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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.12不等式（组）的实际问题专题培优（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共24题，解答24道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信
息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共24小题）
1．（2021•济南模拟）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．
某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买 40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买
30支毛笔和200张宣纸需要260元．
（1）求毛笔和宣纸的单价；
（2）某超市给出以下两种优惠方案：
方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；
方案B：购买200张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折．
学校准备购买毛笔50支，宣纸若干张（超过200张）．选择哪种方案更划算？请说明理由．
【分析】（1）设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，根据“购买40支毛笔和100张宣纸需要28元；
购买30支毛笔和200张宣纸需要260元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买宣纸m（m＞200）张，利用总价＝单价×数量，可找出选择方案A和选择方案B所需费用，
分0.4m+280＜0.32m+316，0.4m+280＝0.32m+316和0.4m+280＞0.32m+316三种情况，求出m的取值范
围（或m的值）即可得出结论．
【解析】（1）设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，
{40x+100 y=280
依题意得： ，
30x+200 y=260
{ x=6
解得： ．
y=0.4
答：毛笔的单价为6元，宣纸的单价为0.4元．
（2）设购买宣纸m（m＞200）张．
选择方案A所需费用为50×6+0.4×（m﹣50）＝0.4m+280（元）；
选择方案B所需费用为50×6+0.4×200+0.4×0.8×（m﹣200）＝0.32m+316．
当0.4m+280＜0.32m+316时，解得：m＜450，
∴当200＜m＜450时，选择方案A更划算；当0.4m+280＝0.32m+316时，解得：m＝450，
∴当m＝450时，选择方案A和方案B所需费用一样；
当0.4m+280＞0.32m+316时，解得：m＞450，
∴当m＞450时，选择方案B更划算．
答：当购买的宣纸数量超过200张不足450张时，选择方案A更划算；当购买的宣纸数量等于450张时，
选择两方案所需费用相同；当购买的宣纸数量超过450张时，选择方案B更划算．
2．（2021•南海区一模）某一工厂购买 A、B两种材料，用于生产甲、乙两种产品，分别使用的材料数量
如表：
A种 B种
甲型 30kg 10kg
乙型 20kg 20kg
其中A种材料每千克15元，B种材料每千克25元．
（1）若生产甲型产品的数量比生产乙型产品的数量多10件时，两种产品需购买材料的资金相同，求生
产甲、乙两种产品各多少件？
（2）若工厂用于购买A、B两种材料的资金不超过385000元，且需生产两种产品共500件，求至少能
生产甲种产品多少件？
【分析】（1）分别求出生产每件甲、乙两种产品的材料费，设生产乙型产品 x件，则生产甲型产品
（x+10）件，根据两种产品需购买材料的资金相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结
论；
（2）设生产甲型产品m件，则生产乙型产品（500﹣m）件，根据用于购买A、B两种材料的资金不超
过385000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解析】（1）生产每件甲型产品的材料费为15×30+25×10＝700（元），
生产每件乙型产品的材料费为15×20+25×20＝800（元）．
设生产乙型产品x件，则生产甲型产品（x+10）件，
依题意得：700（x+10）＝800x，
解得：x＝70，
∴x+10＝80．
答：生产甲型产品80件，乙型产品70件．
（2）设生产甲型产品m件，则生产乙型产品（500﹣m）件，
依题意得：700m+800（500﹣m）≤385000，
解得：m≥150．答：至少能生产甲型产品150件．
3．（2021春•柳南区校级期末）为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种工具，如果购买甲种3件，乙种2
件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．
（1）甲、乙两种工具每件各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1000元，那么甲种工具最多购买多少件？
【分析】（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元，根据“如果购买甲种3件，乙种2件，共需
