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专题 05 一元一次不等式组
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重难突破
知识点一 一元一次不等式组的解法
1、一元一次不等式组及解集
一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
注意：
一元一次不等式组的概念应满足三个条件：
①几个不等式必须含有同一个未知数；
②必须都是一元一次不等式；
③几个不等式用大括号合在一起，表示的含义是这几个不等式同时成立．
2、一元一次不等式组的解法
第一步：先分别求出不等式组中各个不等式的解集；
第二步：利用数轴求出这些解集的公共部分；第三步：写出不等式组的解集的结论．
由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：（表中 ）
典例1
（2021•南山区校级二模）不等式组 的解集在数轴上可以表示为
A． B．
C． D．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
又 ，
不等式组的解集为 ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
故选： ．
典例2（2021•福田区二模）不等式组 的解集为
A． B． C． D．无解
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ．
故选： ．
知识点二 含参一元一次不等式（组）
特殊解：
求不等式组中字母参数的取值问题，可以先将字母参数当做已知处理，求出解集，与已知不等式组的解或
解集的情况进行对比，进而确定字母参数的值或取值范围．
解的讨论：
已知不等式（组），可以求出这个不等式（组）的解集；反过来，已知不等式（组）的解集，也能确定这
个不等式（组）中未知的字母，把后者称为不等式（组）解集确定方法的逆用，处理这类问题时，可先求
出原不等式（组）的解集，然后对照已知条件，得到关于未知字母的方程或不等式，解之即可．
注意：
这类题目的解决方法：数形结合思想．结合数轴分析解集的情况，判断字母参数的取值或取值范围．
典例1
（2021春•罗湖区期中）不等式组 的非负整数解有
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【解答】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
不等式组的解集为 ，则不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，共5个．
故选： ．
典例2
（2020•深圳模拟）不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是
A． B． C． 或 D．
【解答】解：根据题意可知 且
所以
又因为
即
所以
所以
故选： ．
典例3
（2020•南山区三模）关于 的不等式组 恰好只有4个整数解，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：不等式组整理得： ，
解得： ，
由解集中恰好只有4个整数解，得到整数解为0，1，2，3，
，
解得： ，
故选： ．
典例4
（2020•恩施州模拟）关于 的不等式组 有解，那么 的取值范围为A． B． C． D．
【解答】解： ，
解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
不等式组有解，
．
故选： ．
知识点三 一元一次不等式组实际应用
一元一次不等式组的应用主要表现在两个方面：（1）通过列不等式组求未知数的取值范围；（2）通过列
一元一次不等式组解决实际问题.
应用不等式组解决实际问题的一般步骤：
①审：分析题目中的已知条件和未知条件，找出题目中的不等关系；
②设：设未知数；
③列：根据不等关系列出不等式，并组成不等式组；
④解：求出不等式组的解集；
⑤答：检验解集是否合理，是否符合实际情况，作答.
