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第二十一章 一元二次方程
思维导图
【类型覆盖】
类型一、一元二次方程的定义与一般形式
【解惑】下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程，解题关键是掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方
程叫一元二次方程．
根据一元二次方程的定义逐一判断即可．
【详解】解：A． 方程 中含分式 ，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题
意；
B． 方程 仅含未知数 ，且最高次数为2，是整式方程，符合定义，是一元二次方程，故此选项
符合题意；C． 方程 含两个未知数 和 ，不是一元方程，故此选项不符合题意；
D． 方程 未明确 ，当 时不是二次方程，因此不满足条件，故此选项不符合题意．
故选：B．
【融会贯通】
1．方程 的二次项系数、一次项系数和常数项可以是（ ）
A．1， ，4 B．1，3，4 C．1， ， D．1，3，
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，确定二次项系数、一次项系数和
常数项即可．
【详解】解： 方程 化为一般形式为
∴二次项系数、一次项系数和常数项是1，3， ，
故选：D
2．若关于 的方程 是一元二次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据只含有一个
未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可．
【详解】解：根据题意可得 ， ，
解得 ，
故答案为：0．
3．一元二次方程 的常数项是 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程一般形式中各部分名称（二次项、
一次项、常数项等）是解题的关键．明确一元二次方程一般形式，找出方程中常数项．
【详解】解：一元二次方程的一般形式是 （ ），其中 为常数项，
对于方程 ，对比一般形式， ， ， ，
∵ 此方程中符合常数项定义的是 ，∴ 该一元二次方程的常数项是 ．
故答案为： ．
类型二、一元二次方程的根与判别式
【解惑】下列关于 的一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查根的判别式，通过计算各选项对应的一元二次方程的判别式，判断是否存在实数根即可．
【详解】对于一元二次方程 ，判别式 ：
选项A： ，
， ， ，
，方程有两个实数根．
选项B：
， ， ，
，方程无实数根．
选项C：
， ， ，
，方程有两个实数根．
选项D：
， ， ，
，方程有两个实数根．
综上，只有选项B的判别式为负，故无实数根．
故选B．【融会贯通】
1．关于x的方程 根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式．
通过计算一元二次方程的判别式，判断其符号即可确定根的情况．
【详解】解：
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
2．关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根 ；
当一元二次方程有两个相等的实数根 ；当一元二次方程无实数根 ；由题意可知 ，得
，解方程即可确定答案．熟记一元二次方程根的情况与判别式关系，得出方程求解是解决问题
的关键．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
，
解得 ，
故答案为： ．
3．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知2是此方程的一个根，求 的值和这个方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2) ，方程的另一个根为【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方
程求解（或韦达定理）得出 和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达
定理 ）．
（1） 根的判别式应用：通过计算得： ，利用平方数非负性，证明无论 取何值， ，以此
判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解．
（2）方程根的定义与求解：已知根 ，代入方程可求出 的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达
定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系
数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路．
【详解】（1）证明：由题意得： ，
则： ，
无论 取何值， ，则 ，
不论 取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：将 代入方程可得 ，解得 ，
当 时，原方程为 ，解得： ，
即方程的另一个根为 ．
类型三、一元二次方程根与系数关系
【解惑】若关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，且
，则 （ ）
A．2或6 B．3或5 C．4 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是牢记“当 时，
方程有两个实数根”．
根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，，把 变形为 ，再代入得方程
，求出m的值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴ ，
∴ ，
∵ 是方程 的两个实数根，
∵ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得， ．
故选B．
【融会贯通】
1．设m，n是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出 和
是解答本题的关键．
根据m，n是方程 的两个实数根，可得 ，即 ，根据一元二次方程根与系数的关系可知 ，将 变形为 ，然后整体代入求解即可．
【详解】解：∵m，n是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2．若 ， 是关于 的一元二次方程的 两个根，且 ，则 的值
．
【答案】1
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，根据根与系数的
关系可得 ，则 ，解方程可得 或 ，再利用判别式求
出k的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵ ， 是关于 的一元二次方程的 两个根，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
3．关于 的方程 有两个不相等的实数根．(1)求 的取值范围；
(2)是否存在实数 ，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ，且
(2)不存在实数 ，使方程的两个实数根的倒数之和等于0
【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根 ；
当一元二次方程有两个相等的实数根 ；当一元二次方程无实数根 ；一元二次方程根与系数
