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专题 2.1 平方根与立方根
目录
判断无理数......................................................................................................................................1
无理数的概念..................................................................................................................................2
数轴构造无理数..............................................................................................................................3
求一个数的算术平方根..................................................................................................................5
含字母的算术平方根的计算..........................................................................................................6
求一个数的平方根..........................................................................................................................8
已知一个数的两个平方根，求参数..............................................................................................9
平方根的定义解方程....................................................................................................................10
求一个数的立方根........................................................................................................................11
已知立方根求这个数....................................................................................................................12
立方根定义解方程........................................................................................................................13
平方根与立方根综合....................................................................................................................14
无理数的估算................................................................................................................................15
估算比较实数大小........................................................................................................................18
判断无理数
无限不循环小数叫做无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如 等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 等；
（3）有一定规律，但并不循环的数，如0.1010010001…等；
【例1】在 ， ， ，2中，是无理数的是
A． B． C． D．2
【解答】解： ， ，2是有理数， 是无理数，
故选： ．【变式训练1】下列选项中的数，是无理数的为
A．0 B． C．3.14 D．
【解答】解： 、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
、 是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
、 是无理数，故本选项符合题意．
故选： ．
【变式训练2】下列各数：1.414， ， ，0，其中是无理数的为
A．1.414 B． C． D．0
【解答】解： ．1.414是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
． 是无理数，故本选项符合题意；
． 是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选： ．
【变式训练3】以下正方形的边长是无理数的是
A．面积为9的正方形 B．面积为49的正方形
C．面积为8的正方形 D．面积为64的正方形
【解答】解： ．面积为9的正方形的边长为3，是整数，属于有理数，故本选项不合题
意；
