，交x轴正半轴于点A，点B 在 p 上，且BAO30，△AOB与AOB关于原点对称，若两个二次函数的图象分别经过 A、O、 B与A、O、B三点，求证：这两个二次函数互为“旋转函数”． a 1 b 2 c 1 a 1 【分析】（1）根据二次函数解析式得出 1 ， 1 ， 1 ，结合“旋转函数”的定义求出 2 ， b 2 c 1 2 ， 2 ，即可求得答案；（2）根据二次函数 y 1 x2 (m8n)x16 与 y 2 x2 6x2n7m 互为“旋转函数”，即可求出m，n的 值，代入 (mn)2020 求值即可，设直线l的解析式为 ykxb ，由直线l与函数 y 1， y 2的图象都只有一个 公共点，利用一元二次方程根的判别式即可求得答案； （3）根据题意可求出求得过点A，B，O的函数解析式和过点A，B，O的二次函数解析式，即可证得 结论． yx2 2x1 a 1 b 2 c 1 【解析】（1）由二次函数 可知， 1 ， 1 ， 1 ， a a 0 b b c c 0  1 2 ， 1 2， 1 2 ， a 1 b 2 c 1 2 ， 2 ， 2 ， 函数 yx2 2x1 的“旋转函数”为 yx2 2x1 ； 顶点坐标为 (1,0) ； y x2 (m8n)x16 y x2 6x2n7m （2） 1 与 2 互为“旋转函数”， m8n6  2n7m16 ， m2  解得：n1 ， (mn)2020 (21)2020 1 ， y x2 6x16 y x2 6x16 1 ， 2 ； 设直线l的解析式为 ykxb ， 则x2 6x16kxb与x2 6x16kxb都有两个相等的实数根， k 2 k 14 1 2   b 1 0 ，b 2 0 ，直线l的解析式为 y2x 或 y14x ； （3）证明：由题意得：点A的坐标为 (4,0) ，点O的坐标为 (0,0) ， 点B的坐标为 (1, 3) 或 (1, 3) ， 点A，B关于原点的对称点分别是A，B， A(4,0) B(1, 3) (1, 3) ， 或 ， 3 4 3 3 4 3 y  x2  x y  x2  x 可求得过点A，B，O的函数解析式为 1 3 3 或 1 3 3 ， 3 4 3 3 4 3 y  x2  x y  x2  x 过点A，B，O的二次函数解析式为 2 3 3 或 2 3 3 ， 3 4 3 3 4 3 a  b  a  b  1 3 ， 1 3 ， c 1 0 ， 2 3 ， 2 3 ， c 2 0 ， 3 4 3 3 4 3 a  b  a  b  或者 1 3 ， 1 3 ， c 1 0 ， 2 3 ， 2 3 ， c 2 0 ， a a 0 b b c c 0 1 2 ， 1 2， 1 2 ， 经过A，O，B与A，O，B三点的两个二次函数互为“旋转函数”． 12．（2020春•天心区月考）对于一次函数 ykxb(k ，b为常数）经过二次函数 yax2 bxc(a 、b、 c为常数）的顶点，我们把 yt(ax2 bxc)(1t)(kxb) 称为这两个函数的“生成函数”，其中t为常数． yxm ya(x2)2 3 （1）若一次函数 和二次函数 的“生成函数”图象是一根直线，求其“生成函 数”解析式； 4 y （2）若二次函数 yax2 bxc 的顶点在反比例函数 x 的图象上，它与一次函数 y2x6 的“生成 函数”的图象为抛物线，且经过点 (3,0) ，求a的值； （ 3 ） 二 次 函 数 yx2 bxc 的 最 小 值 为 t， 一 次 函 数 yx1 与 “ 生 成 函 数 ” yt(x2 bxc)(1t)(x1) 图象交于两个不同的点 A，B，若 OAB(O 为原点）为等腰三角形，求t的值． yt[a(x2)2 3](1t)(xm) 【分析】（1）由题意得：“生成函数”解析式为： ，由于该函数图象是一 根直线， 可得x2 前面的系数必须为0，根据 yax2 bxc 为二次函数，可得a0，进而得出t 0，即可求得答案； yax2 bxc y2x6 （ 2 ） 根 据 题 意 可 得 二 次 函 数 与 一 次 函 数 的 “ 生 成 函 数 ” 为 ： yt[a(x1)2 4](1t)(2x6) ，当顶点为 (1,4) 时， ya(x1)2 4 ，由图象经过点 (3,0) ，可得a1； 当顶点为 (2,2) 时，同理可得a2； b t  1 （3）由二次函数 yx2 bxc 的最小值为t，可得 2 ，再根据OAB为等腰三角形，进行分类讨 论即可． yt[a(x2)2 3](1t)(xm) 【解析】（1）由题意得：“生成函数”解析式为： ，  ya(x2)2 3 为二次函数，故a0， 该函数图象是一根直线， x2 前面的系数必须为0， t 0， yxm ya(x2)2 3 一次函数 经过二次函数 的顶点， 32m， m1， 二次函数 ya(x2)2 3 的“生成函数”的解析式 yx1 ； y2x6 yax2 bxc （2）由定义可知一次函数 过二次函数 的顶点， y2x6   4 x 1 1 x 2 2 y   由   x 解得：y 1 4 ，y 2 2 ，当顶点为 (1,4) 时， ya(x1)2 4 ， yax2 bxc y2x6 二次函数 与一次函数 的“生成函数”为： yt[a(x1)2 4](1t)(2x6) ， 图象为抛物线， t 0， (3,0) 又图象经过点 ， t[a(31)2 4](1t)(236)0 ， 解得a1； (2,2) ya(x2)2 2 当顶点为 时， ， yax2 bxc y2x6 二次函数 与一次函数 的“生成函数”为： yt[a(x2)2 2](1t)(2x6) ， 图象为抛物线， t 0， (3,0) 又图象经过点 ， t[a(32)2 2](1t)(236)0 ， 解得：a2． 