文档内容
专题2.1 平方根（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方
根．
【知识点梳理】
考点 1 平方根
1.算术平方根的定义
x a x2 a x a
如果一个正数 的平方等于 ，即 ,那么这个正数 叫做 的算术平方根（规定
a a a a
0的算术平方根还是0）； 的算术平方根记作 ，读作“ 的算术平方根”， 叫做被
开方数.
a a a a
注意：当式子 有意义时， 一定表示一个非负数，即 ≥0， ≥0.
2.平方根的定义
x2 a x a a
如果 ，那么 叫做 的平方根.求一个数 的平方根的运算，叫做开平方.平方
a a a(a0) a a
与开平方互为逆运算. ( ≥0)的平方根的符号表达为 ，其中 是 的算
术平方根.
考点2 平方根和算术平方根的区别与联系
a a
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负
数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个
平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
考点3 平方根的性质
a a 0
a2 |a|0 a 0
a a0
2
a a a0
考点4 平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动 2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或
62500 250 625 25 6.25 2.5 0.0625 0.25
者向左移动1位.例如： ， ， ， .
【典例分析】
【考点1 算术平方根】
【典例1】求下列各数的算术平方根：
（1）100； （2） ； （3）0.0001．
【变式1-1】求下列各数的算术平方根．
（1）196 （2） （3）0.04 （4）100 （5）（﹣6）2．
【变式1-2】求下列各式的值：
（1） ； （2） ； （3）【典例2】（2019春•岳麓区校级期中）|﹣4|的算术平方根是（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
【变式2-1】（2015春•和县期末）（﹣2）2的算术平方根是（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
【变式2-2】（2019•乌鲁木齐县校级二模） 的算术平方根是（ ）
A．4 B．2 C． D．±2
【考点2 算术平方根的性质】
【典例3】（2022春•上杭县校级月考）已知实数m，n满足|n﹣2|+ ＝0，则m+n的值
为（ ）
A．2 B．﹣1 C．1 D．3
【变式3-1】（2017•荆门）已知实数m、n满足|n﹣2|+ ＝0，则m+2n的值为 ．
【变式3-2】已知|n﹣2|与 互为相反数，则m+2n的值为 ．
【典例4】（2017春•阿荣旗期末）比较大小：（1） 6；（2）
；
【变式4-1】比较大小：
（1） 和4； （2） 和 ．
【考点3 算术平方根的估算】
【典例5】（2022•东丽区二模）估计 的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【变式5-1】（2022•河西区模拟）估计 的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间【变式 5-2】（2020 秋•福田区期末）设 n 为正整数，且 n＜ ＜n+1，则 n 的值为
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式5-3】（2018•台州）估计 +1的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【典例6】（2015秋•萧山区期中）已知 ，则0.005403的算术平方根是（
）
A．0.735 B．0.0735 C．0.00735 D．0.000735
【变式6-1】（2019春•港口区期中）若 ＝5.036，则 ＝ ．
【变式6-2】（2021秋•江宁区期中）（1）填空：
＝0.01， ＝ 0. 1 ， ＝1， ＝10， ＝ ，…
（2）观察上述求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：
①已知 ≈3.16，则 ≈ ；
②已知 ≈1.918， ≈191.8，则a＝ ．
（3）根据上述探究过程类比一个数的立方根：已知 ≈1.26， ≈12.6，则m＝
．
【考点4 平方根】
【典例7】求下列各数的平方根
（1）49； （2） ； （3） ； （4）0.0016．
【变式7-1】（2021秋•卫辉市月考）求下列各数的平方根（1）49 （2） ； （3）2 ； （4）0.36； （5）（﹣ ）2．
