专题 29 椭圆及其性质
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
圆锥曲线近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年全国乙（文科），第11题,5分 直线与圆的位置关系， 参数方程
2023年全国乙（文科），第13题,5分 根据抛物线上的点求标准方程，抛物线的定义
2023年全国乙（理科），第3题,5分
通过三视图求几何体的表面积
2023年全国乙（文科），第3题,5分
2023年全国乙（理科），第5题,5分
根据标准方程确定圆的圆心和半径 几何概型
2023年全国乙（文科），第7题,5分
2023年全国乙（理科），第11题,5分
直线与双曲线的位置关系，求线段的中点坐标
2023年全国乙（文科），第12题,5分
2023年全国乙（理科），第12题,5分 直线与圆的位置关系 向量的数量积
2023年全国乙（理科），第20题,12分 1、根据离心率求椭圆方程；
2023年全国乙（文科），第21题,12分 2、椭圆中的定点问题；
2023年全国甲（文科），第7题,5分 椭圆中焦点三角形的面积问题
2023年全国甲（理科），第8题,5分
双曲线的渐近线、离心率、圆的中点弦
2023年全国甲（文科），第9题,5分
2023年全国甲（理科），第12题,5分 椭圆的定义、焦点三角形
1、根据直线与抛物线相交所得弦长求抛物线
2023年全国甲（理科），第20题,12分
方程；
2023年全国甲（文科），第20题,12分
2、抛物线中的三角形面积问题
2. 命题规律及备考策略【命题规律】1.对椭圆定义的考查，多以选择题或填空题的形式出现，主要考查椭圆的标准方程以及简单
几何性质的应用，也有可能与函数的性质综合起来命题.
2.对椭圆几何性质的考查，常常会结合圆锥曲线统一定义，通过给定直线与椭圆的位置关系，
求相关的距离、交点坐标等，还可能考查椭圆的离心率等.
【备考策略】1.了解椭圆产生的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
3.理解并掌握椭圆的标准方程以及简单几何性质，包括定义、范围、对称性等；
4.掌握圆锥曲线的统一定义，理解离心率等概念，并学会应用；
5.掌握直线与椭圆的位置关系问题的解题的解题方法，理解并掌握常用的解题技巧；
【命题预测】1.基础知识考查：这类题目主要考查学生对椭圆的基本性质和特征的掌握，如椭圆的定义、
长轴和短轴、离心率等；
2.解题方法考查：这类题目主要考查学生解决椭圆问题的解题方法和技巧，如椭圆与直线的
位置关系、椭圆中的最值问题等；
3.应用能力考查：这类题目主要考查学生运用椭圆的知识解决实际问题的能力，如利用椭圆
解决工程问题、利用椭圆的性质解决物理中的力学问题；
知识讲解
一、椭圆的定义
平面内到两个定点 的距离之和等于常数 (大于| |)的点的集合叫作 ,这两个定点 叫作椭圆的 ,焦点 间的距离叫作椭圆的 .
(1)数学表达式为 .
(2)在椭圆的定义中,特别要注意条件 ,否则轨迹不是椭圆.当 时,动点的轨迹是
线段 ;当 时,动点的轨迹是不存在的.
二、椭圆的标准方程和几何性质
标准
方程
图形
范围
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点
坐标
长轴 的长为 ;
性 轴
质 短轴 的长为
焦距
离心率
的关系
1.点和椭圆的位置关系的判断:
(1)点 在椭圆内 ;
(2)点 在椭圆上 ;
(3)点 在椭圆外 .
2.与椭圆的焦点三角形相关的结论(含焦半径公式)
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形的问题常利用椭圆的定义、正
弦定理和余弦定理.
在以椭圆 上一点 和焦点 为顶点的
中,若 ,则
(1) (焦半径公式, 为椭圆的离心率), ;
(2) ;(3) ,当 ,即 为短轴端点时, 取得最
大值,最大值为 ;
(4)焦点三角形的周长为 .
3.常用二级结论
(1)过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦 ,称为通径.
(2)AB为椭圆 的弦, ,弦中点为 .
①斜率: .
②弦 的斜率与弦中点 和椭圆中心 的连线的斜率之积为定值 .
(3)在椭圆 上一点 处的切线方程为 .