56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可
得出结论；
（2）设甲种工具购买了m件，则乙种工具购买了（100﹣m）件，根据总价＝单价×数量结合总费用不
超过1000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解析】（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元，
{3x+2y=56
依题意得： ，
x+4 y=32
{x=16
解得： ．
y=4
答：甲种工具每件16元，乙种工具每件4元．
（2）设甲种工具购买了m件，则乙种工具购买了（100﹣m）件，
依题意得：16m+4（100﹣m）≤1000，
解得：m≤50．
答：甲种工具最多购买50件．
4．（2021春•清江浦区月考）某公司为了响应国家号召，疫情之后尽快复工复产，需购买一批普通医用防
护口罩和N95口罩，已知购买80个普通医用防护口罩和10个N95口罩共需420元，购买60个普通医
用防护口罩和10个N95口罩共需360元．
（1）求普通医用防护口罩和N95口罩的价格．
（2）如果购买普通医用防护口罩的数量不超过购买 N95口罩数量的10倍，求购买两种口罩共2200个，
最低需要多少元？
【分析】（1）设普通医用防护口罩每个x元，N95口罩每个y元，由题意列出二元一次方程组，解方程
组则可得出答案；
（2）设购买普通医用防护口罩a个，购买N95口罩（2200﹣a）个，由题意得出a≤10（2200﹣a），
求出a的取值范围，根据总费用的关系式可求出答案．
【解析】（1）设普通医用防护口罩每个x元，N95口罩每个y元，由题意得，{80x+10 y=420
，
60x+10 y=360
{ x=3
解得 ，
y=18
答：普通医用防护口罩每个3元，N95口罩每个18元；
（2）设购买普通医用防护口罩a个，购买N95口罩（2200﹣a）个，由题意得，
a≤10（2200﹣a），
解得a≤2000，
购买口罩的总费用W＝3a+18（2200﹣a）＝﹣15a+39600，
当a取2000时，W有最小值，最低费用为﹣15×2000+39600＝9600（元），
答：最低需要9600元．
5．（2021•天桥区一模）某学校为了满足疫情防控需求，决定购进 A、B两种型号的口罩若干盒，若购进
A型口罩10盒，B型口罩5盒，共需1000元，若购进A型口罩4盒，B型口罩3盒，共需550元．
（1）求A、B两种型号的口罩每盒各需多少元？
（2）若该学校决定购进这两种型号的口罩共计200盒，并要求购进A型口罩的盒数不超过B型口罩盒
数的4倍，请为该学校设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设购进A型口罩每盒需x元，B型口罩每盒需y元，根据题意列出二元一次方程组可得出
答案；
（2）设购进m盒A型口罩，则购进（200﹣m）盒B型口罩，由购进A型号口罩的盒数不超过B型口罩
盒数的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该学校购进这批口罩
共花费w元，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解
决最值问题．
【解析】（1）设购进A型口罩每盒需x元，B型口罩每盒需y元，
{10x+5 y=1000
依题意，得： ，
4x+3 y=550
{ x=25
解得： ，
y=150
答：A型口罩每盒需25元，B型口罩每盒需150元；
（2）设购进m盒A型口罩，则购进（200﹣m）盒B型口罩，
依题意，得：m≤4（200﹣m），
解得：m≤160．
设该学校购进这批口罩共花费w元，则w＝25m+150（200﹣m）＝﹣125m+30000．∵﹣125＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤160，且m为整数，
∴当m＝160时，w取得最小值，此时200﹣m＝40．
∴最省钱的购买方案为：购进160盒A型口罩，40盒B型口罩．
6．（2021秋•道里区期末）某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．到商场购买了甲、
乙两种文具作为奖品，若购买甲种文具12个，乙种文具18个，共花费420元；若购买甲种文具16个，
乙种文具14个，共花费460元；
（1）求购买一个甲种、一个乙种文具各需多少元？
（2）班主任决定购买甲、乙两种文具共30个，如果班主任此次购买甲、乙两种文具的总费用不超过
500元，求至多需要购买多少个甲种文具？
【分析】（1）设购买一个甲种文具需要x元，一个乙种文具需要y元，根据“若购买甲种文具12个，
乙种文具18个，共花费420元；若购买甲种文具16个，乙种文具14个，共花费460元”，即可得出关
于x，y的二元一次方程组，解之即可得出购买一个甲种、一个乙种文具所需费用；
（2）设需要购买m个甲种文具，则购买（30﹣m）个乙种文具，利用总价＝单价×数量，结合购买甲、
乙两种文具的总费用不超过500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出
结论．
【解析】（1）设购买一个甲种文具需要x元，一个乙种文具需要y元，
{12x+18 y=420
依题意得： ，
16x+14 y=460
{x=20
解得： ．
y=10
答：购买一个甲种文具需要20元，一个乙种文具需要10元．
（2）设需要购买m个甲种文具，则购买（30﹣m）个乙种文具，
依题意得：20m+10（30﹣m）≤500，
解得：m≤20．
答：至多需要购买20个甲种文具．
