专题23圆锥曲线离心率归类（解析版）_02高考数学_2025年新高考资料_一轮复习_上好课2025年高考数学一轮复习知识清单3246850_题型必备·冲高分

专题 23 圆锥曲线离心率 目录 题型一：离心率基础计算.....................................................................................................................................................1 题型二：定义型求离心率.....................................................................................................................................................3 题型三：第三定义型（点差法）.........................................................................................................................................5 题型四：双曲线：渐近线型离心率.....................................................................................................................................8 题型五：中点与离心率.......................................................................................................................................................11 题型六：a、b、c齐次型....................................................................................................................................................13 题型七：焦点三角形：内切圆型.......................................................................................................................................17 题型八：焦点三角形：焦半径型.......................................................................................................................................20 题型九：焦点三角形：离心率范围最值...........................................................................................................................24 题型十：焦点弦定比分点求离心率...................................................................................................................................26 题型十一：焦点三角形：余弦定理...................................................................................................................................29 题型十二：焦点三角形：双角度型...................................................................................................................................32 题型十三：重心型...............................................................................................................................................................35 题型十四：双曲线椭圆共焦点型.......................................................................................................................................39 题型十五：离心率“小题大做”型...................................................................................................................................42 题型一：离心率基础计算 圆锥曲线的离心率的常见基本思维方法和基础计算： 定义法：通过已知条件列出方程组，求得 得值，根据离心率的定义求解离心率 ； 基础计算：由已知条件得出关于 的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于 的一元二次方程或不等式， 结合离心率的定义求解； 特殊值计算法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题. 1．（24-25高三·重庆·阶段练习）已知椭圆 的焦距为 ，若直线 恒与椭圆 有两个不同的公共点，则椭圆 的离心率范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点 在椭圆内部，整理不等式 可得离心率 . 【详解】将直线 整理可得 ， 易知该直线恒过定点 ， 若直线 恒与椭圆 有两个不同的公共点，可知点 在椭圆内部；易知椭圆上的点当其横坐标为 时，纵坐标为 ，即可得 ， 整理可得 ，即 ，解得 .故选：A 2．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为F，过坐标原点O作C的一条渐近 线的垂线l，直线l与C交于A，B两点，若 的面积为 ，则C的离心率为（ ）． A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意可得 ，联立方程解得 ，根据面积关系可得 ，即可得离心率. 【详解】由题意可知： ，则F(−c,0)， 不妨取一条渐近线为 ，则 ，联立方程 ，解得 ， 由对称性可知：点 为线段 的中点，则 ， 即 ，解得 ，则 ，所以C的离心率为 .故选：B. 3．（24-25高三·全国·模拟）设椭圆的两个焦点分别为 ， ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆的长轴长为2a，半焦距为c，则由题意可得 ， ，然后结合椭圆的定义 列方程化简可求出椭圆的离心率. 【详解】依题意， 设椭圆的长轴长为2a，半焦距为c，则 ， 则 ， ，于是 ，∴ ．故选：C 4．（23-24高三·河南漯河·阶段练习）已知椭圆 : 与双曲线 ： （ ）， 下列关于两曲线的说法正确的是（ ） A．C 的长轴长与C 的实轴长相等 B．C 的短轴长与C 的虚轴长相等 1 2 1 2 C．焦距相等 D．离心率不相等 【答案】CD 【分析】利用定义分别写出椭圆和双曲线的长短半轴、实半轴虚半轴以及焦虑和离心率，就可以对四个选 项进行判断了.【详解】椭圆 ：长轴半 ，短半轴 ，焦半距 ，离心率 ； 双曲线 ：长轴半 ，短半轴 ，焦半距 ，离心率 ； ∵ ，∴选项A不正确；∵ ，∴选项B不正确；∵ ，∴选项C正确； ∵ ，∴选项D正确；故选：CD 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，则C的离心 率为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的对称性得出一条渐近线的倾斜角，从而判定 关系，再求离心率即可. 【详解】根据双曲线的对称性可知该双曲线的一条渐近线倾斜角为 ，所以 ， 则其离心率为 .故答案为： 题型二：定义型求离心率 解题时要把所给的几何特征转化为 的关系式．求离心率的常用方法有： （1）根据条件求得 ，利用 或 求解； （2）根据条件得到关于 的方程或不等式，利用 将其化为关于 的方程或不等式，然后解方程或不等 式即可得到离心率或其范围． 1．（23-24高二下·湖南郴州·模拟）已知 为椭圆 上一动点， 分别为其左右焦 点，直线 与 的另一交点为 的周长为16.若 的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的标准方程及其参数 的关系即可得出结果. 【详解】设椭圆的半焦距为 ，则由题设得 ， 解得 ，所以椭圆的离心率为 .故选：C． 2．（2023·广西南宁·模拟预测）已知椭圆 ( )， ， 分别为椭圆的左右焦点，直线 与椭圆交于A、B两点，若 、A、 、B四点共圆，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据四点共圆及 的倾斜角得到 为等边三角形，故 ，进而求出 ，利用椭圆定义得到方程，求出离心率. 【详解】因为 、A、 、B四点共圆， 为圆心，所以 ，故 ，又 的倾斜 角为 ，故 为等边三角形，故 ，由勾股定理得 ，由椭 圆定义可得 ，即 ，解得 .故选：C 3．（2024·贵州·三模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，过点 的直线 与椭圆 交于 两点，若 ，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据条件，结合椭圆的定义，可判断点 的位置，再结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】由 ，设 ， ， ， 由椭圆的定义可知， ， 所以 ，所以点 在短轴端点，如图，则 ， ， 所以 ，则 ，即 ，所以椭圆的离心率 .故选：A 4．（23-24高三·云南·阶段练习）椭圆 的左､右两焦点分别是 ，其中 ．过左焦点的直线与椭圆交于 两点．则下列说法中正确的有（ ） A． 的周长为 B．若 的中点为 所在直线斜率为 ，则 C．若 的最小值为 ，则椭圆的离心率 D．若 ，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，根据椭圆的定义即可；对于B，利用点差法结合斜率公式即可； 对于C，根据通经的性质结合离心率即可；对于C，根据向量的数量积整理函数解析式即可. 【详解】 直线 过左焦点 的周长为 ，A正确；设 ，则 ，点 ．由 ①-②得 ，故B 错误；当 轴时， 最小，令 ，解得 ， ，整理得 ，即 ，解得 或-2（舍去），故C正确； ， ， ，即 ，即 ，可得 ，则椭圆的离心率的取值范围是 ，D正确．故选：ACD． 5．（20-21·河南驻马店·模拟）已知 ， 是双曲线 的左右焦点，过 且倾斜角 为60°的直线 与 的左､右两支分别交于 ､ 两点.若 ，则双曲线 的离心率为 . 【答案】 【分析】依题意可得 ， ，由双曲线定义可得结果. 【详解】在直角 中， ， ， ，则 ， . 由双曲线定义得 ，即 ，解得 . 故答案为： . 题型三：第三定义型（点差法）x y x y 2 2 2 2 椭圆：设直线和椭圆 1 + 1 =1的两个交点 ， ，代入椭圆方程，得 1 + 1 =1； a2 b2 A(x 1 ,y 1 ) B(x 2 ,y 2 ) a2 b2 x 2 y 2 x 2 −x 2 y 2 −y 2 (x +x )(x −x ) (y +y )(y −y ) 2 + 2 =1；将两式相减，可得 1 2 + 1 2 =0； 1 2 1 2 =− 1 2 1 2 ； a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 (y +y )(y −y ) a2 y 最后整理得：1=− 1 2 1 2 1=−k⋅ ⋅ 0 b2 (x +x )(x −x ) b2 x 1 2 1 2 ⇒ 0 a2 (y +y )(y −y ) a2 y 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1= 1 2 1 2 1=k⋅ ⋅ 0 b2 (x +x )(x −x ) b2 x 1 2 1 2 ⇒ 0 抛物线：设直线和曲线的两个交点A(x 1 ,y 1 )，B(x 2 ,y 2 )，代入抛物线方程，得 y 1 2 =2px 1； y 2 2 =2px 2； 可得 1．（22-23高三·山西长治·模拟）已知直线 与椭圆 相交于 两点，且线段 的中点在直线 上，则此椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立 ，得到线段 的中点为 ，设 与 的交点分别为 ， ， ， ，利用点差法能求出椭圆的离心率． 