文档内容
专题 2.2 一元一次不等式组
一元一次不等式组的定义
【例1】下列选项中是一元一次不等式组的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、含有三个未知数，不符合题意；
、未知数的最高次数是2，不符合题意；
、含有两个未知数，不符合题意；
、符合一元一次不等式组的定义，符合题意；
故选： ．
【变式训练1】下列不等式组：① ，② ，③ ，④ ，⑤
．
其中一元一次不等式组的个数是
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的
最高次数是1，所以都是一元一次不等式组；
③含有一个未知数，但未知数的最高次数是 2，⑤含有两个未知数，所以②⑤都不是一元
一次不等式组．
故有①②④三个一元一次不等式组．
故选： ．
【变式训练2】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是A． B．
C． D．
【解答】解： 选项是一元一次不等式组；
选项中有2个未知数；
选项中是一元二次不等式；
选项中含有分式，不属于一元一次不等式的范围．
故选： ．
【变式训练3】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、是一元一次不等式，故本选项正确；
、含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项错误；
、未知数的次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项错误；
、第二个不等式不是整式，即不是一元一次不等式组，故本选项错误；
故选： ．
解一元一次不等式组
【例2】下列不等式组中无解的是
A． B． C． D．
【解答】解： 的解集为 ，故本选项不合题意；的解集为 ，故本选项不合题意；
无解，故本选项符合题意；
，的解集为 ，故本选项不合题意；
故选： ．
【变式训练1】不等式组 的解集在数轴上表示为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：不等式组 的解集在数轴上表示为
，
故选： ．
【变式训练2】不等式组 的解集为
A．无解 B． C． D．
【解答】解：解不等式 ，得： ，解不等式 得： ，
不等式组的解集为 ，
故选： ．
【变式训练3】不等式组 的解集在数轴上表示为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
故选： ．
【例3】解下列不等式（组
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，系数化为1，得： ；
（2）解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
则不等式组的解集为 ．
【变式训练1】解不等式（组
（1） ．
（2） ．
【解答】解：（1）去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
把 的系数化为1得： ；
（2） ，
由①得 ，
由②得 ，
不等式组的解集为 ．
【变式训练2】解不等式（组
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）移项得： ，合并同类项得： ，
把 的系数化为1得： ；
（2）由①得 ，
由②得 ，
不等式组的解集为 ．
【变式训练3】解不等式（组
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1） ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ．
（2） ，
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
所以原不等式的解集为： ．
与象限有关
【例4】已知点 位于第二象限，则 的取值范围是
A． B． C． D． 或
【解答】解：由点 在第二象限，得．
解得 ，
故选： ．
【变式训练1】已知点 在第四象限，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，得： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
则不等式组的解集为 ，
故选： ．
【变式训练2】若点 位于第四象限，则 的取值范围在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 点 在第四象限，
，
解得： ，
在数轴上表示为： ，
故选： ．
【变式训练3】若点 在第二象限，则 的取值范围是A． B． C． D．
【解答】解：由 在第二象限，得 ，
解得 ．
故选： ．
有解无解问题
若不等式组 无解，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
不等式组无解，
，
故选： ．
若不等式组 有解，则 的取值范围是
A． B． C． D．无法确定
【解答】解：由题意可得： ，
，
故选： ．
若关于 的不等式组 无解，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：不等式整理得 ，
关于 的不等式组 无解，，
故选： ．