的关系： ．熟记一元二次方程根的情况与判别式关系、根与系数的关系，得出方程求
解是解决问题的关键．
（1）由题意可得 ，且 ，解不等式即可得到答案；
（2）由一元二次方程根与系数的关系得到 ，代入 解方程，再由
（1）中 ，且 判断即可得到答案．
【详解】（1）解： 关于 的方程 有两个不相等的实数根，
，且 ，
解得 ，且 ；
（2）解：不存在实数 ，使方程的两个实数根的倒数之和等于0，
理由如下：
设关于 的方程 的两个不相等的实数根为 ， ，
则 ，
方程的两个实数根的倒数之和等于0，
，
则 ，
解得 ，由（1）知， ，且 ，
不存在实数 ，使方程的两个实数根的倒数之和等于0．
类型四、一元二次方程的应用——数字、循环问题
【解惑】如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，
最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（ ）
A．6 B．7 C．14 D．16
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．设
这个最大的数为 ，则最小的数为 ，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次
方程求解即可．
【详解】解：设这个最大的数为 ，则最小的数为 ，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：这个最大的数为16．
故选：D．
【融会贯通】
1．为了践行“文明其精神，野蛮其体魄”的精神，2025年仙游县举办创建杯男子篮球联赛活动，赛制为
单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场，应邀请多少支球队参加？设邀请x支球队参加，则可
列方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据设邀请x支球队参加，赛制为单循环（每两支队之间都赛
一场），计划安排21场，进行列出方程，即可作答．
【详解】解：∵设邀请x支球队参加，赛制为单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场，
∴ ，
故选：D．
2．三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计 场比赛．则有
支队伍参加比赛．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
有 支队伍参加比赛，根据每支队伍与其他队伍只比一场，共计 场比赛，列出一元二次方程，解之取符
合题意的值即可．
【详解】解：设有 支队伍参加比赛，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
即有 支队伍参加比赛，
故答案为： ．
3．一个两位数，个位数字与十位数字的和为 ，并且个位数字的平方比十位数字大 ，求这个两位数．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，根据题意，设这个两位数的个位数字为 ，则十位数字为
，由此列式求解即可．
【详解】解：设这个两位数的个位数字为 ，则十位数字为 ，
根据题意，得 ，整理，得 ，解得 （不符合题意，舍去）， ，
，
这个两位数为 ．
类型五、一元二次方程的应用——传染、平均变化率
【解惑】有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是
解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平均一个人传染了 个人，则第一轮传染了 个人，第二轮作
为传染源的是 人，则传染 人，依题意列方程： ，即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了 个人，
∴第一轮传染了 个人，第二轮作为传染源的是 人，则传染 人，
∴ ，
故选：C．
【融会贯通】
1．某工厂一月份产值为50万元，计划二、三月份总产值达到120万元，求二、三月份平均每月的增长率
为多少？设二、三月份平均每月的增长率为 ，根据题意，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据题意，二、三月份的总产值需达到120万元，需分
别表示这两个月的产值并求和，据此进行列式作答即可．【详解】解：设每月增长率为 ，则二月份产值为 万元，三月份产值为 万元，
可得方程：
故选：B
2．新冠肺炎病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．
在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有
196人感染了“新冠肺炎病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了 ．
【答案】13人
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，再根据“经过两
轮传染后共有196人”列方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意得， ，
整理得， ，
解得： 或 （舍去），
即每轮传染中平均一个人传染了13个人．
故答案为：13人．
3．随着“博物馆热”的持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解历史文化．某博物馆，今年 月份共计
接待游客 万人， 月份接待游客增加到了 万人．
(1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率；
(2)若 月份继续保持相同的增长率，则该博物馆 月份预计接待游客多少万人？
【答案】(1)
(2) 万人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为 ，根据今年3月份共计接待游客 万人， 月份接
待游客增加到了 万人，列出一元二次方程，解之其符合题意的值即可；
（2）根据 月份继续保持相同的增长率，列式计算即可．
【详解】（1）解：（1）设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为 ，
依题意，得： ，解得： ， （不符合题意，舍去）；
故该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为 ．
（2）解： 月份接待游客人数： （万人），
答：该博物馆 月份预计接待游客 万人．
类型六、一元二次方程的应用——三角形、四边形问题
【解惑】已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程 的一个根，那么这个三
角形的周长为（ ）
A．6或8 B．8 C．17或19 D．19
【答案】D
【分析】根据方程求得方程的两根，再根据三角形的三边关系，求得三角形周长即可．
【详解】解：∵第三边的长为二次方程 的一根，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，
∴三角形的周长 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三
边关系是解题关键．
【融会贯通】
1．已知一个直角三角形两直角边之和为17，斜边长为13，则它面积为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
【答案】A
【分析】设一条直角边长为x，则另一条直角边长为17-x，利用勾股定理求解，然后确定直角三角形的边