【详解】联立 ，得 ， ， 直线 与 的交点为 ， 线段 的中点为 ， 设 与 的交点分别为 ， ， ， ，则 ， ， 分别把 ， ， ， 代入椭圆 ，得： ，两式相减得： ， ， ， ．故选：C 2．（20-21高三·江西南昌·模拟）双曲线 的右焦点为 ，设 、 为双曲线上 关于原点对称的两点， 的中点为 ， 的中点为 ，若原点 在以线段 为直径的圆上，直线 的斜率为 ，则双曲线的离心率为（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B【解析】设 ，则 ，得到 ，根据题设条件，化简得到 ，结合 ，求得 的值，根据离心率的定义，即可求解. 【详解】设 ，则 ， 因为 的中点为 的中点为 ，所以 ，因为原点 在线段 为直径 的圆上，所以 ，可得 ，① 又因为点 在双曲线上，且直线 的斜率为 ，所以 ，②联立消去 ，可得 ，③ 又由点 是双曲线的右焦点，可得 ，代入③，化简整理得 ，解 得 或 ，由于 ，所以 （舍去）， 故 ，解得 ，所以离心率为 .故选：B. 3．（20-21高三·江西抚州·模拟）已知椭圆的方程为 ，斜率为 的直线 与椭圆相交 于 ， 两点，且线段 的中点为 ，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由点差法化简可得 ，再由椭圆离心率公式即可得解. 【详解】设 ， 则 ，两式作差得 ， 又 ，线段 的中点为 ，所以 ， 所以 即 ，所以该椭圆的离心率为 . 故选：C. 4．（2021·河北石家庄·二模）已知双曲线 ： ，其上、下焦点分别为 ， ， 为坐标 原点．过双曲线上一点 作直线 ，分别与双曲线的渐近线交于 ， 两点，且点 为 中点， 则下列说法正确的是（ ） A．若 轴，则 ． B．若点 的坐标为 ，则直线 的斜率为 C．直线 的方程为 ．D．若双曲线的离心率为 ，则三角形 的面积为2． 【答案】ACD 【分析】利用双曲线基本性质，点差法及三角形面积的表示，即可得到结果.【详解】若 轴，则直线 过双曲线的顶点， ，双曲线的渐近线方程为 ，易得 ， 两点的横坐标为 ，∴ ，即A正确； 若点 的坐标为 ，则 ，易得双曲线渐近线方程为 ，设 ， 利用点差法： ，两式作差可得， ，即 ∴ ，即B错误； 若 ，利用点差法同样可得 ，∴直线 的方程为 即 ， ∴ ，故C正确； 若双曲线的离心率为 ，则双曲线方程为 ，∴渐近线方程为 ，设 ， ∴ ，联立方程 可得 ，同理可得 ， ∴ ，故D正确，故选：ACD 5．（23-24高三·黑龙江哈尔滨·模拟）已知直线 与椭圆 相交于 两点，且 线段 的中点在直线 上，则此椭圆的离心率为 ． 【答案】 / 【分析】 联立 ，得到线段 的中点为 ，设 与 的交点分别为 ， ，利用点差法能求出椭圆的离心率. 【详解】联立 得： ，所以直线 与直线 的交点坐标为 ， 所以线段 的中点为 ，设 与 的交点分别为 ， ， 所以 ， ，则 ， ，分别把 ， 代入到椭圆得： ，两式相减得： ， 因为直线 为： ，所以 ，且 ，所以 ， 所以 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 . 故答案为： 题型四：双曲线：渐近线型离心率 双曲线渐近线性质： （1）焦点到渐近线的距离为b （2）定点到渐近线的距离为 （3）一直线交双曲线 的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M，则 . （4）过双曲线 上任意一点P做切线，分别角两渐近线于M,N两点，O为坐标原点则有如下结论： ①OM·ON=a2+b2；② ；③ 1．（2022高三·全国·专题练习）双曲线 的右焦点为 ，若以点 为圆心，半径 为 的圆与双曲线 的渐近线相切，则双曲线 的离心率等于（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由题意得双曲线方程为 ，则圆心 到渐近线的距离 ，化简后可求出离 心率. 【详解】根据题意得：圆心 ，半径为 ，双曲线渐近线方程为 ，即 ， 以点 为圆心，半径为 的圆与双曲线 的渐近线相切，且 ， 圆心 到渐近线的距离 ，即 ， ，则双曲线 的离心率 ， 故选：B 2．（2022·山西晋中·二模）已知双曲线 ： 的左､右焦点分别为 ， ， 平面内一点 满足 ， 的面积为 ，点 为线段 的中点，直线 为双曲线的一条渐 近线，则双曲线 的离心率为（ ）A． B． 或 C． D．2 【答案】B 【分析】先求 边长，然后根据相似三角形求 边长，再由面积得a、b、c的齐次式，然后可 求. 【详解】由题意，可得图象如图所示，因为 ， 为 的中点， 为 的中点， 所以 ，所以 ，因为焦点 到渐近线 的距离 ，所以 ，又因为 ， ， 所以 ，所以 ， ，所以 ，所以 ，所以 ，解得 或 ， 故 或 .故选：B. 3．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，过 作以 为圆心，虚半轴长为半径的圆的切线，切点为 ，若线段 恰好被双曲线 的一条渐近线平 分，则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】首先由条件可知 与 关于双曲线的一条渐近线对称，利用对称性，列式求点 的坐标，再根 据点 在圆上，代入后转化为关系 的齐次方程，求双曲线的离心率. 【详解】由题意可知，线段 与双曲线 的一条渐近线相交于点 , 分别是 和 的中点，所 以 ，而 ，所以 ，切点 与 关于双曲线的一条渐近线对称，由对称性不妨 取双曲线 的一条渐近线 ，设 ，因为 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，所以 ， ，则 ，解得 ，所以 .易知以 为圆心， 虚半轴长为半径的圆的方程为 ，将 代入圆的方程，得 ，化简整理得 ，所以 . 故选：D. 4．（22-23高三·河北保定·模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 为双曲线 右支上一点，且 ，若 与一条渐近线平行，则（ ） A．双曲线 的离心率为B．双曲线 的渐近线方程为 C． 的面积为 D．直线 与圆 相切 【答案】ACD 【分析】设直线 平行于双曲线的渐近线 ，得到直线 的方程为 ，联立方程组 求得 坐标，代入方程化简得 ，利用双曲线的离心率公式判断A，利用双曲线渐近线方程判断 B，结合 纵坐标求得 面积判断C，利用点到直线的距离公式判断D. 【详解】不妨设直线 平行于双曲线的渐近线 ， 从而可得 是线段 的垂直平分线，且直线 的方程为 ， 设直线 与直线 相交于点 ，联立方程组 ，解得 ，即 ， 又F (−c,0)，结合中点坐标公式，可得 ， 1 代入双曲线 ，可得 ，整理得 ， ， 对于A，双曲线的离心率 ，故A正确； 对于B，双曲线的渐近线 ，故B错误； 对于C， 的面积 ，故C正确； 对于D，圆心 到直线 的距离 ， 故直线 与圆 相切，故D正确.故选：ACD 5．（21-22高三上·辽宁·阶段练习）等轴双曲线是一种特殊的双曲线，特点是渐近线互相垂直且离心率为 ， （ ）的图象是等轴双曲线，设双曲线 的焦点为A、B，则直线AB的方程为 ，若O为坐标原点，则 的面积为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的图像与性质，结合反比例函数的图像与性质，对比分析即可求得直线AB的方程， 再联立双曲线方程和直线方程，求得 坐标即可求得 的面积. 【详解】 ，其对称中心 ，渐近线方程为： ， ， 实轴所在直线方程为： ，即 ，即直线AB的方程为 ； 联立方程： 解得顶点坐标为 ， ，所以实轴长为 ，又双曲线的离心率为 ，故焦距为4，点O到直线 的距离为： ， 所以 的面积为 ，故答案为： ， 题型五：中点与离心率 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理 该式子。主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； x +x y +y 中点M(x ,y ) ， x 0 = 1 2 2 ， y 0 = 1 2 2 0 0 1．（22-23高三上·浙江·模拟）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的 直线 交双曲线的右支于 ， 两点.点 满足 ，且 ，若 ，则双 曲线的离心率是（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件可得AM垂直平分 ，再结合双曲线定义及三角形余弦定理列式计算作答. 【详解】因 ，则点 是线段 中点，由 得 ，即AM垂直平分 ， 则有 ， ，而 ，则 ， 又 ，令双曲线 的半焦距为c，在 中， ， ， 由余弦定理得： ，即 ， 化简得 ，所以双曲线的离心率是 .故选：C 2．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知双曲线 的右焦点为 ，其左右顶点 分别为 ，过 且与 轴垂直的直线交双曲线 于 两点，设线段 的中点为 ，若直线 与直 线 的交点在 轴上，则双曲线 的离心率为（ ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得 ， ， ， ， ， ，分别求出直线 和 的方程，从而得到直线 和 与 轴的交点坐标，即可求出答案. 【详解】由题可得： ， ， ， ， ， ，所以 ，直线 的方程为： ， 令 ，解得： ，所以直线 与 轴交点为 ，由于 ，则直线 的方程为： ，令 ，解得： ，所以直线 与 轴交点为 ， 因为直线 与直线 的交点在 轴上，所以 ，解得： ， 所以双曲线 的离心率 ，故选：B 3．（2024·四川雅安·三模）设 分别为双曲线 的左右焦点，过点 的直线交 双曲线右支于点 ，交 轴于点 ，且 为线段 的中点，并满足 ，则双曲线 的离心率为 （ ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设 ，根据中点关系得 ，从而根据向量垂直的坐标形式列式求得 ，根据点 在双曲线上列方程求解即可a、c的关系式，利用离心率的定义转化为 的方程求解即可. 【详解】由题意， ，设M(x,y)，则N(0,y)， (cid:9) (cid:9) 因为F 为线段MN的中点，所以x2c，即M(2c,y)，则FM (3c,y),FN (c,y)，  2 (cid:9) (cid:9) (cid:9) (cid:9) 1 1 因为FM FN，所以FMFN 3c2y2 0，即y2 3c2， 1 1 1 1 x2 y2 4c2 3c2 又 在C:  1(a0,b0)双曲线上，所以  1， M a2 b2 a2 b2 结合b2 c2a2整理得4c48c2a2a4 0，所以4e48e210， 3 3 31 解得e2 1 或e2 1 （舍去），由 ，解得e . 2 2 e1 2 故选：A x2 y2 4．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟）已知 为坐标原点， 是椭圆C:  1(ab0)的右焦点， O F a2 b2 ykx与C交于A,B两点，M,N分别为AF,BF的中点，若OM ON ，则C的离心率可能为（ ） 3 2 1 31 A． B． C． D． 4 2 2 6 【答案】AD 【分析】直线方程联立椭圆方程，表示出点A、B的坐标，利用中点坐标公式表示出点M、N的坐标，由 (cid:9) (cid:9) OMON 0可得a2(c2b2)k2 b4 0，即c2 a2c2，解之即可求解.ykx  【详解】由x2 y2 ，消元得 ，结合示意图，   1 a2 b2 (a2k2b2)x2 a2b2 ab abk ab abk 所以A( , ),B( , )，又 ， 分别是 的中点， a2k2b2 a2k2b2 a2k2b2 a2k2b2 F(c,0) M,N AF,BF ab c abk ab c abk 所以M(  , ),N(  , )，又 ，所以(cid:9) (cid:9) ， 2 a2k2b2 2 2 a2k2b2 2 a2k2b2 2 2 a2k2b2 OM ON OMON 0 ab c ab c abk abk 有(  )(  )  0， 2 a2k2b2 2 2 a2k2b2 2 2 a2k2b2 2 a2k2b2 c2 a2b2 a2b2k2 即   0，则 ， 4 4(a2k2b2) 4(a2k2b2) c2(a2k2b2)a2b2a2b2k2 0 所以(a2c2a2b2)k2 a2b2b2c2 b4，即a2(c2b2)k2 b4 0， c2 1 2 则 ，即 ，有  ，由 ，解得 e1， c2 b2 c2 a2c2 a2 2 0e1 2 即椭圆 的离心率的取值范围为 .故选：AD.  2   ,1   2 C   x2 y2 5．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆  1ab0的左焦点是 ，左顶点为 ，直线 交 a2 b2 F 1 A ykx 椭圆于P､Q两点(P在第一象限)，直线PF 1 与直线AQ交于点D，且点D为线段AQ的中点，则椭圆的离心 率为 . 1 【答案】 3 xa y 【解析】设点 P  x,y，则 Qx,y，从而得到D  2 , 2   ，点 D 在直线 PF 1 上，故 k PF1 k F1D ，即 可得到a、c的关系，从而求出椭圆的离心率； 【详解】解：如下图所示，设椭圆的半焦距为c，由题意知Aa,0 ，Fc,0， 1 设点 ，由题意可知，点 ､ 关于原点对称，则 . P  x,y Q Qx,y P xa y 因为线段 的中点为 ，则D , .