文档文本内容
专题2.10 一元一次不等式组（知识讲解）
【学习目标】
1.理解不等式组的概念；
2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；
3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．
【要点梳理】
要点一、不等式组的概念
定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等
x70
x25 2x116
x62010 3x159
式组．如 ， 等都是一元一次不等式组．
特别说明：
(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．
(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．
要点二、解一元一次不等式组
1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个
一元一次不等式组的解集．
特别说明：
(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，
然后找出它们重叠的部分．
(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组
可能出现无解的情况．
2.一元一次不等式组的解法
解一元一次不等式组的方法步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．
要点三、一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组
→解不等式组→检验→答．
特别说明：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．
(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解
集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非
负整数．
【典型例题】
类型一、一元一次不等式的定义
1．下列是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用一元一次不等式组的定义判断即可．
解： 是一元一次不等式组．
故选：B．
【点拨】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别
一元一次不等式组是解题关键．
举一反三：
【变式1】“ 与5的和是正数且 的一半不大于3”用不等式组表示，正确的是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用a与5的和是正数得出a+5＞0，再利用a的一半不大于3得出不等式组．
解：用a与5的和是正数得出a+5＞0，再利用a的一半不大于3，即小于等于3.
由题意可得：
故选A．【点拨】此题主要考查了由语言文字抽象出一元一次不等式，正确得出不等式是解题
关键．
【变式2】下列不等式组是一元一次不等式组的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
解：试题解析：根据一元一次不等式组的定义可知：选项A、B、D不是一元一次不等
式组，选项C是一元一次不等式组.
故选C.
类型二、求不等式组的解集
2．解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】x≤2.5，数轴见解析．
【分析】先分别求出两个不等式的解集，可得不等式组的解集，再在数轴上表示出来，
即可求解．
解：解不等式 ，得：x＜5，
解不等式3（ x+2）≥6﹣2（1﹣x），得：x≤2.5，
则不等式组的解集为x≤2.5，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的基本
步骤是解题的关键．
举一反三：
【变式1】解不等式组﹣3x﹣17＜4（x+1）≤3x+6，并将解集在数轴上表示出来．【答案】 ，在数轴上表示见解析．
【分析】首先根据解一元一次不等式组的步骤求出不等式组的解集，然后在数轴上表
示出来即可．
解：∵ ﹣3x﹣17＜4（x+1）≤3x+6，
解不等式﹣3x﹣17＜4（x+1），
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
解不等式4（x+1）≤3x+6，
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
∴不等式组的解集为 ，
在数轴上表示如下：
．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大
中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式2】解不等式组： ，并把不等式组的解集表示在数轴上．
【答案】 ，数轴表示见解析
【分析】按照解一元一次不等式组的方法和步骤解不等式组，再在数轴上表示解集即
可．
解： ，
由①得 ；由②得 ；
数轴表示为：
所以，原不等式组的解集是 ．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题关键是掌握一元一次不等式组的
解法和步骤，会在数轴上表示解集．
类型三、解特殊不等式组
3．对于正整数a、b、c、d，符号 表示运算ac-bd，已知1< <3，则
b+d=_______．
【答案】3或-3
【分析】首先根据运算符号的定义以及b、d是整数求得b、d的值，然后代入求解即
可．
解：根据题意得：1＜4-bd＜3，
则-3＜-bd＜-1，即1＜bd＜3，
∵b、d是整数，
∴bd是整数．
∴bd=2，
则 或 或 或 ，
则b+d=3或-3．
故答案是：3或-3．
【点拨】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定，正确求得b、d的值是关键．
举一反三：
【变式1】已知实数 满足 ，且 ，设 ，则 的取值范
围是_____．
【答案】【分析】根据 得到 ，通过解不等式得出x的取值范围，表达出
即可求出k的取值范围．
解：由 得： ，
∵
∴
解得
又∵
∴
∴
∴
即
故答案为：
【点拨】本题考查了根据已知参数的取值范围，求代数式的取值范围，解题的关键是
对已知条件进行变形．
【变式2】我们定义 ＝ad－bc，例如 ＝2×5－3×4＝10－12＝－2.
若x、y均为整数，且满足1＜ ＜3，则x＋y的值是________．
【答案】±3
解：由题意得
解得1＜xy＜3，
因为x、y均为整数，故xy为整数，因此xy＝2.