综上所述，a1或a2； （3）二次函数 yx2 bxc 的最小值为t， 1 b t c b2 x 4 ，此时， 2 ， b 1  1c b2  2 4 ， 1 b c b2  1 4 2 ，b t  1 2 ， 一次函数 yx1 与“生成函数” yt(x2 bxc)(1t)(x1) 图象交于两个不同的点A，B， t(x2 bxc)(1t)(x1)x1 ， b b x  x 1 解得： 1 2 ， 2 2 ， b b b b A( 1 ) B(1 2 ) 2， 2 ， 2 ， 2 ，  O为原点， b b 1 b b 1 OA2 ( )2 (1 )2  b2 b1 OB2 (1 )2 (2 )2  b2 3b5 2 2 2 ， 2 2 2 ， b b b b AB2 [(1 )( )]2 [(2 )(1 )]2 2 2 2 2 2 ，  OAB为等腰三角形， OAOB或OA AB或OB AB， 1 1 b2 b1 b2 3b5 当OAOB时，2 2 ，解得：b2， t 0； 1 b2 b12 当OA AB时，2 ，解得：b1 3或1 3， 31 1 3 t 2 或 2 ； 1 b2 3b52 当OB AB时，2 ，解得：b3 3或3 3， 31 31 t   2 或 2 ； 31 1 3 31 31  综上所述，t的值为0或 2 或 2 或 2 或 2 ． 13．（2021•海淀区校级开学）在平面直角坐标系 xOy 中，对于已知的点P， Q ，过点P分别作x轴和 y 轴的垂线 l 1， l 2，记点 Q 到直线 l 1的距离为 d 1，点 Q 到直线 l 2的距离为 d 2，若 d 1 �d 2，则点 Q 到点P的“特征距离”为 d 1，若 d 1 d 2，则点 Q 到点P的“特征距离”为 d 2． A(1,2) （1）已知点 ①点 B(2,3) 到点A的“特征距离”为 3 ； ②点C在函数 yx2 的图象上，若点C到点A的“特征距离”为1，则点C的坐标为 ； （2）已知点 P(3,4) ，点 E(a,0) ， F(0,b) 为平面内的动点，其中a，b均为非负数，且满足EF 2．以 EF 为边作正方形 EFGH(E 、F 、G、H 按顺时针方向排列），记线段GH 上一动点 Q 到点P的“特征 距离”为t，直接写出t的最大值和最小值，以及相应的H 点的坐标． 【分析】（1）①点 B(2,3) 到直线x1的距离为 |21|3 ，到直线 y2 的距离为321，即得点B到 点A的“特征距离”为3；②设点C坐标为 (m,m2) ，当 |m1|1 时，可得m2或m0，检验均不符合题 意．当 |m2 2|1 时，得m 3或m 3或m1或m1，检验可知当m 3，m1时，满足题意， 故点C坐标为 ( 3 ， 3) 或 (1,1) ． （2）画出图形可知，当 H 在 x轴上， Q 与 H 重合时， Q 到点 P的“特征距离”最大，此时t 4， H(2,0) ；当G到PM 、PN 距离相等时， Q 与G重合， Q 到点P的“特征距离”最小，过 Q 作SW //x轴 交 y 轴于S，交PM 于W ，过 Q 作 QT PN 于T ，过H 作HRx轴于R，可证HREEOF ，同理 FSQEOF ，即得 HROEFS ， EROF SQ ，设 HROE FS x， EROF SQ y ，根据 QT PT ，可得x1，即HROE1，ER EF2 HR2  3，即可得 H(1 3 ， 1) ，t 3 3．【解析】（1）①点 B(2,3) 到直线x1的距离为 |21|3 ，到直线 y2 的距离为321，  31， 点B到点A的“特征距离”为3． 故答案为：3． ②设点C坐标为 (m,m2) ， 当 |m1|1 时，解得m2或m0， 而此时m2 4或m2 0， |42|21 |02|21 且 ，不符合题意， ，不符合题意． 当 |m2 2|1 时，解得m 3或m 3或m1或m1， 当m 3时， 311，满足题意， 当m 3时， | 31|1 ，不满足题意， 当m1时， |11|1 ，符合题意， 当m1时， |1(1)|1 ，不符合题意． 综上所述，点C坐标为 ( 3 ， 3) 或 (1,1) ． ( 3 3) (1,1) 故答案为： ， 或 ． （2）如图： P(3,4) ，点 E(a,0) ， F(0,b) 为平面内的动点，其中a，b均为非负数，且满足EF 2， E 、F 在x轴、 y 轴上运动时，GH 在矩形PMON 内运动，EF FGGH HE2， 根据“特征距离”可知：当H 在x轴上， Q 与H 重合时， Q 到点P的“特征距离”最大，此时t 4， H(2,0) ； 如图： 当E、F 在x轴、 y 轴上运动时，G到PM 、PN 距离相等时， Q 与G重合， Q 到点P的“特征距离”最 小， 过 Q 作SW //x轴交 y 轴于S，交PM 于W ，过 Q 作 QT PN 于T ，过H 作HRx轴于R，  HER90FEOOFE，HRE EOF ，EF EF ， HREEOF(AAS) ， FSQEOF 同理 ， HROE FS， EROF SQ ， 设HROE FS x， EROF SQ y ，则 NS ON OF FS 4x yQT ， PT PN NT 3 y ， QT PT 而 ， 4x y3 y ， 解得x1，即HROE1，RtEHR 中，ER EF2 HR2  3， OR1 3， SQER 3 ， H(1 3 ， 1) ， QW QT 3 3 ，即t 3 3， 综上所述，当 H(2,0) 时， Q 到点P的“特征距离”最大，此时t 4， 当 H(1 3 ， 1) 时， Q 到点P的“特征距离”最小，此时3 3． y2 ax yax2 y2 x yx2 14．（2020秋•如皋市期中）定义： 叫做函数 的“反函数”．比如： 就是 的 yax2(a0 (m,n) “反函数”．