【变式7-2】（2014春•黄山期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．0.4的算术平方根是0.2 B．16的平方根是4
C．64的立方根是±4 D．（﹣ ）3的立方根是﹣
【考点5 利用平方根的定义解方程】
【典例8】（2022春•海淀区校级期中）求下列各式的x的值：
4x2＝100；
【变式8-1】（2021春•宝坻区期中）求下列各式中的x的值
49x2﹣16＝0
【变式8-2】（2021春•潜山市期末）解方程：（x+1）﹣2（x2﹣1）＝0．
【考点5 利用平方根的定义求参数】
【典例9】（2021春•昭阳区校级月考）若一个正数的平方根是2m﹣4与3m﹣1，求这个正
数的算术平方根．
【变式9-1】（2021秋•莱芜区期末）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣6．
（1）求a的值；
（2）求这个数m．
【变式9-2】（2022春•仁怀市校级月考）若m是169的正的平方根，n是121的负的平方
根，求：
（1）m+n的值；
（2）（m+n）2的平方根．
【变式9-3】（2021秋•河南月考）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣
18．
（1）求a的值；
（2）求这个数m．
【典例10】（2022春•涧西区期中）已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|+ ＝0．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）求 的平方根．
【变式10-1】（2022春•汉阳区期中）实数x，y使 +（y+2）2＝0成立，求 的值．
【变式10-2】（2022春•瑶海区期中）已知（x﹣2）2+ ＝0，求（x+y）2022的值．【变式10-3】（2022春•惠东县校级月考）已知 ．
（1）求x与y的值；
（2）求3x+2y的平方根．
专题2.1 平方根（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方
根．
【知识点梳理】
考点 1 平方根
1.算术平方根的定义
x a x2 a x a
如果一个正数 的平方等于 ，即 ,那么这个正数 叫做 的算术平方根（规定
a a a a
0的算术平方根还是0）； 的算术平方根记作 ，读作“ 的算术平方根”， 叫做被
开方数.a a a a
注意：当式子 有意义时， 一定表示一个非负数，即 ≥0， ≥0.
2.平方根的定义
x2 a x a a
如果 ，那么 叫做 的平方根.求一个数 的平方根的运算，叫做开平方.平方
a a a(a0) a a
与开平方互为逆运算. ( ≥0)的平方根的符号表达为 ，其中 是 的算
术平方根.
考点2 平方根和算术平方根的区别与联系
a a
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负
数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个
平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
考点3 平方根的性质
a a 0
a2 |a|0 a 0
a a0
2
a a a0
考点4 平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动 2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或
62500 250 625 25 6.25 2.5 0.0625 0.25
者向左移动1位.例如： ， ， ， .
【典例分析】
【考点1 算术平方根】
【典例1】求下列各数的算术平方根：
（1）100； （2） ； （3）0.0001．
【解答】解：（1）100的算术平方根是10，
（2） 的算术平方根是 ；
（3）0.0001的算术平方根是0.01．【变式1-1】求下列各数的算术平方根．
（1）196 （2） （3）0.04 （4）100 （5）（﹣6）2．
【解答】解：（1） ＝14；
（2） ＝ ；
（3） ＝0.2；
（4） ＝10；
（5） ＝6．
【变式1-2】求下列各式的值：
（1） ； （2） ； （3）
【解答】解：（1）∵12＝1，
∴ ＝1；
（2）∵（ ）2＝ ，
∴ ＝ ；
（3）∵22＝4，
∴ ＝ ＝2．
【典例2】（2019春•岳麓区校级期中）|﹣4|的算术平方根是（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
【答案】A
【解答】解：|﹣4|＝4，
∵22＝4，
∴4的算术平方根是2，
所以，|﹣4|的算术平方根是2．
故选：A．【变式2-1】（2015春•和县期末）（﹣2）2的算术平方根是（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