7．（2021春•天津期末）列方程组或不等式解决实际问题：
某汽车公司向红十字会捐赠A，B两种型号的新能源汽车，第一次捐赠2辆A型车和2辆B型车，价值
50万元；第二次捐赠4辆A型车和3辆B型车，价值85万元．设A型车的单价为x万元，B型车的单价
为y万元．（1）根据题意，填写下表：
A型车的价值（万元） B型车的价值（万元） 总价值（万元）
第一次捐赠 2x 2 y 50
第二次捐赠 4 x 3y 85
（2）求A型车和B型车的单价各为多少万元．
（3）该公司若准备再次捐赠A，B两种型号的新能源汽车共8辆，且价值不多于100万元，那么A型号
汽车的应不少于 4 辆．
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，可用含x（y）的代数式表示出各量；
（2）根据“第一次捐赠的总价值为50万元，第二次捐赠的总价值为85万元”，即可得出关于x，y的
二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设捐赠A型车m辆，则捐赠B型车（8﹣m）辆，根据总价＝单价×数量，结合再次捐赠的总价值
不多于100万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整
数值即可得出结论．
【解析】（1）∵第一次捐赠2辆A型车和2辆B型车，第二次捐赠4辆A型车和3辆B型车，
∴第一次捐赠B型车的价值为2y万元，第二次捐赠A型车的价值为4x万元．
故答案为：2y；4x．
{2x+2y=50
（2）依题意得： ，
4x+3 y=85
{x=10
解得： ．
y=15
答：A型车的单价为10万元，B型车的单价为15万元．
（3）设捐赠A型车m辆，则捐赠B型车（8﹣m）辆，
依题意得：10m+15（8﹣m）≤100，
解得：m≥4．
∵m为整数，
∴m的最小值为4．
故答案为：4．
8．（2021•阿城区模拟）为更好地推进太原市生活垃圾分类工作，改善城市生态环境．某小区准备购买
A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买
2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
（1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？（2）该小区物业计划用不多于2100元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个（两种都需要购买），
则该小区最多可以购买B型垃圾箱多少个？有几种购货方案？
【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃
圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元”，即可得出关于x、y的二元
一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买 B 型垃圾箱 m 个，则购买 A 型垃圾箱（20﹣m）个，依题意有 120m+100（20﹣m）
≤2100，解得m≤5．可得出答案．
{3x+2y=540
【解析】（1）设每个A型垃圾箱x元，B型垃圾箱y元，依题意有 ，
3 y−2x=160
{x=100
解得 ，
y=120
故每个A型垃圾箱100元，B型垃圾箱120元；
（2）设购买 B 型垃圾箱 m 个，则购买 A 型垃圾箱（20﹣m）个，依题意有 120m+100（20﹣m）
≤2100，
解得m≤5．
∵两种垃圾箱都要购买，
∴0＜m≤5且m为整数，
∴m＝1，2，3，4，5，
故该小区最多可以购买B型垃圾箱5个，共有5种购货方案．
9．（2020•越秀区一模）疫情期间为了满足口罩需求，某学校决定购进 A，B两种型号的口罩．若购进A
型口罩10盒，B型口罩5盒，共需1000元；若购进A型口罩4盒，B型口罩3盒，共需550元，
（1）求A，B两种型号的口罩每盒各需多少元？
（2）若该学校决定购进这两种型号的口罩共计200盒，考虑到实际需求，要求购进A型号口罩的盒数
不超过B型口罩盒数的6倍，请为该学校设计出最省钱的方案，并说明理由．
【分析】（1）设购进A型口罩每盒需x元，B型口罩每盒需y元，根据“若购进A型口罩10盒，B型
口罩5盒，共需1000元；若购进A型口罩4盒，B型口罩3盒，共需550元”，即可得出关于x，y的二
元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m盒A型口罩，则购进（200﹣m）盒B型口罩，由购进A型号口罩的盒数不超过B型口罩盒数的6倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该学校购进这批口罩
共花费w元，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解
决最值问题．
【解析】（1）设购进A型口罩每盒需x元，B型口罩每盒需y元，
{10x+5 y=1000
依题意，得： ，
4x+3 y=550
{ x=25
解得： ．
y=150
答：购进A型口罩每盒需25元，B型口罩每盒需150元．
（2）设购进m盒A型口罩，则购进（200﹣m）盒B型口罩，
依题意，得：m≤6（200﹣m），
3
解得：m≤171 ．
7
设该学校购进这批口罩共花费w元，则w＝25m+150（200﹣m）＝﹣125m+30000．
∵﹣125＜0，
∴w随m的增大而减小，
3
又∵m≤171 ，且m为整数，
7
∴当m＝171时，w取得最小值，此时200﹣m＝29．
∴最省钱的购买方案为：购进171盒A型口罩，29盒B型口罩．