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数 的常数），若点 在函 yax2 (m,n) y 数 的图象上，则点 也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于 轴对称． 根据上面的定义和提示，解答下列问题： （1） y2 x 的图象的对称轴是 x轴 ； y2x2 （2）①直接写出函数 的“反函数”的表达式为 ； y2x2 ②在如图所示的平面直角坐标系中画出 的“反函数”的大致图象； （3）若直线 ykx4k(k 0) 与x轴交于点 A，与 y 轴交于点B，与 y2x2 的“反函数”图象交于C、 D两点（点C的横坐标小于点D的横坐标），过点D作DE x轴，垂足为点E，若AOBAED，求k 的值．(m,n) yax2 (m,n) 【分析】（1）若点 在函数 的图象上，则点 也在其图象上，即从数的角度可以知道它 的图象关于x轴对称，即可求解； （2）①由“反函数”的定义即可求解；②通过函数表达式，取值描点连线，即可画出函数的大致图象； （3）求出点 A(4,0) ，点 B(0,4k) ，由AOBAED，求出点 D(8,4k) ，进而求解． (m,n) yax2 (m,n) 【解析】（1）若点 在函数 的图象上，则点 也在其图象上，即从数的角度可以知道它 的图象关于x轴对称， 故答案为x轴； y2 2x （2）①由“反函数”的定义知， ， y2 2x 故答案为 ； ②函数的大致图象如下：（3）对于 ykx4k ，令 ykx4k 0 ，解得x4，令x0，则 y4k ， A(4,0) B(0,4k) 即点 ，点 ，  AOBAED， OA AE ，DE BO4k， D(8,4k) 则点 ， 将点D的坐标代入 y2 2x 得， (4k)2 28 ， 解得k 1． 15．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等 1 1 y x 值点”．例如，点 (1,1) 是函数 2 2 的图象的“等值点”． yx2 yx2 x （1）分别判断函数 ， 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐 标；如果不存在，说明理由； 3 y (x0) （2）设函数 x ， yxb 的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC x轴，垂足为 C．当ABC 的面积为3时，求b的值；（3）若函数 yx2 2(x�m) 的图象记为 W 1，将其沿直线xm翻折后的图象记为 W 2．当 W 1， W 2两部分组 成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案； 3 y (x0) （2）先根据“等值点”的定义求出函数 x 的图象上有两个“等值点” A( 3 ， 3) ，同理求出 1 1 1 1 1 B( b b)  |b|| 3 b|3 2 ，2 ，根据ABC 的面积为3可得2 2 2 ，求解即可； yx2 2 (1,1) (2,2) （3）先求出函数 的图象上有两个“等值点” 或 ，再利用翻折的性质分类讨论即可． 【解析】（1）在 yx2 中，令xx2，得02不成立， yx2 函数 的图象上不存在“等值点”； 在 yx2 x 中，令x2 xx， x 0 x 2 解得： 1 ， 2 ， 函数 yx2 x 的图象上有两个“等值点” (0,0) 或 (2,2) ； 3 3 y (x0) x （2）在函数 x 中，令 x ， 解得：x 3， A( 3 3) ， ， 在函数 yxb 中，令xxb， 1 x b 解得： 2 ， 1 1 B( b b) 2 ，2 ，  BC x轴， 1 C( b 2 ， 0) ，1 BC  |b| 2 ，  ABC的面积为3， 1 1 1  |b|| 3 b|3  2 2 2 ， 当b0时，b2 2 3b240， 解得b2 3， 当 0�b2 3 时，b2 2 3b240， (2 3)2 4124840 △ ， 方程b2 2 3b240没有实数根， 当 b�2 3 时，b2 2 3b240， 解得：b4 3， 综上所述，b的值为2 3或4 3； （3）令xx2 2， x 1 x 2 解得： 1 ， 2 ， 函数 yx2 2 的图象上有两个“等值点” (1,1) 或 (2,2) ， ①当m1时， W 1， W 2两部分组成的图象上必有2个“等值点” (1,1) 或 (2,2) ， W :yx2 2(x�m) 1 ， W :y(x2m)2 2(xm) 2 ， x(x2m)2 2 令 ， x2 (4m1)x4m2 20 整理得： ，W  2的图象上不存在“等值点”， △0， (4m1)2 4(4m2 2)0 ， 9 m 8， ②当m1时，有3个“等值点” (2,2) 、 (1,1) 、 (2,2) ， ③当1m2时， W 1， W 2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”， ④当m2时， W 1， W 2两部分组成的图象上恰有1个“等值点” (2,2) ， ⑤当m2时， W 1， W 2两部分组成的图象上没有“等值点”， 9 m 综上所述，当 W 1， W 2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时， 8 或1m2． 16．（2021•望城区模拟）定义：在平面直角坐标系 xOy 中，点P的坐标为 (x,y) ，当xm时， Q 点坐标 为 (x,y) ；当 x�m 时， Q 点坐标为 (x,y2) ，则称点 Q 为点P的m分变换点（其中m为常数）．