专题2.12二次函数与新定义综合问题（重难点培优）-九年级数学下册尖子生同步培优题典（原卷版）北师大版_北师大初中数学_9下-北师大版初中数学_05习题试卷_1课时练习

2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题2.12二次函数与新定义综合问题（重难点培优） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷 规定的位置． 一、解答题（本大题共24小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．（2020•金华二模）在平面直角坐标系中，我们定义：点 的“变换点”为 ，且规定：当 时， 点 为 ．当 ．点 为 ． （1）分别写出各点的“变换点”： ； ； ； （2）当点 的“交换点”在函数 的图象上，求 的值； （3）已知直线 与坐标轴交于 ． 两点，将直线 上所有的“变换点”组成一新的图形，记为 ． 当抛物线 与图形 的交点个数2个或3个时，求出相应 的取值范围． 2．（2020秋•越秀区校级期中）定义：在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ，且 ， ，若 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与 轴 垂直，则称该等腰三角形为点 ， 的“伴随等腰三角形”．（1）若 ， 为抛物线 上的点，它的“伴随等腰三角形”记为 ，且底边 ， 点 ， 均在点 的右侧，设点 的横坐标为 ． ①若点 在这条抛物线上，求 的面积； ②设 ， 两点的纵坐标分别为了 ， ，比较 与 的大小； ③当 底边上的高等于底边长的2倍时，求点 的坐标； （2）若 ， 是抛物线 上的两点，它的“伴随等腰三角形 ”以 为底，且点 ， 均在点 的同侧（左侧或右侧），点 的横坐标是点 的横坐标的2倍，过点 ， 分别作垂直于 轴 的直线 ， ．设点 的横坐标为 ，该抛物线在直线 ， 之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐 标为 ，直接写出 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围． 3．（2021•长沙模拟）定义：若函数 与 轴的交点 ， 的横坐标为 ， ，与 轴 的交点 的纵坐标为 ，若 ， 中至少存在一个值，满足 （或 ，则称该函数为“ 函 数”．如图，函数 与 轴的一个交点 的横坐标为 ，与 轴交点 的纵坐标为 ，满足 ，则称 为“ 函数”． （1）判断 是否为“ 函数”，并说明理由； （2）请探究“ 函数” 表达式中的 与 之间的关系； （3）若 是“ 函数”，且 为锐角，求 的取值范围．4．（2019•东湖区校级开学）寻找神奇点！每条抛物线内都有一个神奇的点 （也叫焦点），还有一条与 之配套的直线！（也叫准线），使得抛物线上的每个点到 的距离等于到直线 的距离．如图，对于抛物 线上任意一点 ，都有 ． 根据以上知识，我们来完成以下问题： （1）因为抛物线是轴对称图形，由对称性可知这个神奇的点 应在抛物线的 上，且准线 一定与对称 轴垂直即 （对称轴）． （2）若准线 与对称轴 交于 ，则 、 的数量关系是 （填 、 、 ， （3）求抛物线 的神奇点（焦点） 的坐标．（为了老师阅卷方便，请大家统一设 ． 5 ． （ 2021• 长 丰 县 模 拟 ） 对 于 二 次 函 数 和 一 次 函 数 ， 我 们 把 称为这两个函数的“再生二次函数”，其中 是不为零的实数，其图象记作 抛物线 ．现有点 和抛物线 上的点 ，请完成下列任务： 【尝试】 （1）当 时，抛物线 的顶点坐标为 ．（2）判断点 是否在抛物线 上； （3）求 的值． 【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于 取任何不为零的实数，抛物线 总过定点，定点的坐标为 ． 【应用】二次函数 是二次函数 和一次函数 的一个“再生二次函 数”吗？如果是，求出 的值；如果不是，说明理由． 6．（2021春•岳麓区校级期末）有一组邻边相等的凸四边形叫做“乐学四边形”，如菱形，正方形等都是 “乐学四边形”，这一组相等的邻边叫做“善思线段”．抛物线 与 轴交于 、 两点 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，抛物线的顶点为点 ． （1）当 ， ， ，请判断四边形 是否为“乐学四边形”，如果是，请说明理由并指 出“善思线段”，如果不是，请说明理由． （2）在第（1）问的条件下，试探究在第一象限内，抛物线上是否存在一点 使得 ，若存在， 请求出点 的横坐标，若不存在，请说明理由． （3）四边形 为“乐学四边形”，且 ．