又因为点 在直线 上，故 ，即 AQ D  2 2  D PF 1 k PF1 k F1D y y 2 xc  xa ，即 y y ，整理得 ， ，因此，椭圆的离心率 c 1 .故答案 c  e  2 xc xa2c ca2c a3c a 3 1 为： 3 题型六：a、b、c 齐次型只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式) 两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． x2 y2 1．（2022·山东临沂·模拟） 是双曲线C:  1a0,b0 的左、右焦点，直线l为双曲线C的一 F,F a2 b2 1 2 条渐近线，F 关于直线l的对称点为F' ，且点F' 在以F 为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C 1 1 1 2 的离心率为 A．√2 B． 5 C．2 D．√3 【答案】B 【分析】根据左焦点F 与渐近线方程，求得F 关于直线l的对称点为F'的坐标，写出以F 为圆心、以半虚 1 1 1 2 轴长b为半径的圆的方程，再将F'的坐标代入圆的方程，化简即可得离心率． 1 b 【详解】因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线l:y x a 因为F,F 是双曲线C的左、右焦点所以F （-c，0），F （c，0） 1 2 1 2 y0 b y0 b xc 因为F 1 关于直线l的对称点为 F 1 '，设 F 1 '为（x，y）则 xc  a 1, 2  a  2 b2a2 2ab b2a2 2ab 解得x c ,y c 所以 F' 为（ c , c ）因为 F' 是以 F 为圆心，以半虚轴长b为半径的圆， 1 1 2 则圆的方程为 xc2y2 b2 将以 F' 的（ b2 c a2 , 2a c b ）代入圆的方程得    b2 c a2 c    2      2a c b   2 b2 1 c2 化简整理得 ，所以e  5 所以选B 5a2 c2 a2 x2 y2 2．（2024·湖南·三模）已知 是椭圆C:  1(ab0)的左、右焦点，O是坐标原点，过 作直 F,F a2 b2 F 1 2 1 3 线与C交于A，B两点，若 ，且 的面积为 b2，则椭圆C的离心率为（ ） AF 2 |AB| OAF 2 6 3 3 3 3 A． B． C． D． 12 6 3 2 【答案】C  π 【分析】设F 1 AF 2 ,0π，首先证明S AF1F2 b2tan 2 ，结合题意算得解得 3 ，即可得三角形 4a 4a 2a 为等边三角形，进一步结合椭圆定义可得， AF  , AF 2a  ， ABF 2 3 1 3 3 2 4a 2a 2a BF 1  3  3  3  AF 1 ，即 F 1 是 AB 的中点，结合勾股定理、离心率公式即可求解. 【详解】 我们首先来证明一个引理：若 ，则 ，证  F 1 AF 2 ,0π S AF1F2 b2tan 2 明如下：设 AF m, AF 2am，则由余弦定理有 1 24c2 m22am2 2m2amcos，即4c2   m2am  2 2m2am1cos， 4a24c2 2b2 所以m2am  ，所以 21cos 1cos   2sin cos S  1 m2amsin 1  2b2 sinb2 2 2 b2tan  ，从而引理得证； AF1F2 2 2 1cos 2cos2  2 2  3 3  3 根据题意可得，S b2tan 2S 2 b2  b2 ，解得tan  ， AF 1 F 2 2 OAF 2 6 3 2 3  π  π π π 因为0 2  2 ，所以 2  6 ，解得 3 ，由 AF 2  AB ，BAF 2  3 ，可得三角形 ABF 2 为等边三角形， 4a 4a 2a 所以4a BF 2  AF 2  AB 3 AF 2 ，所以 AF 2  3 , AF 1 2a 3  3 ， 4a 2a 2a 所以 BF     AF ，所以 是 的中点， 1 3 3 3 1 F 1 AB 所以 ，所以   4a  2 2c2   2a  2 ，即 ，所以e c  3 .故选：C. ABFF  3   3  a2 3c2 a 3 1 2 x2 y2 3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知椭圆C:  1(ab0)的左、右顶点分别为 ，左焦点为 a2 b2 A,B F,P为椭圆上一点，直线AP与直线xa交于点M,PFB的角平分线与直线xa交于点N ，若PF  AB， 7 的面积是 面积的 倍，则椭圆 的离心率是（ ） △MAB NFB 2 C 1 1 1 1 A． B． C． D． 8 7 6 3 【答案】B  b2  【分析】根据题意可求得P  c, a   ，求出直线 AP 以及角平分线方程可得 Ma,2ac， Na,ac ，利 7 用 的面积是 面积的 倍可得 ，即得出离心率. △MAB NFB 2 a7c 【详解】根据题意可得Aa,0,Ba,0,Fc,0 ，则 AB 2a， FB ac，又PF  AB可得PFB90， 设 点坐标为 ，如下图所示： 将 代入椭圆方程可得 ， c2 y2 P Pc,y 0  Pc,y 0  a2  b 0 2 1 b2 解得 b2 ；可得 k  a  b2 ，直线 方程为 y b2 xa， y 0  a PA ac aac PA aac  b2 y xa 联立 aac ，解得  2b2 ，即 易知 的角平分线倾斜角为 ，斜率  xa M  a, ac   Ma,2ac PFB 45 yxc 为 ，直线 方程为 ，联立 ，解得 ；所以 的面积为 k 1 FN y xc xa Na,ac △MAB 1 1 1 S  AB BM a2ac2aac S  FB BN  ac2 MAB 2 NFB NFB 2 21 1 1 S  AB BM a2ac2aac ， 面积为S  FB BN  ac2 ； MAB 2 NFB NFB 2 2 7 1 7 7 即2aac  ac2  ac2 ，即2a ac ，可得 ； 2 2 4 4 a7c c 1 所以离心率e  .故选：B a 7 x2 y2 4．（22-23高三·辽宁铁岭·阶段练习）如图，已知椭圆C：  1(a＞b＞1)， ， 分别为左、右顶点， a2 b2 A A 1 2 B ，B 分别为上、下顶点，F ，F 分别为左、右焦点，点P在椭圆C上，则下列条件中能使C的离心率 1 2 1 2 为 的是（ ） 51 2 A．OF OA  OB 2 B．FB A 90 1 2 1 1 1 2 C．PF  x轴，且PO//A B D．四边形ABA B 的内切圆过焦点F ，F 1 2 1 1 1 2 2 1 2 【答案】ABD 【分析】对于A选项，由式子得到acb2 a2c2，再同除a2得到关于e的一元二次方程，解出e即可， 对于B选项，将垂直转化为向量点乘为0，将向量坐标化得到acb2 a2c2，再次得到和A选项一样的 方程，解出e即可，对于C选项，解出P点坐标，将平行转化为斜率相等得到bc，最终求出斜率，对于 e D选项依然是构造齐次方程解出 即可. 【详解】由题意知A(a,0),A (a,0),B(0,b),B (0 ,b),F(c,0),F (c,0) ,设椭圆离心率为e. 1 2 1 2 1 2 对于A，OF 1 OA 2  OB 1 2 ,即acb2 a2c2, 整理得 ,解得 ,又 ,故 ，故A正确. 1 5 1 5 e e e2 e10 2 0e1 2 (cid:9) (cid:9) 对于B，FB A 90 ,即FB BA 0,则(c,b)(a,b)0,即acb2 a2c2, 1 1 2 1 1 1 2 1 5 1 5 整理得 ,解得e ,又 ,故e ,故B正确. e2e10 2 0e1 2 b2 对于C， PF 1  x 轴,由 a c2 2  b y 2 2 1 ,解得 y b a 2 ,不妨设P    c, b a 2    ,PO//A 2 B 1 ,即 k PO k A2B1 ,即  a c   b a ,解得 2 ,则a b2c2  2c,e ，故C错误. bc 2 ab 对于D,易得内切圆半径为 斜边上的高,即 ,若内切圆过焦点 , Rt△OAB a2b2 F,F 1 1 1 2 ab 3 5 则 c ,整理得 ,等号两边同时除以 得 ,解得e2  ,又 , a2b2 c43a2c2a4 0 a4 e43e210 2 0e12  51 3 5 52 51 51 则e2        ,故e ，故D正确，故选：ABD. 2 2 4   2 x2 y2 5．（2024·福建·模拟预测）已知双曲线C:  1(a0,b0)的左焦点为F，过F的直线l交圆 a2 b2 x2y2 a2于A，B两点，交C的右支于点P.若|AF||BP|，|PF|2|AB|，则C的离心率为 . 73 1 【答案】 / 73 5 5 16a24c2 16c216a2 【分析】作出辅助线，结合题目条件得到方程组，求出 PF 2  , PF 2  ，结合双曲线 1 3 3 定义得到方程，求出离心率. 【详解】设双曲线的右焦点为F 1 ，连接PF 1 ，取AB的中点N ，连接ON，则ON⊥AB，因为|AF||BP|， |PF|2|AB|，所以 PB  BN  AN  AF ，因为O为F 1 F 2 的中点，所以ON⊥PF，且 PF 1 2ON ， 因为 FN  PN ，所以ON //PF ，PF PF ，由勾股定理得 PF 2 PF 2  FF 2 ，即 PF 2 PF 2 4c2①， 1 1 1 1 1 2 2 2 由垂径定理得   AB    ON 2  BO2 ，即   PF      PF 1   a2，即 PF 2  PF 1 2 a2②， 2 4 2       16 4 16a24c2 16c216a2 联立①②得 PF 2  , PF 2  ，又由双曲线定义可得 ，即 1 3 3 PF  PF 1 2a 16c216a2 16a24c2  2a，化简得 ，方程两边同除以 得， 3 3 25c498a2c273a4 0 a4 25e498e2730， 解得 或1（舍去），故离心率 . 故答案为： 73 73 73 e2  e 25 5 5 题型七：焦点三角形：内切圆型 x2 y2 1．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，双曲线E:  1的左右焦点分别为 ， ，若存在 a2 b2 F 1 F 2 过F 2 的直线l交双曲线E右支于A，B两点，且△AF 1 F 2 ，△BF 1 F 2 的内切圆半径r 1 ，r 2 满足3r 1 4r 2 ，则双 曲线E的离心率取值范围为（ ）     A．1,3 B．1,7 C． 2,4 3 D． 1,4 3 【答案】B【分析】首先根据内切圆切线长性质和双曲线定义得到两圆与F 1 F 2 有公共切点H ，且是双曲线右顶点，从 而可知O 1 O 2 x轴；接着通过解三角形知识计算得到焦点弦AB的斜率是k AB 4 3；最后通过渐近线与相 b 交弦斜率关系 k ，得到离心率范围. a AB 【详解】设△AFF ， △BFF 的内切圆圆心分别为O，O , 1 2 1 2 1 2 如图，设△AF 1 F 2 的内切圆与x轴的切点为H ，由双曲线定义AF 1 AF 2 2a，根据圆的切线长性质 得HF 1 HF 2 2a，进而得点H 的横坐标为a，即点H 是双曲线右顶点； 同理可得点H 也是△BF 1 F 2 的内切圆与x轴的切点，连接O 1 O 2 ，O 1 F 2 ，O 2 F 2 ，从而可知O 1 O 2 x轴，   设直线 的倾斜角为 ，∴OF H  ，O F H  ，又 ，∴ AB  1 2 2 2 2 2 F 2 H ca    r OH catan cacot ，r O H catan ， 1 1 2 2 2 2 2    3 ∴3cacot 4catan ，解得tan  ， 2 2 2 2  2tan 2 ∴k tan 4 3，∴ ，则离心率 .故选项为：B. AB  b 1tan2 2 a k AB 4 3 e1,7 x2 y2 2．（2024·山东济宁·三模）已知双曲线C:  1(a0，b0)的左、右焦点分别为 ，根据双曲线 a2 b2 F,F 1 2 x x y y 的光学性质可知，过双曲线 C 上任意一点Px 0 ,y 0 的切线l: a 0 2  b 0 2 1(a0,b0)平分F 1 PF 2 .直线 l 1 过 F 2 交双曲线C的右支于A，B两点，设AF 1 F 2 ,BF 1 F 2 ,ABF 1 的内心分别为I 1 ,I 2 ,I ，若II 1 I 2 与F 2 I 1 I 2 的面 3 积之比为 ，则双曲线 的离心率为（ ） 5 C 3 2 3 5 5 3 A． B． C． D． . 2 3 3 3 【答案】C 【分析】利用切线长定理求得直线I 1 I 2 的方程，再借助双曲线的切线方程求出点I 的横坐标，结合面积关 系求解即得. 