例 (2,3) (2,1) 如： 的0分变换点坐标为 ． k y （1）点 (5,7) 的1分变换点坐标为 (5,7) ；点 (1,6) 的1分变换点在反比例函数 x 图象上，则k  ；若点 (a1,5) 的1分变换点在直线 yx2 上，则a （2）若点P在二次函数 yx2 2x3 的图象上，点 Q 为点P的3分变换点． Q ①直接写出点 所在函数的解析式； Q y5 ②求点 所在函数的图象与直线 交点坐标； ③当 4剟x t 时，点 Q 所在函数的函数值 5剟y 6 ，直接写出t的取值范围．m2 yx2 mx 2 （3）点 A(3,1) ， B(2,1) ，若点P在二次函数 2 的图象上，点 Q 为点P的m分变换点． 当点 Q 所在的函数图象与线段AB有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）根据新定义进行解答便可； （2）①分两种情况：x3； x� 3 ．根据m分变换点的定义求出 Q 点的坐标，进而便可写出点 Q 所在 函数的解析式； y5 Q ②把 代入点 所在的函数解析式中，便可求得交点坐标； ③根据函数的性质进行解答便可； （3）分两种情况：xm和 x�m 求得点 Q 所在的函数解析式，再根据函数的性质求得函数图象与线段AB 的两个公共点，画出函数图象，可得结论． 【解析】（1） 51， (5,7) (5,7) 点 的1分变换点坐标为 ；  11， (1,6) (1,4) 点 的1分变换点为 ， k y 点 (1,6) 的1分变换点在反比例函数 x 图象上， k 1(4)4 ； 当a11，即a2时，点 (a1,5) 的1分变换点为 (1a,5) ， (a1,5) yx2 点 的1分变换点在直线 上， 51a2， a8， a1�1 a�2 (a1,5) (1a,3) 当 ，即 时，点 的1分变换点为 ， (a1,5) yx2 点 的1分变换点在直线 上， 31a2，a6，（不合题意舍去） (5,7) 故答案为： ；4；8； Q(m,n) （2）①设 ， 点 Q 为点P的3分变换点， 当m3， P(m,n) ， nm2 2m3， nm2 2m3， 点 Q 所在函数的解析式为 yx2 2x3(x3) ； m�3 P(m,2n) 当 ， ， 2nm2 2m3， nm2 2m5， 点 Q 所在函数的解析式为 yx2 2x5(x�3) Q yx2 2x3(x3) yx2 2x5(x�3) 故点 所在函数的解析式为 或 ． ②把 y5 代入 yx2 2x3(x3) 得x2 2x35， 解得，x4，或x2（舍 ) ； 把 y5 代入 yx2 2x5(x�3) 得，x2 2x55， 解得，x1 11（舍弃或x1 11， Q y5 (1 11 5) (4,5) 综上，点 所在函数的图象与直线 交点坐标为 ， 或 ． yx2 2x3(x1)2 4(x3) ③ ，y 的最大值为46，且当x3时， y 随x的增大而减小， y5 yx2 2x35(x3) 令 ，得 ， 解得，x2（舍 ) ，x4（舍 ) ； yx2 2x5(x1)2 6(x�3)  ， y 的最大值为6，当 1x�3 时， y 随x的增大而减小，当x1时， y 随x的增大而增大， 令 y5 时，得x2 2x55， 解得，x1 11，x1 11， 当 y0 时，x2 2x50， 解得，x1 6或1 6 （舍弃） 当 1 6剟t 1 11 时，点 Q 所在函数的函数值 5剟y 6 ； 综上，当 4剟x t 时，点 Q 所在函数的函数值 5剟y 6 ，其t的取值范围是 1 6剟t 1 11 ；  m m2 (x )2  2 (xm)  2 4 y P(x,x2 mx m2 2)  (x m )2  m2 4 (x� m) （3）设 2 ，则 Q 是函数解析式为  2 4 ，函数图象，如图 所示（图中实线部分）． m m2 y(x )2  2 当m0时，抛物线 2 4 交 y 轴于 (0,1) 时，m 6或 6 （舍弃）， Q 此时函数 与线段AB只有一个交点， m m2 (2 )2  4� 1 当 2 4 时，满足条件， m� 2 6 m� 2 6 解得， 或 ， 观察图象可知，满足条件的m的值为： 2� 6m 6 ． 当 m�0 时，观察图象可知，不存在满足条件的m的值．综上所述，满足条件的m的值为： 2 6�m 6 ． 17．（2021•中山区一模）定义：点 T(t,0) 是x轴上一点 (t 0) ，函数 C 1的图象与函数 C 2的图象关于点 T(t,0) 中心对称，将这一变换称为“T 变换”．将函数 C 1的图象在直线xt的左侧部分与函数 C 2的图象 y (xt) y 1 在直线xt上及右侧部分组成的新图象记为F ，F 对应的函数为 y 2 (x�t) ． （1）若t 2，函数 C 1图象上的点 (2,3) 经过T 变换后的坐标为 (2,3) ； （2）若函数 C 1为直线 y3x6 ， C 2为直线 y3x9 ，则点T 的坐标为 ； 5 0t� （3）已知 C 1 :yx2 4x3 ，且 2 ． ①若图象F 上的三个点 A(t1,y A ) ， B(t,y B ) ， C(t1,y C ) ，且ABC 的面积为1，求t的值； ②当 t1剟x t2 时，图象F 上的点的纵坐标的最大值与最小值之差为h，求h关于t的函数关系式． (x,y) (x,y) (2,3) (2,0) 【分析】（1）设变换后的坐标为 ，根据定义可知 与 关于 对称，即可求出答案； C (x y ) C (x y ) y 3x 6 y 3x 9 （2）设 1上点为 1， 1 ， 2上点为 2， 2 ，则 1 1 ， 2 2 ，根据定义即可得答案；C (x,y) C (2tx,y) C :y (x2)2 1 （3）①设 2上点的坐标为 ，可得 1上点的坐标为 ，进而可得 1 1 的顶点 (2,1) T(t,0) C :y [x(2t2)]2 1 (2t2,1) A(t1,t2 6t8) 为 ， ， 2 2 ，顶点为 ，根据题意可得 ， B(t,t2 4t3) C(t1,t2 6t8) S 1 ， ，由 ABC ，列方程求解即可； 5 3 5 3 5 0t �t2 2�t ②结合图象可得：当 2 时，h2t2 14t23，当 2 时，h124t ，当 2 时， ht2 8t16． (x,y) 【解析】（1）设变换后的坐标为 ， (x,y) (2,3) (2,0)  与 关于 对称， x2 2   2  y3  0  2 ， x2  解得：y3 ， (2,3) 变换后的坐标为 ， (2,3) 故答案为： ； C (x y ) C (x y ) （2）设 1上点为 1， 1 ， 2上点为 2， 2 ， y 3x 6 y 3x 9 1 1 ， 2 2 ， x x 1 2 t   2  y  y  1 2 0  2 ，x x 1 2 t   2  3x 63x 9  1 2 0  2 ， 1 t  解得： 2 ， 1 T( 2， 0) ； 1 ( 故答案为： 2， 0) ； C (x,y) （3）①设 2上点的坐标为 ， C (2tx,y) 1上点的坐标为 ， (2tx,y) C :y x2 4x3 (2tx)2 4(2tx)3y 将点 代入 1 1 中，得： ， y x2 (4t4)x4t2 8t3[x(2t2)]2 1 2 ， C :y (x2)2 1 (2,1) T(t,0) 1 1 的顶点为 ， ， C (2t2,1) 2的顶点为 ， 令 C 1中xt1，则 y A (t1)2 4(t1)3t2 6t8 ， 令 C 2中xt，则 y B [t(2t2)]2 1t2 4t3 ， 令 C 2中xt1，则 y C [t1(2t2)]2 1t26t8 ，A(t1,t2 6t8) B(t,t2 4t3) C(t1,t2 6t8) ， ， ， 如图1，过点B作BDx轴， D(t,0) ， 由上式知A与C对称， 1 S S S  (x x )|y ||t2 4t3| ABC ABD BCD 2 C A B ， S 1 当 ABC ， t 2 2 t 2 2 t 2 解得 1 ， 2 （大于2.5舍）， 3 t 2 2，或t 2， 5 3 5 3 t  t  ②由t2 6t8t2 4t3解得 1 2 ， 2 2 （舍 ) 5 3 0t 如图2，当 2 时， h(t12)2 1[(t22t2)2 1]2t2 14t23 ， 5 3 �t2 当 2 时， h[(t2t2)2 1][(t22t2)2 1]124t ，5 2�t 当 2 时，函数 F 2上的点对应的值最大为1， F 2上当xt2时对应的值最小为 1(t4)2 ， h11(t4)2 t2 8t16 ，  5 3 2t2 14t23,(0t ) 2   5 3 h124t,( �t2) 2   5 t2 8t16,(2剟t )  2  ． 18．（2020秋•泰兴市期末）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点 P(x,y) 的纵坐标 y 与其横坐标x的 差 yx 称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”． A(2,3) （1）①点 的“坐标差”为 1 ． yx2 5x3 ②抛物线 的“特征值”为 ． （2）某二次函数 yx2 bxc(c0) 的“特征值”为1，点 B(m,0) 与点C分别是此二次函数的图象与 x轴和 y 轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等． ①直接写出m （用含c的式子表示）； ②求此二次函数的表达式． （3）在平面直角坐标系 xOy 中，以 M(1,2) 为圆心，2为半径的圆与直线 yx 相交于点D、E请直接写出  M 的“特征值”为 ． 【分析】（1）①根据“坐标差”定义即可求； ②根据“特征值”定义，利用二次函数的性质求最值即可； （2）①根据点 B与点C的“坐标差”相等，推出 B(c,0) ，②将 B点坐标代入抛物线解析式可得 c2 bcc0，根据二次函数 yx2 bxc(c0) 的“特征值”为1，可求出b的值，进而确定函数解 析式；（3）作MK x轴于K，交 M 于N，作 JM  y 轴于J ，作JMN 的平分线交 M 于T ，观察图象，根 据“特征值”定义，可知点T 的“坐标差”的值最大，即为“特征值”． 【解析】（1）①点 A(2,3) 的“坐标差”为321， 故答案为：1； P(x,y) yx2 5x3 ②设 是抛物线 上一点， x2 5x3xx2 4x3(x2)2 7 坐标差 ，最大值为7， yx2 5x3 所以抛物线 的“特征值”为7， 故答案为：7； C(0,c) （2）①由题知 ， 点B与点C的“坐标差”相等， B(c,0) ， 故答案为：c； ②将B点坐标代入抛物线解析式， 得c2 bcc0， cb1， 二次函数 yx2 bxc(c0) 的“特征值”为1， yxx2 (b1)x1b 的最大值为1， 4(1b)(b1)2 1  4 ， 解得b3， c2， 二次函数的表达式为 yx2 3x2 ； （3）如图，作MK x轴于K，交 M 于N，作 JM  y 轴于J ，作JMN 的平分线交 M 于T ，过T 作TQx 轴于 Q ，交MJ 延长线于P， yx 由题知，坐标差为特征值的点即为图象上在直线 上方且距离最远的点， 由图象可知T 点的坐标差即为 M 的“特征值”， M(1,2)  ， J(0,2) ， JM 1，  M 的半径为2， MT 2，  JMN 90， TMP45， 即TMP为等腰直角三角形， PM PT TM sin45 2， PJ  21， TQ2 2 ， T(1 2 2 2) ， ， T 点的坐标差 2 2(1 2)12 2 ， 即 M 的“特征值”为12 2 ．