典例1
（2021春•福田区校级期中）安排学生住宿，若每间住3人，则还有3人无房可住；若每间住5人，则其它
房间全住满还剩一间住的人数不足3人，则宿舍的房间数量是 ．
【解答】解：设宿舍有 间，则学生人数为 人，
根据题意得： ，
解得： ，
且 为正整数，
，
故答案为3．
典例2
（2021春•宝安区期中）习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”．某企业扶贫小组准备在春节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖．该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，
2辆大货车与4辆小货车一次可以满载运输700件；1辆大货车与5辆小货车一次可以满载运输650件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）计划租用两种货车共10辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用
3000元．若运输物资不少于1300件，且总费用不超过46000元．请你计算该扶贫小组共有几种运输方案？
【解答】解：（1）设1辆大货车一次满载运输 件物资，1辆小货车一次满载运输 件物资，
依题意得： ，
解得： ．
答：1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资．
（2）设租用 辆大货车，则租用 辆小货车，
依题意得： ，
解得： ．
又 为整数，
可以为6，7，8，
该扶贫小组共有3种运输方案．
巩固训练
一、单选题（共6小题）
1．（2020春•蓬溪县期末）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．【解答】解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
不等式组的解集是 ，
在数轴上表示为： ，
故选： ．
2．（2020•深圳模拟）关于 的不等式组 的解集为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
则不等式组的解集为 ．
故选： ．
3．（2021•南通一模）若关于 的不等式组 的解集为 ，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：不等式整理得： ，
由不等式组的解集为 ，
得到 的范围是 ，
故选： ．
4．（2019秋•上城区期末）若关于 的不等式组 的整数解共有3个，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，则不等式组的解集为 ，
不等式组的整数解有3个，
不等式组的整数解为3、4、5，
则 ．
故选： ．
5．（2020•市中区一模）若不等式组 无解，那么 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
由①得， ，
由②得， ，
又因为不等式组无解，
所以根据“大大小小解不了”原则，
．故选： ．
6．（2021•南山区校级一模）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”
为一次运算．若运算进行了3次才停止，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，得： ，
解得： ．
故选： ．
二、填空题（共5小题）
7．（2021•深圳模拟）如果 、 、 这三个数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么 的
取值范围是 ．【解答】解：根据题意得： ， ， ，
解得： ， ， ，
的取值范围是 ．
故答案为： ．
8．（2020春•九龙坡区期末）在平面直角坐标系中，点 在第三象限，则 的取值范围是
．
【解答】解：根据题意，得： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
则不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
9．（2020•庆云县模拟）不等式组 的解集是 ．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
所以不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
10．（2019秋•福田区校级期中）若关于 的不等式组 的整数解共有5个，则 的取值范围是
．
【解答】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集是 ，
关于 的不等式组 的整数解共有5个，
的取值范围是 ，
故答案为 ．11．（2020春•武城县期末）在“新冠肺炎”这场没有硝烟的战争中，各行各业都涌现出了一批“最美逆
行者”，其中抗疫最前沿的就是护士．某医院安排护士若干名负责护理新冠病人，每名护士护理 4名新冠
病人，有20名新冠病人没人护理，如果每名护士护理8名新冠病人，有一名护士护理的新冠病人多于1人
不足8人，这个医院安排了 名护士护理新冠病人．
【解答】解：设医院安排了 名护士，由题意得，
，
解得， ，
为整数，
．
故答案为：6．
三、解答题（共2小题）
12．（2021•宝安区模拟）解不等式组 ，并利用数轴确定不等式组的解集．
【解答】解： ，
解①得 ；
解②得 ；
所以不等式组的解集为 ，
用数轴表示为：
．
13．（2021春•龙岗区期中）某公司在疫情复工准备工作中，为了贯彻落实“生命重于泰山、疫情就是命
令、防控就是责任”的思想，计划同时购买一定数量的甲、乙品牌消毒液，若购进甲品牌消毒液20瓶和乙
品牌消毒液10瓶，共需资金1300元；若购进甲品牌消毒液10瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金800元．
（1）甲、乙品牌消毒液的单价分别是多少元？（2）该公司计划购进甲、乙品牌消毒液共50瓶，而可用于购买这两种商品的资金不超过1900元，且要求
购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半．试问：该公司有哪几种购买方案？哪种方案花
费资金最少？
【解答】解：（1）设甲、乙品牌的消毒液的单价分别为 元， 元，
由题意可得， ，解得 ．
甲品牌的消毒液的单价为50元，乙品牌的消毒液的单价为30元．
（2）设购进甲品牌的消毒液 瓶，则购进乙品牌的消毒液 瓶，
由题意可得， ，
解得 ，
为正整数，
可取17，18，19，20，
设购买消毒液共花费 元，
则 ，
，
随 的增大而增大，
当 时， 的值最小，最省钱为1840元，
此时 （个 ，
共有4种方案，其中最省钱的方案是购进甲品牌的消毒液17瓶，则购进乙品牌的消毒液33瓶．
