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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.5确定二次函数的表达式
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2019秋•丹江口市期末）抛物线 经过原点，则 的值为
A．0 B．1 C． D．
【分析】先把原点坐标代入解析式得到 或 ，然后利用二次函数的定义确定满足条件的 的值．
【解析】把 代入得 ，解得 ， ．
而 ，
所以 ．
故选： ．
2．（2020秋•承德县期末）用配方法将二次函数 化为 的形式为
A． B． C． D．
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解析】 ，
故选： ．
3．（2021秋•瑶海区校级期中）已知某抛物线与二次函数 的图象的开口大小相同，开口方向相反，
且顶点坐标为 ，则该抛物线对应的函数表达式为
A． B．
C． D．【分析】先设顶点式 ，然后根据二次函数的性质确定 的值．
【解析】 抛物线的顶点坐标为 ，
抛物线的解析式为 ，
抛物线 二次函数 的图象的开口大小相同，开口方向相反，
，
抛物线的解析式为 ．
故选： ．
4．（2021秋•瑶海区校级期中）已知抛物线与二次函数 的图象的开口大小相同，开口方向相反，
且顶点坐标为 ，则该抛物线对应的函数表达式为
A． B．
C． D．
【分析】先设顶点式 ，然后根据二次函数的性质确定 的值．
【解析】 抛物线的顶点坐标为 ，
抛物线的解析式为 ，
抛物线 二次函数 的图象的开口大小相同，开口方向相反，
，
抛物线的解析式为 ．
故选： ．
5．（2019秋•文登区期中）若 ，点 关于 轴的对称点 为二次函数图象顶点，则二次函数的解析式为
A． B． C． D．
【分析】利用非负数的性质确定出 与 的值，利用对称性质，以及二次函数性质判断即可．
【解析】 ，
， ，即 ，
关于 轴对称点 的坐标为 ，
则以 为顶点的二次函数解析式为 ，
故选： ．
6．（2019秋•青县期末）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线 ，则这个二次函数的表达式
为
A． B． C． D．
【分析】由抛物线的对称轴为直线 设解析式为 ，将 、 代入求出 、 的
值即可得．
【解析】由图象知抛物线的对称轴为直线 ，
设抛物线解析式为 ，
将 、 代入，得： ，解得： ，
则抛物线解析式为 ，
故选： ．
7．（2020秋•商河县校级期末）已知某二次函数，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的
增大而增大，则该二次函数的解析式可以是
A． B． C． D．
【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，对称轴为直线 ，然后对各选项进行判断．
【解析】 当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，
抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
抛物线 满足条件．
故选： ．
8．（2019秋•下城区期末）已知二次函数 ，当 等于 时，函数值是 ；当 时，函
数值是5．则此二次函数的表达式为
A． B． C． D．
【分析】把两组对应值代入 得到关于 、 的方程组，然后解方程组即可．
【解析】根据题意得 ，解得 ，
所以抛物线解析式为 ．
故选： ．
9．（2021•杭州模拟）已知抛物线 与直线 ，无论 取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点．那么，抛物线的解析式是
A． B． C． D．
【分析】抛物线 与直线 有且只有一个公共点，也就是说方程
只有一个解，即△ ．
【解析】联立方程组 ，
，
整理得， ，
无论 为何实数，直线与抛物线都只有一个交点，
△ ，
可得 ， ， ，
解得 ， ， ，
抛物线的解析式是 ，
故选： ．
10．（2020秋•杭州期中）已知二次函数 （其中 ， ， 是实数， ，当 时，
；当 时， ，
A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则
【分析】当 时， ；当 时， ；代入函数式整理得 ，将 的值分别代入即可
得出结果．【解析】当 时， ；当 时， ；代入函数式得： ，
，
整理得： ，
若 ，则 ，故 错误；
若 ，则 ，故 错误；
若 ，则 ，故 正确；
若 ，则 ，故 错误；
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春•东城区校级期末）二次函数图象过 ， ， ，则此二次函数的解析式是
．
【分析】根据 、 均为 轴上的点设二次函数的交点式，再将点 坐标代入求出 的值，从而得出答案．
【解析】 二次函数图象经过 ， ，
设二次函数解析式为 ，
将 代入，得： ，
解得 ，