yax2 bxc (a 0 a b c 19．（2021•苏州二模）定义：如果二次函数 1 1 1 1 ， 1， 1， 1是常数）与 ya x2 b xc (a 0 a b c a a 0 b b c c 0 2 2 2 2 ， 2， 2， 2是常数）满足 1 2 ， 1 2， 1 2 ，则这两个函数互为 “N”函数． （1）写出 yx2 x1 的“N”函数的表达式； （2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数 ykx(k 0) 的图象只有两个交点，求k的值； （3）如图，二次函数 y 1与 y 2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数 y 1与 y 2图象的顶点，C是“N ”函数 y 2与 y 轴正半轴的交点，连接AB、AC 、BC，若点 A(2,1) 且ABC 为直角三角形，求点C的坐 标． 【分析】（1）利用“N”函数的定义，求出a，b，c的值，即可求出表达式； （2）将 ykx 与二次函数联立，得出关于x的一元二次方程，根据交点个数确定△的取值即可求出k的值； （3）先由“N”函数的中心对称性确定点B的坐标，根据直角位置分情况讨论，然后利用勾股定理求出 C的坐标． 【解析】（1）设 yx2 x1 “N”函数的表达式为 yax2 bxc ． 则a10，b1，c10． a1，b1，c1．yx2 x1 ． （2）根据题意得： yx2 x1  ykx ，即 x2 (k1)x10 ． (k1)2 4 判别式1 ． yx2 x1  ykx ，即 x2 (1k)x10 ． (1k)2 4 判别式2 ．  △1 △2． 设△△1  △2． 若△0，则“N”函数与 ykx 有四个交点； 若△0，则“N”函数与 ykx 有两个交点； 若△0，则“N”函数与 ykx 有没有交点； △0，即 (k1)2 40 ，解得 k 1 1 ； k 2 3 ． 故k 1或3． （3）由题意得“N “函数关于原点成中心对称； 点B的坐标为 (2,1) ．  ABC是直角三角形，下面分情况讨论： 若ACB90， 则AC2 BC2  AB2 ， (c1)2 22 (c1)2 22 42 22 即 ，解得c 5．  c0， c 5． C 的坐标为 (0, 5) ． 若CAB90， 则AC2  AB2 BC2 ． (c1)2 22 20(c1)222 即 ， 解得：c5． C 的坐标为 (0,5) ． 若ABC 90， 则C在 y 的负半轴，故舍去． C(0, 5) C(0,5) 或 ． 20．（2021•嘉定区二模）在平面直角坐标系 xOy （如图）中，二次函数 f(x)ax2 2axa1 （其中a是a0) 常数，且 的图象是开口向上的抛物线． （1）求该抛物线的顶点P的坐标； （2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线 f(x)ax2 2axa1 与 y 轴的交点记为A， 如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围； f(1) f(0) f f （3）如果 、 、 （3）、 （4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一 个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围． f(x)a(x1)2 1 【分析】（1）把抛物线代入顶点式为 ，即可求顶点坐标； （2）抛物线与 y 轴的交点，横坐标为0，即A坐标为 (0,a1) ，根据已知条件 |a1|3 ，即可求a的取值 范围为0a4且a1； f(1) f(0) f f （3）根据已知 、 、 （3）、 （4）有且只有一个大于0，即其余的小于或等于0，由对称轴 为直线x1开口向上，可以得出 f （4）  f （3）  f(1) f(0) ，根据 f （4）0， f （3） �0 可以求 1 1 a� a的范围，9 4，即可以写出符合条件的函数解析式． f(x)ax2 2axa1a(x1)2 1 【解析】（1）抛物线的方程为 ， (1,1) 抛物线的顶点坐标为 ； y （2）A为抛物线与 轴的交点，A点坐标为 (0,a1) ， 线段OA上的整点个数小于4，且开口向上，则可知 |a1|3 且a0，0a4， 当a1时，与 y 轴的交点坐标 A(0,0) ，与O点重合，此时线段OA不存在，不符合题意， 综上0a4且a1， 因为当a1时，与 y 轴的交点坐标 A(0,0) ，与O点重合，此时线段OA不存在，不符合题意， 所以，综上0a4且a1， a的取值范围为0a4且a1． f(1) f(0) f f 0) （3）已知 、 、 （3）、 （4）有且只有一个大于0，（即其余的小于或等于 由题可知该函数对称轴为直线x1，开口方向向上， f  f  f(1) f(0) 故有 （4） （3） ， f （4）0， 得16a8aa10， 1 a 得 9 ， f �0 （3） ， 9a6aa1�0 得 ， 1 a� 得 4， 1 a 取 6 ， 1 1 5 f(x) x2  x 6 3 6 ， 1 1 a� a的取值范围为9 4．y 21．（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于 轴 y 对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”．根据该约定， 完成下列各题．  