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专题 25 圆锥曲线压轴小题必刷 100 题
一、单选题
1．已知圆 是以点 和点 为直径的圆，点 为圆 上的动点，若点 ，点
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在直线 上运动，若
的最大值为 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．过 轴上点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，若 为定值，则实数 的值为（
）．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知椭圆 ： 的两个顶点在直线 上， ， 分别是椭圆的左､右
焦点，点 是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点 作椭圆 的切线 与直线 交于点 ，设直
线 ， 的斜率分别为 ， ，则 的值为（ ）
A．- B． C．- D．-
5．已知F是椭圆 的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记 ，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
6．已知过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于点 、 ，若 、 两点在准线上的射影分别为 、
，线段 的中点为 ，则下列叙述不正确的是（ ）
A． B．四边形 的面积等于
C． D．直线 与抛物线相切
7．如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过右焦点作平行于一条渐近线的
直线交双曲线于点 ，若 的内切圆半径为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．8．在棱长为 的正四面体 中，点 为 所在平面内一动点，且满足 ，则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知点 为抛物线 的焦点， ，点 为抛物线上一动点，当 最小时，点 恰好在
以 ， 为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，以 为直径的圆与双曲线右支的一个交
点为P， 与双曲线相交于点Q，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．若椭圆 上的点 到右准线的距离为 ，过点 的直线 与 交于两点
，且 ，则 的斜率为
A． B． C． D．12．已知双曲线 ： 的左焦点为 ，过原点的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 ， 两
点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，点 ， 分别在双曲线
的左、右两支上，点 在 轴上，且 ， ， 三点共线，若 ， ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．
14．已知抛物线 ， 为 的焦点，过焦点 且倾斜角为 的直线 与 交于 ， 两点，
则下面结论不正确的是（ ）
A．以 ， 为直径的圆与抛物线 的准线相切
B．
C．过点 ， 分别作抛物线 的切线，则两切线互相垂直
D．记原点为 ，则
15．已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦点，过 作抛物线的一条切线，切点为 ，且满足 ，则抛物线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
16．过点 斜率为正的直线交椭圆 于 ， 两点. ， 是椭圆上相异的两点，满足 ，
分别平分 ， .则 外接圆半径的最小值为（ ）
A． B． C． D．
17．已知点P在抛物线 上，过点P作抛物线 的切线 ， ，切点分别为M，N，
若 ，且 ，则C的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
18．已知点P（－1，0），设不垂直于x轴的直线l与抛物线y2＝2x交于不同的两点A、B，若x轴是
∠APB的角平分线，则直线l一定过点
A．（ ，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（-2，0）
19．已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 || PF1 |，椭圆的离心率为
，双曲线的离心率为 ， ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．820．已知 ， 分别为双曲线 的左，右焦点，过 且倾斜角为锐角 的直线与双曲线的右支交
于 ， 两点，记 的内切圆半径为 ， 的内切圆半径为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
21．如图，椭圆 ， 是直线 上一点，过点 作椭圆 的两条切线 ， ，直线
与 交于点 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
22．已知抛物线 ，焦点为 ，圆 ，过 的直线 与 交于 、
两点（点 在第一象限），且 ，直线 与圆 相切，则 （ ）
A． B． C． D．
23．已知A，B，C为抛物线 上不同的三点，焦点F为 的重心，则直线 与y轴的交点的纵
坐标t的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
24．已知 、 是椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆上任意一点，以 为直径作圆 ，直线
与圆 交于点 （点 不在椭圆内部），则
A． B．4 C．3 D．1
25．已知双曲线 ： 的右焦点为 ， 和 为双曲线上关于原点对称的两点，且
在第一象限.连结 并延长交 于 ，连结 ， ，若 是以 为直角的等腰直角三角形，
则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
26．已知 是椭圆 的一个焦点，若直线 与椭圆相交于 两点，且 ，
则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