则抛物线解析式为 ，
故答案为： ．
12．已知一个二次函数的图象的形状与抛物线 相同，顶点坐标是 ，则所得二次函数的表达式
为 或 ．【分析】利用抛物线顶点式求解即可．
【解析】图象顶点坐标为 ，
可以设函数解析式是 ，
又 形状与抛物线 相同，即二次项系数绝对值相同，
，
这个函数解析式是： 或 ，
故答案为： 或 ．
13．（2019秋•江油市期末）已知二次函数的图象经过 、 、 、 、 、 三点，那么这个二次函
数的解析式为 ．
【分析】设交点式 ，然后把 代入求出 即可．
【解析】设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
所以抛物线解析式为 ，
即 ．
故答案为 ．
14．（2020•安徽一模）设抛物线 的顶点为 ，与 轴的交点是 ，我们称以 为
顶点，且过点 的抛物线为抛物线 的“伴随抛物线”，请写出抛物线 的伴随抛物线的解析式 ．
【分析】先根据抛物线的解析式求出其顶点 和抛物线与 轴的交点 的坐标．然后根据 的坐标用顶点
式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将 点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出伴随抛物线的解
析式．
【解析】 抛物线 ，
顶点坐标 为 ，与 轴交点为 ，
设伴随抛物线的解析式为： ，把 代入得 ，
伴随抛物线 ，
故答案为： ．
15．（2020秋•济南期末）如图，平行四边形 中， ，点 的坐标是 ，以点 为顶点的
抛物线经过 轴上的点 ， ，则此抛物线的解析式为 ．
【分析】在平行四边形 中，根据平行四边形的性质， 且 ，且 的纵坐标与
相同，运用平行四边形的性质，结合图形得出 ， ， ，然后根据待定系数法即可求得抛
物线解析式．
【解析】在平行四边形 中， 且 ，点 的坐标是 ，
点 的坐标为 ，设抛物线的对称轴与 轴相交于点 ，
则 ，
点 ， 的坐标为 ， ， ，
设抛物线的解析式为 ，
把 代入得， ，
解得 ，
，
抛物线的解析式为 ，
故答案为 ．
16．（2020秋•罗湖区校级期末）如图，抛物线的顶点 在 轴上抛物线与直线 相交于 ， 两
点，且点 在 轴上，点 的横坐标为2，那么抛物线的函数关系式为 ．
【分析】求出点 、 的坐标，设出抛物线的关系式代入求出待定系数即可．
【解析】把 代入 得， ，点
当 时，即 ，解得， ，
点
由于抛物线的顶点在 轴上，因此对称轴为 轴，设抛物线的关系式为： ，
把 、 代入得，
，解得， ， ，
抛物线的关系式为： ，
答：抛物线的关系式为： ．
17．（2021秋•丛台区校级月考）如图， 网格（每个小正方形的边长为 中有 ， ， ， ， ，
， 、 ， 九个格点，抛物线 的解析式为 为整数）．
（1） 为奇数，且 经过点 和 ，则该抛物线的解析式为 ；
（2） 为偶数，且 经过点 和 ，抛物线还经过网格上的 点；
（3）若 经过这九个格点中的三个，则所有满足这样条件的抛物线条数有 条．
【分析】（1）根据 的奇数次方等于 ，再把点 、 的坐标代入抛物线解析式计算即可求出 、 的
值，然后把函数解析式整理成顶点式形式，写出顶点坐标即可；
（2）根据 的偶数次方等于1，再把点 、 的坐标代入抛物线解析式计算即可求出 、 的值，从而得到函数解析式，再根据抛物线上点的坐标特征进行判断；
（3）分别利用（1）（2）中的结论，将抛物线平移，可以确定抛物线的条数．
【解析】（1） 为奇数时， ，
经过点 和 ，
，
解得 ，
抛物线解析式为 ，
故答案为： ；
（2） 为偶数时， ，
经过点 和 ，
，
解得 ，
抛物线解析式为 ，
当 时， ，
点 在抛物线上，
抛物线还经过网格上的 点，
故答案为： ；
（3）所有满足条件的抛物线共有8条．当 为奇数时，由（1）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图 所示；
当 为偶数时，由（2）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图 所示．
故答案为：8．
18．（2020•宁波模拟）已知二次函数 的自变量 与函数值 之间满足下列数量关系：
3 4
10 10 202
那么 的值为 202 0 ．
【分析】由表中数据得到点 和 为抛物线上的对称点，利用对称性得到抛物线的对称轴为直线
，则 和 对应的函数值都为202，即 ，而 ，然后利用整体代入
的方法计算代数式的值．
【解析】 ， ； ， ，
点 和 为抛物线上的对称点，
抛物线的对称轴为直线 ，
和 对应的函数值相等，
而 时， ，
时， ，即 ，
而 时， ，
．故答案为2020．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋•昌平区期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如下表所示：
0 1
0 0
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当 时，直接写出 的取值范围．
