文档内容
专题2. 6 一元二次方程与实际应用（一）（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1. 懂得运用一元二次方程解决有关变化率问题；
2. 懂得运用一元二次方程解决有关传播、分裂问题；
3. 懂得运用一元二次方程解决有关握手、比赛问题
【知识点梳理】
考点 1 变化率问题 ：
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一
次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可
列方程为 ²=b。
考点2 传染、分裂问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个
人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
考点3 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送
n(n−1)张卡片。
【典例分析】
【考点1 变化率问题】
【例1】（2022春•沂源县校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展等多重利好因素，我
市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2016年利润为2亿元，2018年利
润为2.88亿元．
（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率．
（2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业 2019年的利润能否超过
3.4亿元？
【变式1-1】（2021•东营）“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻
坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量 1008公斤的目
标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，
请通过计算说明他们的目标能否实现．
【变式1-2】（2020·合肥模拟）某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度
的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为 x ．根据题
意列方程正确的是（ ）
A．250(1+x) 2=90 B．250(1+x%) 2=900C．250(1+x)+250(1+x) 2=90 D．250+250(1+x)+250(1+x) 2=900
【变式1-3】（2021·雨花期末）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某
市加快了廉租房的建设力度.2019年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方
米，预计到2021年底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投
资的增长率相同.
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到2021年底共建设了多少万平方米的廉租房？
【考点2 传染、分裂问题】
【例2】（2020秋•武汉期末）有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第
一轮后患流感的人数为（ ）
A．10 B．50 C．55 D．45
【变式2-1】（2021秋•昌邑区校级期末）已知3人患流感，经过两轮传染后，患流感总人
数为108人，则平均每人每轮传染 人．
【变式2-2】（2021•新民市开学）某学校有一名同学题了流感，经过两轮传染后共有 121
名同学得了流感，每轮传染中平均一名同学传染了几名同学？
【变式2-3】（2021秋•井研县期末）2019年年底以来，“新冠”疫情在全球肆虐．某些国
家不够重视，导致疫情持续蔓延；由于我国政府措施得当，疫情得到了有效控制．“新
冠”病毒的传染性很强，需要高度重视．如某国某一社区开始有2人感染发病，未加控
制，结果两天后发现共有50人感染病例．
（1）求每位发病者平均每天传染多少人；
（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？
【例3】（2021秋•舞阳县期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同
样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长出x小分支，列方程
为（ ）
A．（1+x）2＝91 B．1+x+x2＝91 C．（1+x）x＝91 D．1+x+2x＝91
【变式3-1】（2021春•拱墅区校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现
一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上
的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式3-2】（2021秋•蓬江区期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长
出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，每个支干长出的小分支数目
为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．7
【变式3-3】2021九上·淮滨月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长
出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出 个
小分支.