关于 的不等式组 有解，那么 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
不等式组有解，
．
故选： ．
已知解集求参数范围
【例5】已知 ，则 的解集是
A． B． C． D．无解
【解答】解：因为 ，
所以 的解集是 ．
故选： ．
【变式训练1】如果不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解： 不等式组 的解集是 ，，
故选： ．
【变式训练2】若关于 的不等式组 无解，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解： 关于 的不等式组 无解，
，
，
故选： ．
【变式训练3】如果不等式组 的解集为 ，则 的取值范围为 ．
【解答】解： 不等式组 的解集是 ，
，
解得 ，
故答案为： ．
已知解集求参数的值
【例6】若不等式组 解集是 ，则 0 ．
【解答】解：由 得 ，
由 得 ，
则不等式组的解集为 ，解集是 ，
， ，
解得 ， ，
则原式 ，
故答案为：0
【变式训练1】已知不等式组 的解集是 ，则 的值是 3 ．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
所以不等式组的解集为 ，
不等式组的解集为 ，
、 ，
解得： 、 ，
，
故答案为：3
【变式训练2】若关于 的不等式组 的解集为 ，则 的值是
9 ．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
不等式组的解集为 ，
，
解得 ，
故答案为：9
【变式训练3】已知关于 的不等式组 ，的解集为 ，则 的
值是 1 ．【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
，
， ，
解得 ，
，
故答案为：1
一元一次不等式组的整数解问题
【例7】已知关于 的不等式组 有且只有1个整数解，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
不等式组有且只有1个整数解，
，
故选： ．
【变式训练1】关于 的不等式组 只有3个整数解，求 的取值范围
A． B． C． D．
【解答】解： ，
解①得， ，
解②得， ，
不等式组的解集为： ，
不等式组只有3个整数解，，
解得， ，
故选： ．
【变式训练2】若关于 的不等式组 恰好只有2个整数解，则所有满足条件的
整数 的值之和是
A．3 B．4 C．6 D．1
【解答】解：解不等式组得： ，
由关于 的不等式组 恰好只有2个整数解，得到 ，即 ，
满足条件的整数 的值为0、1、2、3，
整数 的值之和是 ，
故选： ．
【变式训练3】已知关于 的不等式组 恰有4个整数解，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
不等式组恰有4个整数解，
，
解得 ，
故选： ．一元一次不等式组的应用问题
【例8】现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住 4人，则还有19人无宿舍住；
若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满．若设宿舍间数为 ，则可以列得不等式组为
．
【解答】解： 若每间住4人，则还有19人无宿舍住，
学生总人数为 人，
一间宿舍不空也不满，
学生总人数 间宿舍的人数在1和5之间，
列的不等式组为： ，
故答案为： ．
【变式训练1】八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 7棵，还剩9棵，若每人平
均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到 8棵．若设同学人数为 人，植树的棵数为
棵，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解： 位同学植树棵树为 ，有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为 棵，
可列不等式组为： ．
故选： ．
【变式训练2】安排学生住宿，若每间住3人，则还有13人无房可住；若每间住6人，则
还有一间不空也不满，则宿舍的房间数量可能为 5 或 6 ．
【解答】解：设共有 间宿舍，则共有 个学生，
依题意得： ，
解得： ．
又 为正整数，
或6
故答案为：5或6
【变式训练3】把一批书分给小朋友，每人3本，则余8本；每人5本，则最后一个小朋友
得到书且不足3本，这批书有 2 6 本．
【解答】解：设共有 名小朋友，则共有 本书，
依题意得： ，
解得： ，
又 为正整数，
，
．
故答案为：26
【例9】“一方有难，八方相助”是中华民族的优良传统．“新冠肺炎”疫情期间，我市向
湖北省某县捐赠 型医疗物资290件和 型医疗物资100件．计划租用甲、乙两种型号的
汽车共8辆运送过去．经了解，甲种汽车每辆最多能载 型医疗物资40件和 型医疗物资
10件，乙种汽车每辆最多能载 型医疗物资30件和 型医疗物资20件．（1）请你帮助设计所有可能的租车方案；
（2）如果甲种汽车每辆的运费是1200元，乙种汽车每辆的运费是1000元，这次运送的费
用最少需要多少钱？
【解答】解：（1）设租用 辆甲种汽车，则租用 辆乙种汽车，
依题意得： ，
解得： ．
又 为正整数，
可以为5，6，
共有2种租车方案，
方案1：租用5辆甲种汽车，3辆乙种汽车；