10．（2021•南岗区校级一模）哈47中学某班级为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢
笔和自动铅笔，到文教店查看定价后发现，购买1支钢笔和5支自动铅笔共需50元，购买3支钢笔和2
支自动铅笔共需85元．
（1）求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元；
（2）经协商，文教店给予该班级购买一支该品牌钢笔赠送一支自动铅笔的优惠，如果该班级需要自动
铅笔的支数是钢笔的支数的2倍还多8支，且班级购买钢笔和自动铅笔的总费用少于670元，那么该班
级最多可购买多少支该品牌的钢笔？
【分析】（1）设该品牌的钢笔每支的定价为x元，自动铅笔每支的定价为y元，根据“购买1支钢笔和
5支自动铅笔共需50元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元”，即可得出关于x，y的二元一次方
程组，解之即可得出结论；
（2）设该班级购买m支该品牌的钢笔，则购买（2m+8）支该品牌的自动铅笔，根据总价＝单价×数量
结合班级购买钢笔和自动铅笔的总费用少于670元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解析】（1）设该品牌的钢笔每支的定价为x元，自动铅笔每支的定价为y元，
{ x+5 y=50
依题意，得： ，
3x+2y=85
{x=25
解得： ．
y=5
答：该品牌的钢笔每支的定价为25元，自动铅笔每支的定价为5元．
（2）设该班级购买m支该品牌的钢笔，则购买（2m+8）支该品牌的自动铅笔，
依题意，得：25m+5（2m+8﹣m）＜670，
解得：m＜21，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为20．
答：该班级最多可购买20支该品牌的钢笔．
11．（2021•平房区一模）为了丰富学生的大课间活动，振海中学到体育用品商店购买篮球和足球，若购
买2个篮球和3个足球共需600元，购买3个篮球和1个足球其需550元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元？
（2）振海中学决定购买篮球和足球共20个，经商议，体育用品商店决定篮球单价打八折，足球单价不
变，若总费用不超过2200元，那么该校最多可以购买多少个篮球？
【分析】（1）设每个篮球的售价为x元，每个足球的售价为y元，根据“购买2个篮球和3个足球共需
600元，购买3个篮球和1个足球共需550元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出
结论；
（2）设振海中学购买m个篮球，则购买（20﹣m）个足球，由题意即可得出关于m的一元一次不等式，
解之即可得出m的取值范围，则可得出答案．
【解析】（1）设每个篮球的售价为x元，每个足球的售价为y元，
{2x+3 y=600
依题意，得： ，
3x+ y=550
{x=150
解得： ．
y=100
答：每个篮球的售价为150元，每个足球的售价为100元．
（2）设振海中学购买m个篮球，则购买（20﹣m）个足球，
根据题意，得150×80%m+100×（20﹣m）≤2200，
解得：m≤10，答：该校最多可以购买10个篮球．
12．（2021春•兴国县期末）永州市在进行“六城同创”的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿
化改造，若购买A种树2棵，B种树3棵，需要2700元；购买A种树4棵，B种树5棵，需要4800元．
（1）求购买A，B两种树每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于52500元．若购
进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？
【分析】（1）设购买A种树每棵需要x元，B种树每棵需要y元，根据“购买A种树2棵，B种树3棵，
需要2700元；购买A种树4棵，B种树5棵，需要4800元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，
解之即可得出结论；
（2）设购进A种树m棵，则购进B种树（100﹣m）棵，根据购进A种树不能少于48棵且购买这两种
树的资金不低于52500元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合
m为整数即可得出各购买方案．
【解析】（1）设购买A种树每棵需要x元，B种树每棵需要y元，
{2x+3 y=2700
依题意，得： ，
4x+5 y=4800
{x=450
解得： ．
y=600
答：购买A种树每棵需要450元，B种树每棵需要600元．
（2）设购进A种树m棵，则购进B种树（100﹣m）棵，
{ m≥48
依题意，得： ，
450m+600(100−m)≥52500
解得：48≤m≤50．
∵m为整数，
∴m为48，49，50．
当m＝48时，100﹣m＝100﹣48＝52；
当m＝49时，100﹣m＝100﹣49＝51；
当m＝50时，100﹣m＝100﹣50＝50．
答：有三种购买方案，第一种：A种树购买48棵，B种树购买52棵；第二种：A种树购买49棵，B种
树购买51棵；第三种：A种树购买50棵，B种树购买50棵．
13．（2020秋•北碚区校级期末）2021年元旦班级活动中，西大附中初2023级（1）班决定到晨光文具店
采购一批本子和笔对本学年各方面表现优异的学生作为奖励．已知购买 3个本子，4支笔需要花费29元；购买2个本子，5支笔需要花费24元．
（1）试问本子和笔的单价分别是多少钱？