27．已知双曲线 的左、右焦点分别为F ，F ，过F 且斜率为 的直线与双曲线在第
1 2 2
一象限的交点为A，若 ，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A．x2 1 B．
C． D．
28．已知椭圆 ， ， ，过点 的直线 与椭圆交于 ， ，过点 的直
线 与椭圆交于 ， ，且满足 ，设 和 的中点分别为 ， ，若四边形 为矩形，且面
积为 ，则该椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
29．已知单位向量 ， 满足 ，若存在向量 ，使得 ，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
30．设双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 分别与双曲线 左右两
支交于 两点，以 为直径的圆过 ，且 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．31．已知抛物线 ，F是抛物线C的焦点，M是抛物线C上一点，O为坐标原点， ，
的平分线过FM的中点，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
32．已知 是椭圆 上的两个动点， ，则以 为直角顶点的等腰直角 的个数为
（ ）
A． B． C． D．多于
33．在平面直角坐标系 中，圆 ，若圆 上存在以 为中点的弦 ，且
，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
34．已知椭圆 ，过x轴上一定点N作直线l，交椭圆C于A，B两点，当直线l绕点N任意旋
转时，有 （其中t为定值），则（ ）
A． B． C． D．
35．已知圆 与圆 ，过动点 分别作圆 、圆 的切线 ，
，（ 分别为切点），若 ，则 的最小值是
A．5 B． C． D．36．已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于不同的两点 ， ，且满足
，以 为中点的线段的两端点分别为 ，其中 在 轴上， 在 上，则 的最小值为
A． B． C． D．
37．设抛物线 的焦点为F，过F的两条直线 ， 分别交抛物线于点A，B，C，D，且 ，
的斜率 ， 满足 ，若 的最小值为30，则抛物线的方程为
A． B． C． D．
38．设点 为椭圆 上一点， 、 分别是椭圆 的左、右焦点，且 的重心为点 ，
如果 ，那么 的面积为（ ）
A． B． C． D．
39．过双曲线 的右焦点 作直线 ，且直线 与双曲线 的一条渐近线垂直，垂足为
，直线 与另一条渐近线交于点 ，已知 为坐标原点，若 的内切圆的半径为 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C． D． 或240．已知 为抛物线 的焦点，点 都是抛物线上的点且位于 轴的两侧，若 ( 为原
点)，则 和 的面积之和的最小值为（）
A． B． C． D．
二、多选题
41．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 且斜率大于0的直线
交抛物线 于 ， 两点(其中 在 的上方)，过线段 的中点 且与 轴平行的直线依次交直线 ，
， 于点 ， ， .则（ ）
A．
B．若 ， 是线段 的三等分点，则直线 的斜率为
C．若 ， 不是线段 的三等分点，则一定有
D．若 ， 不是线段 的三等分点，则一定有
42．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，O为坐标原点，圆 ，P
是双曲线C与圆O的一个交点，且 ，则下列结论中正确的有（ ）
A．双曲线C的离心率为
B．点 到一条渐近线的距离为
C． 的面积为
D．双曲线C上任意一点到两条渐近线的距离之积为2
43．曼哈顿距离(或出租车几何)是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.例如，在平面上，点 和点 的曼哈顿距离为： .若点
为 上一动点， 为直线 上一动点，设 为
， 两点的曼哈顿距离的最小值，则 的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
44．已知抛物线方程为 ，直线 ，点 为直线l上一动点，过点P作抛物线的
两条切线，切点为A､B，则以下选项正确的是（ ）
A．当 时，直线 方程为 B．直线 过定点
C． 中点轨迹为抛物线 D． 的面积的最小值为
45．过抛物线 ： 焦点 的直线 交 于 ， 两点， 为坐标原点，则（ ）
A．不存在直线 ，使得
B．若 ，则直线 的斜率为
C．过 作 准线的垂线，垂足为 ，若 ，则
D．过 ， 两点分别作抛物线 的切线，则两切线交点的纵坐标为定值
46．在 中， ， 为 的中点，且 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．动点 的轨迹是双曲线 B．动点 的轨迹关于点 对称
C． 是钝角三角形 D． 面积的最大值为47．已知抛物线 ，点 ，过M作抛物线的两条切线 ，其中A，B为切点，
直线 与y轴交于点P，则下列结论正确的有（ ）
A．点P的坐标为 B．
C． 的面积的最大值为 D． 的取值范围是
48．已知抛物线E： 的焦点为F，准线l交x轴于点C，直线m过C且交E于不同的A，B两点，B在
线段 上，点P为A在l上的射影．下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若P，B，F三点共线，则
C．若 ，则 D．对于任意直线m，都有
49．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ，过点 作与 轴垂直的直线，与抛物
线 交于 、 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 为正三角形，则
C．若抛物线 上存在两个不同的点 、 （异于 、 ），使得 ，则
D．当 取得最大值时，
50．已知椭圆 上有一点P， 分别为左､右焦点， 的面积为S，则下
列选项正确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 为钝角三角形，则 D．椭圆C内接矩形的周长范围是
51．设 ， 是抛物线 ： 上两个不同的点， 为坐标原点，若直线 与 的斜率之积为-4，则
下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．直线 过抛物线 的焦点 D． 面积的最小值是2
