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第二十一章 一元二次方程
思维导图
【类型覆盖】
类型一、一元二次方程的定义与一般形式
【解惑】下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【融会贯通】
1．方程 的二次项系数、一次项系数和常数项可以是（ ）
A．1， ，4 B．1，3，4 C．1， ， D．1，3，
2．若关于 的方程 是一元二次方程，则 ．
3．一元二次方程 的常数项是 ．类型二、一元二次方程的根与判别式
【解惑】下列关于 的一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【融会贯通】
1．关于x的方程 根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
2．关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为 ．
3．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知2是此方程的一个根，求 的值和这个方程的另一个根．
类型三、一元二次方程根与系数关系
【解惑】若关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，且
，则 （ ）
A．2或6 B．3或5 C．4 D．6
【融会贯通】
1．设m，n是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
2．若 ， 是关于 的一元二次方程的 两个根，且 ，则 的值
．3．关于 的方程 有两个不相等的实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)是否存在实数 ，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
类型四、一元二次方程的应用——数字、循环问题
【解惑】如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，
最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（ ）
A．6 B．7 C．14 D．16
【融会贯通】
1．为了践行“文明其精神，野蛮其体魄”的精神，2025年仙游县举办创建杯男子篮球联赛活动，赛制为
单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场，应邀请多少支球队参加？设邀请x支球队参加，则可
列方程为（ ）
A． B． C． D．
2．三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计 场比赛．则有
支队伍参加比赛．
3．一个两位数，个位数字与十位数字的和为 ，并且个位数字的平方比十位数字大 ，求这个两位数．
类型五、一元二次方程的应用——传染、平均变化率
【解惑】有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．【融会贯通】
1．某工厂一月份产值为50万元，计划二、三月份总产值达到120万元，求二、三月份平均每月的增长率
为多少？设二、三月份平均每月的增长率为 ，根据题意，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
2．新冠肺炎病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．
在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有
196人感染了“新冠肺炎病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了 ．
3．随着“博物馆热”的持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解历史文化．某博物馆，今年 月份共计
接待游客 万人， 月份接待游客增加到了 万人．
(1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率；
(2)若 月份继续保持相同的增长率，则该博物馆 月份预计接待游客多少万人？
类型六、一元二次方程的应用——三角形、四边形问题
【解惑】已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程 的一个根，那么这个三
角形的周长为（ ）
A．6或8 B．8 C．17或19 D．19
【融会贯通】
1．已知一个直角三角形两直角边之和为17，斜边长为13，则它面积为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
2．如图，一个菱形两条对角线长的和是 ，面积是 ．设 ，则 ，根据题意可列方程
为 ．
3．在公元9世纪，花拉子米（杰出的数学家、天文学家和地理学家之一，被誉为“代数之父”）在其《代
数学》中利用几何方法求解一元二次方程．以方程 为例，花拉子米的两种几何解题思路如下：
思路一：如图①所示，在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和 的矩形，再补上四个边长为
的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为
（ ） ，可得方程 ，则方程的正数解是 ．
思路二：如图②所示，将原方程转化为 （ ） ，可得方程 ，则方程的正数
解是 ．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)补全花拉子米的解法步骤；
(2)根据花拉子米的思路，在图③中，任选一种方法画出能够得到方程 的正数解的构图，写出必
要的思考过程．
类型七、解一元二次方程——直接开平方法与配方法
【解惑】解方程
(1)
(2) （配方法）
【融会贯通】
1．解下列方程：
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ．
2．解方程： ．
3．用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
类型八、解一元二次方程——公式法
【解惑】用合适的方法解方程：
【融会贯通】
1．解方程： ．
2．用指定方法解下列方程：
(1) ；（配方法）
(2) ；（公式法）
3．解方程：
(1)(2) （公式法）
类型九、解一元二次方程——因式分解法
【解惑】解方程： ．
【融会贯通】
1．用适当的方法解一元二次方程：
(1)
(2)
2．解方程：
(1)
(2) ．
3．解下列一元二次方程：
(1) ；
(2) ．
类型十、一元二次方程的应用——销售问题
【解惑】庐州黄是安徽合肥特有的桂花品种，它将合肥的古称与桂花的颜色相融合，折射着这座城与桂花
的不解之缘．某抖音主播以每罐（35克）20元的价格新进一批桂花，根据以往的销售经验，当销售价格定
为每罐24元时，每天可售出200罐，后来经过市场调查发现，每罐桂花的售价每涨价2元，则平均每天少
卖出10罐，若设该种桂花的售价为： （ ）元．
(1)该抖音主播每天售出桂花______罐；（用含 的式子表示）
(2)抖音平台规定：在抖音平台销售的商品的利润率都不能超过 ，若该抖音主播销售该种桂花要想平均
每天获利1700元，求该种桂花每罐的售价．
【融会贯通】
1．荣成海鲜以其丰富的种类，优良的品质和悠久的历史而闻名．近年来，荣成市大力推进科技兴海，以养兴渔的策略．某海鲜店从当地渔民处以20元/斤的价格购进一批爬虾，经市场调研发现，这种虾爬的日
销售量 （斤）与每斤售价 （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)为使日销售这种爬虾的利润为1750元，而且尽可能让顾客得到实惠，该爬虾的实际售价应定为多少元？
2．逛商场时经常会遇到“图书按斤卖”活动．已知某商场“图书按斤卖”活动销售单价为25元/斤，为庆
祝商场周年庆，决定采取“多买多降”活动，即当顾客购买质量超过5斤时，每多买1斤，购书单价则下
降1元．设某位顾客买了 斤（ ），
(1)在该周年庆活动下，这位顾客的购书单价为__________元（用含 的代数式表示）；
(2)若该顾客以活动价购书花了200元，那么该顾客共购书多少斤．
3．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐
年上升．
(1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月
递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率．
(2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当
该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店
计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，
求该店下调后每辆汽车的售价．
