专题2.12二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解1_北师大初中数学_9下-北师大版初中数学_05习题试卷_1课时练习_同步练习（第2套）

专题 2.12 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（知识讲解 1） 【学习目标】 y ax2 bxc(a 0) 1. 会用描点法画二次函数 的图象；会用配方法将二次函数 y ax2 bxc y a(xh)2 k 的解析式写成 的形式； y ax2 bxc 2. .通过图象能熟练地掌握二次函数 的性质； y ax2 bxc y a(xh)2 k 3. .经历探索 与 的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函 数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】 y  ax2 bxc(a  0) y a(xh)2 k(a  0) 要点一、二次函数 与 之间的相互关系 1. 顶点式化成一般式 y a(xh)2 k 从函数解析式 我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称 y a(xh)2 k y a(xh)2 k 为顶点式，将顶点式 去括号，合并同类项就可化成一般式 y ax2 bxc ． 2. 一般式化成顶点式  b   b  b  2  b  2 y ax2 bxca  x2  x  cax2 x      c  a   a 2a 2a   b  2 4acb2 a x     2a 4a ． b 4acb2 h k  对照 y a(xh)2 k ，可知 2a ， 4a ．  b 4acb2  b x  ,  ∴ 抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是  2a 4a  ． 特别说明：  b 4acb2  b x  ,  1．抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是  2a 4a  ，可 以当作公式加以记忆和运用． y ax2 bxc 2．求抛物线 的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． y  ax2 bxc(a  0) 要点二、二次函数 的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出 对称轴． y ax2 bxc (2)求抛物线 与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C 关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 特别说明： 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、 M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称 点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， y  ax2 bxc(a  0) 要点三、二次函数 的图象与性质 y  ax2 bxc(a  0) 1.二次函数 图象与性质 函数 y ax2 bxc 二次函数 （a、b、c为常数，a≠0） a0 a0 图象 开口方向 向上 向下 b b 对称轴 x x 直线 2a 直线 2a  b 4acb2   b 4acb2  顶点坐标  ,   ,   2a 4a   2a 4a  b b x x 2a 2a 在对称轴的左侧，即当 时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 时，y b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧， 增减性 x b 增大而减小；在对称轴的右侧，即当 2a x 时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 即当 2a 时，y 随 x 的增大而减 小．简记：左增右减 b b x x 抛物线有最低点，当 2a 时，y 有最小 抛物线有最高点，当 2a 时，y有 最大(小)值 4acb2 4acb2 y  y  值， 最小值 4a 最大值， 最大值 4ay  ax2 bxc(a  0) 2.二次函数 图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a＞0 开口向上 a a＜0 开口向下 ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 b ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c=0 图象过原点 c c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 y  ax2 bxc(a  0) 要点四、求二次函数 的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当 b 4acb2 x y  2a 时， 最值 4a ． 特别说明： b  如果自变量的取值范围是x≤x≤x，那么首先要看 2a是否在自变量的取值范围x≤x≤x 1 2 1 2 b 4acb2 x y  内，若在此范围内，则当 2a 时， 最值 4a ，若不在此范围内，则需要考虑函数在 x≤x≤x 范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当 x＝x 时， 1 2 2 y ax2 bx c y ax2 bx c 最大值 2 2 ；当x＝x 时， 最小值 1 1 ，如果在此范围内，y随x的增大而 1 减小，则当x＝x 时， ；当x＝x 时， ，如果在此范围 1 2 b x 内，y值有增有减，则需考察x＝x，x＝x， 2a 时y值的情况． 1 2 特别说明： 【典型例题】1．已知抛物线 经过点A（3，0），B（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2）（1，4） 解：（1）∵抛物线 经过点A（3，0），B（－1，0）， ∴抛物线的解析式为； ，即 ， （2）∵抛物线的解析式为 ， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）． （1）根据抛物线 经过点A（3，0），B（﹣1，0），直接由交点式得出抛物线 的解析式． （2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案． 举一反三： 【变式1】 用配方法把二次函数y= x2–4x+5化为y=a(x+m)2+k的形式，再指出该函数图象的 开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，－3)． 【分析】用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可． 解：∵ y＝ x2－4x＋5＝ (x－4)2－3， ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，－3)． 【点拨】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键． 【变式2】已知二次函数 ． 用配方法将其化为 的形式； 在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．【答案】（1） ；（2）见解析. 