2
（2）根据班级商量，决定购进本子和笔共150件，要求购买本子的数量不低于购买笔的 ，且购买本
5
子和笔所用班费不超过525元，请通过计算设计出所有可能的购买方案．
【分析】（1）设本子单价是x元，笔的单价是y元，由题意列出二元一次方程组，则可得出答案；
（2）设购进本子a件，则笔购进（150﹣a）件，由题意列出一元一次不等式组，则可得出答案．
【解析】（1）设本子单价是x元，笔的单价是y元，由题意得，
{3x+4 y=29
，
2x+5 y=24
{x=7
解得 ，
y=2
答：本子单价是7元，笔的单价是2元．
（2）设购进本子a件，则笔购进（150﹣a）件，由题意得，
{ 2
a≥ (150−a)
5 ，
7a+2(150−a)≤525
6
解得42 ≤a≤45，
7
∵a为整数，
∴a＝43，44，45．
∴有三种购买方案：购进本子43件，笔购进107件；
购进本子44件，笔购进106件；
购进本子45件，笔购进105件．
14．（2021春•萝北县期末）某公司计划购买A，B两种型号的打印机共20台，通过市场调研发现，购买3
台A型打印机和4台B型打印机需6180元，购买4台A型打印机和6台B型打印机需8840元．
（1）购买A，B两种型号打印机每台的价格分别是多少元？
（2）根据公司实际情况，要求购买A型打印机的数量不超过B型打印机数量的一半，且购买这两种型
号打印机的总费用不能超过17800元，该公司按计划购买A，B两种型号打印机共有几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案费用最低？并求出最低费用．
【分析】（1）设购买A种型号打印机每台的价格是x元，购买B种型号打印机每台的价格是y元，根
据购买3台A型打印机和4台B型打印机需6180元；购买4台A型打印机和6台B型打印机需8840元列方程组求解；
（2）设购买A种型号打印机m台，则购买B种型号打印机（20﹣m）台，根据题意可列出不等式组求
解．
（3）根据求出的购买方案直接计算可得出答案．
【解析】（1）设购买A种型号打印机每台的价格是x元，购买B种型号打印机每台的价格是y元，依
题意有：
{3x+4 y=6180
，
4x+6 y=8840
{x=860
解得 ．
y=900
故购买A种型号打印机每台的价格是860元，购买B种型号打印机每台的价格是900元；
（2）设购买A种型号打印机m台，则购买B种型号打印机（20﹣m）台，依题意有：
{ 1
m≤ (20−m)
2 ，
860m+900(20−m)≤17800
20
解得：5≤m≤ ．
3
故共有两种购买方案：
购买A种型号打印机5台，购买B种型号打印机15台；
购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台．
（3）若购买A种型号打印机5台，购买B种型号打印机15台，费用为860×5+900×15＝17800（元）；
若购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用为860×6+900×14＝17760（元）；
∵17800＞17760，
∴购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用最低，最低费用为17760元．
15．（2021•开江县模拟）列方程组或不等式解决实际问题：
某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，上周售出1辆A型车和2辆B型车，销售额为70万元；
本周已售出3辆A型车和1辆B型车，销售额为80万元．
（1）每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共7辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于
154万元，则有哪几种购车方案？
【分析】（1）设每辆车A型车的售价为x万元，每辆车B型车的售价为y万元，根据“1辆A型车和2
辆B型车，销售额为70万元；本周已售出3辆A型车和1辆B型车，销售额为80万元”即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型车m辆，则购进B型车（7﹣m）辆，根据总价＝单价×数量结合购车总费用不超过154
万元，A型号车不少于2辆，即可得出关于m的一元一次不等式组，再解即可．
【解析】（1）设每辆车A型车的售价为x万元，每辆车B型车的售价为y万元，
{x+2y=70
依题意，得： ，
3x+ y=80
{x=18
解得： ，
y=26
答：每辆车A型车的售价为18万元，每辆车B型车的售价为26万元．
（2）设购进A型车m辆，则购进B型车（7﹣m）辆，
依题意，得：
{18m+26(7−m)≥154
，
m≥2
解得：3.5≥m≥2．
∵m为整数，
∴m＝2或3，
答：有2种购车方案：购进A型车2辆，购B型5辆；购进A型车3辆，购B型4辆．
16．（2019•龙马潭区模拟）某零件制造车间有工人20名．已知每名工人每天可制造甲种零件4个或乙种
零件3个．
（1）若将零件进行组合，1个乙种零件与2个甲种零件配成一套，则应安排多少人生产甲种零件、多少
人生产乙种零件，才能使每天生产的两种零件刚好配套？
（2）若将零件出售，每个甲种零件可获利润200元，每个乙种零件可获利润240元，要使车间每天所
获利润不低于15280元，且生产的甲种零件数不超过乙种零件数的2.5倍，则有哪几种安排工人的方案？
【分析】（1）设应安排x人生产甲种零件，安排y人生产乙种零件，根据“有工人20名，每名工人每
天可制造甲种零件4个或乙种零件3个，1个乙种零件与2个甲种零件配成一套”列出二元一次方程组，
从而求解；