【考点3 握手、比赛问题】
【例4】（2021秋•虎林市校级期末）2021年虎林市教育局组织开展了全市中学生篮球联
赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，则参加
比赛的队伍数量是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【变式4-1】（2022•黑龙江模拟）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行
了28场，则该校八年级有（ ）个班级．
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式4-2】（2020•河池）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，
共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式4-3】（2021•南漳县模拟）参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了
一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（ ）
A．9家 B．10家 C．10家或9家 D．19家【例5】（2021秋•兰山区期末）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡
90张，则这个小组共有（ ）
A．9人 B．10人 C．12人 D．15人
【变式5-1】（2021•宜州区模拟）某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张
自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有x名学生，则可列方程为（
）
A．x2﹣1＝2550 B．x（x﹣1）＝2550
C．（x﹣1）2＝2550 D．x（x﹣1）＝5100
【变式5-2】今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都
要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红
包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【变式5-3】（2022·安岳开学考）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成
员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为 ．
专题2. 6 一元二次方程与实际应用（一）（知识解读）【直击考点】
【学习目标】
4. 懂得运用一元二次方程解决有关变化率问题；
5. 懂得运用一元二次方程解决有关传播、分裂问题；
6. 懂得运用一元二次方程解决有关握手、比赛问题
【知识点梳理】
考点 1 变化率问题 ：
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一
次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可
列方程为 ²=b。
考点2 传染、分裂问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个
人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
考点3 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送
n(n−1)张卡片。
【典例分析】
【考点1 变化率问题】
【例1】（2022春•沂源县校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展等多重利好因素，我
市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2016年利润为2亿元，2018年利
润为2.88亿元．
（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率．
（2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业 2019年的利润能否超过
3.4亿元？
【答案】（1） 20%（2）能超过3.4亿元
【解答】解：（1）设该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝2.88，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率为20%．
（2）2.88×（1+20%）＝3.456（亿元），
∵3.456亿元＞3.4亿元，
∴若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能超过3.4亿
元．
【变式1-1】（2021•东营）“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻
坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量 1008公斤的目
标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，
请通过计算说明他们的目标能否实现．
【答案】（1）20% （2）能实现
【解答】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，
依题意得：700（1+x）2＝1008，
解得：x＝0.2＝20%，x＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：亩产量的平均增长率为20%．（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．
∵1209.6＞1200，
∴他们的目标能实现．
【变式1-2】（2020·合肥模拟）某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度
的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为 x ．根据题
意列方程正确的是（ ）
A．250(1+x) 2=90 B．250(1+x%) 2=900
C．250(1+x)+250(1+x) 2=90 D．250+250(1+x)+250(1+x) 2=900
【答案】D
【解答】解：根据题意列方程得：
250+250(1+x)+250(1+x) 2=900 ．
故答案为：D．
【变式1-3】（2021·雨花期末）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某
市加快了廉租房的建设力度.2019年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方
米，预计到2021年底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投
资的增长率相同.
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到2021年底共建设了多少万平方米的廉租房？
【答案】（1）50%（2）38
【解答】（1）解：设市政府投资的年平均增长率为x，
根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，
整理，得：x2+3x − 1.75=0，
解得x=0.5，x= − 3.5（舍去），
1 2
答：每年市政府投资的增长率为50%
2
（2）解：到2021年底共建廉租房面积=9.5÷ =38（万平方米）.
8
【考点2 传染、分裂问题】
【例2】（2020秋•武汉期末）有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第
一轮后患流感的人数为（ ）A．10 B．50 C．55 D．45
【答案】C
【解答】解：设每轮传染中每人传染x人，
依题意，得：5+5x+x（5+5x）＝605，
整理，得：x2+2x﹣120＝0，
解得：x ＝10，x ＝﹣12（不合题意，舍去），
1 2
∴5+5x＝55．
故选：C．
