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专题2.1 认识一元二次方程
【学习目标】
1.探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识；
2.理解方程的解的概念；经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义；
3.会估算一元二次方程的解；
4.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，
了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
【知识梳理】
1）一元二次方程的概念
ax2 +bx+c=0(a≠0)
只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形
式，这样的方程叫做一元二次方程。
2）一元二次方程的一般形式：
ax2 +bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数
3）能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。
注意：一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。常考点:利用根的概念求代数式的值；4）一
元二次方程近似解：两端逼近法。
步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使 ，一个使 ，则一
ax2 +bx+c=0
元二次方程 的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。
【高频考点精讲】
【高频考点1】判断一元二次方程的个数
例1.（2022·成都市九年级年级专题练习）下列关于 的方程：① ；②
；③ ；④ ；⑤ ，其中一元二次方程的个数是（
）
A．2 B．3 C．4 D．5
2
变式1.（2022•仓山区九年级月考）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+ −4＝0；
x
③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【高频考点2】利用一元二次方程的概念求字母的值例2.（2022·台州市九年级月考）如果关于 的方程 是一元二次方程，
那么 的值为：（ ）
A． B． C． D．都不是
变式1.（2022·重庆初三课时练习）若关于x的方程 是一元二次方程，
则m的取值范围是_________．
【高频考点3】一元二次方程的一般形式
例3.（2022·河南郑州·九年级期中）已知一元二次方程 的常数项为4，则二次项系
数和一次项系数分别为（ ）
A．3，－2 B．－3，2 C．3，2 D．－3，－2
变式1．（2022·湖北初三月考）已知一元二次方程 ，若把二次项系数变为正数，
且使得方程根不变的是（ ）
A． B． C． D．
1
变式2．（2022•河南九年级月考）将一元二次方程 x（x﹣2）＝5化为二次项系数为“1”的一
3
般形式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【高频考点4】利用一元二次方程的解求字母的值
例4.（2021·江苏常州市·九年级一模）若 是关于 的方程 的一个解，则
的值为_______．
变式1.（2022·河南九年级期中）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x﹣a2+4＝0的一个根为0，
则a的值是（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．1
【高频考点5】利用一元二次方程的解求代数式的值
例5.（2021春•招远市期中）已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式1+6m﹣2m2的值为（
）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
1
变式1.（2022•阜阳月考）若a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则代数式2− −a的值
a为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．5
变式2.（2022•平邑县九年级期中）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为
（ ）
A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019
【高频考点6】赋值法求一元二次方程的定根（特征根问题）
.例5．（2022·安徽合肥市·九年级期中）若方程 中， 满足
和 ，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．无法确定
变式1．（2022·浙江江干初二期中）若 则关于x的方程 的
解是___________.
变式2．（2022·浙江诸暨初二月考）已知关于 的方程 的系数满足
，我们把这样的方程称为“西施”方程．已知“西施”方程
的一个根是另一个根的3倍，则这个方程的两个根是_____．
【高频考点7】 一元二次方程的近似解（根）问题
例7．（2022·浙江·衢州市九年级阶段练习）下表是用计算器探索函数y＝2x2﹣2x﹣10所得的数
值，则方程2x2﹣2x﹣10＝0的一个近似解为（ ）
x ﹣2.1 ﹣2.2 ﹣2.3 ﹣2.4
y ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56
A．x≈﹣2.15 B．x≈﹣2.21 C．x≈﹣2.32 D．x≈﹣2.41
变式1. （2022·山西太原·九年级期中）在探究一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解时，小明所
在的小组采用了赋值法，计算结果如表：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x﹣15 -0.59 0.84 2.29 3.76
小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的十分位是 ___．【能力提升】
一．选择题
1.（2022·成都市八年级年级专题练习）下列关于 的方程：① ；② ；
③ ；④ ；⑤ ，其中一元二次方程的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022·上海九年级专题练习）下列方程中，常数项为0的是（ ）
A． x2+x+1=0 B．2x2-x-12=12 C． D．
3．（2022·杭州市 八年级期中）若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0（a≠0）有一根为x＝
2019，则一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＝﹣2必有一根为（ ）