【详解】令圆I 切AF,AF ,FF 分别为点P,Q,T ，则|AP||AQ|,|FP||FT |,|FQ||FT|， 1 1 2 1 2 1 1 2 2 |FT ||FT ||FP||FQ||AF ||AF |2a，令点T(x ,0)，而F(c,0),F (c,0)， 1 2 1 2 1 2 0 1 2 因此x (c)(cx )2a，解得x a，又IT FF ，则点I 横坐标为a，同理点I 横坐标为a， 0 0 0 1 1 2 1 2 即直线I I 的方程为xa，设A(x,y ),B(x ,y )，依题意，直线AI,BI 的方程分别为： 1 2 1 1 2 2 xx y y x x y y xx x x 1  1 1， 2  2 1，联立消去 得：( 1 1)y ( 2 1)y ， a2 b2 a2 b2 y a2 2 a2 1 a2(y y ) a2(y y ) a2 整理得x 2 1 ，令直线 的方程为 ，于是x 2 1  ，即点 的横 x 1 y 2 x 2 y 1 AB xmyc (my 1 c)y 2 (my 2 c)y 1 c Ia2 a 坐标为a2 ，因此 S II1I2  c  a  3 ，所以双曲线 的离心率 c 5.故选：C S ca c 5 e  c F2I1I2 C a 3 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知椭圆C: x2 + y2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F 1， F 2，点 a2 b2 P(x ,y )是C上的一点，PFF 的内切圆圆心为Q(x ,y )，当x 2时，x  3，则C的离心率为 1 1 1 2 2 2 1 2 （ ） 3 3 A． B． C． D． 2 31 3 2 3 【答案】A x2 y2 【分析】由点P(x 1 ,y 1 )在C: a2  b2 1上，结合两点之间的距离公式和椭圆的定义求出 PF 1 ex 1 a， PF aex ， 2 1 即 PF 1  PF 2 2ex 1 ，再利用内切圆的性质得到 PF 1  PF 2 2x 2 ，即可求出C的离心率. 【详解】 设 ，则F (−c,0)， ； 1 c2 a2b2 F 2 c,0 由点P(x 1 ,y 1 )在C: a x2 2  b y 2 2 1上，则有 a x 1 2 2  b y 1 2 2 1，即 y 1 2 b2    1 a x 1 2 2    ， 所以 PF 1  x 1 c2 y 1 2  x 1 c2 b2    1 a x 1 2 2     c a 2x 2 1 2 2cx 1 a2     c a x 1 a    2 ； cx 又 ax 1 a ，所以 PF 1  a 1 aex 1 a， PF 2 2a PF 1 aex 1 ，则 PF 1  PF 2 2ex 1 ； 如图1，由焦点△PFF 的内切圆可得： PE  PF ， EF  FH ， FF  F H ， 1 2 1 1 2 2 所以 PF  PF  EF  FF  FH  F H 2ex ； 1 2 1 2 1 2 1 x 3 又 FH  F H cx cx 2ex 2x ，所以 x ex ，即e x 2  2 ，故选：A． 1 2 2 2 1 2 2 1 1 x2 y2 4．（24-25高三·全国·模拟）设 为坐标原点， 分别是双曲线C:  1a0,b0 的左、右焦点， O F,F a2 b2 1 2 (cid:9) (cid:9) (cid:9)   P 是 C 上的一点，且 OF 2 OP PF 2 0，若PF 1 F 2 的内切圆半径为a，设内切圆圆心Ix 0 ,y 0 ，则（ ） A．x 2a B．PFF 为直角三角形 0 1 2C．PFF 的面积为ac D．C的离心率为 31 1 2 【答案】BD 【分析】利用三角形内切圆的性质及切线长定理结合双曲线定义与性质可判定A、C、D，根据平面向量数 量积可判定B. 【详解】如图，设点P在第一象限，如图，设PF 1 F 2 的内切圆与三边相切于点D,E,F， 则 FD  FF ， F D  F E , PE  PF ， 1 1 2 2 由双曲线的定义得 FD  DF 2a，设Dx ,0 ，所以 cx cx 2a，所以x a，A错误； 1 2 0 0 0 0 (cid:9) (cid:9) (cid:9)   设PF 2 的中点为 M ，由 OF 2 OP PF 2 0，知OM PF 2 ．因为OM //PF 1 ，PF 1 PF 2 ，所以PF 1 F 2 为直 角三角形，B正确； 1 在 PF 1 F 2 中，S  2 F 1 F 2  y P c y P ac，C错误； 在PFF 中， PF caac2a, PF caac，由PFF 为直角三角形， FF 2c, PF c， 1 2 1 2 1 2 1 2 2 c 2 知 PF  3c ，由 c2a 3c ，得e a  31  31，D正确． 1 故选：BD x2 y2 5．（23-24高三·广东揭阳·模拟）已知椭圆E:  1(ab0)的左､右焦点分别为 为 上且不 a2 b2 F 1 ,F 2 ,P E 与顶点重合的任意一点，I 为PF 1 F 2 的内心，O为坐标原点，记直线OP,OI 的斜率分别为k 1 ，k 2 ，若 3 k  k ，则 的离心率为 . 1 2 2 E 1 【答案】 / 2 0.5 【分析】设Px ,y ,Ix,y  ，设圆与PF,PF ,x轴相切于点M,N,T ，结合圆的切线长的性质证明 0 0 1 1 1 2 c ，结合椭圆性质可得 ，由内切圆性质可得y  y ，由条件确定 关系， F 1 T PNNF 2 ac x 1 ex 0 1 ac 0 a,c 由此可求离心率. 【详解】设Px ,y ,Ix,y  ，设圆与PF,PF ,x轴相切于点M,N,T ，则 0 0 1 1 1 2 PM  PN , FM  FT , F N  FT ， 1 1 2 2 又 PM  PN  FM  F N  PF  PF 2a， FT  FT 2c，所以 1 2 1 2 1 2 PM  PN  FM  FT  F N  FT 2a2c，所以 FT  PN  NF ac，即 FT  PF ac， 1 1 2 2 1 2 1 2 a2 过点 作直线x 的垂线，垂足为 ，则 P c H a2 a2 a2 PH c x 0 c x 0 c x 0 a2 x PF 2  x 0 c2y 0 2  x 0 c2b2    1 a x 0 2 2     c a 2x 2 0 2 2cx 0 a2 ，所以 P P F H 2  a c  a c x 0 0  a c ，a2  所以 ，所以 PF e x aex ，∴ ， PF e PH 2  c 0  0 FT x cacaex  2 1 1 0 1 1 c 3 ∴ ，由三角形面积相等，得 2a2cy  2cy ，y  y ，k  k ， x 1 ex 0 2 1 2 0 1 ac 0 1 2 2 c y y 3 ac 0  0   ，所以 ， ，即得 .故答案为： . x 2 c c 3 c 1 1 0 x   e a 0 a 2 ac a2c 2 2 . 题型八：焦点三角形：焦半径型 ep PF  ，（=PFX(PFY)） 圆锥曲线焦半径统一结论 1ecos ，其中p为交点到准线的距离，对椭圆和 b2 p c 双曲线而言 p PF  ，（=PFX(PFY)） 1cos 对于抛物线，则 x2 y2 1．（21-22高三上·全国·阶段练习）已知点M  3, 15  是椭圆 a2  b2 1ab0上的一点， F 1 ， F 2 是椭 圆的左、右焦点，若△MFF 为等腰三角形，则该椭圆的离心率为（ ） 1 2 2 102 A． B． 3 4 1 2 2 102 C． 或 D． 或 2 3 3 3 【答案】D 【分析】由△MFF 为等腰三角形，讨论|FM ||FF |或|FM ||FF |，分别求出对应的离心率即可. 1 2 1 1 2 2 1 2 【详解】由△MFF 为等腰三角形知： 1 2 当|FM ||FF |2c，而F(c,0)，则(c3)2154c2，整理得c22c80， 1 1 2 1 解得 或 （舍），而 FM  432 15 42a2c2a8，故 ， c4 c2 2 a6 c 2 此时e  ；当 ，而 ，则 ，整理得 ， a 3 |FM ||FF |2c F (c,0) (c3)2154c2 c22c80 2 1 2 2 解得 或 （舍），而 FM  32 2 15 2 10 2a2c2a4， c2 c4 1   c 102 故 ，此时e  ；故选：D. a2 10 a 3x2 y2 2．（22-23高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）设椭圆C:  1（ ）的右焦点为F，椭圆C上的两 a2 b2 ab0 (cid:9) (cid:9) 点A、B关于原点对称，且满足FAFB0， FB  FA 3 FB ，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）  5   2 10  2  A． 3 ,1  B． 2 , 4  C． 2 , 31 D．  31,1         【答案】B (cid:9) (cid:9) 【分析】设椭圆的左焦点F，由椭圆的对称性结合FAFB0，得到四边形AFBF为矩形，设 AF n， m n 2c2 ，在直角 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到   ，再根据 ， AF m △ABF n m b2 FB  FA 3 FB m b2 c b2 得到 的范围，从而利用对勾函数的值域得到 的范围，进而由e  1 即可得解. n a2 a a2 【详解】如图所示： 设椭圆的左焦点 ，由椭圆的对称性可知，四边形 为平行四 F AFBF (cid:9) (cid:9) 边形，又FAFB0，则FAFB，所以平行四边形AFBF为矩形，故 AB  FF 2c， 设 AF n， AF m，则 BF n，在直角△ABF中，mn2a，m2n2 4c2， m n m2+n2 2c2 所以 2mnmn2  m2n2 4a24c2 4b2，则 mn2b2 ，所以 n + m = mn = b2 ， m 1 2c2 m 1 令 n t，得t t  b2 ，又由 FB  FA 3 FB ，得 n t1,3，因为对勾函数yt t 在1,3上单调递 2c2 1  10 c2  5 a2 a2b2 c2  5 a2  8 增，所以 b2 t t    2, 3   ，所以 b2    1, 3   ，即 b2 1 b2  b2    1, 3   ，则 b2    2, 3   ，故 b2 3 1 a2   8 , 2   ， c b2  2 10  2 10 所以e  1  , ，所以椭圆离心率的取值范围是 , .故选：B. a a2 2 4 2 4     3．（2024·陕西西安·一模）已知农历每月的第t1天 0t29,tN 的月相外边缘近似为椭圆的一半，方 x2 y2  1 程为 2π  r2 ，其中 为常数．根据以上信息，下列说法中正确的有（ ） r2cos2  t 29  r ①农历每月第d  1d 30,dN* 天和第 天的月相外边缘形状相同； 30d ②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为2r； ③月相外边缘的离心率第8天时取最大值；  3  ④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间 ,1内．   2   A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】D 【分析】利用已知条件求出第d天和第30d天的方程即可判断A，根据椭圆上点到焦点的距离的最大值为 ac，求出ac的范围即可判断B，求出离心率 e 的表达式判断C，利用离心率 e 的表达式，求出农历初六 e 至初八时 的的范围即可判断D.x2 y2  1 【详解】由方程 2π  r2 知： r2cos2  29 t  0t29,tN x2 y2  1 A：当 时，椭圆方程为 r2cos2   2π d1   r2 ， t d1 29  x2 y2  1 当 时，椭圆方程为 2π  r2 ， r2cos2  29d  t 29d 29  x2 y2 x2 y2  1  1 化简为  2π  r2 ，即 2π  r2 ，所以①错误； r2cos2 2π d r2cos2  d  29  29  B：月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为： 2π   2π  2π  ac r  r2r2cos2  t  r  r2 1cos2  t  r  r2sin2  t 29   29  29  2π   2π  2π   r  r sin t  r 1 sin t，因为 ，所以sin t 1， 29   29  0t29,tN 29   2π  所以 r 1 sin t2 r ，所以②错误；  29  2π  2π  r2r2cos2  t r sin t C：月相外边缘的离心率为： c 29  29  2π  ， e    sin t a r r 29  2π  14π 而 ，所以当 时，e sin t sin 最大， 0t29,tN t7 29   29  即月相外边缘的离心率第8天时取最大值，所以③正确； D：农历初六至初八，即6t18时，即5t7， 2π  2π  10π 14π 此时月相外边缘离心率：sin 5 e sin 7 ，即sin esin ， 29  29  29 29 10π π 14π π 10π 3 14π 3 因为  ，  ，所以sin  ，sin 1，所以 e<1，故④正确. 29 3 29 2 29 2 29 2 综上所述，正确的有③④.故选：D. x2 y2 4．（23-24高三上·江西·模拟）已知 为坐标原点， ， 分别为双曲线 ：  1（ ， ） O F 1 F 2 C a2 b2 a0 b0 的左、右焦点，点M 为双曲线右支上一点，设F 1 MF 2 ，过M 作两渐近线的垂线，垂足分别为P，Q， 则下列说法正确的是（ ） A． FM 的最小值为 2 ca B． MP  MQ 为定值 π C．