【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；（2）利用描点法画出二次函数图 象即可． 解： = = ， 顶点坐标为 ，对称轴方程为 ． 函数二次函数 的开口向上，顶点坐标为 ，与x轴的交点为 ， ， 其图象为：故答案为（1） ；（2）见解析. 【点拨】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键． 【变式3】 已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）． （1）求此抛物线的解析式； （2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积． 【答案】（1）y＝﹣2x2﹣4x+4；（2）对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3） △CAO的面积为2． 【分析】（1）利用待定系数法把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c中，可以解得 b，c的值，从而求得函数关系式即可；（2）利用配方法求出图象的对称轴和顶点坐标； （3）由（2）可得顶点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO的面积． 解：（1）把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c， 得：¿，解得：¿， 所以此抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+4； （2）∵y＝﹣2x2﹣4x+4 ＝﹣2（x2+2x）+4 ＝﹣2[（x+1）2﹣1]+4 ＝﹣2（x+1）2+6， ∴此抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）； （3）由（2）知：顶点C（﹣1，6）， ∵点A（0，4），∴OA＝4， 1 1 ∴S ＝ OA•|x|＝ ×4×1＝2， △CAO 2 c 2 即△CAO的面积为2． 故答案为：（1）y＝﹣2x2﹣4x+4； （2）对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）； （3）△CAO的面积为2． 【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数 的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键．2．已知：二次函数 （1）求出该函数图象的顶点坐标； （2）在所提供的网格中画出该函数的草图． 【答案】（1） (－2，－1)；（2）见解析 【分析】 （1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标； （2）利用五点法画二次函数的图象即可． 解：（1） 化为顶点式为 则该函数图象的顶点坐标为 ； （2）先求出自变量x在 处的函数值，再列出表格 当 和 时， 当 和 时， 当 时， 列出表格如下： 由此画出该函数的草图如下：【点拨】本题考查了二次函数的顶点式、画二次函数的图象，掌握函数图象的画法是解题关键． 举一反三： 【变式1】已知二次函数y=﹣x2+4x． （1）写出二次函数y=﹣x2+4x图象的对称轴； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）； （3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围． 【答案】（1）对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）见解析；（3）x＜0或x＞ 4． 试题分析：（1）把一般式化成顶点式即可求得； （2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可． （3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围． 解：（1）∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4， ∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2； （2）列表得： x … -1 0 1 2 3 4 5 … y … -5 0 3 4 3 0 -5 …描点，连线． （3）由图象可知， 当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4． 【变式2】 已知二次函数y＝ x2﹣x﹣ ． （1）在平面直角坐标系内，画出该二次函数的图象； （2）根据图象写出：①当x 时，y＞0； ②当0＜x＜4时，y的取值范围为 ． 【答案】（1）见解析；（2）①x＜﹣1或x＞3；②﹣2≤y＜ ． 【分析】（1）先把解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（1，2）；再分别求出抛物线与 坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象； （2）①利用函数图象写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；②先确定x＝4时，y＝，然后利用函数图象写出当0＜x＜4时对应的函数值的范围． 解：（1）∵y＝ （x﹣1）2﹣2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）； 当x＝0时，y＝ x2﹣x﹣ ＝﹣ ，则抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣ ） 当y＝0时， x2﹣x﹣ ＝0，解得x＝﹣1，x＝3，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1， 1 2 0）、（3，0）， 如图， （2）①当x＜﹣1或x＞3时，y＞0； ②当0＜x＜4时，﹣2≤y＜ ； 故答案为x＜﹣1或x＞3；﹣2≤y＜ ． 【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的 性质． 【变式3】已知抛物线 ．（1）求这条抛物线的对称轴； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式； （3）设点 ， 在抛物线上，若 ，求m的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）当a＞0时， ；当a＜0时， 或 ． 【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；（2）根据（1）中的顶点式，得 到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到 的值，进而得到其解析式； （3）根据抛物线的对称性求得点Q关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可 得到 的取值范围． 解：（1）∵ ， ∴ ， ∴其对称轴为： ． （2）由（1）知抛物线的顶点坐标为： ， ∵抛物线顶点在 轴上， ∴ ， 解得： 或 ， 当 时，其解析式为： ， 当 时，其解析式为： ， 综上，二次函数解析式为： 或 ．（3）由（1）知，抛物线的对称轴为 ， ∴ 关于 的对称点为 ， 当a＞0时，若 ， 则-1＜m＜3； 当a＜0时，若 ， 则m＜-1或m＞3. 