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第二十一章 一元二次方程
思维导图
【类型覆盖】
类型一、一元二次方程的新定义运算
【解惑】定义运算： ．例如： ．方程 的根的情况为
（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【融会贯通】
1．定义一种运算： ，如： ．若 ，则所有满足
条件的实数 的和为（ ）
A． B．2 C． D．
2．定义：如果一元二次方程 满足 ．那么我们称这个方程为“湘”方程．
已知方程 是“湘”方程．且有两个相等的实数根，则 ．3．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次
倍根方程”．例如：方程 的两个根为 ， ，因为 是 的2倍，所以方程
是“一元二次倍根方程”．已知 是正整数，若关于 的一元二次方程
是“一元二次倍根方程”，且关于 的一元二次方程 总有两个不相等的实数根，则 的值为
．
类型二、一元二次方程的变形求值
【解惑】若 是关于 的方程 的一个根，则关于 的方程 必有
一个根为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2027
【融会贯通】
1．已知 是方程 的一个根，则代数式 的值是（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．无法确定
2．已知三个关于x的一元二次方程 ， ， ，恰有一个公共实数
根，则 的值为 ．
3．已知实数 是关于 的一元二次方程 的一个解，则 的值是
．
类型三、一元二次方程的整体带入
【解惑】关于 的方程 的解是 （ 均为常数， ），则方程
的解是（ ）A． B． C． D．无法求解
【融会贯通】
1．若 的两个实数根为1和 ，那么关于 的一元二次方程 的
解为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．已知关于 的方程 的解为 ，则关于 的方程 的解为
．
3．关于x的方程 的解是 （a、k、b均为常数，a≠0）．
问题：
（1）关于x的方程 的根是 ；
（2）关于x的方程 的根为 ．
类型四、换元法的应用
【解惑】利用换元法解方程 ．
【融会贯通】
1．换元法解方程： ．
2．阅读与思考：
下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程
的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形
式，将其开平方，从而进一步求得方程的解．
【例如】解一元二次方程 ，
设 （m为常数），将原方程化为 ，①
方程①整理，得 ，②
令 ，解得 ．
当 时， ，
方程②化为 ，解得 ，
___________， ___________．
任务：
(1)直接写出材料中“ ”部分方程的解 ___________， ___________．
(2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程 ．
3．阅读下列材料：
解方程： ．
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ①，
解这个方程得： ， ．
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ，
所以原方程有四个根： ， ， ， ．
根据上述解方程的方法，解决下列问题：
(1)解方程 时，若设 ，直接写出用 表示该方程；
(2)若 ，求 的值；
(3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．
类型五、配方法的应用【解惑】求式子 的最小值.
【融会贯通】
1．把方程 配方，得到 ．
①求m和p的值；
②解这个方程．
2．我们把多项式 及 叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做
如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种
方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解
因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等
例如：分解因式：
(1)请用上述方法把 分解因式；
(2)求多项式 的最小值；
(3)试说明：无论 、 取任何实数时，多项式 的值总为正数．
3．阅读理解并解答：
【方法呈现】
（1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用．
例如： ，
∵
．
则这个代数式 的最小值为_______，这时相应的x的值是________．
【尝试应用】
（2）求代数式 的最小或最大值．【拓展提高】
（3）已知a、b、c是 的三边长，满足 ，求c的取值范围．
类型六、十字相乘法的应用
【解惑】解方程： （十字相乘法）．
【融会贯通】
1．将 分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，如图，所以
．我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为
．依照上面的方法，解下列方程：
(1)
(2)
2．阅读材料：解方程 ，我们可以按下面的方法解答：
（1）分解因式
①竖分二次项与常数项： （2）若 ，则 或
，所以方程 可
，
以这样求解：
②交叉相乘，验中项：
方程左边分解因式得
③横向写出 ∴ 或
∴ ，
两因式：
上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程：(1) ；
(2) ．
3．根据多项式乘法可知 从而我们可得十字相乘法进行因式分解的公式
，比如： ，据此回答下列
问题：
(1)将二次三项式 分解因式；
(2)解一元二次方程 ；
(3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法解，如： ，方
程分解为 ；从而可以快速求出方程的解．请你利用此方法尝试解方程 ．
类型七、根与系数关系的对称式
【解惑】有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元
二次方程的有关知识将其解决
请你完成下面两个问题：
(1)已知实数 、 满足 、 ，求 的值．
(2)已知实数 、 、 满足 、 ，且 ，求 的最大值．
【融会贯通】
1．阅读材料
材料1．关于x的一元二次方程 的两个根为 和系数a，b，c有如下关系：
；材料2．已知关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值．
解： m，n是一元二次方程 的两个实数根，
．
则 ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)一元二次方程 的两个根为 ，则 _______， _______；
(2)一元二次方程 的两个根为m，n，则 的值；
(3)已知实数s，t满足 且 ，求 的值；
2．材料1：若关于x的一元二次方程 的两个根为 ，则 ；
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m、n，求 的值．
解：∵一元二次方程． 的两个实数根分别为m、n，
，
则
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为： ，则 _____； ____．
(2)类比应用：已知一元二次方程 的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足 ，且 ，求出 的值．
3．背景情境：赛赛同学在学习《一元二次方程》中做过这样一道题：
题目：已知实数 满足 ， ，且 ，求 的值．
解：根据题意得 与 为方程 的两根，
∴ ， ，∴ ，
请认真阅读赛赛同学解题的方法，仔细思考．解决问题：
(1)已知实数 满足 ， ，且 ，求 的值．
