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专题2.10 一元一次不等式组（知识讲解）
【学习目标】
1.理解不等式组的概念；
2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；
3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．
【要点梳理】
要点一、不等式组的概念
定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等
x70
x25 2x116
x62010 3x159
式组．如 ， 等都是一元一次不等式组．
特别说明：
(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．
(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．
要点二、解一元一次不等式组
1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个
一元一次不等式组的解集．
特别说明：
(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，
然后找出它们重叠的部分．
(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组
可能出现无解的情况．
2.一元一次不等式组的解法
解一元一次不等式组的方法步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．
要点三、一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组
→解不等式组→检验→答．
特别说明：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．
(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解
集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非
负整数．
【典型例题】
类型一、一元一次不等式的定义
1．下列是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用一元一次不等式组的定义判断即可．
解： 是一元一次不等式组．
故选：B．
【点拨】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别
一元一次不等式组是解题关键．
举一反三：
【变式1】“ 与5的和是正数且 的一半不大于3”用不等式组表示，正确的是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用a与5的和是正数得出a+5＞0，再利用a的一半不大于3得出不等式组．
解：用a与5的和是正数得出a+5＞0，再利用a的一半不大于3，即小于等于3.
由题意可得：
故选A．【点拨】此题主要考查了由语言文字抽象出一元一次不等式，正确得出不等式是解题
关键．
【变式2】下列不等式组是一元一次不等式组的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
解：试题解析：根据一元一次不等式组的定义可知：选项A、B、D不是一元一次不等
式组，选项C是一元一次不等式组.
故选C.
类型二、求不等式组的解集
2．解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】x≤2.5，数轴见解析．
【分析】先分别求出两个不等式的解集，可得不等式组的解集，再在数轴上表示出来，
即可求解．
解：解不等式 ，得：x＜5，
解不等式3（ x+2）≥6﹣2（1﹣x），得：x≤2.5，
则不等式组的解集为x≤2.5，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的基本
步骤是解题的关键．
举一反三：
【变式1】解不等式组﹣3x﹣17＜4（x+1）≤3x+6，并将解集在数轴上表示出来．【答案】 ，在数轴上表示见解析．
【分析】首先根据解一元一次不等式组的步骤求出不等式组的解集，然后在数轴上表
示出来即可．
解：∵ ﹣3x﹣17＜4（x+1）≤3x+6，
解不等式﹣3x﹣17＜4（x+1），
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
解不等式4（x+1）≤3x+6，
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
∴不等式组的解集为 ，
在数轴上表示如下：
．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大
中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式2】解不等式组： ，并把不等式组的解集表示在数轴上．
【答案】 ，数轴表示见解析
【分析】按照解一元一次不等式组的方法和步骤解不等式组，再在数轴上表示解集即
可．
解： ，
由①得 ；由②得 ；
数轴表示为：
所以，原不等式组的解集是 ．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题关键是掌握一元一次不等式组的
解法和步骤，会在数轴上表示解集．
类型三、解特殊不等式组
3．对于正整数a、b、c、d，符号 表示运算ac-bd，已知1< <3，则
b+d=_______．
【答案】3或-3
【分析】首先根据运算符号的定义以及b、d是整数求得b、d的值，然后代入求解即
可．
解：根据题意得：1＜4-bd＜3，
则-3＜-bd＜-1，即1＜bd＜3，
∵b、d是整数，
∴bd是整数．
∴bd=2，
则 或 或 或 ，
则b+d=3或-3．
故答案是：3或-3．
【点拨】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定，正确求得b、d的值是关键．
举一反三：
【变式1】已知实数 满足 ，且 ，设 ，则 的取值范
围是_____．
【答案】【分析】根据 得到 ，通过解不等式得出x的取值范围，表达出
即可求出k的取值范围．
解：由 得： ，
∵
∴
解得
又∵
∴
∴
∴
即
故答案为：
【点拨】本题考查了根据已知参数的取值范围，求代数式的取值范围，解题的关键是
对已知条件进行变形．
【变式2】我们定义 ＝ad－bc，例如 ＝2×5－3×4＝10－12＝－2.