【点拨】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的 取值范围，熟知相关计算是解题的关键． 3、把抛物线 先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到 抛物线 ． （1）直接写出抛物线 的函数关系式； （2）动点 能否在拋物线 上？请说明理由； （3）若点 都在抛物线 上，且 ，比较 的大小，并说明理由． 【答案】（1） ；（2）不在，见解析；（3） ，见解析 【分析】（1）先求出抛物线 的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出 平移后的抛物线的顶点坐标即可；（2）根据抛物线 的顶点的纵坐标为 ，即可判断点 不在拋物线 上；（3）根据抛物线 的增减性质即可解答． 解：（1）抛物线 ，∴抛物线 的顶点坐标为(-1，2)， 根据题意，抛物线 的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，-3)， ∴抛物线 的函数关系式为： ； （2）动点P不在抛物线 上． 理由如下： ∵抛物线 的顶点为 ，开口向上， ∴抛物线 的最低点的纵坐标为 ． ∵ ， ∴动点P不在抛物线 上； （3） ． 理由如下： 由（1）知抛物线 的对称轴是 ，且开口向上， ∴在对称轴左侧y随x的增大而减小． ∵点 都在抛物线 上，且 ， ∴ ． 【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的 规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 举一反三： 【变式1】在平面直角坐标系 中，关于 的二次函数 的图象过点 ， ． （1）求这个二次函数的表达式；（2）求当 时， 的最大值与最小值的差； （3）一次函数 的图象与二次函数 的图象交点的横坐标分别 是 和 ，且 ，求 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ；（3） ． 【分析】 （1）利用待定系数法将点 ， 代入解析式中解方程组即可； （2）根据（1）中函数关系式得到对称轴 ，从而知在 中，当x=-2时，y有最大 值，当 时，y有最小值，求之相减即可； （3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出 >0，根据根与系数 的关系可得出a，b的值，然后根据 ，整理得出m的取值范围． 解：（1）∵ 的图象过点 ， ， ∴解得 ∴ （2）由（1）得，二次函数对称轴为 ∴当 时，y的最大值为(-2)2-(-2)-2=4, y的最小值为 ∴ 的最大值与最小值的差为 ； （3）由题意及（1）得 整理得 即 ∵一次函数 的图象与二次函数 的图象交点的横坐标分别是 和 ， ∴ 化简得 即 解得m≠5 ∴a，b为方程 的两个解又∵ ∴a=-1，b=4-m 即4-m>3 ∴m<1 综上所述，m的取值范围为 ． 【点拨】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系 等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质． 【变式2】如图，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点． （1）当0＜x＜3时，求y的取值范围； （2）点P为抛物线上一点，若S =10，求出此时点P的坐标． △PAB 【答案】(1) ﹣4≤y＜0;(2) P点坐标为（﹣2，5）或（4，5） 分析：(1)、首先将抛物线配成顶点式，然后根据x的取值范围，从而得出y的取值范围；(2)、 根据题意得出AB的长度，然后根据面积求出点P的纵坐标，根据抛物线的解析式求出点P的坐 标． 解：（1）∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4），由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0． （2）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0， 解得：x=-1 x=3 1 2 ∵A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴AB=4． 设P（x，y），则S = AB•|y|=2|y|=10， ∴|y|=5， ∴y=±5． △PAB ①当y=5时，x2﹣2x﹣3=5，解得：x=﹣2，x=4， 1 2 此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； ②当y=﹣5时，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程无解； 综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）． 点拨：本题主要考查的是二次函数的性质，属于基础题型．求函数值取值范围时，一定要注意自变量的取值范围是否是在对称轴的一边． 【变式3】已知抛物线y=ax2+bx+c 如图所示，直线x=-1是其对称轴， （1）确定a，b，c， Δ=b2-4ac的符号， （2）求证：a-b+c>0， （3）当x取何值时，y>0；当x取何值时y<0. 【答案】（1）a<0，b<0，c>0，b2-4ac>0； （2）a-b+c>0； （3）当-30 ，∴当x<-3 或x>1时，y<0. 【解析】思路点拨：（1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据 抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定b2-4ac的符号；（2）根据 图象和x=-1的函数值确定a-b+c与0的关系；（3）抛物线在x轴上方时y＞0；抛物线在x轴下 方时y＜0． 解：由抛物线的开口向下，得a<0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方，得c>0， 又由 <0，∴ >0， ∴a、b同号，由a<0得b<0. 由抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴Δ=b2-4ac>0 （2）由抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为x=-1. ∴当x=-1时，y=a-b+c>0 （3）由图象可知：当-30 ， ∴当x<-3或x>1时，y<0 考点：二次函数的图象与系数的关系 4、如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．（1）m的值为________； （2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小； （3）当x满足________时，抛物线在x轴上方； （4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________． 【答案】（1）3；（2）x＞1；（3）-1＜x＜3；（4）-5≤y≤4 【分析】根据函数的图象和性质即可求解． 