(2)已知关于 的方程 有两个根 ， 满足 ．当 的三边
满足 ， ， ，求 的值以及 的面积．
类型八、一元二次方程的新定义应用
【解惑】如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，
那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程 的两个根是 ，则方程
是“倍根方程”．
(1)根据上述定义，判断一元二次方程 是不是“倍根方程”？并说明理由；
(2)若点 在双曲线 上，请说明关于x的方程 是“倍根方程”．
【融会贯通】
1．已知关于 是一元二次方程 的两个实数根，若满足 ，则此类方程叫做差根
方程 根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)下列是“差根方程”的是___________；（填写序号）
(2)已知关于 的方程 是“差根方程”，求 的值．
(3)已知 是直角三角形， 的长为 ，若 的两边 、 的长是一个“差根方程”的两个
实数根，求出这个差根方程．2．定义：已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ，若满足 ，
则称此类方程为“差积方程”．
例如： ，
即 ，
解得 ， ，
∵ ，
是差积方程．
(1)方程 __________（填是或不是）“差积方程”；
(2)若关于 的方程 是“差积方程”，求出 的值．
(3)若关于 的方程 是“差积方程”，且它的一个实数根为 ，则 __________．
3．定义：两根都为整数的一元二次方程 称为“全整根方程，代数式 的值为
该“全整根方程”的“最值码”，用 表示，即 ，若另一关于 的一元二次方
程 也为“全整根方程”，其“最值码”记为 ，当满足
时，则称一元二次方程 是一元二次方程 的“全整根伴侣方程”．
(1)“全整根方程” 的“最值码”是______．
(2)若（1）中的方程是关于 的一元二次方程 的“全整根伴侣方程”，求 的值．
(3)若关于 的一元二次方程 是 （ 均为正整数）的“全整根伴
侣方程”，求 的值．类型九、一元二次方程的应用——几何动点求t
【解惑】在矩形 中， ， ，点P从点A开始沿边 向终点B以 的速度移
动，与此同时，点Q从点B开始沿边 向终点C以 的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，
当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（ ）．
(1)当 为何值时， 的长度等于 ？
(2)是否存在 的值，使得五边形 的面积等于 ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说
明理由．
【融会贯通】
1．如图，在 中， ，动点 从点 出发，沿 向点 以 的
速度匀速运动，另一动点 从点 出发，沿 向点 以 的速度匀速运动，点 同时出发，当有
一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为 ，那么经过多长时间， 的面积为 ？
2．如图，矩形 中， ， ，动点P从点A出发，以每秒 的速度向点B匀速移
动，同时，点Q从点C出发，以每秒 的速度向点D匀速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一
点也随之停止移动．(1)经过多少时间时，四边形 为矩形；
(2)经过多少时间时，四边形 的面积为 ；
(3)经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是 ．
3．如图所示，在矩形 中， 厘米， 厘米．点 沿 边从点 开始向点 以2厘米 秒
的速度移动，点 沿 边从点 开始向点 以1厘米 秒的速度移动，如果 、 同时出发，用 （秒）
表示移动的时间 ，那么：
(1)当运动 秒时，用含 的式子表示 __________， __________， __________，
__________．
(2)当 为何值时， 的面积为8？
(3)求四边形 的面积，并写出一个与计算结果有关的结论．
类型十、勾股圆方图注与黄金分割数
【解惑】【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如 ，可变形为 ．如图1，构造一个长为 、宽为x、面积为35的矩形；如
图2，将4个矩形构造成一个边长为 的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方
形的面积可表示为 ，也可表示为 ，由此可得新方程：（ ，易得这个方
程的正数解为 ．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根!
(1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程 ，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变为 ，即 （ ） ；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长）
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程： ；解得原方程的一个根为 ；
(2)【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程 的正数解（用含b，的代数
式表示）．
【融会贯通】
1．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的
古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一
元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解
法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程 ，即 的方法．首先构造
了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是 ，其中四个全等的小矩形面积分别为 ，
中间的小正方形面积为 ，所以大正方形的面积又可表示为 ，据此易得原方程的正数解为 ．任务：
(1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程 ，解法的正确构
图是______（从序号①②③中选择）．
(2)请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程 的正数解
（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用）
(3)一般地对于形如 的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由 个相同矩形构成，这 个矩
形的总面积为 ，中间围成的正方形边长为 ．那么 ______， ______．
2．关于x的一元二次方程 ，当 时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金
分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优
选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数a，b满足： ，且 ，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足： ，求 的值．
3．关于 的一元二次方程 ，当 时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的帕特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优
选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数 满足： ， ，且 ，求 的值．