（2）设应安排a人生产甲种零件，则安排（20﹣a）人生产乙种零件，然后根据“车间每天所获利润不
低于15280元，且生产的甲种零件数不超过乙种零件数的2.5倍”列出不等式组，从而求解．
【解析】（1）设应安排x人生产甲种零件，安排y人生产乙种零件，
{ x+ y=20
由题意可得： ，
4x=2×3 y{x=12
解得： ，
y=8
答：应安排12人生产甲种零件，安排8人生产乙种零件；
（2）设应安排a人生产甲种零件，则安排（20﹣a）人生产乙种零件，
{200×4a+240×3(20−a)≥15280
由题意可得： ，
4a≤2.5×3(20−a)
300
解得：11≤a≤ ，
23
又∵a须为非负整数，
∴a可以取11或12或13，
答：共有三种方案，方案①安排11人生产甲种零件，9人生产乙种零件，方案②安排12人生产甲种零
件，8人生产乙种零件，方案③安排13人生产甲种零件，7人生产乙种零件．
17．（2021•湖南模拟）某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建了中、小两种图书馆．若建
立3个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆需要19万元．
（1）建立每个中型图书馆和每个小型图书馆各需要多少万元？
（2）现要建立中型图书馆和小型图书馆共10个，小型图书馆数量不多于中型图书馆数量，且总费用不
超过44万元，那么有哪几种方案？
【分析】（1）设建立每个中型图书馆需要x万元，建立每个小型图书馆需要y万元，根据建立3个中型
图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆需要19万元，列方程组
求解．
（2）设建立中型图书馆a个，根据要建立中型图书馆和小型图书馆共10个，小型图书馆数量不多于中
型图书馆数量，且总费用不超过44万元，列出不等式组求解．
【解析】（1）设建立每个中型图书馆需要x万元，建立每个小型图书馆需要y万元，
{3x+5 y=30
根据题意列方程组： ．
2x+3 y=19
{x=5
解得： ．
y=3
答：建立每个中型图书馆需要5万元，建立每个小型图书馆需要3万元．
（2）设建立中型图书馆a个，
{5a+3(10−a)≤44
根据题意得： ．
10−a≤a解得：5≤a≤7．
∵a取正整数，
∴a＝5，6，7．
∴10﹣a＝5，4，3
答：一共有3种方案：
方案一：中型图书馆5个，小型图书馆5个；
方案二：中型图书馆6个，小型图书馆4个；
方案三：中型图书馆7个，小型图书馆3个．
18．（2021•佳木斯模拟）新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，
若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需
要资金4600元．
（1）求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？
（2）该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74
万元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案；
（3）若销售一箱甲型口罩，利润率为40%，乙型口罩的售价为每箱1280元．为了促销，公司决定每售
出一箱乙型口罩，返还顾客现金m元，而甲型口罩售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的
值．
【分析】（1）设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元，根据“若购进2箱甲型口罩
和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金4600元”，
即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进a箱甲型口罩，则购进（20﹣a）箱乙型口罩，根据进货总价不多于1.8万元且不少于1.74
万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合a为正整数即可得出各
进货方案；
（3）设销售完20箱口罩后获得的利润为w元，根据总利润＝每箱利润×销售数量（进货数量），即可
得出w关于a的函数关系式，由（2）中所有方案获利相同可得出m﹣80＝0，解之即可得出m的值．
【解析】（1）设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元，
{2x+ y=2800
依题意，得： ，
3x+2y=4600
{x=1000
解得： ．
y=800
答：甲型口罩每箱的进价为1000元，乙型口罩每箱的进价为800元．（2）设购进a箱甲型口罩，则购进（20﹣a）箱乙型口罩，
{1000a+800(20−a)≤18000
依题意，得： ，
1000a+800(20−a)≥17400
解得：7≤a≤10．
∵a为正整数，
∴a可取7、8、9、10．
∴共有4种进货方案，方案1：购进7箱甲型口罩，13箱乙型口罩；方案2：购进8箱甲型口罩，12箱
乙型口罩；方案3：购进9箱甲型口罩，11箱乙型口罩；方案4：购进10箱甲型口罩，10箱乙型口罩．
（3）设销售完20箱口罩后获得的利润为w元，
依题意，得：w＝1000×40%a+（1280﹣800﹣m）（20﹣a）＝（m﹣80）a+9600﹣20m．
∵（2）中所有方案获利相同，即w的值与a无关，
∴m﹣80＝0，
∴m＝80．
19．（2021秋•蕲春县月考）入汛以来，我国南方地区发生多轮降雨，造成的多地发生较重洪涝灾害．某