解：（1）将（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，3＝m， 故答案为3； （2）m＝3时，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3， 函数的对称轴为直线x＝ ＝1， ∵﹣1＜0，故抛物线开口向下， 当x＞1时，y的值随x值的增大而减小， 故答案为x＞1； （3）令y＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或3， 从图象看，当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方； 故答案为﹣1＜x＜3； （4）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5， 而抛物线的顶点坐标为（1，4）， 故当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4， 故答案为﹣5≤y≤4． 【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键． 举一反三： 【变式1】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜ 0；③2a+b﹣c＜0；④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣ ，y）和（ ，y）在该图象上，则y＞ 1 2 1 y．其中正确的结论是_____（填入正确结论的序号） 2 【答案】②③④ 解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴右边， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①错误； ∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，故②正确； ∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，c＞0， ∴﹣ =1， ∴2a+b=0， ∴2a+b＜c， ∴2a+b﹣c＜0，故③正确； ∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0，故④正确； ∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴抛物线上x=﹣ 时的点与当x= 时的点对称， ∵x＞1，y随x的增大而减小， ∴y1＜y2，故⑤错误； 故答案为：②③④． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：① 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线 向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞ 0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③ 常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 5、如图，已知直线=-2x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛 物线的顶点，点B在x轴上． （1）求m的值； （2）求抛物线的解析式； （3）若点P是x轴上一点，当△ABP为直角三角形时直接写出点P的坐标． 【答案】（1）m＝6；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）点P的坐标为（7，0）或（1，0）． 【分析】（1）将点A坐标代入y=-2x+m，即可求解；（2）y=-2x+6，令y=0，则x=3，故 点B（3，0），则二次函数表达式为：y=a（x-1）2+4，将点B的坐标代入上式，即可求解； （3）分∠BAP=90°、∠AP（P′）B=90°两种情况，求解即可． 解：（1）将点A坐标代入y＝﹣2x+m得：4＝﹣2+m，解得：m＝6； （2）y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，故点B（3，0）， 则二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4， 解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3； （3）①当∠BAP＝90°时， 直线AB的表达式为：y＝﹣2x+6， 则直线PB的表达式中的k值为 ， 设直线PB的表达式为：y＝ x+b， 将点A的坐标代入上式得：4＝ ×1+b， 解得：b＝ ， 即直线PB的表达式为：y＝ x+ ， 当y＝0时，x＝﹣7， 即点P（7，0）； ②当∠AP（P′）B＝90°时， 点P′（1，0）； 故点P的坐标为（7，0）或（1，0）． 【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本知识，要注意类讨论，避免遗 漏，本题较为简单． 举一反三： 【变式1】已知二次函数 ． 如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围； 如图，二次函数的图象过，点 ，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象 的对称轴交于点P，求点P的坐标．【答案】（1） 且 ；（2）P点坐标为 ． 解：（1）根据题意得 且 ；（2）先求二次函数的解析式， 再求抛物线的对称轴，用待定系数法求直线AB的解析式，再求AB与对称轴的交点P. 解： 根据题意得 且 ， 所以 且 ； 把 代入 得 ， 解得 ， 所以抛物线解析式为 ， 所以抛物线的对称轴为直线 ， 当 时， ，则 ， 设直线AB的解析式为 ， 把 ， 代入得 ，解得 ， 所以直线AB的解析式为 ，当 时， ， 所以P点坐标为 ． 【点拨】本题考核知识点：二次函数与一次函数. 解题关键点：理解二次函数图象的交点问题. 【变式2】如图所示，已知直线y= x与抛物线y= 交于A、B两点，点C是抛物线 的顶点． (1)求出点A、B的坐标； (2)求出△ABC的面积； (3)在AB段的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A、B的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)30；(3)当a＝1时，△ABP的面积最 大，此时点P的坐标为(1， )． 【分析】 （1）由直线 与抛物线 交于A、B两点，可得方程 ， 解方程即可求得点A、B的坐标； （2）首先由点C是抛物线的顶点，即可求得点C的坐标，又由S =S +S 即可求得答案； △ABC △OBC △OAC （3）首先过点P作PD∥OC，交AB于D，然后设 ，即可求得点D的坐标，可得 PD的长，又由S =S +S ，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案． △ABP △BDP △ADP解：(1)∵直线 与抛物线 交于A、B两点， ∴ ， 解得：x＝6或x＝﹣4， 当x＝6时，y＝﹣3， 当x＝﹣4时，y＝2， ∴点A、B的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)； (2) ∵点C是抛物线的顶点． ∴点C的坐标为(0，6)， ∴S ＝S +S ＝ ×6×4+ ×6×6＝30； △ABC △OBC △OAC (3)存在． 过点P作PD∥OC，交AB于D， 设P(a，﹣ a2+6)， 则D(a，﹣ a)， ∴PD＝﹣ a2+6+ a， ∴S ＝S +S △ABP △BDP △ADP ＝ ×(﹣ a2+6+ a)×(a+4)+ ×(﹣ a2+6+ a)×(6﹣a) ＝ (﹣4＜a＜6)， ∴当a＝1时，△ABP的面积最大， 此时点P的坐标为(1， )．【点拨】此题考查了二次函数与一次函数的交点问题，三角形面积的求解以及二次函数的最值问 题等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．