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专题 2.1 平方根与立方根
目录
判断无理数......................................................................................................................................1
无理数的概念..................................................................................................................................1
数轴构造无理数..............................................................................................................................2
求一个数的算术平方根..................................................................................................................3
含字母的算术平方根的计算..........................................................................................................4
求一个数的平方根..........................................................................................................................4
已知一个数的两个平方根，求参数..............................................................................................5
平方根的定义解方程......................................................................................................................5
求一个数的立方根..........................................................................................................................6
已知立方根求这个数......................................................................................................................7
立方根定义解方程..........................................................................................................................7
平方根与立方根综合......................................................................................................................8
无理数的估算..................................................................................................................................9
估算比较实数大小........................................................................................................................10
判断无理数
无限不循环小数叫做无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如 等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 等；
（3）有一定规律，但并不循环的数，如0.1010010001…等；
【例1】在 ， ， ，2中，是无理数的是
A． B． C． D．2
【变式训练1】下列选项中的数，是无理数的为
A．0 B． C．3.14 D．【变式训练2】下列各数：1.414， ， ，0，其中是无理数的为
A．1.414 B． C． D．0
【变式训练3】以下正方形的边长是无理数的是
A．面积为9的正方形 B．面积为49的正方形
C．面积为8的正方形 D．面积为64的正方形
无理数的概念
【例2】有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；
（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其
中正确的说法的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1】下列说法中正确的是
A．带根号的数是无理数
B．无理数不能在数轴上表示出来
C．无理数是无限小数
D．无限小数是无理数
【变式训练2】下列说法正确的是
A．正整数，负整数统称为整数
B．正有理数，0，负有理数统称为有理数
C．无理数是指开方开不尽的数
D． 的平方根是
【变式训练3】下列说法中正确的是
A．无限不循环小数是无理数
B．一个无理数的平方一定是有理数
C．无理数包括正无理数、负无理数和零
D．两个无理数的和、差、积、商仍是无理数数轴构造无理数
【例3】如图， ， ，且 ， ，则点 在数轴上表示的实数为
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，数轴上点 表示的数是
A．1 B． C． D．1.5
【变式训练2】如图所示，在数轴上点 所表示的数为 ， ，则 的值为
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，在数轴上点 表示的数为1，在点 的右侧作一个边长为1的正方形
，将对角线 绕点 逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点 处，
则点 表示的数是A． B． C． D．
求一个数的算术平方根
一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 就叫做 的算
术平方根特别地，0的算术平方根是0
√a
表示方法：记作“ ”，读作根号
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零
【例4】下列计算正确的是