若当 时 恰好为等边三角形，则双曲线 的离心率为 2 △OMF C 2 32 2 π 216 3 D．当 时若直线 与圆 相切，则双曲线 的离心率为 3 FM x2y2 a2 C 3 1 【答案】ABD 【分析】根据题意利用焦半径公式可知 FM 长度的最小值为 ，可判断A；利用点到直线的距离公式可 2 cab2x2a2y2 π 得 MP  MQ  0 0 ，再利用点M在双曲线上即可判断B；由 利用直角三角形的性质和 c2 2 △OMF 2 π 为等边三角形可得 FM ， FM ，再根据双曲线定义即可求得离心率，可判断C；当 时，直线 FM 1 2 3 1 与圆x2y2 a2相切根据勾股定理和双曲线定义可得a,b的关系，即可判断D. 【详解】对于A，因为F 是双曲线C的右焦点，点M为双曲线右支上一点， 2 所以由双曲线性质知线段 FM 长度的最小值为 ，故A正确； 2 ca 对于B，设M(x ,y )，两渐近线方程分别为bxay0，bxay0，所以 0 0 MP  MQ  bx 0 ay 0  bx 0 ay 0  b2x 0 2a2y 0 2 ，又因为 满足 x 0 2  y 0 2 1，可得 ， b2a2 b2a2 c2 M(x ,y ) a2 b2 b2x2a2y2 a2b2 0 0 0 0 b2x2a2y2 b2a2 所以 MP  MQ  0 0  为定值，故B正确； c2 c2 π 对于C，因为 2 ，所以 FM FM ，而 △OMF （ O 为坐标原点）恰好为等边三角形， 1 2 2 因此由FF 2c知 FM  3c， FM c，所以由双曲线的定义知： FM  FM  3cc2a， 1 2 1 2 1 2 c 2 即   31，即双曲线 的离心率 ，故C错误；对于D，如图， a 31 C e 31 设直线 与圆 相切于点A，连接OA，则 ，且 ， FM x2y2 a2 OAFM OA a 1 1 π 2 3 4 3 作 于点B，则 ，又因为FMF  ，所以 BM  a， FM  a， F 2 BF 1 M F 2 B 2a 1 2 3 3 2 3 因此在Rt△FBF 中， FB  FF 2 F B2  4c24a2 2b，又点 在双曲线右支上，所以 1 2 1 1 2 2 M   3 3 a 2 3 4 3 b 3 3 FM  FM  a2b a2a，整理得b ，即  ， 1 2 3 3 3 a 3 b2 126 3 216 3 因此双曲线 的离心率e 1  1  ，故D正确.故选：ABD. C a2 9 3 x2 y2 5．（23-24高三·河南许昌·阶段练习）已知椭圆  1ab0的左、右焦点分别为 是椭圆上 a2 b2 F,F ,P 1 2 一点，PFF 是以F P为底边的等腰三角形，且60PFF 120，则该椭圆的离心率的取值范围是 1 2 2 1 2 ．  31 1 【答案】 ,    2 2   【分析】利用余弦定理将角度的范围转化为关于椭圆离心率的不等式即可. 【详解】因为PFF 是以F P为底边的等腰三角形，所以PF FF 2c，所以PF 2a2c， 1 2 2 1 1 2 21 1 ， cosPFF  ，在 中，由余弦定理得： 60PFF 120 2 1 2 PFF 1 2 1 2 PF2FF2PF2 cosPFF  1 1 2 2 ， 1 2PF FF 1 1 2 1 4c24c22a2c2 1 1 4  c2a2 8ac 1 1 2 故   ，即   ，即11  1， 2 22c2c 2 2 8c2 2 e2 e 1 2 22 3 22 3 31 不等式11  ，即 ，解得e 0(舍去)或e  . e2 e 2e22e10 4 4 2  31 1 不等式1 1  2 1，即2e1，e 1 .所以 31 e 1 .故答案为：  ,   2 2 e2 e 2 2 2   题型九：焦点三角形：离心率范围最值 求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： c ①求出 ，代入公式e ； a,c a ②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2 a2c2转化为a,c的齐次式，然后等式(不等式) 两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e（e的取值范围）. x2 y2 1．（20-21高三·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知 F 1 ， F 2 是椭圆 a2  b2 1ab0的两个焦点，若存在点 P为椭圆上一点，使得F 1 PF 2 60，则椭圆离心率e的取值范围是（ ）．  2   2 1  1 2 A．  2 ,1   B．   0, 2    C．  2 ,1   D．  2 , 2    【答案】C 【分析】根据题意分析，当且仅当P点位于短轴端点P 0 处时，张角F 1 PF 2 达到最大值，此时在Rt△P 0 OF 2 中，OPF 30，转化为b 3c，消去b，求出椭圆离心率e的取值范围. 0 2 【详解】如图， 当动点 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时， 对两个焦 P P 点的张角F 1 PF 2 渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P 0 处时，张角F 1 PF 2 达到最大值．由此可得： 存在点P为椭圆上一点，使得F 1 PF 2 60，△P 0 F 1 F 2 中，F 1 P 0 F 2 60，可得Rt△P 0 OF 2 中， OPF 30， 0 2 c2 1 所以 ，即 ，其中 ，可得 ，即  P 0 O  3 OF 2 b 3c c a2b2 a2c2 3c2 a2 4c2 a2 4 c 1 椭圆离心率e ，且  e1故选:C  a a>c>0 2 x2 y2 2．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知椭圆  1(ab0)的两个焦点为 a2 b2 (cid:9) (cid:9) F c,0､F c,0,M 是椭圆上一点，且满足FM FM ，求椭圆的离心率e的取值范围为（ ） 1 2 1 2 2   2  2  1  A．  2 ,1   B．  0, 2   C．  2 ,    D．  2 ,1   【答案】A (cid:9) (cid:9) 【分析】由FM FM 得M的轨迹是以FF 为直径的圆，所以此圆与椭圆有交点，列式可得结果. 1 2 1 2 (cid:9) (cid:9) 【详解】∵ FM FM ，∴M的轨迹是以FF 为直径的圆，∴M的轨迹方程为x2y2 c2， 1 2 1 2 又∵ M是椭圆上一点，∴以FF 为直径的圆与椭圆有交点，∴bc，即： 1 2 1 2 b2 c2 a2c2 c2 a2 2c2 e2  又∵ ∴ e1故选：A. 2 0e1 2 3．（22-23高三·广东湛江·模拟）椭圆C的两个焦点分别是F ，F ，若C上的点P满足 ， 1 2 则椭圆C的离心率e的取值范围是 A． B． C． D． 或 【答案】C 【详解】试题分析：利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆C的离心率e的计算公式即可得出 解：∵椭圆C上的点P满足 ，∴|PF |= =3c， 1 由椭圆的定义可得|PF |+|PF |=2a，∴|PF |=2a﹣3c． 1 2 2 利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c， 化为 ．∴椭圆C的离心率e的取值范围是 ．故选C． x2 y2 4．（20-21高三·江苏南京·阶段练习）已知椭圆 a2  b2 1 (ab0)的离心率为e，F 1 、F 2 分别为椭圆的两 个焦点，若椭圆上存在点P使得FPF 是钝角，则满足条件的一个e的值（ ） 1 2 2 3 3 2 A． B． C． D． 3 4 2 2 【答案】BC 【解析】设 Px 0 ,y 0 x 0 a ，则由条件可得  P  F (cid:9) 1   P  F (cid:9) 2 0 有解，即  P  F (cid:9) 1   P  F (cid:9) 2  a c2 2 x 0 2b2c2 0在 0x 2 a上有解，从而可得答案. 0 (cid:9) (cid:9) 【详解】F 1 c,0，F 2 c,0 ，c2 a2b2,设Px 0 ,y 0 x 0 a ， PF 1 cx 0 ,y 0  ，PF 2 cx 0 ,y 0  (cid:9) (cid:9)  x 2   b2  c2 所以PF PF   c2x 2 y 2 x 2y 2c2 x 2b2 1 0 c2 1 x 2b2c2  x 2b2c2 1 2 0 0 0 0 0  a2   a2  0 a2 0 椭圆上存在点P使得 F 1 PF 2 是钝角，即  P  F (cid:9) 1   P  F (cid:9) 2 0 有解.即 a c2 2 x 0 2b2c2 0在 0x 0 2 a 上有解. 1 c2 2 所以 ，即 ，则  ，所以 e1所以满足条件的有B, C故选：BC b2c2 0 a22c2 0 2 a2 2 x2 y2 5．（2020·山东枣庄·一模）已知椭圆 a2  b2 1(ab0)的左右焦点分别为 F(c,0) ， F (c,0) 且 bc ， 1 2 若在椭圆上存在点P，使得过点P可作以F 1 F 2 为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范围为 . 3 2 【答案】 ,   3 2   【解析】如图所示，根据题意知PAOB为正方形，PO 2c，故bPOa，解得答案. 【详解】如图所示，根据题意知：PAOB为正方形，故PO 2c，故bPOa，  3 2 故 ，解得 3 e 2 ，又 ，故e 2 ，故e ,  . b2 2c2 a2 3 2 bc 2  3 2  故答案为： .  3 2  ,   3 2   题型十：焦点弦定比分点求离心率 性质：过圆锥曲线的焦点 F 的弦 AB 与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴 ）的夹角为 (cid:9) (cid:9) -1 ，且AFFB（, 注意方向）则ecos=| |（e为离心率） +1 x2 y2 1．（2023·湖北·模拟预测）已知 F 1 ， F 2 分别是双曲线: a2  b2 1a0,b0的左、右焦点，过 F 1 的直 (cid:9) (cid:9) 线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，CB3F 2 A，BF 2 平分F 1 BC，则双曲线的离 心率为（ ） A． 7 B． 5 C． 3 D． 2 【答案】A (cid:9) (cid:9) 【分析】根据CB3F A可知CB//F A，再根据角平分线定理得到 BF , BC 的关系，再根据双曲线定义分 2 2 1 别把图中所有线段用a,b,c表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率. 【详解】 因为 ，所以 ∽ ， (cid:9) (cid:9) CB3F A FAF △FBC 2 1 2 1 设FF  2c，则 FC 4c，设 AF t，则 BF 3t， AB 2t．因为BF 平分FBC，由角平分线定理 1 2 2 1 1 2 1 BF FF 2c 1 可知， 1  1 2   ，所以 ，所以 AF  1 BC 2t， BC F 2 C 4c 2 BC 2 BF 1 6t 2 3 由双曲线定义知 AF 2  AF 1 2a，即2tt 2a，t 2a，①又由BF 1  BF 2  2a得 BF 2 3t2a2t， 所以 BF  AB  AF 2t，即△ABF 是等边三角形，所以F BC ABF 60． 2 2 2 2 2BF 2 BF 2 FF 2 在 F 1 BF 2 中，由余弦定理知cosF 1 BF 2  1 2 BF 1 2  BF 2 1 2 ，即 1 2  4t2 2   9 2 t t 2   3t 4c2 ，化简得 7t2 4c2 ， c 把①代入上式得e  7，所以离心率为 ．故选：A． a 7 x2 y2 2．（22-23高二下·湖南岳阳·模拟）已知双曲线C: a2  b2 1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ．点 (cid:9) (cid:9) (cid:9) 2(cid:9) A在 C 上，点 B 在 y 轴上，F 1 AF 1 B，F 2 A 3 F 2 B，则 C 的离心率为（ ） 5 3 5 3 2 3 A． B． C． D． 5 5 3 3 【答案】B (cid:9) (cid:9) (cid:9) (cid:9) (cid:9) 【分析】记 F 2 A 2mm0 ，分别用m表示出 F 1 A, F 1 B, F 2 B , AB ，在ABF 1 中由勾股定理可得am， 在ABF 1 中由三角函数定义可得cos，再在△AF 1 F 2 中利用余弦定理列齐次式，然后可得离心率. (cid:9) 2(cid:9) (cid:9) (cid:9) 【详解】因为F A F B，所以 三点共线，又 ，所以 为直角三角形， 2 3 2 A,B,F 2 F 1 AF 1 B ABF 1 (cid:9) (cid:9) (cid:9) (cid:9) (cid:9) (cid:9) 记 F A 2mm0 ，则 F B 3m，由双曲线定义和对称性可得 FA 2m2a, FB  F B 3m, AB 5m， 2 2 1 1 2 则有 2a2m23m2 5m2 ，即a22ma3m2 0，解得am或a3m（舍去）. AF 4 记 ，则cos 1  ，在 中，由余弦定理得4c2 16a24a216a2 4 ， FAF  AB 5 △AFF 5 1 2 1 2 整理得 ，得 .