所以x＝1，y＝2或x＝－1，y＝－2，或x＝2，y＝1
或x＝－2，y＝－1.
此时x＋y＝3或x＋y＝－3.
故答案为：±3．
类型四、求一元一次不等式组的整数解
4．解不等式组 ，并写出它的所有非负整数解．
【答案】-4≤x＜2；0，1
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组
的解集，进而求出非负整数解即可．
解： ，
由①得：x＜2，
由②得：x≥-4，
∴不等式组的解集为-4≤x＜2，
则不等式组的非负整数解为0，1．
【点拨】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌
握不等式组的解法是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】求下列不等式组 的整数解．
【答案】2，3，4．
【分析】首先解不等式组，然后确定不等式组的解集中的整数解即可．
解： ，
解不等式①得： ，解不等式②得： ，
所以不等式组的解集为 ，
所以不等式组的整数解为2，3，4．
【点拨】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解题
关键．
【变式2】求不等式组 的整数解．
【答案】不等式组的整数解是3，4．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，再
确定其整数解．
解：解不等式3(x＋2)＞x＋10，得x＞2；
解不等式 ，得x≤4．
∴不等式组的解集为2＜x≤4，
∴不等式组的整数解是3，4．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出
其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；
大小小大中间找；大大小小找不到．
类型五、由一元一次不等式组的解集求参数
5．已知关于x的不等式组 有解，则a的取值不可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求出a
的取值范围，然后根据a的取值范围解答即可．
解：∵关于x的不等式组 有解，
∴a<3，
∴a的取值可能是0、1或2，不可能是3．
故选D．【点拨】本题考查了由不等式组的解集情况求参数，不等式组解集的确定方法是：同
大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
举一反三：
【变式1】如果不等式组 的解集是 ，那么a的值可能是（ ）
A． B．0 C．﹣0.7 D．1
【答案】C
【分析】根据不等式组解集的确定方法：大大取大可得 ，再在选项中找出符合
条件的数即可．
解：∵不等式组 的解集是 ，
∴a≤ ，
而 ，
故选：C．
【点拨】本题考查一元一次不等式组的解法，理解一元一次不等式组的解集的意义是
正确解答的前提．
【变式2】若不等式组 解集是 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先解出不等式组的解集，然后与x＞4比较，即可求出实数m的取值范围．
解：由①得2x＞4m-10，即x＞2m-5；
由②得x＞m-1；
∵不等式组 的解集是x＞4，若2m-5=4，则m＝ ，
此时，两个不等式解集为x＞4，x＞ ，不等式组解集为x＞4，符合题意；
若m-1=4，则m=5，
此时，两个不等式解集为x＞5，x＞4，不等式组解集为x＞5，不符合题意，舍去；
故选：C．
【点拨】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一
未知数当作已知数处理，将求出的解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等
式组的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小
解不了．
类型六、由一元一次不等式组的解集情况求参数
6．若关于x的不等式组 无解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解两个不等式，再根据“大大小小找不着”可得m的取值范围．
解：解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，
解得： ，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了解不等式组，根据求不等式的无解，遵循“大大小小解不
了”原则是解题关键．
举一反三：
【变式1】已知x＝1是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝4不是这个不等
式的解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2 B．a≤1 C．﹣2＜a≤1 D．﹣2≤a≤1
【答案】A【分析】根据不等式解的定义列出不等式，求出解集即可确定出a的范围．
解：∵x＝1是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝4不是这个不等式的解，
∴ 且 ，
即﹣4（﹣2a+2）≤0且﹣（a+2）＞0，
解得：a＜﹣2．
故选：A．
【点拨】此题考查了不等式的解集，熟练掌握一个含有未知数的不等式的所有的解，