A．2017 B．2020 C．2019 D．2018
4．（2022·江苏苏州市·九年级期中）定义运算： ．若a，b是方程
的两根，则 的值是（ ）
A．0 B． C．2 D．2m
5.（2022•黄冈月考）关于x的方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15有一个根为﹣2，则m的值等于（
）
1 1
A．2 B．− C．﹣2 D．
2 2
2020
6.（2022•麦积区九年级期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则a2−2019a+
的
a2+1
值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
7.（2022•余杭区月考）若 a﹣b+c＝0，则一元二次方程 ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是
（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．无法确定
8.（2022•唐山月考）关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0满足a+b＝2020，则方程必有一根
为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定
9.（2022•海淀区校级期中）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样
一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”
其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对
齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列
方程正确的是（ ）
A．102+（x﹣1）2＝x2 B．（x+1）2＝x2+102
C．x2＝（x﹣1）2+12 D．（x+1）2＝x2+12
10．（2022·山东青岛开发区育才中学初三月考）关于 的方程 必有一个
根为（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
11．（2022·山东·八年级期末）观察下列表格，一元二次方程 的一个近似解为
（ ）
-1.13 -1.12 -1.11 -1.10 -1.09 -1.08 -1.07
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A．-1.124 B．-1.118 C．-1.088 D．-1.073
二．填空题
12.（2022•昌图县期末）已知（m﹣1）x|m+1|+2mx+4＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是
．
13.（2022•新都区校级月考）关于x的方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足 时，
方程为一元二次方程，当m满足 时，方程为一元一次方程．
14.（2022•拱墅区校级期中）方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是 ；其中二次项
系数是 ．
15.（2022•蜀山区校级期中）如图，将边长为12的正方形纸片，沿两边各剪去一个一边长为x的
长方形，剩余的部分面积为64，则根据题意可列出方程为 ．（方程化为一般
式）
16．（2022·浙江嘉兴初二期中）已知方程x2﹣3x+m＝0与方程x2+（m+3）x﹣6＝0有一个共同
根，则这个共同根是_____．
17．（2021·北京九年级专题练习）已知 是关于 的一元二次方程 的一个
根，若 ，则 的值为____．
1
18.（2022•瑶海区期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣b + c＝0，则方程必有一根为
3．
19．（2022•宝应县月考）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1、b＝
4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小1，则原方程的根为
．
20．（2022·浙江杭州市·八年级期中）若关于 的一元二次方程 有一根为
，则一元二次方程 必有一根为________．
三．解答题
21．（2022·灌云县远扬双语学校九年级月考）一元二次方程 有一个解
为0，试求 的值．
22．（2021•扬州期中）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） （m﹣2）x﹣1＝
0提出了下列问题：（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出 m的值，并
解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
23（2022•巢湖市期末）数学课上，李老师布置的作业是图中小黑板所示的内容，丽丽同学看错
了第②题※中的数，求得①的一个解x＝2，想想同学由于看错了第①题■中的数，求得②的一
个解x＝3．
（1）请写出老师布置的作业① ；② ．
（2）请解答老师布置的第②题作业．
24．（2022•简阳市 月考）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成 ，
定义 ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么 22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式．
25.（2022•南岗区校级月考）阅读理解：
定义：如果关于x的方程a x2+b x+c =0（a ≠0，a 、b 、c 是常数）与a x2+b x+c =0
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2
（a ≠0，a 、b 、c 是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a +a
2 2 2 2 1 2
＝0，b ＝b ，c +c ＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称
1 2 1 2
方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a ＝2，b ＝﹣3，c ＝1，根据a +a ＝0，b ＝
1 1 1 1 2 1
b ，c +c ＝0，求出a ，b ，c 就能确定这个方程的“对称方程”．
2 1 2 2 2 2
请用以上方法解决下面问题：
（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 ．
（2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．
