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专题2.1 尺规作图
题型一：垂直平分线
1. 如图，AC是 ABCD的对角线.
（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE;（保留作图痕迹，不写作
法）
（2）在（1）的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周长。
【解析】解：（1）如答图，CE即为所求作.
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3.
∵点E在线段AC的垂直平分线上，
∴EA＝EC.
∴△DCE的周长为CE+DE+CD＝EA+DE+CD＝AD+CD＝5+3＝8．
2. 某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示 点M，N表示大学，OA，OB表示公路 现计划修建一
座物资仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规确定仓库所在的位置．
【解答】解：如图所示，P在 的平分线和MN的垂直平分线的交点上，点P就是仓库应该修建的位置．
．
题型二：角平分线
1. 如图，已知 ABCD．
（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC的延长线于点F；（要求：尺规作图，保留
作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．
【解析】（1）解：如答图，AF即为所求．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵AF平分∠BAD，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠4．∴CE=CF．
2. 如图，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC．
（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，AB=9，AC=6，求AD的长
【解析】解：（1）如答图，射线CM即为所求．（2）∵∠ACD=∠ABC，∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC．
∴ ，即 ．
∴AD=4．
3．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C．
（1）尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于点O，交AE于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的图形中，试说明：AB=AD=BC．
【解析】解：（1）如答图，BO即为所求
（2）．
∵AE∥BF，∴∠EAC=∠BCA．
∵AC平分∠BAE，∴∠EAC=∠BAC．
∴∠BCA=∠BAC．∴BA=BC．
∵BD⊥AO，AO平分∠BAD，∴AB=AD．
∴AB=AD=BC．
4．（2020•泰州）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内．
（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若a≈2❑√5，A点的坐标为（3，1），求P点的坐标．
【分析】（1）根据角平分线的性质即可用直尺和圆规在第一象限内作出点 P，使点P到两坐标轴的距
离相等，且与点A的距离等于a；
（2）在（1）的条件下，根据a≈2❑√5，A点的坐标为（3，1），利用勾股定理即可求P点的坐标．
【解析】（1）如图，点P即为所求；
（2）由（1）可得OP是角平分线，设点P（x，x），
过点P作PE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，AD⊥PE于点D，
∵PA＝a≈2❑√5，A点的坐标为（3，1），
∴PD＝x﹣1，AD＝x﹣3，
根据勾股定理，得
PA2＝PD2+AD2，
∴（2❑√5）2＝（x﹣1）2+（x﹣3）2，
解得x＝5，x＝﹣1（舍去）．
所以P点的坐标为（5，5）．
5．（2020•武威）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
作∠ABC的角平分线交AD于点E；
①作线段DC的垂直平分线交DC于点F．
②（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．
【分析】（1）根据尺规作基本图形的方法：作∠ABC的角平分线交AD于点E即可；
①作线段DC的垂直平分线交DC于点F即可．
②（2）连接EF，根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理，即可写出线段 EF和AC的数量关系及位
置关系．
【解析】（1）如图， BE即为所求；
①
如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F．
②（2）∵BD＝BA，BE平分∠ABD，
∴点E是AD的中点，
∵点F是CD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
1
∴线段EF和AC的数量关系为：EF= AC，
2
位置关系为：EF∥AC．
题型三：平移和旋转
1. 平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 .
按下列要求画图:① 将 向下平移 个单位得到 并写出点 的坐标；
② 将 绕原点 逆时针旋转 后得到 并写出点 的坐标；
【解答】（1）①如下图所示：△AB C 即为所求，点A(1，-4)；
1 1 1 1
②如图所示：△AB C ，点B （-1，5）；
2 2 2 2