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为 ，则可设顶点式
，然后把点 代入求出 即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据 、 时的函数值即可写出 的取值范围．
【解析】（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为 ，
设二次函数的解析式为： ，
把点 代入 ，得 ，
故抛物线解析式为 ，即 ；
（2）如图所示：（3） ，
当 时， ，
当 时， ，
又对称轴为 ，
当 时， 的取值范围是 ．
20．（2021春•雨山区校级月考）分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
（1）图象经过点 ， ，对称轴是直线 ；
（2）图象顶点坐标是 ，且过点 ．
【分析】（1）利用待定系数法直接就可以求出抛物线的解析式．
（2）根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为： ，再把 代入，求出 的值，
即可得出二次函数的解析式．
【解答】解 （1）设函数的解析式为
由题意得 ，解得 ，
函数解析式为 ；（2） 图象的顶点为 ，且经过点 ，
设抛物线的解析式为： ，
把 代入，得 ，
，
抛物线的解析式为： （或 ．
21．（2021•内乡县一模）如图，已知抛物线 经过 、 两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）点 为抛物线上一点，若 ，求出此时点 的坐标．
【分析】（1）把 点和 点坐标分别代入 得 ，然后解方程组即可；
（2）先解方程 得 ，则 ，设 点坐标为 ，利用三角形面积公式得
到 ，然后分别解 和 即可得到 点坐标．
【解析】（1）把 、 代入 得 ，解得 ，
所以抛物线解析式为 ；
（2）当 时， ，解得 ， ，则 ，，
设 点坐标为 ，
，
，
当 ，解得 ， ，此时 点坐标为 或 ；
当 ，方程没有实数解，
综上所述， 点坐标为 或 ；
22．（2020秋•杨浦区期末）已知一个二次函数的图象经过点 、 、 ．
（1）求这个函数的解析式及对称轴；
（2）如果点 ， 、 ， 在这个二次函数图象上，且 ，那么 ．（填“
”或“ ”
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）可根据二次函数增减性进行解答．
【解析】（1）设二次函数的解析式为 ．
根据题意，得 ，
解得 ．
二次函数的解析式为 ，抛物线的对称轴为直线 ；
（2）由（1）可知，抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
点 ， 、 ， 在这个二次函数图象上，且 ，
，
故答案为 ．
23．（2021•芜湖模拟）已知二次函数 ， ， 为常数， ．
（1）若 ，求二次函数 的顶点坐标．
（2）若 ，设函数 的对称轴为直线 ，求 的值．
（3）点 ， 在函数 图象上，点 ， 在函数 图象上．若函数 图象的对称轴在 轴右侧，
当 ， 时，试比较 ， 的大小．
【分析】（1）化成顶点式即可求得；
（2）根据对称轴公式即可求得；
（3）根据题意求得 ，即可判断函数 图象开口向下，令 ，解得 或 ，
即可得出两抛物线的交点的横坐标为0和1，据此函数图象，根据图象即可求得 ．
【解析】（1）若 ，则 ，
，
二次函数 的顶点坐标为 ；
（2）若 ，则 ，
对称轴为直线 ，
设函数 的对称轴为直线 ，则 ；（3） 函数 图象的对称轴在 轴右侧，
，
，
函数 图象开口向下，
，
，
令 ，整理得 ，
解得 或 ，
两抛物线的交点的横坐标为0和1，
如图，
由图象可知，当 ， ．
方法二：
，
， ，
， ，
，．
24．（2021•启东市模拟）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ．
（1）此抛物线的对称轴 直线 ，点 的坐标为 （用含 的式子表示）；
（2）已知点 ， ．若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值
范围．
【分析】（1）根据对称轴公式即可求得抛物线的对称轴，利用 轴上点的坐标特征求解即可．
（2）对于任意实数 ，都有 ，可知点 在点 的上方，令抛物线上的点 ，可得
，分 ， 两种情形分别求解即可解决问题．
【解析】（1）由抛物线 ，可知 ，
抛物线的对称轴为直线 ．
抛物线 与 轴交于 ，
令 ，得到 ，
．
故答案为直线 ， ．
（2）对于任意实数 ，都有 ，
可知点 在点 的上方，
令抛物线上的点 ，
，
①如图1中，当 时， ，
点 在点 的上方，
结合图象可知抛物线与线段 没有公共点．
②当 时，
（a）如图2中，
当抛物线经过点 时， ，
，
结合图象可知抛物线与线段 巧有一个公共点 ．
（b）当 时，观察图象可知抛物线与线段 没有公共点．
（c）如图3中，当 时， ，
点 在点 的下方，
结合图象可知抛物线与线段 恰好有一个公共点，综上所述，满足条件的 的取值范围是 ．