A． B． C． D．
【变式训练1】 的算术平方根是
A．土4 B． C． D．2
【变式训练2】化简：
A． B． C．4 D．2
【变式训练3】
A． B． C． D．2
含字母的算术平方根的计算
【例5】若 ，则 的值为
A．10 B． C．25 D．
【变式训练1】 的算术平方根是4，那么 的值是
A．2 B． C．8 D．16
【变式训练2】若 的算术平方根是4，则 的值是A． B．2 C．16 D．64
【变式训练3】使得 为整数的整数 的个数
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
求一个数的平方根
一般地，如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么这个数 就叫做 的平方根
（或二次方根）
±√a
表示方法：正数 的平方根记做“ ”，读作“正、负根号 ”
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方
根
开平方：求一个数 的平方根的运算，叫做开平方
注意 的双重非负性：被开方数与结果均为非负数。即
【例6】有理数0.36的平方根是
A．0.6 B． C．0.06 D．
【变式训练1】16的平方根是
A． B．8 C．4 D．
【变式训练2】下列各数中，没有平方根的是
A． B． C． D．
【变式训练3】81的平方根是
A．9 B．9和 C．3 D．3和已知一个数的两个平方根，求参数
【例7】一个正数的两个平方根分别是 与 ，则这个正数是
A．1 B．4 C．8 D．16
【变式训练1】已知 的平方根是 和 ， 是
A．36 B．4 C．36或4 D．2
【变式训练2】一个正数 的两个平方根分别是 和 ，求 、 的值．
【变式训练3】已知 的平方根为 ， 的算术平方根为
（1）求 ， 的值；
（2）求 的平方根．
平方根的定义解方程
【例8】求 的值．
（1） ；
（2） ．
【变式训练1】求下列各式的 的值：（1） ；
（2） ．
求一个数的立方根
一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 那么这个数 就叫做 的立方根
（或三次方根）。
3
√a
表示方法：记作
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意： ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
【例9】下列运算中，正确的是
A． B． C． D．
【变式训练1】下列计算正确的是
A． B． C． D．
【变式训练2】 的立方根等于
A． B． C． D．
【变式训练3】 的立方根是A． B．3 C． D．
已知立方根求这个数
【例10】已知 ，则 的平方根为
A．2 B． C． D．4
【变式训练1】如果 ， ，则 的值是
A． B．8 C． D．
【变式训练2】一个数的平方根与立方根相等，这个数是
A． B．0 C．1 D．0和1
【变式训练3】若 的算术平方根为4， 的立方根为2， 是平方根等于本身的数，则
的值为 ．
立方根定义解方程
【例11】求下列各式中 的值：
（1） ；
（2） ．
【变式训练1】求下列各式中的 的值：
（1） ；（2） ．
平方根与立方根综合
【例12】已知： 的立方根是3， 的算术平方根是2， 的平方根是它本身．
（1）求 ， ， 的值；
（2）求 的平方根．
【变式训练1】已知 的算术平方根是3， 的立方根为2
（1）求 与 的值；
（2）求 的平方根．
【变式训练2】已知某正数的平方根是 和 ， 的立方根为 ．
（1）求 、 的值；（2）求 的平方根．
【变式训练3】已知 的算术平方根是 3， 的立方根是 ，试求
的值．
无理数的估算
【例13】估计 的值在
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【变式训练1】估计 的值在
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【变式训练2】估计 的值在
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【变式训练3】估算 的值在
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【例14】若 ，且 ， 是两个连续整数，则 的值是
A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练1】若 ，且 与 为连续整数，则 与 的值分别为
A．1；2 B．2；3 C．3；4 D．4；5
【变式训练2】 和 是两个连续的整数，且满足 ，则 ， 分别表示
A．2，3 B．6，7 C．9，10 D．10，11
【变式训练3】已知 的值介于连续整数 与 之间，则 ， 的值分别是
A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．5，6
估算比较实数大小
实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表
示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小
【例15】已知三个数 ， ， ，它们的大小关系是
A． B． C． D．
【变式训练1】下列各数中最大的实数是
A． B． C． D．
【变式训练2】比较大小： 3（填“ ”、“ ”或“ ” ．
【变式训练3】比较大小 ．
1．下列实数中，是无理数的是
A．3.14159 B．C． D．
2．数 ， ，0， 中，属于无理数的是
A． B． C．0 D．
3．下列说法正确的是
A．4的平方根是2 B． 的平方根是
C． 没有平方根 D．2是4的一个平方根
4．下列语句不正确的是
A．0的平方根是0
B．正数的两个平方根互为相反数
C． 的平方根是
D． 是 的一个平方根
5．化简 的结果是
A． B． C． D．
6．关于代数式 的说法正确的是
A． 时最大 B． 时最小 C． 时最大 D． 时最小
7．一个正方体的体积是 ，则这个正方体的棱长是
A． B． C． D．
8． 的立方根与 的平方根之和是
A． B．5 C． 或5 D． 或
9．写出一个在1到3之间的无理数： ．
10．若 是大于2小于3的无理数，则 的值可以是 ．（填一个合适的即可）11．若 ，则 ．
12． 与 都是 的平方根，则 ．
13．课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数： ， ， ，0， ，
，其中，甲说“ ”，乙说“ ”，丙说“ ”．
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内．
14．如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
（1）当 为16时， 值为 ；
（2）是否存在输入有意义的 值后，却输不出 值？如果存在，写出所有满足要求的 值；
如果不存在，请说明理由；
（3）当输出的 值是 时，判断输入的 值是否唯一，如果不唯一，请写出其中的两个．