．面积为49的正方形的边长为7，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
．面积为8的正方形的边长为 ，是无理数，故本选项符合题意；
．面积为64的正方形的边长为8，是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选： ．
无理数的概念
【例2】有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其
中正确的说法的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：（1） 是无理数，而不是开方开不尽的数，则命题错误；
（2）无理数就是无限不循环小数，则命题正确；
（3）0是有理数，不是无理数，则命题错误；
（4）正确；
故选： ．
【变式训练1】下列说法中正确的是
A．带根号的数是无理数
B．无理数不能在数轴上表示出来
C．无理数是无限小数
D．无限小数是无理数
【解答】解： 、如 ，不是无理数，故本选项错误；
、无理数都能在数轴上表示出来，故本选项错误；
、无理数是无限不循环小数，即无理数都是无限小数，故本选项正确；
、如 ，是无限循环小数，是有理数，故本选项错误；
故选： ．
【变式训练2】下列说法正确的是
A．正整数，负整数统称为整数
B．正有理数，0，负有理数统称为有理数
C．无理数是指开方开不尽的数
D． 的平方根是
【解答】解： 、正整数，负整数和0统称为整数，故选项错误；
、正确；
、无理数是无限不循环不循环小数，故选项错误；
、 的平方根是 ，选项错误．故选： ．
【变式训练3】下列说法中正确的是
A．无限不循环小数是无理数
B．一个无理数的平方一定是有理数
C．无理数包括正无理数、负无理数和零
D．两个无理数的和、差、积、商仍是无理数
【解答】解： 、正确，故选项正确；
、 是无理数，故选项错误；
、0不是无理数，是有理数，故选项错误；
、 和 都是无理数，这两个数的和，积，商都是有理数，故选项错误．
故选： ．
数轴构造无理数
【例3】如图， ， ，且 ， ，则点 在数轴上表示的实数为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ，
根据勾股定理得： ，
，
点 在数轴上表示的实数为 ．
故选： ．
【变式训练1】如图，数轴上点 表示的数是A．1 B． C． D．1.5
【解答】解：由勾股定理可知：
，
即 ，
，
即 ，
所以数轴上点 表示的数是 ，
故选： ．
【变式训练2】如图所示，在数轴上点 所表示的数为 ， ，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
故选： ．
【变式训练3】如图，在数轴上点 表示的数为1，在点 的右侧作一个边长为1的正方形
，将对角线 绕点 逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点 处，则点 表示的数是
A． B． C． D．
【解答】解：由勾股定理得正方形的对角线 长度为 ．
，
点 表示的数为： ．
故选： ．
求一个数的算术平方根
一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 就叫做 的算
术平方根特别地，0的算术平方根是0
√a
表示方法：记作“ ”，读作根号
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零
【例4】下列计算正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ．因为 ，所以 选项计算错误，故 选项不符合题意；
．因为 ，所以 选项计算正确，故 选项符合题意；
．因为 ，所以 选项计算错误，故 选项不符合题意；
．因为 ，所以 选项计算错误，故 选项不符合题意；故选： ．
【变式训练1】 的算术平方根是
A．土4 B． C． D．2
【解答】解： ，
的算术平方根是2
故选： ．
【变式训练2】化简：
A． B． C．4 D．2
【解答】解：
，
故选： ．
【变式训练3】
A． B． C． D．2
【解答】解： ．
故选： ．
含字母的算术平方根的计算
【例5】若 ，则 的值为
A．10 B． C．25 D．
【解答】解： ，
若 ，则 的值为25
故选： ．【变式训练1】 的算术平方根是4，那么 的值是
A．2 B． C．8 D．16
【解答】解： 的算术平方根是4，
，
故选： ．
【变式训练2】若 的算术平方根是4，则 的值是
A． B．2 C．16 D．64
【解答】解： 的算术平方根是4，
．
故选： ．
【变式训练3】使得 为整数的整数 的个数
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解： ，
；
当 时， ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
使得 为整数的整数 的个数有5个．
故选： ．求一个数的平方根
一般地，如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么这个数 就叫做 的平方根
（或二次方根）
±√a
表示方法：正数 的平方根记做“ ”，读作“正、负根号 ”
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方
根
开平方：求一个数 的平方根的运算，叫做开平方
注意 的双重非负性：被开方数与结果均为非负数。即
【例6】有理数0.36的平方根是
A．0.6 B． C．0.06 D．
【解答】解：有理数0.36的平方根是 ，
故选： ．
【变式训练1】16的平方根是
A． B．8 C．4 D．
【解答】解： ，
的平方根是 ．
故选： ．
【变式训练2】下列各数中，没有平方根的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，负数没有平方根，符合题意；