椭圆的定义及应用
(1)椭圆定义的应用主要有判断平面内动点的轨迹是否为椭圆,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值
和离心率等.
(2)通常将椭圆的定义和余弦定理结合使用,求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法:根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的 .当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求
椭圆的方程为 ,不必考虑焦点位置,用待定系数法求出 的值即可.
求椭圆离心率的关键是借助图形建立关于 的关系式(等式或不等式),转化为关于 的关系式,常用
方法如下:
c
(1)直接求出 ,利用离心率公式e= 求解;
a
√ b2
(2)由 与 的关系求离心率,利用变形公式e= 1− 求解;
a2
(3)构造 的齐次式,离心率 的求解中可以不求出 的具体值,而是得出 与 的关系,从而求得 .
利用椭圆的几何性质求值或范围的思路
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使画不出图形,思考时也要联想到一个图形.
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如, ,在求椭圆相关量
的范围时,要注意应用这些不等关系.
(3)最值问题:列出关于所求值的表达式,构造基本不等式或利用函数单调性求解.
直线与椭圆位置关系的判定方法:将直线与椭圆方程联立,消去 (或 )后得到关于 (或 )的一元二次方程,
设其根的判别式为 ,① 直线与椭圆相交;② 直线与椭圆相切;③ 直线与椭圆相
离.
解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路弦长的求解方法
(1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时,斜率为 的直线 与椭圆相交于 两个不同的点,则弦长公式
的常见形式有如下两种:
①
;
②
.
考点一、椭圆的定义及应用
1．已知椭圆C： 的左右焦点分别为F、F，过左焦点F，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角
1 2 1
形ABF 的周长为（ ）
2
A．10 B．15 C．20 D．25
2．椭圆C： 的焦点为 ， ，点P在椭圆上，若 ，则 的面积为（ ）
A．48 B．40 C．28 D．24
3．若椭圆 的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是 .1．（2023届百校大联考数学试题（新高考））椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为
上顶点，若 的面积为 ，则 的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
2．已知 、 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点， ，则 的面积是
（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆 的焦点为 ， ，椭圆上的点 满足 ，则点 到 轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
考点二、椭圆的标准方程1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆
的标准方程是（ ）
A． ＋ ＝1 B． ＋ ＝1 C． ＋ ＝1 D． ＋ ＝1
2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知椭圆C的焦点为 ，过
F 的直线与C交于A，B两点.若 ， ，则C的方程为
2
A． B． C． D．
3．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为
C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
1．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷））已知椭圆C： 的
左右焦点为F,F 离心率为 ，过F 的直线l交C与A,B两点，若△AF B的周长为 ，则C的方程为（
1 2 2 1
）
A． B． C． D．
2．已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，过点 的直线交 于 、
两点， 若 的中点坐标为 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆C： 的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆
相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为 ，当 时，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
考点三、椭圆的几何性质1．若椭圆 与椭圆 ，则两椭圆必定（ ）．
A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距
C．有相等的短轴长 D．长轴长与焦距之比相等
2．已知椭圆 ，其左右焦点分别为 ，其离心率为 ，点P为该椭圆上一点，
且满足 ，已知 的内切圆的面积为 ，则该椭圆的长轴长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
3．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设 为椭圆 的两个焦点，
为 上一点且在第一象限.若 为等腰三角形，则 的坐标为
.