52．已知双曲线 的左焦点为 ， 为 右支上的动点，过 作 的一条渐近线的
垂线，垂足为 ， 为坐标原点，当 最小时， ， ， 成等差数列，则下列说法正确的
是（ ）
A．若 的虚轴长为2，则 到 的一条渐近线的距离为2
B． 的离心率为
C．若 的焦距为2，则 到 的两条渐近线的距离之积小于
D．若 的焦距为10，当 最小时，则 的周长为
53．双扭线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy
中，把到定点 ， 距离之积等于 的点的轨迹称为双扭线C．已知点 是双扭
线C上一点，下列说法中正确的有（ ）
A．双扭线C关于原点O中心对称；
B． ；C．双扭线C上满足 的点P有两个；
D． 的最大值为 ．
54．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线于 、 两点，以线段 为直径的
圆交 轴于 、 两点，设线段 的中点为 ，则（ ）
A．
B．若 ，则直线 的斜率为
C．若抛物线上存在一点 到焦点 的距离等于 ，则抛物线的方程为
D．若点 到抛物线准线的距离为 ，则 的最小值为
55．已知四面体 的所有棱长均为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．异面直线 与 所成角为
B．点 到平面 的距离为
C．四面体 的外接球体积为
D．动点 在平面 上，且 与 所成角为 ，则点 的轨迹是椭圆
56．在平面直角坐标系 中，动点 与两个定点 和 连线的斜率之积等于 ，记点
的轨迹为曲线 ，直线 ： 与 交于 ， 两点，则（ ）A． 的方程为 B． 的离心率为
C． 的渐近线与圆 相切 D．满足 的直线 有2条
57．在棱长为1的正方体 中，已知点P为侧面 上的一动点，则下列结论正确的是
（ ）
A．若点P总保持 ，则动点P的轨迹是一条线段；
B．若点P到点A的距离为 ，则动点P的轨迹是一段圆弧；
C．若P到直线 与直线 的距离相等，则动点P的轨迹是一段抛物线；
D．若P到直线 与直线 的距离比为 ，则动点P的轨迹是一段双曲线.
58．已知抛物线 ： 的焦点 到准线的距离为2，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点，
为线段 的中点， 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A． 的准线方程为 B．线段 的长度最小为4
C． 的坐标可能为 D． 恒成立
59．已知 ， ，记 ，则
A． 的最小值为 B．当 最小时，
C． 的最小值为 D．当 最小时，60．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，P为双曲线上一点，且 ，若
，则下面有关结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
61．已知到两定点 ， 距离乘积为常数16的动点 的轨迹为 ，则（ ）
A． 一定经过原点 B． 关于 轴、 轴对称
C． 的面积的最大值为45 D． 在一个面积为64的矩形内
62．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，
若 且 的最小内角为 ，则（ ）
A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为
C． D．直线 与双曲线有两个公共点
63．过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 ， 两点， 为线段 的中点，则（ ）
A．以线段 为直径的圆与直线 相离 B．以线段 为直径的圆与 轴相切
C．当 时， D． 的最小值为4
64．已知抛物线 的焦点为 ，直线的斜率为 且经过点 ，直线 与抛物线 交于点、 两点（点 在第一象限），与抛物线的准线交于点 ，若 ，则以下结论正确的是
A． B． C． D．
65．已知点F是抛物线 的焦点，AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD，AB的斜率为k，且
k>0，C,A两点在x轴上方.则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B．四边形ACBD面积最小值为
C． D．若 ，则直线CD的斜率为
66．过点 作圆C： 的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 所在直线的方程为
C．四边形 的外接圆方程为
D． 的面积为
67．已知点 为椭圆 （ ）的左焦点，过原点 的直线 交椭圆于 ， 两点，点
是椭圆上异于 ， 的一点，直线 ， 分别为 ， ，椭圆的离心率为 ，若 ，
，则（ ）A． B． C． D．
68．已知点 在椭圆 上，过点 分别作斜率为-2，2的直线 ， 与直线 ，
分别交于 ， 两点.若 ，则实数 的取值可能为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
69．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线 上点
处的曲率半径公式为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．对于半径为 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为
B．椭圆 上一点处的曲率半径的最大值为
C．椭圆 上一点处的曲率半径的最小值为
D．对于椭圆 上点 处的曲率半径随着 的增大而减小
70．如图，已知椭圆 的左､右顶点分别是 ，上顶点为 ，在椭圆上任取一点 ，连结
交直线 于点 ，连结 交 于点 ( 是坐标原点)，则下列结论正确的是（ ）A． 为定值B．
C． D． 的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题
71．已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，A，B分别在双曲线的左右两支上，且
满足 （ 为常数），点C在x轴上， ， ，则双曲线 的离心率为
_______．
72．已知平面向量 、 、 满足 ， ， ，则 的取值范围为______．
73．已知平面非零向量 、 ， 、 满足 ， ，若 ，
，则 的最小值为______．74．设 , 分别是椭圆 的左､右焦点，过点 的直线交椭圆 于 两点，
，若 ，则椭圆 的离心率为___________.