方案2：租用6辆甲种汽车，2辆乙种汽车．
（2）选用方案1所需总运费为 （元 ；
选用方案2所需总运费为 （元 ．
，
这次运送的费用最少需要9000元．
【变式训练1】某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的洗衣机，若购进1台甲型
洗衣机和2台乙型洗衣机，共需要资金2600元；若购进2台甲型洗衣机和3台乙型洗衣机，
共需要资金4400元．
（1）求甲、乙型号的洗衣机每台进价为多少元？
（2）该店计划购进甲、乙两种型号的洗衣机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万
元的资金购进这两种型号的洗衣机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；
【解答】解：（1）设每台甲型洗衣机的进价为 元，每台乙型洗衣机的进价为 元，
依题意得： ，
解得： ．答：每台甲型洗衣机的进价为1000元，每台乙型洗衣机的进价为800元．
（2）设购进甲型洗衣机 台，则购进乙型洗衣机 台，
依题意得： ，
解得： ，
又 为正整数，
可以为7，8，9，10，
共有4种进货方案，
方案1：购进甲型洗衣机7台，乙型洗衣机13台；
方案2：购进甲型洗衣机8台，乙型洗衣机12台；
方案3：购进甲型洗衣机9台，乙型洗衣机11台；
方案4：购进甲型洗衣机10台，乙型洗衣机10台．
【变式训练2】“地摊经济”已成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如下信息：甲商
品每件售价为90元，乙商品每件售价为10元，销售1件甲商品和4件乙商品可获得利润
45元，销售2件甲商品和3件乙商品可获得利润65元．
（1）求甲、乙商品的进货价格；
（2）小明计划用不超过3500元的资金购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲
商品 件，求 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于 1450元，请说
明小明有哪些可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大，最大利润是多少？
【解答】解：（1）设甲、乙商品的进货价格分别是 元， 元，由题意列方程组得：
，
解得 ，
答：甲商品的进货价格为65元，乙商品的进货价格为5元；
（2）设小明购进甲商品 件，由题意得，
，解得 ，
的取值范围是 ；
（3）由题意可得： ，
解得： ，
，
又 为整数，
，49，50，
进货方案有：甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲商品
进50件，乙商品进50件；
若甲商品进48件，乙商品进52件，利润为 （元 ，
若甲商品进49件，乙商品进51件，利润为 （元 ，
若甲商品进50件，乙商品进50件，利润为 （元 ，
当甲商品进50件，乙商品进50件，利润有最大值．利润最大值为1500（元 ．
答：进货方案有：甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲
商品进50件，乙商品进50件；甲商品进50件，乙商品进50件利润最大，最大利润是
1500元．
【变式训练3】为了加强对校内外的安全监控，创建平安校园，某学校计划增加 15台监控
摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表所示．经调查
购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多
150元．
甲型 乙型
价格（单位：元 台）
有效半径（单位：米 台） 100 150
（1）求 ， 的值；
（2）若购买该批设备的资金不超过7200元，则至少购买甲型设备多少台？（3）在（2）的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设
计一种最省钱的购买方案．
【解答】解：（1）根据题意，得 ，
解得 ，
（2）设购买甲型设备 台，则购买乙型设备 台．
根据题意，得 ，
解得 ．
答：至少购买甲型设备12台．
（3）根据题意，得 ．
解得 ，
．
的取值为12或13
共有两种购买方案：
方案一：购买甲型设备12台，乙型设备3台；所需资金为 （元 ；
方案二：购买甲型设备13台，乙型设备2台；所需资金为 （元 ．
，
方案二省钱．
答：最省钱的购买方法为购买甲型设备13台，乙型设备2台．
【变式训练4】习近平同志在十九大报告中指出，坚持人与自然和谐共生、必须树立绿水青
山就是金山银山的理念，清源村在践行活动中，计划购买甲、乙两种树木用于绿化山坡，
若购买7棵甲种树和4棵乙种树需510元；若购买3棵甲种树和5棵乙种树需350元．
（1）求甲种树和乙种树的单价；
（2）按清源村划，准备购买甲、乙两种树共200棵，且甲种树的数量不少于乙种树的数量，请用函数的有关知识设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【解答】解：（1）设甲种树的单价为 元 棵，乙种树的单价为 元 棵，
由题意得： ，
解得： ，
答：甲种树和乙种树的单价分别为50元和40元．
（2）设购买甲种树 棵，总费用为 元．
由题意得 ，
，
随 的减小而减小．
又 ，
解得 ，
当 时， ，
此时， ．
答：当购买67棵甲种树，133棵乙种树时最省钱．