【答案】A
【解答】解：∵（﹣2）2＝4，22＝4，
∴ ，
故选：A．
【变式2-2】（2019•乌鲁木齐县校级二模） 的算术平方根是（ ）
A．4 B．2 C． D．±2
【答案】C
【解答】解：∵ ＝2，
∴ 的算术平方根是 ．
故选：C．
【考点2 算术平方根的性质】
【典例3】（2022春•上杭县校级月考）已知实数m，n满足|n﹣2|+ ＝0，则m+n的值
为（ ）
A．2 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】C
【解答】解：∵|n﹣2|+ ＝0，
又|n﹣2|≥0， ≥0，
∴n﹣2＝0，m+1＝0，
解得m＝﹣1，n＝2，
∴m+n＝﹣1+2＝1．
故选：C．
【变式3-1】（2017•荆门）已知实数m、n满足|n﹣2|+ ＝0，则m+2n的值为 ．
【答案】3【解答】解：由题意可知：n﹣2＝0，m+1＝0，
∴m＝﹣1，n＝2，
∴m+2n＝﹣1+4＝3，
故答案为：3
【变式3-2】已知|n﹣2|与 互为相反数，则m+2n的值为 ．
【答案】3
【解答】解：∵|n﹣2|与 互为相反数，
∴|n﹣2|+ ＝0，
∴n﹣2＝0，m+1＝0，
∴m＝﹣1，n＝2，
∴m+2n＝﹣1+4＝3，
故答案为：3．
【典例4】（2017春•阿荣旗期末）比较大小：（1） 6；（2）
；
【答案】（1）＜ （2）＜
【解答】解：（1）∵62＝36＞35，
∴ ＜6，
故答案为：＜；
（2）∵2＜ ＜3，
∴﹣3＜﹣ ＜﹣2，
∴﹣2＜﹣ +1＜﹣1，
∵1＜ ＜2，
∴﹣2＜﹣ ＜﹣1，
∴﹣1＜﹣ ＜﹣ ，∴﹣ +1＜﹣ ，
故答案为：＜；
【变式4-1】比较大小：
（1） 和4； （2） 和 ．
【解答】解：（1）4＝ ＞ ．
∴ ＜4．
（2）∵1＜ ＜2，
∴ ﹣1＜1．
∴ ＜ ．
【考点3 算术平方根的估算】
【典例5】（2022•东丽区二模）估计 的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】B
【解答】解：由于 ＜ ＜ ，即3＜ ＜4，
所以 的值在3和4之间，
故选：B．
【变式5-1】（2022•河西区模拟）估计 的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】B
【解答】解：∵9＜15＜16，
∴3＜ ＜4，
故选：B．【变式 5-2】（2020 秋•福田区期末）设 n 为正整数，且 n＜ ＜n+1，则 n 的值为
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵n为正整数，且n＜ ＜n+1，
∴n＝8．
故选：B．
【变式5-3】（2018•台州）估计 +1的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】B
【解答】解：∵2＜ ＜3，
∴3＜ +1＜4，
故选：B．
【典例6】（2015秋•萧山区期中）已知 ，则0.005403的算术平方根是（
）
A．0.735 B．0.0735 C．0.00735 D．0.000735
【答案】B
【解答】解：∵ ＝7.35
∴0.005403的算术平方根是0.0735．
故选：B．
【变式6-1】（2019春•港口区期中）若 ＝5.036，则 ＝ ．
【答案】503.6【解答】解：∵ ＝5.036，
∴ ＝503.6．
故答案为503.6．
【变式6-2】（2021秋•江宁区期中）（1）填空：
＝0.01， ＝ 0. 1 ， ＝1， ＝10， ＝ ，…
（2）观察上述求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：
①已知 ≈3.16，则 ≈ ；
②已知 ≈1.918， ≈191.8，则a＝ ．
（3）根据上述探究过程类比一个数的立方根：已知 ≈1.26， ≈12.6，则m＝
．
【答案】(1) ：0.1，100 （2）①：31.6②36800 （3）2000
【解答】解：（1） ＝10×0.01＝0.1，
＝10×10＝100．
故答案为：0.1，100．
（2）①∵ ≈3.16，
∴ ≈ ≈ ≈ ≈10×3.16≈31.6．
故答案为：31.6．
②∵ ≈1.918， ≈191.8，1.918×100＝191.8，
∴ ．
∴ ．
∴a＝36800．
故答案为：36800．
（3）∵ ≈1.26， ≈12.6，1.26×10＝12.6，∴ ．
∴ ．
∴m＝2000．
故答案为：2000．
【考点4 平方根】
【典例7】求下列各数的平方根
（1）49； （2） ； （3） ； （4）0.0016．
【解答】解：
（1）49的平方根是±7
（2） 的平方根是
（3） 的平方根是
（4）0.0016的平方根是±0.04
【变式7-1】（2021秋•卫辉市月考）求下列各数的平方根
（1）49 （2） ； （3）2 ； （4）0.36； （5）（﹣ ）2．
【解答】解：（1）49的平方根是±7，（2） 的平方根是± ；