1．（2023年湖南省模拟数学试题）曲线 与曲线 （ 且 ）的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等
2．（（全国1卷）2021届高三5月卫冕联考数学（文科）试题）已知椭圆 ： 的离心率为
，则椭圆 的长轴长为（ ）
A． B．4 C． D．8
3．椭圆C： 的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足
，且 ，则该椭圆的短轴长为 ．考点四、椭圆的离心率
1．已知 是椭圆 的两个焦点， 为 上一点，且 ， ，
则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））已知 ， 是椭圆
的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形，
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆C： （ ）的左､右顶点分别为 ， ，且以线段 为直径的圆与直线
相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
1．如图，已知 ， 分别是椭圆的左、右焦点，现以 为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点 ， ．若过点 的直线 是圆 的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是
上的一点，若 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆 上存在点 ，使得 ，其中 ， 分别为椭圆的左、右焦点，
则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．考点五、与椭圆有关的最值问题
1．已知椭圆 的右焦点为 是椭圆上一点，点 ，则 的周长最大值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
2．已知椭圆 的两个焦点分别为 ，点P是椭圆上一点，若 的最小值为
，则 的最大值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
3．已知F是椭圆 =1的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是（3，4），则|PM|+|
PF|的最大值是（ ）
A．10 B．11 C．13 D．21
4．若 为椭圆 上的一点， ， 分别是椭圆的左、右焦点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．5．已知点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
1．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
2．在椭圆 上有两个动点 ， 为定点， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
3．在棱长为 的正四面体 中，点 为 所在平面内一动点，且满足 ，则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知F是椭圆 的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点 ，则 的最大值为（
）
A． B． C． D．5．已知 是椭圆 的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则 的内切圆的半径的最
大值是（ ）
A．1 B． C． D．
考点六、直线与椭圆的位置关系
1．（2023年山东省联考数学试题）已知椭圆 ，直线 交 于 两点，点
，则 的周长为 ．
2．（2022年北京市高考数学试题）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，
当 时，求k的值．3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知椭圆C：
（a>b>0），四点P（1,1），P（0,1），P（–1， ），P（1， ）中恰有三点在椭圆C上.
1 2 3 4
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线l不经过P 点且与C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为–1，证明：l过
2 2 2
定点.
1．（2021年北京市高考数学试题）已知椭圆 一个顶点 ，以椭圆 的四个
顶点为顶点的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交
交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．2．（2022年高考天津卷数学真题）椭圆 的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且
满足 ．
(1)求椭圆的离心率 ；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若 ，且
的面积为 ，求椭圆的标准方程．
3．（2021年天津高考数学试题）已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，离心率为
，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线交 轴于点 ．
若 ，求直线 的方程．考点七、椭圆的实际应用
1．（2023届江苏省调研测试数学试题）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之
家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的
中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面 ，近地点（长轴端点中离地面
最近的点）距地面 ，地球的半径为 ，则该椭圆的短轴长为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023届河北省调研数学试题）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到
椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆 （ ）的右
焦点为 ，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦 中点坐标为 ，则椭圆的面积为（ ）
A． B．
C． D．
3．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，
我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率 与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆
的面积为 ，两个焦点分别为 ，点P为椭圆C的上顶点．直线 与椭
圆C交于A，B两点，若 的斜率之积为 ，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．3 B．6 C． D．4．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名
的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该
圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆 上有且只有一个点
在椭圆 的蒙日圆上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质．比如椭圆，他发现如果把椭圆
焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会经过另一个焦点．设椭
圆方程 为其左、右焦点，若从右焦点 发出的光线经椭圆上的点A和点B反射
后，满足 ，则该椭圆的离心率为
．
1．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为 ，液面
呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点 ， 到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（ ）
A． B． C． D．2．黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一
个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，
进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与
整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为 ，把 称为黄金分割数.已知焦点在
轴上的椭圆 的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的
另一焦点.电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点 处，
灯丝与反射镜的顶点A的距离 ，过焦点 且垂直于轴的弦 ，在x轴上移动电影机
片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（ ） cm.
A．10 B．11 C．12 D．13【基础过关】
1．已知 分别为椭圆 的左，右焦点， 为上顶点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ， 是椭圆 的两个焦点，P为椭圆C上一点，且 ，若
的面积为 ，则 （ ）
A．9 B．3 C．4 D．8
3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知椭圆 ： 的
一个焦点为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已
知椭圆C： 的左、右顶点分别为A，A，且以线段AA 为直径的圆与直线
1 2 1 2
相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．5．已知椭圆 ： 的中心为 ，过焦点 的直线 与 交于 ， 两点，线段 的中点
为 ，若 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023届浙江省名校联盟联考数学试题）已知点 、 ，直线 ，动点 到点 的距
离和它到直线 的距离之比为 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知 为坐标原点， 是椭圆 的左焦点， 分别为 的左，右顶点． 为
上一点，且 轴．直线 与 轴交于点 ，若直线 经过 的中点，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ， 是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点 ，使 ，则椭圆的离心率的取值范围
是
.