抛物线还满足： ① ， ， ； ② 为等腰直角三角形； 点 ， 是抛物线 上任意一点，且 ．若 恒成立，求 的最小 值．7．在平面直角坐标系 中，已知 是 的函数，对于这个函数图象上的一点 和给定的实数 ．若这个函数在 上有定义且满足：当 时，函数值 的最大值 与最小值 的 差 ，就称这个函数满足性质 ． 如图，对于函数 ，给定其图象上的点 和 ，在 上函数值 的最大值 ，最小值 ，满足， ，因此函数 满足性质 ． （1）根据定义，判断函数 是否满足性质 ，并说明理由； （2）已知函数 ，点 的坐标为 ，若这个函数满足性质 ，结合函数图象，求 的值； （3）点 为二次函数 图象上的动点，若存在唯一的 ，使得函数 满足性质 ，直 接写出点 的横坐标 的取值范围． 8．（2020•天心区校级模拟）对某一个函数给出如下定义：若存在实数 ，对于任意的函数值 ，都 满足 ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 中，其最小值称为这个函数的边界值． 例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1． （1）分别判断函数 和 是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值； （2）若函数 的边界值是3，且这个函数的最小值也是3，求 的取值范围；（3）将函数 的图象向下平移 个单位，得到的函数的边界值是 ，当 在什么范围 时，满足 ？ 9．（2020秋•崇川区校级月考）把函数 的图象绕点 旋转 ，得到新 函数 的图象，我们称 是 关于点 的相关函数， 图象的对称轴与 轴交点坐标为 ． （1）若 ， 时， 的相关函数 为 ； （2） 的值为 （用含 的代数式表示）； （3）若 ，当 时，函数 的最大值为 ，最小值为 ，且 ，求 的解析式． 10．（2019秋•大连期中）定义：将函数 的图象绕点 旋转 ，得到新的函数 的图象，我们称 函数 是函数 关于点 的相关函数． 例如：当 时，函数 关于点 的相关函数为 ． （1）当 时， ①一次函数 关于点 的相关函数为 ； ②点 在二次函数 关于点 的相关函数的图象上，求 的值； （2）函数 关于点 的相关函数是 ，则 ； （3）当 时，函数 关于点 的相关函数的最大值为9，求 的值． 11．（2020秋•岳麓区校级月考）定义：如果二次函数 ， 、 、 是常数）与， 、 、 是常数）满足 ， ， ，则这两个函数互为 “旋转函数”．请解决下列问题： （1）求出二次函数 的旋转函数的顶点坐标； （2）若二次函数 与 互为“旋转函数”，直线 与函数 ， 的图象都只有一个公共点，求 的值以及直线 的解析式； （3）在平面直角坐标系中，坐标原点为 ，已知点 ， 与 轴相切，交 轴正半轴于点 ，点 在 上，且 ，△ 与 关于原点对称，若两个二次函数的图象分别经过 、 、 与 、 、 三点，求证：这两个二次函数互为“旋转函数”． 12．（2020春•天心区月考）对于一次函数 ， 为常数）经过二次函数 、 、 为常数）的顶点，我们把 称为这两个函数的“生成函数”，其中 为常数． （1）若一次函数 和二次函数 的“生成函数”图象是一根直线，求其“生成函 数”解析式； （2）若二次函数 的顶点在反比例函数 的图象上，它与一次函数 的“生成 函数”的图象为抛物线，且经过点 ，求 的值； （ 3 ） 二 次 函 数 的 最 小 值 为 ， 一 次 函 数 与 “ 生 成 函 数 ” 图象交于两个不同的点 ， ，若 为原点）为等腰三角形，求 的 值． 13．（2021•海淀区校级开学）在平面直角坐标系 中，对于已知的点 ， ，过点 分别作 轴和 轴的垂线 ， ，记点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，若 ，则点 到点 的“特征距离”为 ，若 ，则点 到点 的“特征距离”为 ． （1）已知点 ①点 到点 的“特征距离”为 ； ②点 在函数 的图象上，若点 到点 的“特征距离”为1，则点 的坐标为 ； （2）已知点 ，点 ， 为平面内的动点，其中 ， 均为非负数，且满足 ．以 为边作正方形 、 、 、 按顺时针方向排列），记线段 上一动点 到点 的“特征 距离”为 ，直接写出 的最大值和最小值，以及相应的 点的坐标． 14．（2020秋•如皋市期中）定义： 叫做函数 的“反函数”．比如： 就是 的 “反函数”．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数 的常数），若点 在函 数 的图象上，则点 也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于 轴对称． 