故选：B 3 5 e 5c2 9a2 5 x2 y2 3．（2024·浙江台州·二模）设 F 1 ， F 2 是双曲线 C ： a2  b2 1a0,b0的左、右焦点，点 M,N 分别在  (cid:9) (cid:9) 双曲线 的左、右两支上，且满足MF N  ， ，则双曲线 的离心率为（ ） C 2 3 NF 2MF C 2 1 7 5 A．2 B． C． D． 3 3 2 【答案】B 【分析】设NF 与MF 的交点为 ， MF x，进而根据下向量关系得NF P∽FMP，再结合双曲线的 1 2 P 1 2 1 2 2 10 性质即可得 PF  2ax ， PN  2a2x ，进而结合余弦定理求得x a，最后在 中利用 2 3 3 3 △FMF 1 2 余弦定理求得7a3c，进而可得答案. (cid:9) (cid:9) (cid:9) (cid:9) 【详解】解：如图，设NF 与MF 的交点为 ， MF x，因为NF 2MF ，所以 NF 2 MF 2x， 1 2 P 1 2 1 2 1 (cid:9) (cid:9) 所以，由双曲线的定义可知： MF  MF 2a2ax， NF 2a NF 2x2a， 2 1 1 2 (cid:9) (cid:9)  因为 NF 2MF ，所以 NF //MF ，所以 NF P∽FMP ，F 1 MF 2 MF 2 N  3 ， 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2  所以 PF  MF  2ax ， PN  NF  2a2x ，所以，在 中，PF N MF N  ， 2 3 2 3 3 1 3 PNF 2 2 3 2PF 2 F N 2 PN 2 π 1 所以 ，由余弦定理有：cosPF N  2 2 cos  ， 2 2 PF  F N 3 2 2 2 2 2 (cid:9) 代入 PF  2ax ， PN  2a2x ， NF 2x，整理得 ， 2 3 3 2 3x210ax0 10 10 16 解得x 3 a， x0 （舍），所以， MF 1 x 3 a, MF 2 2ax 3 a， F 1 F 2 2c， FM 2 FM 2 FF 2 1 所以，在 中，由余弦定理有：cosFMF  1 2 1 2  ， △FMF 1 2 2 FM  FM 2 1 2 1 2 c 7 代入数据整理得： ，所以，双曲线的离心率为：e  .故选：B 7a3c a 3 x2 y2 4．（23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习）已知双曲线C：  1a0,b0的右焦点为F，过点F作C a2 b2 的一条渐近线的垂线，垂足为A，该垂线与另一条渐近线的交点为B，若 FB 1 FA0 ，则C的 离心率e可能为（ ） 33 22 33 22 A． B． C． D． 31 2 2  【答案】BD 【分析】设出直线AF 方程，分别与两渐近线联立，求得A,B两点坐标，根据两点间距离公式代入条件即 可求解. b a 【详解】不妨设C的一条渐近线的方程为y x，依题意，直线 的斜率为 ， a AF b  a y xc   b 且 ，F(c,0)，则 ： ，设 ，联立 ，可得 ， ab l AF y b a xc Bx 0 ,y 0    y b a x x 0  a2 a  2c b2 abc y  , 0 b2a2  a y xc   b 设A(x ,y )，联立 ，可得 ， ，因为 ，即 1 1   y b a x x 1  a c 2 y 1  a c b FB 1 FA  a2c  2  abc  2 a2  2 ab 2 c2  a2b2 c   b2a2   1   c c    c   ，化简得1 a2b2 ，又 e a c 1 ， c2 c2 e2 22 当 时，1   ，即e ，当 时， ab a2b2 2a2c2 2e2 2 ab c2 c2 e2 22 22 22 1   ，即e ，所以e 或e .故选：BD.. a2b2 2a2c2 2e2  2 x2 y2 5．（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）设双曲线C:  1(a0,b0)的左､右焦点分别为 为 a2 b2 F,F ,A 1 2 (cid:9) (cid:9) 左顶点，过点F 1 的直线与双曲线C的左､右两支分别交于点N,M （点M 在第一象限）.若MF 2 4NA，则 双曲线C的离心率e ，cosFMF  . 1 2 7 【答案】 2 15 【分析】第一空，利用向量平行的性质与平行线分线段成比例得到 F 2 A 3 AF 1 ，从而得到c2a，由此 5 得解；第二空，利用余弦定理，分别在 △ FNF 与△FMF 中，得到m 2 a与 cosFMF ，从而得解. 1 2 1 2 1 2 【详解】如图， 由题意，知 ，设双曲线 的焦距为 ，则 . Aa,0 F c,0,F c,0 C 2c 1 2 (cid:9) (cid:9) 由MF 2 4NA，得MF 2 // NA，且 MF 2 4 NA ，所以 F 2 A 3 AF 1 , MN 3 NF 1 ，所以ca3ca ，即 c c2a ，所以双曲线 C 的离心率e a 2.连接 NF 2 ，设 MF 2 m， 1 1 1 则 MF 2am, NF  2am, NF 2a 2am 10am . 1 1 4 2 4 4 在△ FNF 和△FMF 中，由余弦定理的推论， 1 2 1 2 1 1 (2am)216a2 (10am)2 16 16 (2am)216a2m2 得cosNFF   ，化简整理，得 ， 1 2 1 2(2am)4a 5 2 (2am)4a m a 4 2 所以在△FMF 中，由余弦定理的推论，得 1 2  5  2 5  2 2a a  a (4a)2 (2am)2m2(4a)2  2  2  7 cosFMF    .故答案为： ； . 1 2 22amm  5  5 15 7 22a a a  2  2 2 15 题型十一：焦点三角形：余弦定理圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质： 1. 焦点四边形具有中心对称性质。 2. 焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。 3. 焦点四边形可分割为两个余弦定理形双x2三角y2形，可以用双余弦定理求解 1．（2023·山西·模拟预测）已知双曲线E: a2  b2 1a0,b0的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，P是双曲线 S 5 E上一点， ， 的平分线与x轴交于点Q， △PF1Q  ，则双曲线E的离心率为（ ） PF FF FPF S 3 2 1 2 1 2 △PF2Q 5 A． B．2 C． D． 2 2 3 【答案】B FQ 5 PF FQ 5 【分析】根据题意分析可得 1  ，利用正弦定理结合角平分线可得 1  1  ，再根据双曲线的 FQ 3 PF FQ 3 2 2 2 定义结合通径分析运算即可. 1 PF  FQ 【详解】∵ ，则 S △PF1Q  2 2 1  5 ，可得 FQ 5， S 1 3 1  PF 2 F 1 F 2 △PF2Q 2 PF 2  F 2 Q F 2 Q 3 PF sinPQF PF sinPQF 分别在 中，由正弦定理可得： 1  1, 2  2 PQF,PQF FQ sinQPF FQ sinQPF 1 2 1 1 2 2 ∵PQ平分FPF ，可得QPF QPF ，即sinQPF sinQPF ， 1 2 1 2 1 2 sinPQF sinPQF PF PF 且 ，故 1  2 ，则 1  2 ， sinPQF sinπPQF sinPQF sinQPF sinQPF FQ FQ 1 2 2 1 2 1 2 b2 2a a 5 所以 PF 1  F 1 Q  5，又∵ b2 ，则 b2 ，所以 b2  3 ，整理得 ， PF  PF  PF 2a 2a PF 2 F 2 Q 3 2 a 1 2 a a b2 3a2 故 ，得 ，即 ，所以 .故选：B. c e 2 c2a2 3a2 c2 4a2 c2a a x2 y2 2．（23-24高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知M为椭圆： a2  b2 1ab0上一点， F 1 ， F 2 为左右焦 sinsincos 1 点，设 ， ，若  ，则离心率 （ ） MFF  MF F  sincossin 3 e 1 2 2 1 1 1 1 2 A． B． C． D． 4 3 2 3 【答案】Csinsincos 1 【分析】设 ， ，结合三角恒等变换以及正余弦定理将  化 |MF |m,|MF |n |FF |2c sincossin 3 1 2 1 2 4c2n2m2 为3n2m m2c，继而推出 的关系，求得答案. 4cm a,b,c 【详解】设|MF |m,|MF |n，|FF |2c，则mn2a， 1 2 1 2 由 得 ， sinsincos 1  sincossin 3 3sin3sincossincossin 即3sin2sincossinsincoscossinsinsin()， n m 2c 2c 在 中，由正弦定理得    ， △MFF sin sin sinFMF sin() 1 2 1 2 4c2n2m2 4c2n2m2 故 ，又cos ，故3n2m m2c， 3n2mcosm2c 4cm 4cm 即8c22c(m3n)(mn)(nm)0，即[4c(mn)][2c(nm)]0，即4cmn或2cnm， c 1 结合椭圆定义可知 且 ，故 ，即4c2a,e  ，故选：C mn2c |mn|2c 4cmn a 2 3．（23-24高二下·江苏·开学考试）双曲线C的两个焦点为F 1 、F 2 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过F 1 作圆D的切线与C的两支分别交于M 、N 两点，且F 1 NF 2 45，则C的离心率为（ ） 3 7 A． B． C． D． 2 2 3 7 【答案】C x2 y2 【分析】设双曲线的方程为  1a0,b0，则 ，设切线 与圆 相切于点 ，过点 a2 b2 AD a MN D A F 2 作F BMN，垂足为 ，分析可知F BN 为等腰直角三角形，求出 NF ，利用双曲线的定义求出 NF ， 2 B 2 2 1 然后利用在△ FNF 中应用余弦定理可求得双曲线C的离心率的值. 1 2 x2 y2 【详解】如图，设双曲线的方程为  1a0,b0，则 ． a2 b2 AD a 设切线 与圆 相切于点 ，过点 作 ，垂足为 ，则 ． MN D A F 2 F 2 BMN B AD//BF 2 AD DF 1 所以，有  1  ，所以 ．又 ， ，所以 为等腰直 BF FF 2 BF 2 AD 2a FNF 45 F BMN F BN 2 1 2 2 1 2 2 2 角三角形，所以 BN  BF 2a， NF  BF 2  BN 2 2 2a， 2 2 2 根据双曲线的定义可得， NF  NF 2a，所以 NF 2 2a2a． 1 2 1 在△ FNF 中，由余弦定理可得， FF 2  NF 2 NF 22 NF  NF cosFNF ． 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2  2   2 所以，4c2  2 2a2a  2 2a 2 2 2a2a 2 2a 12a2， 2 c 所以， ， ，所以，双曲线 的离心率e  3．故选：C． c2 3a2 c 3a C a x2 y2 4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆 E ： a2  b2 1（ ab0 ）的左、右焦点为 F 1 ， F 2 ，过 F 2 的直 7 线与 E 交于 M ， N 两点.若cosF 1 MF 2  9 ， MN  MF 1 .则（ ） MF 1 A． 的周长为 B． 2  △FMN 4a NF 2 1 2 3 C． 的斜率为 D．椭圆 的离心率为 MN  3 E 3 【答案】ABD 【分析】利用椭圆的定义可得 △FMN 的周长，可判断A选项；设NMD，由cos2得sin，而 1 ND NF 2 sin 可得 1  ，设 ，得 ，进而由椭圆的定义可得 , NM NM 3 NF 2m NM  MF 3m MF m 1 1 2 2 3 ，从而可判断B选项；在 中用正弦定理可得c m，进而求 可得直线 NF 2 2m △F 1 MF 2 3 tanF 1 F 2 N MN的斜率，可判断C选项；计算离心率可判断D选项. 7 【详解】对于A：过F 2 的直线与 E 交于 M ， N 两点且cosF 1 MF 2  9 ， MN  MF 1 ， 连接 ， 的平分线交 于点 ，如图所示： 则 的周长等于 F 1 N F 1 MF 2 F 1 N D △F 1 MN MF  MN  NF  MF  MF  NF  NF  4a 1 1 1 2 2 1 故A正确；  π 7 1 1 对于B：设 ，0, ，则cos212sin2 sin2 sin ， NMD  2 9 9 3 1 NF 而sin 1  ND  2 1  NF 1  2 .