4   (x0) y x （1）若点 A(1,r) 与点 B(s,4) 是关于x的“T 函数”   tx2x�0,t 0,t是常数 的图象上的一对“T 点”， 则r  4 ，s ，t  （将正确答案填在相应的横线上）； （2）关于x的函数 ykx p(k ， p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”如果不 是，请说明理由； （3）若关于 x的“T 函数” yax2 bxc(a0 ，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线 l:ymxn(m0 ， n0，且 m， n是常数）交于 M(x 1， y 1 ) ， N(x 2， y 2 ) 两点，当 x 1， x 2满足 (1x 1 )1x 2 1 时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理 由． 【分析】（1）由A，B关于 y 轴对称求出r ，s，由“T 函数”的定义求出t； （2）分k 0和k 0两种情况考虑即可； （3）先根据过原点得出c0，再由“T 函数”得出b的值，确定二次函数解析式后，和直线联立求出交 点的横坐标，写出l的解析式，确定经过的定点即可． y 【解析】（1） A，B关于 轴对称， s1，r 4，(1,4) A的坐标为 ， 把 A(1,4) 代入是关于x的“T 函数”中，得：t 4， 故答案为r 4，s1，t 4； （2）当k 0时，有 y p ， y 此时存在关于 轴对称的点， ykx p 是“T 函数”，且有无数对“T ”点， 当k 0时，不存在关于 y 轴对称的点， ykx p 不是“T 函数”； yax2 bxc （3） 过原点， c0，  yax2 bxc 是“T 函数”， b0， yax2 ， 联立直线l和抛物线得： yax2  ymxn ， 即：ax2 mxn0， m n x x  xx  1 2 a ， 1 2 a ， (1x )1x 1 又 1 2 ， x x xx 化简得： 1 2 1 2， m n   a a ，即mn， ymxnmxm ，当x1时， y0 ， 直线l必过定点 (1,0) ． k y 22．（2020•开福区校级模拟）若一次函数 ymxn 与反比例函数 x 同时经过点 P(x,y) 则称二次函数 ymx2 nxk 为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点． 3 y （1）判断 y2x1 与 x是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明 理由； 2020 y （2）已知：整数m，n，t满足条件tn8m，并且一次函数 y(1n)x2m2 与反比例函数 x 存在“共享函数” y(mt)x2 (10mt)x2020 ，求m的值． m2 13 y （3）若一次函数 yxm 和反比例函数 x 在自变量x的值满足的 m剟x m6 的情况下．其“共 享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式． 3 y 【分析】（1）联立 y2x1 与 x并整理得：2x2 x30，即可求解；  n3 m   9 1nmt  8n6  t  （2）由题意得：2m210mt ，解得：  9 ，而tn8m，故6n24，则9n327，故 1m3，m是整数，故m2； 1 m6�  m （3）①当 2 时，即 m� 4 ，xm6，函数取得最小值，即 (m6)2 m(m6)m2 133 ， 1 1 m mm6 x m 即 可 求 解 ； ② 当 2 ， 即 4m0， 函 数 在 2 处 取 得 最 小 值 ， 即 1 1 ( m)2  m2 m2 133 2 2 ，即可求解； ③当 m�0 时，函数在xm处，取得最小值，即可求解． 3 y 【解析】（1）联立 y2x1 与 x并整理得：3 x 2x2 x30，解得： 2 或1， 3 ( 故点P的坐标为： 2， 2) 或 (1,3) ；  n3 m   9 1nmt  8n6  t  （2）由题意得：2m210mt ，解得：  9 ，  tn8m， 8n6 n   9  8n24 n  9 ， 解得：6n24； 9n327， 故1m3， m是整数，故m2； m2 13 y （3）由 yxm 和反比例函数 x 得：“共享函数”的解析式为 yx2 mx(m2 13) ， 1 x m 函数的对称轴为： 2 ； 1 m6�  m ①当 2 时，即 m� 4 ， xm6，函数取得最小值，即 (m6)2 m(m6)m2 133 ， 解得m9 61或9 61（舍去）； 1 m mm6 ②当 2 ，即4m0， 1 1 1 x m ( m)2  m2 m2 133 函数在 2 处取得最小值，即 2 2 ，无解； m�0 ③当 时， 函数在xm处，取得最小值，即m2 m2 m2 133，解得：m4（舍去 4) ，综上，m9 61或4， 故“共享函数”的解析式为 yx2 mx(m2 13)x2 (9 61)x(15518 61) 或x2 4x29． c y 23．（2020•雨花区校级二模）定义：若一次函数 yaxb 和反比例函数 x 满足abbc，则称 yax2 bxc 为一次函数和反比例函数的“等差”函数． 3 y （1）判断 yxb 和 x 是否存在“等差”函数？若存在，写出它们的“等差”函数； c c y y （2）若 y5xb 和 x 存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与 x 的图象的一个交点的横 坐标为1，求反比例函数的表达式； c 3 y a b) （3）若一次函数 yaxb 和反比例函数 x （其中a、b、c为常数，且a0，c0， 2 存在 yaxb A(x y ) B(x y ) “等差”函数，且 与“等差”函数有两个交点 1， 1 、 2， 2 ，试判断“等差”函数图 象上是否存在一点 P(x,y) （其中 x 1 xx 2 ) ，使得ABP的面积最大？