爱心机构将为一受灾严重地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件．
（1）求打包成件的帐篷和食品各多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区．已知甲种货车
最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件．安排甲、乙两种货车时有几
种方案？请你帮助设计出来；
（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费2000元，乙种货车每辆需付运输费1800元，
应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
【分析】（1）设食品x件，则帐篷（x+80）件，等量关系：帐篷件数+食品件数＝320，列出一元一次
方程，即可求出解；
（2）先由不等关系得到一元一次不等式组，求出解集，再根据实际含义确定方案；
（3）分别计算每种方案的运费，然后比较得出结果．
【解析】（1）设食品x件，则帐篷（x+80）件，由题意得：
x+（x+80）＝320，
解得：x＝120．
∴帐篷有120+80＝200件．
答：食品120件，则帐篷200件；（2）设租用甲种货车a辆，则乙种货车（8﹣a）辆，由题意得：
{40a+20(8−a)≥200
，
10a+20(8−a)≥120
解得：2≤a≤4．
又∵a为整数，
∴a＝2或3或4．
∴乙种货车为：6或5或4．
∴方案共有3种：
方案一：甲车2辆，乙车6辆；
方案二：甲车3辆，乙车5辆；
方案三：甲车4辆，乙车4辆；
（3）3种方案的运费分别为：
方案一：2×2000+6×1800＝14800（元）；
方案二：3×2000+5×1800＝15000（元）；
方案三：4×2000+4×1800＝15200（元）．
∵14800＜15000＜15200
∴方案一运费最少，最少运费是14800元．
20．（2020春•武汉月考）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出了不同的优惠方案：
在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按80%收费；在乙商场累计购物超过100元后，超
出100元的部分按90%收费．
（1）当顾客累计购物不超过100元时，选择到哪家商场购物花费少？（直接回答）
（2）当顾客累计购物超过100元且不超过200元时，选择到哪家商场购物花费少？（直接回答）
（3）当顾客累计购物超过200元时，选择到哪家商场购物花费少？请你运用所学的不等式知识计算回
答．
【分析】（1）由累计购物的价值结合两商场的优惠方案，即可得出结论；
（2）由累计购物的价值结合两商场的优惠方案，即可得出结论；
（3）设购买物品的原价为x元（x＞200），则到甲商场购买的花费为（0.8x+40）元，到乙商场购买的
花费为（0.9x+10）元，分0.8x+40＞0.9x+10，0.8x+40＝0.9x+10及0.8x+40＜0.9x+10三种情况，求出x
的取值范围（或x的值），进而可得出结论．
【解析】（1）当顾客累计购物不超过100元时，选择两家商场都不优惠，且两家商场以同样的价格出售同样的商品，因此到两家商场购物花费一样．
（2）当顾客累计购物超过100元且不超过200元时，享受乙商场的购物优惠，不享受甲商场的购物优
惠，因此到乙商场购物花费少．
（3）设购买物品的原价为 x 元（x＞200），则到甲商场购买的花费为 200+（x﹣200）×80%＝
（0.8x+40）元，到乙商场购买的花费为100+（x﹣100）×90%＝（0.9x+10）元．
当0.8x+40＞0.9x+10时，x＜300，
∴200＜x＜300；
当0.8x+40＝0.9x+10时，x＝300；
当0.8x+40＜0.9x+10时，x＞300．
答：当购物超过200元而不到300元时，到乙商场花费少；当购物300元时，到甲乙两家商场花费一样；
当购物超过300元时，到甲商场花费少．
21．（2020秋•南岗区校级月考）为培养学生养成良好的读书习惯，学校计划创建中、小型两类班级图书
角以打造书香校园．已知创建一个中型图书角需科技类书籍 90本，人文类书籍60本，共需购书费用
1080元；创建一个小型图书角需科技类书籍40本，人文类书籍30本，共需购书费用500元，又知每本
科技类书籍的价格相同，每本人文类书籍的价格也相同．
（1）求每本科技类书籍和每本人文类书籍的价格分别为多少元？
（2）若该学校计划用不超过15800元的资金组建中、小型两类图书角共20个，求最多创建多少个中型
图书角？
【分析】（1）设每本科技类书籍x元，每本人文类书籍的价格为y元，根据组建中型图书角和小型图
书角的费用列二元一次方程组求解可得；
（2）设组建a个中型图书角，则组建（20﹣a）个小型图书角，根据“中型图书角的总费用+小型图书
角的总费用≤15800”列一元一次不等式组求解可得．
【解析】（1）设每本科技类书籍x元，每本人文类书籍的价格为y元，
{90x+60 y=1080
根据题意，得： ，
40x+30 y=500
{x=8
解得： ，
y=6
答：每本科技类书籍8元，每本人文类书籍的价格为6元；
（2）设组建a个中型图书角，则组建（20﹣a）个小型图书角，
根据题意，得：1080a+500（20﹣a）≤15800，解得：a≤10，
答：最多组建10个中型图书角．
22．（2020春•五华区校级月考）水是人类的生命之源，为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯
式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答：