组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集是解题的关键．
【变式2】已知关于 的不等式组 的整数解共有 个，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后根据整数解
的个数确定 的范围．
解：
解不等式①得：x ,
解不等式②得：x< ，
∴不等式组的解集是 <x< ，
∵原不等式组的整数解有3个为1,0，-1，
∴-2≤ <-1．
故选择：A．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组、不等式组的整数解的
应用，确定不等式组的解集是解答本题的关键．
类型七、不等式组与二元一次方程组结合7．已知方程组 的解满足x为非负数，y为正数．
（1）求m的取值范围．
（2）若不等式（m+1）x＜m+1的解集为x＞1，求满足条件的整数m的值．
【答案】（1）﹣3≤m＜ ；（2）整数m的值为﹣3、﹣2．
【分析】（1）先求出方程组的解，根据x为非负数，y为正数，可得到关于 的不
等式，然后求出不等式组的解集，即可求解；
（2）根据“不等式（m+1）x＜m+1的解集为x＞1，”可得m＜﹣1，再由（1）可得
到 的取值范围，即可求解．
解：（1）解方程组得 ，
根据题意，得： ，
解得﹣3≤m＜ ；
（2）∵不等式（m+1）x＜m+1的解集为x＞1，
∴m+1＜0，
解得m＜﹣1，
又∵﹣3≤m＜ ，
∴﹣3≤m＜﹣1，
则整数m的值为﹣3、﹣2．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，以及不等式的解
集，熟练掌握解二元一次方程组和解一元一次不等式组是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知关于x、y的二元一次方程组 ，
（1）若方程组的解满足 ，求m的值；
（2）若方程组的解满足 ，求满足条件的整数m的最小值．【答案】（1）10；（2）3
【分析】（1）利用第一个方程加上第二个方程得出 ，从而根据题意建立
一个关于m的方程，解方程即可；
（2）利用第二个方程减去第一个方程得出 ，从而根据题意建立不等式，
解不等式即可．
解：
（1）① ②可得： ，即可得到
，
，
．
（2）② ①可得： ，
，
∴
，
，
∵m是整数，
∴m的最小值为3.
【点拨】本题主要考查方程组及不等式，掌握解方程组和不等式的方法是解题的关键．
【变式2】已知方程组 的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，不等式 的解集为 ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）解方程组得出x、y，由x为非正数，y为负数列出不等式组，解之可得；
（2）由不等式的性质求出m的范围，结合（1）中所求范围可得答案．解：解:（1）解方程组
得 ，
∵ ，
∴
解得 ；
（2）解不等式 得 ，
∵ ，
∴ ，
由（1）知 ，
∵m为整数，
∴ ．
【点拨】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，熟练掌握加减
消元法和解不等式组的能力是解题的关键．
类型八、列一元一次不等式组
8．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米
的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等
式．
【答案】
【分析】根据矩形的周长公式及面积的计算方法，结合不等关系：面积大于 平方米，
周长小于 米列出不等式组求解即可．
解：∵矩形的面积大于 平方米，周长小于 米，矩形的一边长为 ，临边长为∴
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题意正确列出不等式组是解题关
键．
举一反三：
【变式1】按图中程序进行计算：
规定：程序运行到“结果是否大于10”为一次运算．若运算进行二次才停止，求出x
的取值范围．
【答案】 ．
【分析】根据程序进行二次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可
得出x的取值范围．
解：依题意，得 ，
解得2＜x≤4．
答：x的取值范围为2＜x≤4．
【点拨】本题考查解一元一次不等式组，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解
题关键．
【变式2】（问题背景）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0
（问题解决）∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
∴x2﹣4＞0可化为（x+2）（x﹣2）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
解不等式组①，得x＞2，
解不等式组②，得x＜﹣2，
∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，即一元二次不等式 x2﹣4＞0 的解集为x＞2或x＜﹣2．
（问题应用）（1）一元二次不等式 x2﹣16＞0 的解集为 ；
（2）分式不等式 ＞0 的解集为 ；
（3）（拓展应用）解一元二次不等式 2x2﹣3x＜0．
【答案】（1）x＞4或x＜﹣4；（2）x＞3或x＜1；（3）0＜x＜
