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专题 2.1 相交线与平行线
相关概念
【例1】下列说法正确的是
A．钝角的补角一定是锐角
B．两个锐角的度数和一定大于
C．射线 和射线 是同一条射线
D．在同一平面内有三个点 ， ， ，过其中任意两个点画直线，可以画出3条直
线
【解答】解： 、钝角的补角一定是锐角，正确，符合题意；
、两个锐角的度数和一定大于 错误，反例， ，不符合题意；
、射线 和射线 不是同一条射线；不符合题意；
、在同一平面内有三个点 ， ， ，过其中任意两个点画直线，可以画出1条或3
条直线，不符合题意．
故选： ．
【变式训练1】下面说法正确的是
A．两点之间，直线最短
B．连接两点的线段叫做两点间的距离
C．一个锐角的补角比这个角的余角大
D．若 ，则 是 的平分线
【解答】解： 、两点之间，线段最短，所以 选项不符合题意；、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，所以 选项不符合题意；
、一个锐角的补角比这个角的余角大 ，所以 选项符合题意；
、若 ，射线 在 外，则 不是 的平分线，所以 选
项不符合题意．
故选： ．
【变式训练2】下列说法正确的是
A．不相交的两条直线叫做平行线
B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C．平角是一条直线
D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线
【解答】解： ．应强调在同一平面内，错误；
．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确；
．直线与角是不同的两个概念，错误；
．过同一平面内三点中任意两点，能画出3条直线或1条直线，故错误．
故选： ．
【变式训练3】下列说法中，正确的是
A．一个锐角的补角大于这个角的余角
B．一对互补的角中，一定有一个角是锐角
C．锐角的余角一定是钝角
D．锐角的补角一定是锐角
【解答】解： 、一个锐角的补角大于这个角的余角，故 正确；
、一对互补的角中，也可以两个角是直角，故 错误；、锐角的余角一定是锐角，故 错误；
、锐角的补角一定是钝角，故 错误．
故选： ．
余角的计算
【例2】如图， 为直线 上的一点， ， ，则图中 的余
角共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： ，
， ．
的余角共有2个．
故选： ．
【变式训练1】如图，已知 和 都是直角，设图中互补的角有 对，互余的
角有 对，则 的值为
A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解： 和 都是直角，
，
，
，
， ，
，
故选： ．
【变式训练2】如图，已知 ，且 ，则
的余角是
A． B． C． 与 D． 与
【解答】解： ，
，
，
，
的余角是 和 ，故选： ．
【变式训练3】一个角为 ，则它的余角等于
A． B． C． D．
【解答】解：根据余角的定义得， 的余角 ．
故选： ．
补角的计算
【例3】已知 ，则 的补角等于
A． B． C． D．
【解答】解： 的补角 ．
故选： ．
【变式训练1】若 与 互为补角，且 ，则 的度数是
A． B． C． D．
【解答】解： 与 互为补角，
，
，
．
故选： ．
【变式训练2】已知 和 互为余角，且 与 互补， ，则 为A． B． C． D．
【解答】解： 和 互为余角， ，
，
与 互补，
．
故选： ．
【变式训练3】已知 ，则 的补角等于
A． B． C． D．
【解答】解： ，
的补角是 ．
故选： ．
余补角的综合计算
【例4】如果一个角的补角是这个角的4倍，那么这个角为
A． B． C． D．
【解答】解：设这个角为 ，则这个角的补角为 ，根据题意可得，
，
解得 ，
故选： ．
【变式训练1】一个角的补角的一半比这个角的余角的2倍小 ，那么这个角等于A． B． C． D．
【解答】解：设该角为 ，则它的补角为 ，余角为 ，
由题意得：方程 ，
解得：
故选： ．
【变式训练2】已知 的补角比它的余角的4倍还大 ，则 的大小是
A． B． C． D．
【解答】解：设这个角的度数为 ．
由题意得： ．
．
故选： ．
【变式训练3】一个角的补角是它的余角的度数的3倍，则这个角的度数是
A． B． C． D．
【解答】解：设这个角的度数是 ，则
，
解得 ．
所以这个角是 ．
故选： ．垂线段最短
【例5】如图，测量运动员跳远成绩选取的应是图中
A．线段 的长度 B．线段 的长度 C．线段 的长度 D．线段 的长度
【解答】解：依据垂线段最短，可得测量运动员跳远成绩选取的应是图中线段 的长度．
故选： ．
【变式训练1】如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，