根据上面的定义和提示，解答下列问题： （1） 的图象的对称轴是 ； （2）①直接写出函数 的“反函数”的表达式为 ； ②在如图所示的平面直角坐标系中画出 的“反函数”的大致图象； （3）若直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与 的“反函数”图象交于 、 两点（点 的横坐标小于点 的横坐标），过点 作 轴，垂足为点 ，若 ，求 的值．15．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等 值点”．例如，点 是函数 的图象的“等值点”． （1）分别判断函数 ， 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐 标；如果不存在，说明理由； （2）设函数 ， 的图象的“等值点”分别为点 ， ，过点 作 轴，垂足为 ．当 的面积为3时，求 的值； （3）若函数 的图象记为 ，将其沿直线 翻折后的图象记为 ．当 ， 两部分组 成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出 的取值范围． 16．（2021•望城区模拟）定义：在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，当 时， 点坐标 为 ；当 时， 点坐标为 ，则称点 为点 的 分变换点（其中 为常数）．例 如： 的0分变换点坐标为 ． （1）点 的1分变换点坐标为 ；点 的1分变换点在反比例函数 图象上，则 ； 若点 的1分变换点在直线 上，则（2）若点 在二次函数 的图象上，点 为点 的3分变换点． ①直接写出点 所在函数的解析式； ②求点 所在函数的图象与直线 交点坐标； ③当 时，点 所在函数的函数值 ，直接写出 的取值范围． （3）点 ， ，若点 在二次函数 的图象上，点 为点 的 分变换点． 当点 所在的函数图象与线段 有两个公共点时，直接写出 的取值范围． 17．（2021•中山区一模）定义：点 是 轴上一点 ，函数 的图象与函数 的图象关于点 中心对称，将这一变换称为“ 变换”．将函数 的图象在直线 的左侧部分与函数 的图象 在直线 上及右侧部分组成的新图象记为 ， 对应的函数为 ． （1）若 ，函数 图象上的点 经过 变换后的坐标为 ； （2）若函数 为直线 ， 为直线 ，则点 的坐标为 ； （3）已知 ，且 ． ①若图象 上的三个点 ， B(t,y B ) ， C(t1,y C ) ，且ABC 的面积为1，求t的值； ②当 t1剟x t2 时，图象F 上的点的纵坐标的最大值与最小值之差为h，求h关于t的函数关系式． 18．（2020秋•泰兴市期末）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点 P(x,y) 的纵坐标 y 与其横坐标x的 差 yx 称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”． A(2,3) （1）①点 的“坐标差”为 ．yx2 5x3 ②抛物线 的“特征值”为 ． （2）某二次函数 yx2 bxc(c0) 的“特征值”为1，点 B(m,0) 与点C分别是此二次函数的图象与 x轴和 y 轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等． ①直接写出m （用含c的式子表示）； ②求此二次函数的表达式． （3）在平面直角坐标系 xOy 中，以 M(1,2) 为圆心，2为半径的圆与直线 yx 相交于点D、E请直接写出  M 的“特征值”为 ． yax2 bxc (a 0 a b c 19．（2021•苏州二模）定义：如果二次函数 1 1 1 1 ， 1， 1， 1是常数）与 ya x2 b xc (a 0 a b c a a 0 b b c c 0 2 2 2 2 ， 2， 2， 2是常数）满足 1 2 ， 1 2， 1 2 ，则这两个函数互为 “N”函数． （1）写出 yx2 x1 的“N”函数的表达式； （2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数 ykx(k 0) 的图象只有两个交点，求k的值； （3）如图，二次函数 y 1与 y 2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数 y 1与 y 2图象的顶点，C是“N ”函数 y 2与 y 轴正半轴的交点，连接 AB、AC 、BC，若点 A(2,1) 且ABC 为直角三角形，求点C的坐 标．20．