、 ，正数有两个平方根，不符合题意；
、 ，正数有两个平方根，不符合题意；、 ，正数有两个平方根，不符合题意；
故选： ．
【变式训练3】81的平方根是
A．9 B．9和 C．3 D．3和
【解答】解：81的平方根是 ．
故选： ．
已知一个数的两个平方根，求参数
【例7】一个正数的两个平方根分别是 与 ，则这个正数是
A．1 B．4 C．8 D．16
【解答】解：由题意得 ，
解得 ，
，
故选： ．
【变式训练1】已知 的平方根是 和 ， 是
A．36 B．4 C．36或4 D．2
【解答】解：根据题意得： ，
解得： ，
当 时，
，
．
故选： ．
【变式训练2】一个正数 的两个平方根分别是 和 ，求 、 的值．
【解答】解： 正数 有两个平方根，分别是 与 ，
解得 ．所以 ．
【变式训练3】已知 的平方根为 ， 的算术平方根为
（1）求 ， 的值；
（2）求 的平方根．
【解答】解：（1） 的平方根为 ，
，
解得 ，
的算术平方根为5，
，
，
，
（2） ， ，
，
的平方根为 ．
平方根的定义解方程
【例8】求 的值．
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1） ，
，，
或 ；
（2） ，
，
，
．
【变式训练1】求下列各式的 的值：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）两边都除以4得， ，
由平方根的定义得， ；
（2）由立方根的定义得， ，
即 ．
求一个数的立方根
一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 那么这个数 就叫做 的立方根
（或三次方根）。
3
√a
表示方法：记作
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意： ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。【例9】下列运算中，正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
选项的运算不正确；
，
选项的运算不正确；
，
选项的运算不正确；
，
选项的运算正确．
故选： ．
【变式训练1】下列计算正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，故 错误，不符合题意；
，故 错误，不符合题意；
，故 错误，不符合题意；
，故 正确，符合题意；
故选： ．
【变式训练2】 的立方根等于A． B． C． D．
【解答】解： ，
的立方根等于 ，
故选： ．
【变式训练3】 的立方根是
A． B．3 C． D．
【解答】解： 的立方根是 ，
故选： ．
已知立方根求这个数
【例10】已知 ，则 的平方根为
A．2 B． C． D．4
【解答】解： ，
，
，
的平方根为 ．
故选： ．
【变式训练1】如果 ， ，则 的值是
A． B．8 C． D．
【解答】解：因为 ， ，
所以 ， ，
所以 或 ，
所以 的值是 ．故选： ．
【变式训练2】一个数的平方根与立方根相等，这个数是
A． B．0 C．1 D．0和1
【解答】解： 的平方根是0，0的立方根是0，
的平方根和立方根相等，
没有平方根，1的平方根是 ，1的立方根是1，
只有0的平方根和立方根相等，
故选： ．
【变式训练3】若 的算术平方根为4， 的立方根为2， 是平方根等于本身的数，则
的值为 2 0 ．
【解答】解：因为 的算术平方根为4，
所以 ；
因为 的立方根为2，
所以 ，
所以 ，
因为 是平方根等于本身的数，
所以 ；
所以 ， ， ．
所以 ．
故答案为：20
立方根定义解方程
【例11】求下列各式中 的值：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1） ，，
；
（2） ，
，
，
或 ．
【变式训练1】求下列各式中的 的值：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）移项得， ，
由平方根的定义得， ，
解得 或 ；
（2）由立方根的定义得， ，
解得 ．
平方根与立方根综合
【例12】已知： 的立方根是3， 的算术平方根是2， 的平方根是它本身．
（1）求 ， ， 的值；
（2）求 的平方根．
【解答】解：（1）根据题意可知，
，解得 ，
，解得 ，
，
所以 ， ， ；
（2）因为 ，36的平方根为 ．
所以 的平方根为 ．
【变式训练1】已知 的算术平方根是3， 的立方根为2
（1）求 与 的值；
（2）求 的平方根．
【解答】解：（1）由题意，得 ， ，
解得 ， ．
（2） ，
的平方根 ．
【变式训练2】已知某正数的平方根是 和 ， 的立方根为 ．
（1）求 、 的值；
（2）求 的平方根．
【解答】解：（1）由题意得， ，
解得： ，
，
解得： ；
（2） ，
的平方根为 ．
【变式训练3】已知 的算术平方根是 3， 的立方根是 ，试求
的值．【解答】解：根据题意得 ，
解得 ，
所以 ， ，
所以 ．
无理数的估算
【例13】估计 的值在
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【解答】解： ，
，
故选： ．
【变式训练1】估计 的值在
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【解答】解： ，即 ，
，
即 ，
故选： ．
【变式训练2】估计 的值在
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【解答】解： ，
，
，的值在4和5之间．
故选： ．
【变式训练3】估算 的值在
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【解答】解： ，
，
故选： ．