9．（2023年浙江省名校协作体模拟考试数学试题）已知 分别为椭圆 的左､右
焦点，过 的直线与 交于 两点，若 ，则 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
10．已知F是椭圆 的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为 ，则 的最大值为（ ）
A．3 B．5 C． D．13
11．已知点 是椭圆 上的任意一点，过点 作圆 ： 的切线，设其中一个切点为
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知 是椭圆 的右焦点，点 在 上，直线 与 轴交于点 ，点 为C上的
动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．已知点 是椭圆 上异于顶点的动点， 、 为椭圆的左、右焦点， 为坐标原点，若 是
平分线上的一点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．
假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离
心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远
的距离为（ ）
A． B．
C． D．
15．已知椭圆 过点 ，且离心率 为
(1)求椭圆 的方程；
(2) 、 是椭圆上的两个动点，如果直线 的斜率与 的斜率互为相反数，证明直线 的斜率为定值，
并求出这个定值.16．已知双曲线 与椭圆 有公共焦点，且它的一条渐近线方程为 .
(1)求椭圆 的焦点坐标；
(2)求双曲线 的标准方程．
17．已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，长轴长为4．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知直线 的过定点 ，若椭圆 上存在两点 ， 关于直线 对称，求直线 斜率 的取值范围．
18．已知椭圆 ： 过点 ，且椭圆的离心率为 ．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)斜率为 的直线 交椭圆 于 ， 两点，且 ．若直线 上存在点P，使得
是以 为顶角的等腰直角三角形，求直线 的方程．【能力提升】
1．已知椭圆 的左右焦点为 ，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得
为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023届广东省二模数学试题）已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点， 是过椭圆右顶点
且与长轴垂直的直线上的动点，则 的最大值为 ．
3．已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，设椭圆和双曲线的
离心率分别为 ，则 的最大值为 .
4．已知点 是椭圆 的上顶点， 分别是椭圆左右焦点，直线 将三角形
分割为面积相等两部分，则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
5．如图，已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，过 的直线 与过 的直线 交于点 ，
线段 的中点为 ，线段 的垂直平分线 与 的交点 （第一象限）在椭圆上，若 为坐标原点，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知P是椭圆 上一动点， ， 是椭圆的左、右焦点，当 时，
；当线段 的中点落到y轴上时， ，则点P运动过程中， 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．设F，F 是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF 交
1 2 2
椭圆C于点Q，且|PF| =|PQ|，若 PFF 的面积为 ，则 =（ ）
1 1 2A． B． C． D．
8．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上
绕月球飞行，然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F
为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的
序号为（ ）
①轨道Ⅱ的焦距为 ；②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；
③轨道Ⅱ的长轴长为 ；④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知椭圆C： 的离心率为 ，
且过点 ．
（1）求 的方程：
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值．10．（2023届浙江省教学质量检测（二模）数学试题）已知椭圆 的离心率为 ，
左、右顶点分别为 、 ，点 、 为椭圆上异于 、 的两点， 面积的最大值为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 、 的斜率分别为 、 ，且 ．
①求证：直线 经过定点．
②设 和 的面积分别为 、 ，求 的最大值．
11．（2019年北京市高考数学试题（文科））已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线 与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直
线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
12．已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为4；
(1)求C的方程；
(2)过点 作两条相互垂直的直线上 和 ，直线 与C相交于两个不同点A，B，在线段 上取点Q，满足 ，直线 交y轴于点R，求 面积的最小值．
【真题感知】
1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点
P在C上， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若
，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
3．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆 的离心率分别为 ．
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023年北京高考数学真题）已知椭圆 的离心率为 ，A、C分别是E的上、
下顶点，B，D分别是 的左、右顶点， ．
(1)求 的方程；
(2)设 为第一象限内E上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．求证：
．5．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C
上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022年全国新高考I卷数学试题）已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为
， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是
．
7．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意
一点 都满足 ，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F
1
与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于
2 1 2 1 2
C，D两点，且|CD|= |AB|.
（1）求C 的离心率；
1
（2）设M是C 与C 的公共点，若|MF|=5，求C 与C 的标准方程.
1 2 1 29．（2020年海南省高考数学试卷（新高考全国Ⅱ卷））已知椭圆C： 过点M（2，
3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
10．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F
1
与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C
2 1 2 1 2
于C，D两点，且|CD|= |AB|．
（1）求C 的离心率；
1
（2）若C 的四个顶点到C 的准线距离之和为12，求C 与C 的标准方程．
1 2 1 2