（2021•嘉定区二模）在平面直角坐标系 xOy （如图）中，二次函数 f(x)ax2 2axa1 （其中a是 a0) 常数，且 的图象是开口向上的抛物线． （1）求该抛物线的顶点P的坐标； f(x)ax2 2axa1 y （2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线 与 轴的交点记为A， 如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围； f(1) f(0) f f （3）如果 、 、 （3）、 （4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一 个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围． y 21．（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于 轴对 y 称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于 轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定， 完成下列各题．  4   (x0) y x （1）若点 A(1,r) 与点 B(s,4) 是关于x的“T函数”   tx2x�0,t0,t是常数 的图象上的一对“T点”， 则r  ，s ，t  （将正确答案填在相应的横线上）； （2）关于x的函数 ykx p(k ， p 是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不 是，请说明理由； （3）若关于x的“T函数” yax2 bxc(a0 ，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l:ymxn(m0 ， n0，且 m， n是常数）交于 M(x 1， y 1 ) ， N(x 2， y 2 ) 两点，当 x 1， x 2满足 (1x 1 )1x 2 1 时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理 由． k y 22．（2020•开福区校级模拟）若一次函数 ymxn 与反比例函数 x 同时经过点 P(x,y) 则称二次函数 ymx2 nxk 为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点． 3 y （1）判断 y2x1 与 x是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明 理由； 2020 y （2）已知：整数m，n，t满足条件tn8m，并且一次函数 y(1n)x2m2 与反比例函数 x 存在“共享函数” y(mt)x2 (10mt)x2020 ，求m的值． m2 13 y （3）若一次函数 yxm 和反比例函数 x 在自变量x的值满足的 m剟x m6 的情况下．其“共 享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式． c y 23．（2020•雨花区校级二模）定义：若一次函数 yaxb 和反比例函数 x 满足abbc，则称 yax2 bxc 为一次函数和反比例函数的“等差”函数． 3 y （1）判断 yxb 和 x 是否存在“等差”函数？若存在，写出它们的“等差”函数； c c y y （2）若 y5xb 和 x 存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与 x 的图象的一个交点的横 坐标为1，求反比例函数的表达式； c 3 y a b) （3）若一次函数 yaxb 和反比例函数 x （其中a、b、c为常数，且a0，c0， 2 存在 yaxb A(x y ) B(x y ) “等差”函数，且 与“等差”函数有两个交点 1， 1 、 2， 2 ，试判断“等差”函数图象上是否存在一点 P(x,y) （其中 x 1 xx 2 ) ，使得ABP的面积最大？若存在，求出点P的横坐标；若不 存在，请说明理由． 24．（2020•东城区校级模拟）对于平面中给定的一个图形及一点 P，若图形上存在两个点 A、B，使得 PAB是边长为2的等边三角形，则称点P是该图形的一个“美好点”． （1）若将x轴记作直线l，下列函数的图象上存在直线l的“美好点”的是 （只填选项）． A．正比例函数 yx 1 y B．反比例函数 x C．二次函数 yx2 2 （2）在平面直角坐标系 xOy 中，若点 M( 3n ， 0) ， N(0,n) ，其中n0， O的半径为r ． ①若r2 3， O上恰好存在2个直线MN 的“美好点”，求n的取值范围； ②若n4，线段MN 上存在 O的“美好点”，直接写出r 的取值范围．