长，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：设一条直角边长为x，则另一条直角边长为17-x，
∴ ，解得： ， ，
当x=5时，17-x=12；
当x=12时，17-x=5；
∴直角三角形的面积为： ，
故选：A．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理是解题关键．
2．如图，一个菱形两条对角线长的和是 ，面积是 ．设 ，则 ，根据题意可列方程
为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由菱形两条对角线长的和是 可得 ，再根据菱形的
面积为 可得 ，即可列出方程，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵菱形两条对角线长的和是 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，面积是 ，
∴ ，
∴
故答案为： ， ．
3．在公元9世纪，花拉子米（杰出的数学家、天文学家和地理学家之一，被誉为“代数之父”）在其《代
数学》中利用几何方法求解一元二次方程．以方程 为例，花拉子米的两种几何解题思路如下：
思路一：如图①所示，在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和 的矩形，再补上四个边长为
的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为
（ ） ，可得方程 ，则方程的正数解是 ．
思路二：如图②所示，将原方程转化为 （ ） ，可得方程 ，则方程的正数
解是 ．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)补全花拉子米的解法步骤；
(2)根据花拉子米的思路，在图③中，任选一种方法画出能够得到方程 的正数解的构图，写出必
要的思考过程．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据已知算式和图形可得答案．
（2）根据“在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为 和2的矩形，再补上一个边长为2的小正
方形，最终把图形补成一个大正方形”，可得答案．
【详解】（1）解：思路一：如图①所示，在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和 的矩形，再
补上四个边长为 的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为 ，可得方程 ，则方程的正数解是 ；
思路二：如图②所示，将原方程转化为 可得方程 ，则方程的正数解是
．
故答案为： ，5；
（2）解： 思路一：在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和2的矩形，再补上四个边长为2的
小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为
，可得方程 ，则方程的正数解是 ．
思路二：在边长为x的正方形的两条邻边上作边长分别为x和4的矩形，再补上一个边长为2的小正方形，
使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为 ，
可得方程 ，则方程的正数解是 ．
类型七、解一元二次方程——直接开平方法与配方法
【解惑】解方程
(1)
(2) （配方法）
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
解得： ；
（2）解： ，
解得： ．
【融会贯通】
1．解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；(3) ， ；
(4) ， ．
【分析】本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程.
（1）利用解一元二次方程 直接开平方法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程 直接开平方法进行计算，即可解答；
（3）利用解一元二次方程 直接开平方法进行计算，即可解答；
（4）利用解一元二次方程 直接开平方法进行计算，即可解答．
【详解】（1）解： ，
，
，
， ；
（2）解： ，
，
，
，
，
（3）解： ，
，
，
，
，
（4）解： ，，
，
，
， ．
2．解方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握利用配方法解一元二次方程的步骤、正确计算
是解题的关键．
【详解】解：
移项得：
合并同类项得： ，
方程左右两边同加上 得： ，
整理得： ，
∴ ，
∴ ， ．
3．用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．【答案】(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ， ；
(4) ， ；
(5) ， ．
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；掌握配方方法是解题的关键．
（1）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（4）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（5）整理后移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解： ，
，
配方得： ，
，
开方得： ，
， ；
（2）解： ，
，
，
配方得： ，，
开方得： ，
， ；
（3）解： ，
，
配方得： ，
，
开方得： ，
， ；
（4）解： ，
，
，
配方得： ，
，
开方得： ，
， ；
（5）解： ，
，配方得： ，
，
开方得： ，
， ．
类型八、解一元二次方程——公式法
【解惑】用合适的方法解方程：
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，运用公式法进行解方程，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
【融会贯通】
1．解方程： ．
【答案】
【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求解即可．
【详解】解： ，
．．
．
2．用指定方法解下列方程：
(1) ；（配方法）
(2) ；（公式法）
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题主要考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一
元二次方程的一般步骤是解题的关键．
（1）先移项，然后运用完全平方公式配方求解即可；
（2）先把方程化成一般式，然后运用根的判别式判定根的存在，再运用根的判别式求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
所以 ．
（2）解： ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
3．解方程：
(1)
(2) （公式法）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案；
（2）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：
，
解得 ；
（2）解：
化为一般式得 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