【分析】（1）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即
可；
（2）据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组
求解即可；
（3）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可．
解：问题应用：（1）∵x2-16=（x+4）（x-4）
∴x2-16＞0可化为
（x+4）（x-4）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
① ②
解不等式组①，得x＞4，
解不等式组②，得x＜-4，
∴（x+4）（x-4）＞0的解集为x＞4或x＜-4，
即一元二次不等式x2-16＞0的解集为x＞4或x＜-4；
（2） ＞0
∴ 或
解得：x＞3或x＜1 ；
（3）拓展应用：∵2x2﹣3x＝x（2x﹣3）
∴2x2﹣3x＜0可化为x（2x﹣3）＜0
∴ ① 或 ②
解不等式组①，得0＜x＜ ，
解不等式组②，无解 ，
∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜ ．
【点拨】本题考查不等式组的解法，利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两
数相乘（除），同号得正，异号得负的取符号法则．
类型九、一元一次不等式组的应用
9．已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，
多3人，将他们按每组8人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人？
【答案】147
【分析】由12和8的最小公倍数为24，可设该校六年级学生有（24x+3）人，根据
“该校六年级学生超过130人，而不足150人”，即可得出关于x的一元一次不等式组，
解之即可得出x的取值范围，结合x为正整数即可确定x的值，再将其代入（24x+3）中即
可得出结论．
解：∵12和8的最小公倍数为24，
∴设该校六年级学生有（24x+3）人．
依题意，得： ，
解得：5 ＜x＜6 ．
又∵x为正整数，
∴x＝6，
∴24x+3＝147（人）．
答：该校六年级学生有147人．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组．解题的关键在于通过确定两数的最小公倍数
得到数量关系，正确的列不等式组．
举一反三：【变式1】在建设美好乡村活动中，某村民委员会准备在乡村道路两旁种植柏树和杉
树．经市场调查发现：购买2棵柏树和3棵杉树共需440元，购买3棵柏树和1 棵杉树共
需380元．
（1）求柏树和杉树的单价；
（2）若本次美化乡村道路臀购买柏树和杉树共150棵（两种树都必须购买），且柏树
的棵数不少于树的3倍，设本次活动中购买柏树x棵，此次购树的费用为w元．
①求w与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围？
②要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？
【答案】（1）柏树的单价为100元，杉树的单价为80元；（2）① ，
且x为整数；②要使此次费用最少，柏树购买113棵，杉树37棵，最少费用
为14260元．
【分析】（1）设柏树的单价为m元，杉树的单价为n元，根据题意列出二元一次方程
组求解即可；
（2）①根据单价、数量与费用的关系列出一次函数即可；再由题意本次购买柏树和杉
树共150棵，且两种树都必须购买，可得不等式组，柏树的棵树不少于杉树的3倍，列出
相应不等式求解，综合即可得x的取值范围；
②根据一次函数的增减性质可得w随x的增大而增大，由x的取值范围代入求解即可．
解：（1）设柏树的单价为m元，杉树的单价为n元，
根据题意可得：
，
解得： ，
答：柏树的单价为100元，杉树的单价为80元；
（2）①设本次活动中购买柏树x棵，则杉树 棵，
由（1）及题意可得：
，
∵本次购买柏树和杉树共150棵，且两种树都必须购买，即： ，
∴ ，
∵柏树的棵树不少于杉树的3倍，
∴ ，
解得： ，
综合可得： ， 且x为整数；
②由①可得： ，
∵ ，
∴w随x的增大而增大，
∵ ，
∴当 时，w最小，此时，
（元），
（棵），
∴要使此次费用最少，柏树购买113棵，杉树37棵，最少费用为14260元．
【点拨】题目主要考查二元一次方程组、不等式组及一次函数的应用，理解题意，列
出相应方程是解题关键．
【变式2】某地为促进淡水养殖业的发展，决定对淡水鱼的养殖提供政府补贴，以使
淡水鱼的价格控制在6~12元 之间．据市场调查，如果淡水鱼的市场价格为a元 ，
政府补贴为t元 ，那么要使每日市场的淡水鱼供应量与需求量正好相等，t与a应满足
关系式 ．为使市场价格不高于10元 ，政府补贴至少应为多少？
【答案】政府补贴至少应为0.4元
【分析】先将t与a应满足关系式100（a＋t−8）＝270−3a化为 ，然后
根据市场价格 ，列出不等式求出最小值．
解：提示：由题设，解得 ，根据题意，得 ．
解：∵t与a应满足关系式100（a＋t−8）＝270−3a，
∴ ，
则有 ，
解得：0.4≤t≤4.52．
答：政府补贴至少应为0.4元/kg．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，列出不
等式组，求解不等式．