能正确解释这一现象的数学知识是
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【解答】解：如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，
能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短．
故选： ．
【变式训练2】如图，点 是直线 外一点，过点 作 于点 ．在直线 上取一点，连结 ，使 ，点 在线段 上，连结 ．若 ，则线段
的长不可能是
A．3.5 B．4 C．5 D．5.5
【解答】解： 过点 作 于点 ，在直线 上取一点 ，连接 ，使
， 在线段 上连接 ．若 ，
，
，
故 不可能是5.5，
故选： ．
【变式训练3】如图，这是一条马路上的人行横道线，即斑马线的示意图，请你根据图示判
断，在过马路时三条线路 、 、 中最短的是
A． B． C． D．不确定
【解答】解：根据在同一平面内垂线段最短，可知 最短．故选： ．
角度计算问题
【例6】如图，已知直线 和 相交于 点， ， 平分 ．
（1）在图中与 互补的角是 ；
（2）若 求 的度数．
【解答】解：（1） ，
与 互补的角是 ，
故答案为： ；
（2）因为 ， ，
所以 ，
因为 平分 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
【变式训练1】如 图 ， 直 线 ， 相 交 于 点 ， 和 互 余 ，．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的度数．
【解答】解：（1） 和 互余，
，
，
，
；
（2）设 ，则 ，
，
，
，
解得 ，
．【变式训练2】如图，直线 、 相交于点 ， 平分 ， ．
（1）若 ，求 的度数．
（2）画 的反向延长线 ， 是 的平分线吗？请说明理由．
【解答】解：（1） ，
，
又 平分 ，
，
，
；
（2）如图， 是 的平分线．
理由：
， ， ，
，是 的平分线．
【变式训练3】如图所示，直线 和直线 相交于点 ，在直线 的左侧作射线
、射线 、射线 ，已知 ， ，射线 平分 ，
射线 平分 ．
（1）求 的度数；
（2）求 的度数．
【解答】解：（1） ， ， ，
；
（2） 平分 ，
，
平分 ，
，
，
，，
，
．
三线八角
【例7】如图，下列说法错误的是
A． 与 是对顶角 B． 与 是同位角
C． 与 是内错角 D． 与 是同旁内角
【解答】解： ． 与 是对顶角，故 不符合题意；
． 与 是同位角，故 不符合题意；
． 与 不是内错角，故 符合题意；
． 与 是同旁内角，故 不符合题意；
故选： ．
【变式训练1】如图，直线 、 被直线 所截，下列说法不正确的是A． 与 是同位角 B． 与 是对顶角
C． 与 是同旁内角 D． 与 是内错角
【解答】解：由图可知：
． 与 是同位角，正确，故 不符合题意；
． 与 是对顶角，正确，故 不符合题意；
． 与 是同旁内角，正确，故 不符合题意；
． 与 是内错角，不正确，故 符合题意；
故选： ．
【变式训练2】在如图中， 和 不是同位角的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 同位角是 型，内错角是 型，同旁内角是 型，
， ， 不符合题意， 符合题意，
故选： ．
【变式训练3】如图，直线 ， 被直线 所截，则 与 是A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
【解答】解：由题意可得， 与 是直线 ， 被直线 所截而成的同位角．
故选： ．
平行线的判定
【例8】直线 、 、 的位置关系如图，下列说法错误的是
A． 与 互为邻补角，若 ，则
B． 与 互为对顶角，若 ，则
C．若 ，则 ；若 ，则
D．若 或 ，则 ．
【解答】解： ．由图得， 与 互为邻补角，则 ．由 ，得
，那么 正确，故 不符合题意．
．根据对顶角的定义， 与 互为对顶角，则 ．由 ，得
，那么 正确，故 不符合题意．
．根据垂直的定义，由若 ，则 ；若 ，则 ，那么 正确，故 不符合题意．
．由题得， 与 是对顶角，那么 ．由 ，得 ，那
么 ．根据同旁内角互补两直线平行，由 ，那么 ，得 错误，
故 符合题意．
故选： ．
【变式训练1】如图，下列说法错误的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】解： 、 ， （内错角相等，两直线平行），不符合题意；
、 ， （同旁内角互补，两直线平行），不符合题意；
、 ， （内错角相等，两直线平行），不符合题意；
、由 不能得到 ，符合题意．
故选： ．
【变式训练2】如图，下列四个选项中不能判断 的是A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，
，故此选项不符合题意；
、 ，