（3）2 的平方根是± ；（4）0.36的平方根是±0.6；（5）（﹣ ）2的平方根是± ；
【变式7-2】（2014春•黄山期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．0.4的算术平方根是0.2 B．16的平方根是4
C．64的立方根是±4 D．（﹣ ）3的立方根是﹣
【答案】D
【解答】解；A、 ，故A错误；
B、16的平方根是±4，故B错误；
C、64的立方根是4，故C错误；D、 ，故D正确；
故选：D．
【考点5 利用平方根的定义解方程】
【典例8】（2022春•海淀区校级期中）求下列各式的x的值：
4x2＝100；
【解答】解：两边都除以4得，x2＝25，
由平方根的定义得，x＝±5；
【变式8-1】（2021春•宝坻区期中）求下列各式中的x的值
49x2﹣16＝0
【解答】解：49x2﹣16＝0，
解得：x＝ ；
【变式8-2】（2021春•潜山市期末）解方程：（x+1）﹣2（x2﹣1）＝0．
【解答】解：（x+1）﹣2（x2﹣1）＝0，
（x+1）﹣2（x+1）（x﹣1）＝0，
（x+1）[1﹣2（x﹣1）]＝0，
x+1＝0或1﹣2（x﹣1）＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝ ．
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【考点6 利用平方根的定义求参数】
【典例9】（2021春•昭阳区校级月考）若一个正数的平方根是2m﹣4与3m﹣1，求这个正
数的算术平方根．
【解答】解：根据题意得：2m﹣4+3m﹣1＝0，
解得m＝1，
∴2m﹣4＝2×1﹣4＝﹣2，
∴这个正数是（﹣2）2＝4，
∴4的算术平方根是2．
【变式9-1】（2021秋•莱芜区期末）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a
﹣6．
（1）求a的值；
（2）求这个数m．【解答】解：（1）∵数m的两个不相等的平方根为a+2和3a﹣6，
∴（a+2）+（3a﹣6）＝0，
∴4a＝4，
解得a＝1；
（2）∴a+2＝1+2＝3，3a﹣6＝3﹣6＝﹣3，
∴m＝（±3）2＝9，
∴m的值是9．
【变式9-2】（2022春•仁怀市校级月考）若m是169的正的平方根，n是121的负的平方
根，求：
（1）m+n的值；
（2）（m+n）2的平方根．
【解答】解：（1）∵132＝169，
∴m＝13，
∵（﹣11）2＝121，
∴n＝﹣11，
∴m+n＝13+（﹣11）＝2；
（2）（m+n）2＝4＝（±2）2，
∴（m+n）2的平方根是±2．
故答案为：（1）2，（2）±2．
【变式9-3】（2021秋•河南月考）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣
18．
（1）求a的值；
（2）求这个数m．
【解答】解：（1）∵数m的两个不相等的平方根为a+2和3a﹣18，
∴（a+2）+（3a﹣18）＝0，
∴4a＝16，
解得a＝4；
（2）∴a+2＝4+2＝6，3a﹣18＝3×4﹣18＝﹣6，
∴m＝（±6）2＝36，
∴m的值是36【典例10】（2022春•涧西区期中）已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|+ ＝0．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）求 的平方根．
【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+|2b+6|+ ＝0，
∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，
解得：a＝2，b＝﹣3，c＝5；
（2）由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，
则 ＝
＝4，
故 的平方根为：±2．
【变式10-1】（2022春•汉阳区期中）实数x，y使 +（y+2）2＝0成立，求 的值．
【解答】解：∵ +（y+2）2＝0，
∴x﹣3＝0，y+2＝0，
即x＝3，y＝﹣2，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
即 的值是 ．
【变式10-2】（2022春•瑶海区期中）已知（x﹣2）2+ ＝0，求（x+y）2022的值．
【解答】解：∵（x﹣2）2+ ＝0，
∴x﹣2＝0，y+3＝0；
∴x＝2，y＝﹣3；
则原式＝（2﹣3）2022＝（﹣1）2022＝1．
【变式10-3】（2022春•惠东县校级月考）已知 ．
（1）求x与y的值；
（2）求3x+2y的平方根．【解答】解：（1）∵ ，
∴2y﹣8＝0，x﹣2＝0，
解得：x＝2，y＝4；
（2）3x+2y＝3×2+2×4＝14．
∵14的平方根为± ，
∴3x+2y的平方根为 ．