75．已知双曲线 的左、右焦点分別为 ，过 作直线l垂直于双曲线的一条渐近
线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若 ，且 ，则双曲线C的离心率 的
取值范围为________．
76．已知椭圆C： 的左，右焦点分别是 是椭圆C上第一象限内的一点，且
的周长为 .过点 作 的切线 ，分别与 轴和 轴交于 两点， 为原点，当点 在 上移动时，
面积的最小值为___________.
77．已知抛物线 上一点 ，且抛物线上两个动点 满足 ，若直线 过定点 ，
则 的坐标为 _________.
78．已知点 在抛物线 上，过点 作抛物线的切线与 轴交于点 ，抛物线的焦点为 ，若
，则 的坐标为___________.
79．已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为4，圆 ，过 的直线 与
抛物线 和圆 从上到下依次交于 四点，则 的最小值为_________.
80．过抛物线 ： 的焦点 作直线 ， 分别与抛物线 交于 ， 和 ， ，若直线 ，的斜率分别为 ， ，且满足 ，则 的最小值为___________.
81．双曲线 的渐近线为正方形 的边 、 所在的直线，点 为该双
曲线的右焦点，若过点 的直线与直线 、 的分别相交于 、 两点，则 内切圆半径的最大
值为______．
82．已知双曲线 ， ， ， 是坐标原点，过点 的直线 交双曲线 于 ，
两点，若直线 上存在点 满足 ，则 的最小值是___________.
83．已知 、 分别为抛物线 与圆 上的动点，抛物线的焦点为 ，
、 为平面内两点，且当 取得最小值时，点 与点 重合；当 取得最大值时，点
与点 重合，则 的面积为______.
84．已知 ， 分别为双曲线 （ ， ）的左、右焦点，过点 作圆 的切线
交双曲线左支于点 ，且 ，则该双曲线的渐近线方程为__________．85．已知二元函数 的最小值为 ，则正实数
a的值为________．
86．已知点 ，点 为抛物线 ： 的焦点，第一象限内的点 在抛物线
上，则 的最大值为______．
87．已知： ， ， ， ，则 最小值为________.
88．圆 的方程为 ，圆 的方程为 ，过圆 上任
意一点 作圆 的两条切线 、 ，切点分别为 、 ，则 的最小值为__________.
89．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过椭圆的右焦点 作一条直线 交椭圆于点 、 .
则 内切圆面积的最大值是_________.90．如图所示， 是椭圆 的短轴端点，点 在椭圆上运动，且点 不与 重合，
点 满足 ，则 ＝____________．
91．在平面直角坐标系 中，已知直线 上存在点 ，过点 作圆 的切线，切点
分别为 ， ，且 ，则实数 的取值范围为________．
92．已知 中，角 ， ， 所对的边分别是 ，且 ，则 的面积的最大值是
___________．
93．已知 为双曲线 ： 上一点， 为坐标原点， ， 为曲线 左右焦点.若
，且满足 ，则双曲线的离心率为___.
94．已知抛物线 ，其焦点为 ，准线为 ，过焦点 的直线交抛物线 于点 、 （其
中 在 轴上方）， ， 两点在抛物线的准线上的投影分别为 ， ，若 ， ，则
____________.95．已知双曲线 （ ）的左、右焦点分别是 、 ， 为双曲线左支上任意一点，当
最大值为 时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.
96．已知函数 ，则 的最大值为______.
97．已知 和 为抛物线 的焦点和准线，点 为 上一点，过 作 于 ，若 四点共
圆（ 为原点)，则该圆的半径为____________.
98．在平面直角坐标系 中，已知 在圆 ： 上运动，且 .若直线 ：
上的任意一点 都满足 ，则实数 的取值范围是__________.
99．已知双曲线C： （ ）的左、右焦点为 ， ， 为双曲线C上一点，且
，若线段 与双曲线C交于另一点A，则 的面积为______.
100．直线 ： 经过抛物线 ： （ ）的焦点 ，与抛物线相交于 ， 两点，过原
点的直线经过弦 的中点 ，并且与抛物线交于点 （异于原点），则 的取值范围是______.