设 ，则 ， 3 NM NM NM 3 NF 2mm0 NM  MF 3m 1 1 于是 NF 1 |NM | MF 1 8m4a，即a2m.由 MF 1  MF 2  2a  4m，得 MF 2 m, MF m 1 又 ，得 ，所以 2   ，故B正确； NF  NF  2a  4m NF 2m NF 2m 2 2 1 2 2 对于C：在△FMF ，由余弦定理可得： FF 2  MF 2 MF 22MF MF cos2， 1 2 1 2 1 2 1 2 7 16 2 3 则4c2 9m2m223mm 9  3 m2，即c 3 m.在 △NF 1 F 2 中， NF 1  NF 2  2m，又 O 是 F 1 F 2 中点， ON 2 6 所以 NOF 1 F 2 ，则 NO  NF 2 2OF 2 2  3 m，于是tanF 1 F 2 N  OF 2  2， 所以MN的斜率为点N 在x轴上方时 2，在x轴下方时 2，故C错误；2 3 m 对于D： c 3 3 ，故D正确.故选：ABD. e   a 2m 3 x2 y2 5．（2023·浙江嘉兴·二模）已知椭圆C: a2  b2 1(ab0)的左､右焦点分别为 F 1 ,F 2 ，离心率为 e ，点 P 在椭圆上，连接PF 1 并延长交C于点Q，连接QF 2 ，若存在点 P 使 PQ  QF 2 成立，则e2的取值范围为 .  【答案】 8 211,1  1 1 2a 【分析】设QF 1 m, PF 1 n，所以存在点 P 使 PQ  QF 2 等价于PQ  QF 2  min 0,由 m  n  b2 可求 b2 的最小值，求得 的范围，从而得到 的取值范围. PQ  QF 2 2mn2a a2 e2 【详解】 设 ，则 .显然当 靠近右顶点时， ， QF m, PF n QF 2am PQ  QF 1 1 2 P 2 所以存在点 使 PQ  QF 等价于 PQ  QF  0, PQ  QF 2mn2a， P 2 2 min 2 在PFF 中由余弦定理得PF2 PF2FF22PF FF cos，即2an2 n24c22n2ccos，解得 1 2 2 1 1 2 1 1 2 b2 b2 1 1 2a n ，同理可得m ，所以   ，所以 accos accos m n b2   b2  1 1 b2  n 2m 32 2 b2 ( 21)2b2 2mn 2mn    3   ，所以(2mn2a)  2a，当 2a m n 2a m n  2a min 2a ( 21)2b2 b2 且仅当 时等号成立.由 2a0得 128 2 ，所以 . n 2m 2a a2 8 211e2 1  故答案为： 8 211,1  题型十二：焦点三角形：双角度型 x2 y2  1 a2 b2 设椭圆 （a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中， sin c  e FPF  PFF  FF P  sinsin a 记 1 2 , 1 2 , 1 2 ，则有 . [来源:学科网ZXXK] x2 y2  1 a2 b2 设双曲线 （a＞0,b＞0）的两个焦点为F 、F ,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF F 1 2 1 2 sin c  e FPF  PFF  FF P  |(sinsin)| a 中，记 1 2 , 1 2 , 1 2 ，则有 .1．（22-23高三下·四川成都·开学考试）已知F ，F 分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点， 1 2 π  π π 且FPF  ，设 ，当 的范围为 , 时，双曲线C离心率的范围为（ ） 1 2 3 PFF   12 6 1 2  6   6  6  A．   2 , 3   B．   1, 2    C． (1, 3) D．  2 ,2  【答案】A 【分析】先应用双曲线定义结合正弦定理把离心率转化为角的正弦，再根据两角和差和辅助角公式化简， 根据已知角范围求解即可. 【详解】在FPF 中， 1 2 3 由e c  2c  F 1 F 2  sinF 1 PF 2  2  3  1 ． a 2a PF  PF sinPF F sinPFF π  2 π  1 2 2 1 1 2 sin sin cos  3  6   π π π π π 因为 , ，所以  , ， 12 6 6 4 3 π  1 2  6  所以cos   ,  ，所以e  , 3 ．故选:A. 6   2 2   2  x2 y2 2．（23-24高二下·山西长治·模拟）已知椭圆C： a2  b2 1（ ab0 ）的左、右焦点分别为 F 1 ,F 2 ，P为 C上一点，且PFF 40，PF F 60，则C的离心率等于（ ） 1 2 2 1 |PF | |PF | 1 sin20sin40 A． 2 B． 2 C． D． |FF | 2a 2sin40 sin40sin60 1 2 【答案】D 【分析】根据椭圆定义，结合角的值，化简得出离心率即可. 【详解】根据题意，得出FPF 80，在PFF 中由正弦定理得： 1 2 1 2 PF PF FF 1  2  1 2 2R , sinPF F sinPFF sinF PF 2 1 1 2 2 1 由椭圆定义可得2a PF  PF 2RsinPF F sinPFF 2Rsin40sin60 ，2c FF 2Rsin80， 1 2 2 1 1 2 1 2 2c 2Rsin80 sin80 e   椭圆离心率为 ， 2a 2Rsin40sin60 sin40sin60 3 1 1 3 sin20°+sin40 sin20°+sin6020 sin20°+ 2 cos20°- 2 sin20 2 sin20°+ 2 cos20 sin20°+60° sin80°      e sin40sin60 sin40sin60 sin40sin60 sin40sin60 sin40sin60 sin40sin60 .故选：D. x2 y2 3．（2024·江西赣州·二模）已知 ， 为双曲线C:  1a0,b0 的左、右焦点，M为C左支上 F F a2 b2 1 2   一点.设MFF ，MF F ，且sin  2sin ，则C的离心率为（ ） 1 2 2 1 2 2 A．2 2 B．3 C．2 D． 2 【答案】D   【分析】由二倍角的正弦公式几何已知等式得到sin2 2cos sin ，再由双曲线的定义和 2 22a 2c  正弦定理得到 ，最后结合两角和的正弦展开式和拆角以及离心率的定义求出结果 sinsin sin 即可. 【详解】 因为 ，且 ，可知 ，     sin  2sin 0,π cos 0 2 2 2 2      两边同时乘以2cos 可得2cos sin 2cos  2sin ， 2 2 2 2 2   即sin2 2cos sin ，设 MF n, MF m， 2 2 1 2 因为M为C左支上一点，由双曲线定义可得 MF  MF mn2a， 2 1 m n 2c mn 2c     在 中，由正弦定理可得 ， △FMF sin sin sinπ sinsin sin 1 2 2a 2c     即 sinsin  sin ，又sinsinsin  2  2   sin  2  2           sin cos cos sin sin cos cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2   c 2c sin 2 2cos 2 sin 2 ，所以离心率e     2，故选：D.   a 2a sinsin   2cos sin 2cos sin 2 2 2 2 x2 y2 4．（21-22高二下·湖南·模拟）已知双曲线C:  1ba0的左、右焦点分别为 ，双曲线上 a2 b2 F,F 1 2 存在点P（点P不与左、右顶点重合），使得PF 2 F 1 3PF 1 F 2 ，则双曲线C的离心率的可能取值为 （ ） 6 10 A． B． C． D．2 2 3 2 【答案】BC 【分析】由ba0可得e 2，记∠PFF=α ，利用正弦定理结合双曲线及离心率的定义，利用分比定 1 2 理以及三角恒等变换公式化简离心率.然后利用余弦函数的性质得到离心率的取值范围，进而做出判定. b2 【详解】∵ ，则离心率e 1  2，则排除A； ba0 a2 记PFF 045 ， PF m， PF n，则PF F 3,mn2a， 1 2 1 2 2 1 m n 2c mn 2a 由正弦定理结合分比定理可知：     ， sin3 sin sin4 sin3sin sin3sin sin4 2sin2cos2   e  2cos 2,2 则 ， sin3sin sin2sin2 所以B，C是正确的，D不正确.故选：BC. 5．（21-22高二下·广东·阶段练习）已知椭圆E的两个焦点分别为F,F ，点P为椭圆上一点，且 1 2 1 tanPFF  ,tanPF F 2，则椭圆E的离心率为 . 1 2 2 2 1 5 【答案】 31 【分析】根据tanPF 1 F 2  2 ,tanPF 2 F 1 2，得到 F 1 PF 2 90 ，用焦距表示 PF 1 , PF 2 ，再由 PF  PF 2a求解. 1 2 【详解】解：因为tanPFF  1 ,tanPF F 2，所以tanPFF PF F tanPF 1 F 2 tanPF 2 F 1 无 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1tanPFF tanPF F 1 2 2 1 1 2 意义，则 ，所以 ，则sinPFF  ,sinPF F  ， PFF PF F 90 FPF 90 1 2 5 2 1 5 1 2 2 1 1 2 4c 2c 所以 PF  FF sinPF F  , PF  FF sinPFF  ， 1 1 2 2 1 5 2 1 2 1 2 5 4c 2c c 5 5 又 ，即  2a，所以e  ，故答案为： PF 1  PF 2 2a 5 5 a 3 3 题型十三：重心型 离心率(离心率范围)的求法 1.求离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c c 代换，求e 的值． a 2.焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将双曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． x2 y2 1．（2023·贵州黔东南·一模）设双曲线E: a2  b2 1(a0,b0)的右焦点为 F ， M0,3b，若直线 l 与 E 的右支交于A,B两点，且F 为△MAB的重心，则E的离心率的取值范围为（ ）  13    2 13    A．  3 , 3   3, B．  7 , 3   3,      13  2 13 C．  1, 3   D．  1, 7       【答案】A 3c 3b 【分析】设点 为 的中点，根据 为 的重心，求得D( , )，由直线 与 的右支交 D(x 0 ,y 0 ) AB F △MAB 2 2 l E 3c 3b ( )2 ( )2 于 两点，得到 2 2 ，求得c 13 ，再由 时，证得 四点共线不满足题意，  1  A,B a2 b2 a 3 e 3 M,F,A,B 即可求得双曲线E 的离心率的取值范围. x2 y2 【详解】由题意，双曲线E: a2  b2 1(a0,b0)的右焦点为 F(c,0) ，且 M0,3b， (cid:9) (cid:9) 设点D(x 0 ,y 0 )为AB的中点，因为F 为△MAB的重心，所以MF 2FD， 3c 3b 3c 3b 即 ，解得x  ,y  ，即D( , )， (c,3b)2(x c,y ) 0 2 0 2 2 2 0 0 3c 3b ( )2 ( )2 因为直线 与 的右支交于 两点，则满足 2 2 ，  1 l E A,B a2 b2c2 13 c 13 c 13 整理得  ，解得  或  （舍去）， a2 9 a 3 a 3 3 6 3c 6c 当离心率为 时，即a c时，可得b c2a2  c，此时D( , )， e 3 3 3 2 2 设A(x,y ),B(x ,y )，可得x x 3c,y y  6c， 1 1 2 2 1 2 1 2 x2 y2  1  1 1 a2 b2 又由 x 2 2  y 2 2 1 ，两式相减可得 y 2 y 1  b2x 2 x 1   b23c  6 ，即直线 的斜率为 ， a2 b2 x 2 x 1 a2y 1 y 2  a2( 6c) l k l  6 03b 又因为k   6，所以 ，此时 四点共线，此时不满足题意， MF c0 k k M,F,A,B MF l  13    综上可得，双曲线 的离心率的取值范围为  , 3   3, .故选：A. 3 E   x2 y2 2．（23-24高三·湖北武汉·模拟）已知椭圆 a2  b2 1ab0的右焦点为 Fc,0(bc) ，上顶点为 B ， 直线l：3 3x4y210交椭圆于P，Q两点，若F 恰好为VBPQ的重心，则椭圆的离心率为（ ） 5 1 2 3 A． B． C． D． 5 2 2 2 【答案】B 4b2 【分析】设线段 的中点为 ，利用点差法可得k  ，由三角形重心的性质知(cid:9) (cid:9) 可求 PQ M OM 3 3a2 BF 2FM 3c b 得M , ，从而可得 ，即可求离心率．  