自来水销售价格
每户每月用水量 单位：元/吨
15吨及以下 a
超过15吨但不超过25吨的部分 b
超过25吨的部分 5
（1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费 （ 1 5 a + 5 b ） 元；（用a，b的代数式表示）
（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元，求a，
b的值．
（3）如果小王家5月份用水水费计划不超过67元，则小王家5月份最多可用水多少吨？
【分析】（1）根据总价＝单价×数量结合生活用水阶梯式计费价格表，即可用含a，b的代数式表示出
应交水费；
（2）根据“小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元”，
即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设小王家5月份用水x吨（x＞25），根据用水水费计划不超过67元，即可得出关于x的一元一次
不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解析】（1）15a+（20﹣15）b＝15a+5b（元），
故答案为：（15a+5b）．
{ 15a+(21−15)b=48
（2）依题意，得： ，
15a+(25−15)b+(27−25)×5=70
{a=2
解得： ，
b=3
答：a的值为2，b的值为3．
（3）设小王家5月份用水x吨（x＞25），
依题意，得：15×2+（25﹣15）×3+5（x﹣25）≤67，
解得：x≤26.4，
答：小王家5月份最多可用水26.4吨．
23．（2020春•皇姑区校级月考）某服装店销售一批进价分别为 200元、170元的A、B两款T恤衫，如表中是近两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A B
第一天 3件 5件 1800元
第二天 4件 10件 3100元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两款T恤衫的销售单价；
（2）若该服装店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款T恤衫共30件，求A款T恤衫最多能
采购多少件？
（3）在（2）的条件下，在销售完这30件T恤衫能否实现利润为1300元的目标？若能，直接写出相应
的采购方案；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设A款T恤衫的销售单价为x元，B款T恤衫的销售单价为y元，根据总价＝单价×数量
结合近两天的销售情况，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A款T恤衫采购了m件，则B款T恤衫采购了（30﹣m）件，根据总价＝单价×数量结合总价不
多于5400元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最大值即可得出结论；
（3）根据总利润＝每件的利润×销售数量（购进数量），即可得出关于m的一元一次方程，解之即可
得出结论．
【解析】（1）设A款T恤衫的销售单价为x元，B款T恤衫的销售单价为y元，
{3x+5 y=1800
依题意，得： ，
4x+10 y=3100
{x=250
解得： ．
y=210
答：A款T恤衫的销售单价为250元，B款T恤衫的销售单价为210元．
（2）设A款T恤衫采购了m件，则B款T恤衫采购了（30﹣m）件，
依题意，得：200m+170（30﹣m）≤5400，
解得：m≤10．
答：A款T恤衫最多能采购10件．
（3）依题意，得：（250﹣200）m+（210﹣170）（30﹣m）＝1300，
解得：m＝10，
∴当A款T恤衫采购了10件，B款T恤衫采购了20件时，销售完这30件T恤衫的利润为1300元．
24．（2020春•侯马市期末）某爱心公司捐资购买了120吨物资打算运往山区，现有甲、乙两种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车都满载，但不超载）
车型 甲 乙
汽车运载量（吨/辆） 5 10
汽车运费（元/辆） 400 700
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费9100元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）公司计划用甲、乙两种车型同时参与运送，且总运费控制在8600元以内，有几种用车方案？每种
用车方案各需要多少元？
【分析】（1）设需甲种车型x辆，乙种车型y辆，根据①购买了120吨物资；②需运费9100元；列出
方程组计算即可求解；
（2）设需甲车型a辆，乙车型b辆，根据①购买了120吨物资；②总运费控制在8600元以内；列出
不等式组计算即可求解．
【解析】（1）设需甲种车型x辆，乙种车型y辆，依题意有
{ 5x+10 y=120①
，
400x+700 y=9100②
{x=14
解得 ．
y=5
故需甲种车型14辆，乙种车型5辆；
（2）设需甲车型a辆，乙车型b辆，依题意有
{ 5a+10b=120
，
400a+700b≤8600
解得a≤4，b≥10，
∵a，b是正整数，
∴a＝4，b＝10，需要400×4+700×10＝8600（元）；
a＝2，b＝11，需要400×2+700×11＝8500（元）；
故有两种运送方案：
①甲车型4辆，乙车型10辆，需要8600元；
②甲车型2辆，乙车型11辆，需要8500元．