，故此选项不符合题意；
、 ，
，故此选项不符合题意；
、 ，
，故此选项符合题意；
故选： ．
【变式训练3】如图，下列条件① ；② ；③ ，
；④ ．其中能判定 的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①由 可判定 ，不符合题意；②由 不能判定 ，不符合题意；
③由 且 知 ，可判定 ，符合题意；
④由 可判定 ，符合题意；
故选： ．
平行线的性质
【例9】一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
由题意得： ， ，
，
，
，，
，
故选： ．
【变式训练1】如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若 ，则 的度数
为
A． B． C． D．
【解答】解： ， 是平角， ，
．
．
，
．
故选： ．
【变式训练2】将一把直尺和一块含 和 角的三角板 按如图所示的位置放置，如果 ，那么 的大小为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知 ，
，
，
，
故选： ．
【变式训练3】如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知直尺的对边平行，若
，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，， ，
，
，
．
故选： ．
【例10】如图， ， ， ，则 的度数是
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
是 的外角，
．
故选： ．
【变式训练1】如图， ， ， ，则 的大小是
A． B． C． D．【解答】解： ， ，
，
，
，
．
故选： ．
【变式训练2】将一副三角板 按如图所示方式摆放，使得 ，
则 等于
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
．
，
．
故选： ．
【变式训练3】如图，已知， ， 平分 ， ，则 的度数为A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
又 平分 ，
，
，
，
，
故选： ．
证明题
【例11】填写下面证明过程中的推理依据：
已知：如图， ， 平分 ， 平分 ．
（1） 吗？请说明理由
（2） 与 的位置关系如何？为什么？
（本题第（1）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（2）小题要写出解
题过程）
解：（1） ，理由如下：
已知 ，．
平分 ， 平分 （已知），
（角平分线的定义），
（角平分线的定义）．
．
（2）
【解答】解：（1） （已知），
（两直线平行，内错角相等）．
平分 ， 平分 （已知），
（角平分线的定义），
（角平分线的定义）．
（等量代换），
故答案为：已知，两直线平行，内错角相等， ， ，等量代换；
（2） ；
由（1）知 ， ，
，，
，
．
【变式训练1】填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
如图，已知： 平分 ， ， ，那么 平分 吗？
解： 平分 （已知），
角平分线的定义 ，
（已知），
，
（等量代换），
（已知），
， ，
（等量代换）．
平分 ．
【解答】解： 平分 （已知），
（角平分线的定义），（已知），
，
（等量代换），
（已知），
（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等），
（等量代换）．
故答案为：角平分线的定义；3；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．
【变式训练2】阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）．
解： 已知 ，
．
（已知），
．
（已知），
（垂直的定义）．
．
（已知），
．
平分 （已知），
（角平分线的定义）．（已知），
（两条直线平行，同旁内角互补）．
．
【解答】解： 已知），
两直线平行，同旁内角互补）．
（已知），
．
（已知），
（垂直的定义）．
．
（已知），
两直线平行，内错角相等）．
平分 （已知），
（角平分线的定义）．
（已知），
（两条直线平行，同旁内角互补）．．
故答案为：已知；两直线平行，同旁内角互补； ； ； ； ；两直线平行，
内错角相等； ； ； ．
【变式训练3】如图， ， 与 的平分线相交于点 ，完成下面的证
明：
平分 已知 ，
，
同理 ．
，
，
，
，
，
与 的位置关系是 ．
【解答】解：平分 已知，
角平分线的定义，
同理 ．
已知，
，
，
，
，
与 的位置关系是 垂直．
故答案为：已知；角平分线的定义；已知； ； ； ； ；垂直．