类型九、解一元二次方程——因式分解法【解惑】解方程： ．
【答案】 或
【分析】本题考查了因式分解法求解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键 ．
先将给定的方程化为一般形式 ，然后通过因式分解将方程左边转化为两个一次因式的
乘积，再根据若两个因式的乘积为0，则这两个因式至少有一个为0的原理，分别求解两个一次方程，从
而得到原一元二次方程的解．
【详解】解：
移项得：
采用十字相乘法： 分解为 与 ， 分解为 与 ，交叉相乘再相加可得 ，
或 ，
解得： 或 ．
【融会贯通】
1．用适当的方法解一元二次方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2) ，
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）移项后用因式分解法求解即可；
（2）用公式法求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴∴
∴ 或
∴ ；
（2）解：∵
∴
∴
∴ ， ．
2．解方程：
(1)
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关
键．
（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解．
【详解】（1）解： ，
．
， ．
（2）解：， ．
3．解下列一元二次方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或
(2) 或
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键．
（1）利用直接开平方的方法求出方程结果即可；
（2）利用因式分解的方法求解方程结果即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
或 ；
（2） ，
，
，
或 ，
或 ．
类型十、一元二次方程的应用——销售问题
【解惑】庐州黄是安徽合肥特有的桂花品种，它将合肥的古称与桂花的颜色相融合，折射着这座城与桂花
的不解之缘．某抖音主播以每罐（35克）20元的价格新进一批桂花，根据以往的销售经验，当销售价格定
为每罐24元时，每天可售出200罐，后来经过市场调查发现，每罐桂花的售价每涨价2元，则平均每天少卖出10罐，若设该种桂花的售价为： （ ）元．
(1)该抖音主播每天售出桂花______罐；（用含 的式子表示）
(2)抖音平台规定：在抖音平台销售的商品的利润率都不能超过 ，若该抖音主播销售该种桂花要想平均
每天获利1700元，求该种桂花每罐的售价．
【答案】(1)
(2)该抖音主播销售该种桂花要想平均每天获利1700元，每罐的售价应为30元；
【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键在于读懂题意，找准等量关系．
（1）结合每天可售出200罐，每罐桂花的售价每涨价2元，则平均每天少卖出10罐，进行列式化简，即
可作答．
（2）根据数量乘单件利润等于获利1700元，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解： ；
（2）解：根据题意得 ，
整理得 ，
解得 ， ．
，
，
不符合题意，舍去，
．
答：该抖音主播销售该种桂花要想平均每天获利1700元，每罐的售价应为30元；
【融会贯通】
1．荣成海鲜以其丰富的种类，优良的品质和悠久的历史而闻名．近年来，荣成市大力推进科技兴海，以
养兴渔的策略．某海鲜店从当地渔民处以20元/斤的价格购进一批爬虾，经市场调研发现，这种虾爬的日
销售量 （斤）与每斤售价 （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)为使日销售这种爬虾的利润为1750元，而且尽可能让顾客得到实惠，该爬虾的实际售价应定为多少元？
【答案】(1) ；
(2)该爬虾的实际售价应定为45元．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数应用，审清题意正确列出方程和函数的表达式
是解题关键．
（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）根据“总利润=单件利润×销售量”列方程求解后，根据要让消费者得到实惠可得答案．
【详解】（1）解： 与 的函数关系式为： ，
把 ， 代入得： ，
解得： ，
∴ 与 的函数关系式为： ；
（2）解：根据题意知， ，
整理得： ，
解得： 或 ，
∵要让消费者得到实惠，
∴ ，
答：该爬虾的实际售价应定为45元．
2．逛商场时经常会遇到“图书按斤卖”活动．已知某商场“图书按斤卖”活动销售单价为25元/斤，为庆
祝商场周年庆，决定采取“多买多降”活动，即当顾客购买质量超过5斤时，每多买1斤，购书单价则下降1元．设某位顾客买了 斤（ ），
(1)在该周年庆活动下，这位顾客的购书单价为__________元（用含 的代数式表示）；
(2)若该顾客以活动价购书花了200元，那么该顾客共购书多少斤．
【答案】(1)
(2)该顾客共购书10斤或20斤
【分析】本题考查一元二次方程解应用题，读懂题意，先求出这位顾客的购书单价，再由等量关系列一元
二次方程求解即可得到答案，找准等量关系列出方程求解是解决问题的关键．
（1）由题意直接列代数式即可得到答案；
（2）由（1）知这位顾客的购书单价为 ，根据题意列一元二次方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设某位顾客买了 斤（ ），
已知某商场“图书按斤卖”活动销售单价为25元/斤，当顾客购买质量超过5斤时，每多买1斤，购书单
价则下降1元，则在该周年庆活动下，这位顾客的购书单价为 ，
故答案为： ；
（2）解：由（1）知这位顾客的购书单价为 元，
则 ，即
，
解得 ， ，
经检验两个解均满足大于5
故该顾客共购书10斤或20斤．
3．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐
年上升．
(1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月
递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率．
(2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当
该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店
计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，
求该店下调后每辆汽车的售价．【答案】(1)
(2)20万元
【分析】本题考查一元二次方程解应用题，涉及直接开平方法解一元二次方程、十字相乘法分解因式解一
元二次方程等知识，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键．
（1）设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为 ，
则 ，直接开平方求解即可得到答案；
（2）设下调后每辆汽车降低 万元，由等量关系列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为 ，
则 ，
，
则 或 ，
解得 （负值不符合题意，舍去），
答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%；
（2）解：设下调后每辆汽车降低 万元，
则 ，
整理得 ，
，
则 或 ，
解得 ，
此次销售尽量让利于顾客，
应取 ，
（万元），
答：下调后每辆汽车的售价为20万元．