【例14】若 ，且 ， 是两个连续整数，则 的值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： ，
，
又 ，且 ， 是两个连续整数，
， ，
，
故选： ．
【变式训练1】若 ，且 与 为连续整数，则 与 的值分别为
A．1；2 B．2；3 C．3；4 D．4；5
【解答】解： ，
，
，且 与 是两个连续整数，
， ．
故选： ．
【变式训练2】 和 是两个连续的整数，且满足 ，则 ， 分别表示A．2，3 B．6，7 C．9，10 D．10，11
【解答】解： ，
，
又 和 是两个连续的整数，且满足 ，
， ，
故选： ．
【变式训练3】已知 的值介于连续整数 与 之间，则 ， 的值分别是
A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．5，6
【解答】解： ，
，
，
， ，
故选： ．
估算比较实数大小
实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表
示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小
【例15】已知三个数 ， ， ，它们的大小关系是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
．
故选： ．【变式训练1】下列各数中最大的实数是
A． B． C． D．
【解答】解： 四个答案中只有 ， 为负数，
应从 ， 中选；
，
各数中最大的实数是： ．
故选： ．
【变式训练2】比较大小： 3（填“ ”、“ ”或“ ” ．
【解答】解： ，
，
，
，
故答案为： ．
【变式训练3】比较大小 ．
【解答】解： ，
，
，
，
即 ，
故答案为： ．1．下列实数中，是无理数的是
A．3.14159 B．
C． D．
【解答】解：3.14159是有限小数， 是分数， 是循环小数，这些都属于有
理数；
是无理数．
故选： ．
2．数 ， ，0， 中，属于无理数的是
A． B． C．0 D．
【解答】解： 、 是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
、 是无理数，故此选项符合题意；
、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
、 是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选： ．
3．下列说法正确的是
A．4的平方根是2 B． 的平方根是
C． 没有平方根 D．2是4的一个平方根
【解答】解： 、4的平方根是 ，故 错误；
、 没有平方根，故 错误；
、 ，有平方根，故 错误；
、2是4的一个平方根，故 正确．
故选： ．4．下列语句不正确的是
A．0的平方根是0
B．正数的两个平方根互为相反数
C． 的平方根是
D． 是 的一个平方根
【解答】解： 、0的平方根是0，故本选项正确，不符合题意；
、一个正数有两个平方根，这两个数互为相反数，故本选项正确，不符合题意；
、 ，没有平方根，故本选项错误，符合题意；
、 是 的一个平方根，故本选项正确，不符合题意．
故选： ．
5．化简 的结果是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
故选： ．
6．关于代数式 的说法正确的是
A． 时最大 B． 时最小 C． 时最大 D． 时最小
【解答】解： ，
当 时， 的值最大为3．
故选： ．
7．一个正方体的体积是 ，则这个正方体的棱长是
A． B． C． D．
【解答】解：设这个正方体的棱长为 ，由题意得，，
，
故选： ．
8． 的立方根与 的平方根之和是
A． B．5 C． 或5 D． 或
【解答】解： 的立方根是 ，
的平方根，即9的平方根为 ，
，
，
所以结果为 或 ，
故选： ．
9．写出一个在1到3之间的无理数： （符合条件即可） ．
【解答】解：1到3之间的无理数如 ， ， ．答案不唯一．
10．若 是大于2小于3的无理数，则 的值可以是 5 （答案不唯一） ．（填一个合
适的即可）
【解答】解： 是大于2小于3的无理数，而 ，
可以是5、6、7、8等．
故答案为：5（答案不唯一）．
11．若 ，则 或 7 ．
【解答】解： ，
，
解得 或7．
故答案为： 或7．
12． 与 都是 的平方根，则 9 或 8 1 ．【解答】解： 与 都是 的平方根，
或 ，
解得 或
或 ．
故答案为：9或81．
13．课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数： ， ， ，0， ，
，其中，甲说“ ”，乙说“ ”，丙说“ ”．
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 甲 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内．
【解答】解：（1） 是分数，是有理数，
说错的是甲．
故答案为：甲；
（2）正实数为 ， ；
负分数为 ．
故答案为： ， ； ．
14．如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
（1）当 为16时， 值为 ；
（2）是否存在输入有意义的 值后，却输不出 值？如果存在，写出所有满足要求的 值；
如果不存在，请说明理由；
（3）当输出的 值是 时，判断输入的 值是否唯一，如果不唯一，请写出其中的两个．【解答】解：（1）当 时， ， ，故 值为 ．
故答案为： ；
（2）当 ，1时，始终输不出 值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；
（3） 的值不唯一． 或 ．
15．求出下列等式中 的值：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）
（2）