若存在，求出点P的横坐标；若不 存在，请说明理由． 【分析】（1）假设存在，根据等差函数定义得出b4，从而得出解析式； c y （2）根据等差函数定义得出5c2b，即c2b5，根据“等差”函数的图象与 x 的图象的一个交 点的横坐标为1，列出方程即可求得b，进而求得c，即可解决问题． 3 a b （3）存在，由题意 2 ，ac2b，推出b2c，a3c，则一次函数解析式为 y3cx2c ，“等 1 1 x x  xx  差 ” 函 数 解 析 式 为 y3cx2 2cxc ， 即 3x2 x10， 可 得 1 2 3， 1 2 3， 13 |x x | (x x )2 4xx  1 2 1 2 1 2 3 ，再构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【解析】（1）存在， 3 y 假设一次函数 yxb 与反比例函数 x 存在“等差”函数，则a1，c3，ac2b， 解得：b2， 存在“等差”函数，其解析式为 yx2 2x3 ； （2）根据题意知：a5，5c2b， c2b5， 2b5 y 则“等差”函数的解析式为 y5x2 bx2b5 ，反比例函数的解析式为 x ， y5x2 bx2b5   2b5 y 根据题意，将x1代入 x ， 得：5b2b52b5，解得b1，c3， 3 y 故一次函数的解析式为 y5x1 ，反比例函数的解析式为 x； （3）存在． 3 a b 根据题意知： 2 ，ac2b， b2c，a3c， y3cx2 2cxc y3cx2c 则“等差”函数的解析式为 ，一次函数解析式为 ， y3cx2c y3cx2 2cxc A(x y ) B(x y )  与“等差”函数 有两个交点 1， 1 、 2， 2 ， 3cx2 cxc0，即3x2 x10， 1 1 x x  x x  1 2 3， 1 2 3， 13 |x x | (x x )2 4xx  1 2 1 2 1 2 3 ， 如图，过点 P(x,3cx2 2cxc) 作PH x轴，交AB于H ，则 H(x,3cx2c) ，P(x,y) x xx ) 点 （其中 1 2 ， P点在A，B之间， 1 1 1 13 3c(x2  x )3c[(x )2  ] PH 3cx2c(3cx2 2cxc)3cx2 cxc ， 3 3 6 36 ， 1 1 13 1 13 13 1 13 S  |x x |PH   {3c[(x )2  ]} c[(x )2  ] 2 1 2 2 3 6 36 2 6 36 ， 1 13 13 x c 当 6 时，S取得最大值，最大值为 72 ． 1 17 ( c) 此时点P的坐标是 6，12 ． 24．（2020•东城区校级模拟）对于平面中给定的一个图形及一点P，若图形上存在两个点A、B，使得 PAB是边长为2的等边三角形，则称点P是该图形的一个“美好点”． （1）若将x轴记作直线l，下列函数的图象上存在直线l的“美好点”的是 A、B （只填选项）． A．正比例函数 yx 1 y B．反比例函数 x C．二次函数 yx2 2 （2）在平面直角坐标系 xOy 中，若点 M( 3n ， 0) ， N(0,n) ，其中n0， O的半径为r ． ①若r 2 3， O上恰好存在2个直线MN 的“美好点”，求n的取值范围； ②若n4，线段MN 上存在 O的“美好点”，直接写出r 的取值范围． 【分析】（1）由已知可知P点纵坐标为 3 ，分别判断每一个函数中档 y 3 时，是否存在对应的x值 即可；3 y c （2）①过C点与MN 平行的直线为 3 ，与圆O相切时，求出n的最大值；过D点与MN 平行的 3 y d 直线为 3 与圆O相切时，d 4，此时n再由最小值，结合图形可知，则可求2n6； ②结合图象，当MN 与D点所在圆相切时，r 2，当OC OM 时，r 2 19 ，这两种情况时线段MN 上 存在 O的“美好点”，可求 2剟r 2 19 ． 【解析】（1） x轴是图形l，PAB是边长为2的等边三角形， P点纵坐标为 3， yx 上存在点 ( 3 ， 3) 或 ( 3 ，  3) 是x轴的“美好点”， 1 3 3 y ( ( x上存在点 3 ， 3) 或 3 ，  3) 是x轴的“美好点” yx2 2 y 中 的最小是2， yx2 2 上不存在x轴的“美好点”， 故选A、B； （2）① M( 3n ， 0) ， N(0,n) ，n0， 设直线MN 的解析式为 ykxb ， bn  则有 0 3nkb ， bn   3 k  解得 3 ， 3 y xn 3 ， 如图 1:  M( 3n ， 0) ， N(0,n) ，其中n0，MNO60，  ABD与ACB是边长为2的等边三角形， BAD60， AD//BC//y 轴， 3 3 y xc y xd 设过点C与MN 平行的直线为 3 ，过点D与MN 平行的直线为 3 ， 3 y xc 当直线 3 与 O相切时，c4， n426， 此时 O上恰好存在1个直线MN 的“美好点”， 3 y xd 如图2：当直线 3 与 O相切时，d 4， n422， 3 y xc 此时当直线 3 经过原点O，则c0， 此时 O上恰好存在3个直线MN 的“美好点”， 2n6时， O上恰好存在2个直线MN 的“美好点”； ②如图3:  n4， M(4 3 0) N(0,4) ， ， ， OMN 30， 设AB2在圆O上，C与D是MN 上的点， 则ABC 与ABD是边长为2的等边三角形， 当MN 与D点所在圆相切时，OD2 3， r 2， 此时线段MN 上存在 O的“美好点”， 如图4：当OC OM 时，OC 4 3， MH  3，AH 1， OA2 19，此时线段MN 上存在 O的“美好点”， 2剟r 2 19 ，线段MN 上存在 O的“美好点”．