若x、y均为整数，且满足1＜ ＜3，则x＋y的值是________．
【答案】±3
解：由题意得
解得1＜xy＜3，
因为x、y均为整数，故xy为整数，因此xy＝2.
所以x＝1，y＝2或x＝－1，y＝－2，或x＝2，y＝1
或x＝－2，y＝－1.
此时x＋y＝3或x＋y＝－3.
故答案为：±3．
类型四、求一元一次不等式组的整数解
4．解不等式组 ，并写出它的所有非负整数解．
【答案】-4≤x＜2；0，1
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组
的解集，进而求出非负整数解即可．
解： ，
由①得：x＜2，
由②得：x≥-4，
∴不等式组的解集为-4≤x＜2，
则不等式组的非负整数解为0，1．
【点拨】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌
握不等式组的解法是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】求下列不等式组 的整数解．
【答案】2，3，4．
【分析】首先解不等式组，然后确定不等式组的解集中的整数解即可．
解： ，
解不等式①得： ，解不等式②得： ，
所以不等式组的解集为 ，
所以不等式组的整数解为2，3，4．
【点拨】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解题
关键．
【变式2】求不等式组 的整数解．
【答案】不等式组的整数解是3，4．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，再
确定其整数解．
解：解不等式3(x＋2)＞x＋10，得x＞2；
解不等式 ，得x≤4．
∴不等式组的解集为2＜x≤4，
∴不等式组的整数解是3，4．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出
其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；
大小小大中间找；大大小小找不到．
类型五、由一元一次不等式组的解集求参数
5．已知关于x的不等式组 有解，则a的取值不可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求出a
的取值范围，然后根据a的取值范围解答即可．
解：∵关于x的不等式组 有解，
∴a<3，
∴a的取值可能是0、1或2，不可能是3．
故选D．【点拨】本题考查了由不等式组的解集情况求参数，不等式组解集的确定方法是：同
大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
举一反三：
【变式1】如果不等式组 的解集是 ，那么a的值可能是（ ）
A． B．0 C．﹣0.7 D．1
【答案】C
【分析】根据不等式组解集的确定方法：大大取大可得 ，再在选项中找出符合
条件的数即可．
解：∵不等式组 的解集是 ，
∴a≤ ，
而 ，
故选：C．
【点拨】本题考查一元一次不等式组的解法，理解一元一次不等式组的解集的意义是
正确解答的前提．
【变式2】若不等式组 解集是 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先解出不等式组的解集，然后与x＞4比较，即可求出实数m的取值范围．
解：由①得2x＞4m-10，即x＞2m-5；
由②得x＞m-1；
∵不等式组 的解集是x＞4，若2m-5=4，则m＝ ，
此时，两个不等式解集为x＞4，x＞ ，不等式组解集为x＞4，符合题意；
若m-1=4，则m=5，
此时，两个不等式解集为x＞5，x＞4，不等式组解集为x＞5，不符合题意，舍去；
故选：C．
【点拨】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一
未知数当作已知数处理，将求出的解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等
式组的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小
解不了．
类型六、由一元一次不等式组的解集情况求参数
6．若关于x的不等式组 无解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解两个不等式，再根据“大大小小找不着”可得m的取值范围．
解：解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，
解得： ，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了解不等式组，根据求不等式的无解，遵循“大大小小解不
了”原则是解题关键．
举一反三：
【变式1】已知x＝1是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝4不是这个不等
式的解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2 B．a≤1 C．﹣2＜a≤1 D．﹣2≤a≤1
【答案】A【分析】根据不等式解的定义列出不等式，求出解集即可确定出a的范围．
解：∵x＝1是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝4不是这个不等式的解，
∴ 且 ，
即﹣4（﹣2a+2）≤0且﹣（a+2）＞0，
解得：a＜﹣2．
故选：A．
【点拨】此题考查了不等式的解集，熟练掌握一个含有未知数的不等式的所有的解，
组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集是解题的关键．
【变式2】已知关于 的不等式组 的整数解共有 个，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后根据整数解
的个数确定 的范围．
解：
解不等式①得：x ,
解不等式②得：x< ，
∴不等式组的解集是