【变式2-1】（2021秋•昌邑区校级期末）已知3人患流感，经过两轮传染后，患流感总人
数为108人，则平均每人每轮传染 人．
【答案】5
【解答】解：设每个人传染x人，根据题意列方程得，
3（x+1）2＝108，
解得x ＝5，x ＝﹣8（不合题意，舍去），
1 2
故答案为：5．
【变式2-2】（2021•新民市开学）某学校有一名同学题了流感，经过两轮传染后共有 121
名同学得了流感，每轮传染中平均一名同学传染了几名同学？
【答案】10
【解答】解：设平均一名同学传染了x名同学，
根据题意得，1+x+（1+x）x＝121，
解得，x ＝10，x ＝﹣12（舍去），
1 2
答：平均一名同学传染了10名同学
【变式2-3】（2021秋•井研县期末）2019年年底以来，“新冠”疫情在全球肆虐．某些国
家不够重视，导致疫情持续蔓延；由于我国政府措施得当，疫情得到了有效控制．“新
冠”病毒的传染性很强，需要高度重视．如某国某一社区开始有2人感染发病，未加控
制，结果两天后发现共有50人感染病例．
（1）求每位发病者平均每天传染多少人；
（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人
吗？
【解答】解：（1）设每位发病者平均每天传染x人，
依题意得：2（1+x）2＝50，解得：x ＝4，x ＝﹣6（不合题意，舍去）．
1 2
答：每位发病者平均每天传染4人．
（2）50×（1+4）＝50×5＝250（人），
250＞200．
答：若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人
【例3】（2021秋•舞阳县期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同
样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长出x小分支，列方程
为（ ）
A．（1+x）2＝91 B．1+x+x2＝91 C．（1+x）x＝91 D．1+x+2x＝91
【答案】B
【解答】解：设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，
根据题意得：x2+x+1＝91．
故选：B．
【变式3-1】（2021春•拱墅区校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现
一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上
的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解答】解：依题意，得：1+x+x2＝43，
整理，得：x2+x﹣42＝0，
解得：x ＝6，x ＝﹣7（不合题意，舍去）．
1 2
故选：C．
【变式3-2】（2021秋•蓬江区期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长
出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，每个支干长出的小分支数目
为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．7
【答案】A
【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1＝157，
即（x+13）（x﹣12）＝0，解得：x＝12或x＝﹣13（不合题意，应舍去）；
∴x＝12．
故选：A．
【变式3-3】2021九上·淮滨月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长
出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出 个
小分支.
【答案】3
【解答】解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意得1+x+x•x＝13，
整理得x2+x﹣12＝0，
解得x＝3，x＝﹣4（舍去）.
1 2
即：每个支干长出3个小分支.
故答案为：3.
【考点3 握手、比赛问题】
【例4】（2021秋•虎林市校级期末）2021年虎林市教育局组织开展了全市中学生篮球联
赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，则参加
比赛的队伍数量是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解答】解：设参加比赛的队伍有x支，
依题意得： x（x﹣1）＝66，
整理得：x2﹣x﹣132＝0，
解得：x ＝12，x ＝﹣11（不合题意，舍去）．
1 2
故选：C．
【变式4-1】（2022•黑龙江模拟）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行
了28场，则该校八年级有（ ）个班级．
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【解答】解：设该校八年级有x个班级，
依题意得： x（x﹣1）＝28，整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x ＝8，x ＝﹣7（不合题意，舍去）．
1 2
故选：A．
【变式4-2】（2020•河池）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，
共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【变式4-3】（2021•南漳县模拟）参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了
一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（ ）
A．9家 B．10家 C．10家或9家 D．19家
【答案】B
【解答】解：设参加这次交易会的公司共有x家，
依题意得： x（x﹣1）＝45，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x ＝10，x ＝﹣9（不合题意，舍去），
1 2
∴参加这次交易会的公司共有10家．
故选：B．
【例5】（2021秋•兰山区期末）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡
90张，则这个小组共有（ ）
A．9人 B．10人 C．12人 D．15人
【答案】B
【解答】解：设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x ＝10，x ＝﹣9（不合题意，舍去）．
1 2
故选：B．
【变式5-1】（2021•宜州区模拟）某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张
自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有x名学生，则可列方程为（
）A．x2﹣1＝2550 B．x（x﹣1）＝2550
C．（x﹣1）2＝2550 D．x（x﹣1）＝5100
【答案】B
【解答】解：∵每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，且全班有 x
名学生，
∴每一位同学需送出（x﹣1）张相片．
依题意得：x（x﹣1）＝2550．
故选：B．
【变式5-2】今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都
要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红
包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【答案】B
【解答】解：设这个QQ群共有x人，
依题意有x（x-1）=90，
解得：x=-9（舍去）或x=10，
∴这个QQ群共有10人．
故答案为：B
【变式5-3】（2022·安岳开学考）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成
员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为 ．
【答案】9
【解答】解：设有x人，则
x(x−1)=72
∴x =9，x =−8（舍）
1 2
∴人数为9