2 2 3a2 4bc 【详解】设P(x,y ),Q(x ,y )，线段PQ的中点为M(x ,y )，又P,Q为椭圆上两点，则 1 1 2 2 0 0 x2 y2 x2 y2 1  1 1, 2  2 1， a2 b2 a2 b2 (x x )(x x ) (y y )(y y ) 2x (x x ) 2y (y y ) 以上两式相减得 1 2 1 2  1 2 1 2 0，即 0 1 2  0 1 2 0， a2 b2 a2 b2 2y (y y ) b2 b2 3 3 4b2 所以 0 1 2  ，即k k  ，因为k  ，所以k  ， 2x (x x ) a2 OM PQ a2 PQ 4 OM 3 3a2 0 1 2 由三角形重心的性质知  B  F (cid:9) 2  F  M (cid:9) ，又Fc,0,B0,b ， b  2 4b2 则 ，解得 x  3c ,y  b ，即 M   3c , b  ，所以k OM  3c  3 3a2 ，化简得 (c,b)2(x c,y ) 0 2 0 2  2 2 2 0 0 3a2 4bc， b 2 b b b 3 即 3  b2c2 4bc ，即 3 c   4 c    30，解得 c  3或 c  3 ，b c 1 又 ，所以  3，即 ，从而 ，则椭圆的离心率为e  ．故选：B． bc c b 3c a b2c2 2c a 2 x2 y2 3．（2021·全国·模拟预测）已知椭圆 a2  b2 1ab0的右焦点和上顶点分别为点Fc,0bc和点 A ， 直线l:6x5y280交椭圆于P,Q两点，若F 恰好为△APQ的重心，则椭圆的离心率为（ ） 2 3 A． B． 2 3 5 2 5 C． D． 5 5 【答案】C 3c b 【分析】由题设 Fc,0,A0,b，利用 F 为 △APQ 的重心，求出线段 PQ 的中点为B  2 , 2   ，将B代入 5b 直线方程得9c 280，再利用点差法可得 ，结合 ，可求出 ，进而求出离心 2 2a2 5bc a2 b2c2 a,b,c 率. 【详解】由题设Fc,0,A0,b,Px,y ,Qx ,y  ，则线段PQ的中点为Bx ,y  ， 1 1 2 2 0 0 3c b 由三角形重心的性质知 A (cid:9) F  2  F (cid:9) B  ，即(c,b)2x 0 c,y 0 ，解得：x 0  2 ,y 0  2 3c b 5b 即B , 代入直线 ，得9c 280①.  2 2 l:6x5y280 2 又B为线段PQ的中点，则x x 3c,y y b， 1 2 1 2 x2 y2 x2 y 2 又 为椭圆上两点， 1  1 1, 2  2 1， P,Q a2 b2 a2 b2 x x x x  y y y y  以上两式相减得 1 2 1 2  1 2 1 2 0， a2 b2 y y b2 x x b2 3c 6 所以k  1 2   1 2    ，化简得 ② PQ x x a2 y y a2 b 5 2a2 5bc 1 2 1 2 a2 5  由①②及 ，解得：b4 ，即离心率 5 .  e c2 a2 b2c2  5 故选：C. x2 y2 4．（22-23高三下·湖南·阶段练习）设双曲线E: a2  b2 1a0,b0的右焦点为F,M0,3b，若直线 l 与E右支交于A,B两点，且F 为△MAB的重心，则（ ）  13    A． 的离心率的取值范围为  , 3   3, 3 E   2 13    B． 的离心率的取值范围为  , 3   3, 7 E      2 13 C．直线 斜率的取值范围为 , 6    6,   9 l     2 13 D．直线 斜率的取值范围为 , 6    6,   3 l   【答案】AC 【分析】根据重心性质得出AB中点D的坐标，根据直线l与E的右支交于A,B两点可知点D在右支内部， 将D的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线l的斜率与a,b,c之间等 式关系，由M,F,A,B不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线l的斜率与 a,b,c之间等式关系，即可得斜率的取值范围，解出即可. 3c 3b 【详解】解：设 D 为 AB 的中点，根据重心性质可得 M (cid:9) F 2  F  D (cid:9) ，因为 Fc,0,M0,3b，则D  2 , 2   ， 9c2 9b2 因为直线 与 的右支交于 两点，所以点 在双曲线右支内部，故有 4 4 ，解得c 13 ，  1  l E A,B D a2 b2 a 3 当直线l斜率不存在时，AB的中点D在x轴上，故M,F,D三点不共线，不符合题意舍， 设直线l斜率为k AB ，设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2  ，所以x 1 x 2 3c，y 1 y 2 3b， x2 y2  1  1 1 a2 b2 因为 在双曲线上，所以 ，两式相减可得： ，即 x 2 y 2 x2x 2 y2y 2 2  2 1 1 2  1 2 A,B a2 b2 a2 b2 x x x x  y y y y  3cx x  3by y  bc 1 2 1 2  1 2 1 2 ，即有 1 2  1 2 成立，即有k  ，因为 a2 b2 a2 b2 AB a2 bc 3b 不共线，即k  k  ，即 ，即 ， M,F,A,B AB a2 MF c c2 3a2 e 3 所以 的离心率的取值范围为    13 , 3      3,  ，因为k  bc  b2c2   c2a2 c2 E  3  AB a2 a4 a4 c4a2c2  1 2 1  13    13   a4  e4e2    e2 2    4 ，因为e   3 , 3    3, ，即e2  9 ,3  3,， 所以    e2 1 2    2  1 4     5 8 2 1 ,6    6,，所以k AB     e2 1 2    2  1 4   , 6        6, 2 9 13    . 故选：AC x2 y2 5．（21-22高三·广东广州·模拟）已知椭圆 a2  b2 1(ab0)的右焦点和上顶点分别为点 Fc,0bc 和点A，直线l:6x5y280交椭圆于P，Q两点，若F恰好为△APQ的重心，则椭圆的离心率为 . 5 【答案】 5 b2 x 【分析】设 Px,y ,Qx ,y  ，线段 PQ 的中点为 Bx ,y ，利用点差法可得k PQ  a2  y 0 ，再由 1 1 2 2 0 0 0 3c b (cid:9) (cid:9) 可得x  ,y  ，代入上式即可求解. AF 2FB 0 2 0 2 【详解】由题意可知A0,b,Fc,0bc0 ，设Px,y ,Qx ,y  ，线段PQ的中点为Bx ,y  ， 1 1 2 2 0 0 x2 y2 x 2 y 2 则 ，且 1  1 1， 2  2 1，两式相减得 x 1 x 2 2x 0 ,y 1 y 2 2y 0 a2 b2 a2 b2 x x x x  y y y y  y y b2 x x b2 2x b2 x 1 2 1 2  1 2 1 2 0 k  1 2   1 2   0   0 a2 b2 PQ x x a2 y y a2 2y a2 y 1 2 1 2 0 0x x x x  y y y y  y y b2 x x b2 2x b2 x 1 2 1 2  1 2 1 2 0，所以k  1 2   1 2   0   0 ， a2 b2 PQ x x a2 y y a2 2y a2 y (cid:9) 1 2 (cid:9) 1 2 0 0 因为F恰好为△APQ的重心，所以  A (cid:9) F  2  F (cid:9) B  ，又AF c,b ，FBx 0 c,y 0  ， 3c b 所以c,b2x 0 c,y 0 ，即 c2x 0 2c ， b2y 0 ，解得x 0  2 ,y 0  2 ， 3c b2 2 3bc 6 则k     ，解得 ，两边平方得 ，又 ， PQ a2 b a2 5  2 2a2 5bc 4a4 25b2c2 b2 a2c2 所以4a4 25  a2c2 c2 ，整理得25c425a2c24a4 0，即25e425e240， 1 4 解得e2  或e2  ，因为 ，所以 ，所以 ，即 ， 5 5 bc b2 c2 a2c2 c2 a2 2c2 即e2  1 ，所以e2  1 ，解得e 5 或e 5 （舍去）故答案为： 5 2 5 5 5 5 题型十四：双曲线椭圆共焦点型 椭圆与双曲线共焦点F 、F ，它们的交点 对两公共焦点F 、F 的张角为FPF 2，椭圆与双曲线的 1 2 P 1 2 1 2 sin2 cos2 离心率分别为 、 ，则．  1 e e e2 e2 1 2 1 2 x2 y2 x2 y2 1．（20-21高三·江西·阶段练习）已知椭圆C :  1(ab0)，双曲线C :  1,F,F 为 1 a2 b2 2 b2 a22b2 1 2 C 2 3 的焦点， P 为 C 1 和 C 2 的交点，若 PF 1 F 2 的内切圆的圆心的横坐标为2， C 1 和 C 2 的离心率之积为 2 ，则 a 的 值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】设点P在第一象限内，PF 1 F 2 的内切圆与边PF 1 ,F 1 F 2 ,PF 2 的切点分别为A,B,C，双曲线的焦距为 2c，可得 PF 1  PF 2  BF 1  BF 2 2cc24，结合双曲线的定义，可得 PF 1  PF 2 2b，即可求 3 出 ，由 和 的离心率之积为 ，分别求出两个曲线的离心率的表达式，可建立等式关系，进而可求出 b C C 2 1 2 a的值. 【详解】不妨设点P在第一象限内，PF 1 F 2 的内切圆与边PF 1 ,F 1 F 2 ,PF 2 的切点分别为A,B,C，双曲线的焦 距为2c. 则 PF  PF PA  AF PC  CF PA  BF PA  BF   BF  BF 2cc24， 1 2 1 2 1 2 1 2 因为点 P 在双曲线上，所以 PF 1  PF 2 2b4，则b2，3 b2 a22b2 又因为 和 的离心率之积为 ，而椭圆的离心率e  1 ，双曲线的离心率为e  1 ， C C 2 1 a2 2 b2 1 2 b2 a22b2 4 a28 3 所以ee  1  1  1  1  ，解得 .故选：C. 1 2 a2 b2 a2 4 2 a4 2．（2021·江西·模拟预测）已知椭圆C 与双曲线C 的焦点相同，离心率分别为e ，e ，且满足e  5e ， 1 2 1 2 2 1 F 1 ，F 2 是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若F 1 PF 2 120，则双曲线C 2 的离心率 为（ ） 3 A． B． C．2 D． 2 2 3 2 【答案】C 【分析】设 PF r ， PF r ，利用余弦定理可得2c2 r2r22rrcos120，再分别利用椭圆与双曲 1 1 2 2 1 2 1 2 4b 2 1 3 线的定义可得r 1 r 2 4b 1 2  3 2 ，可得 e 2 + e2 4 ，结合 e  5e ，解方程即可得答案. 2 1 2 1 x2 y2 【详解】设 PF r ， PF r ，在椭圆 C ： a2  b2 1中， 2c2 r2r22rrcos120 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 x2 y2 r 1 r 2 2 r 1 r 2 2a 1 2 r 1 r 2 ， r 1 r 2 4a 1 24c2 4b 1 2 ， 在双曲线 C 2 ： a 2 2  b 2 2 1中， 4b 2 2c2 r 1 2r 2 22r 1 r 2 cos120 r 1 r 2 2 3r 1 r 2 2a 2 2 3r 1 r 2 3r 1 r 2 4c24a 2 2 4b 2 2 r 1 r 2  3 2 ， 4 a2 3a2 1 3  3 b 2 2 4b 1 2即 b 2 2 3b 1 2 ，则 a 2 2c2 3  c2a 1 2所以a 2 23a 1 2 4c2  c 2 2  c2 1 4 e 2 2 + e 1 2 4， 1 15 + 4 又因为 ，所以 ，解得 ，故选：C. e  5e e 2 e 2 e 2 2 1 2 2 2 x2 y2 x2 y2 3．（22-23高三·河南许昌·模拟）已知椭圆C :  1a b 0 与双曲线C :  1a b 0 有 1 a2 b2 1 1 2 a2 b2 2 2 1 1 2 2 相同的焦点F 1 、F 2 ，椭圆C 1 的离心率为e 1 ，双曲线C 2 的离心率为e 2 ，点P为椭圆C 1 与双曲线C 2 的交点，  1 3 且FPF  ，则  的值为（ ） 1 2 3 e2 e2 1 2 A． 3 B．2 3 C．1 3 D．4 【答案】D 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理即可求解. 【详解】不妨设 在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得： PF  PF 2a, PF  PF 2a ，所以 P 1 2 1 1 2 2 PF a a , PF a a ， 1 1 2 2 1 2π a a 2a a 24c2 在 中，由余弦定理可得cos  1 2 1 2 ， PFF 3 2a a a a  1 2 1 2 1 2 a2 3a2 1 3 化简得 a23a2 4c2 ，所以 c 1 2  c2 2 4，即 e2  e2 =4 ，故选：D 1 2 1 2 x2 y2 4．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）已知 ， 是椭圆C :  1(a b 0)与 F(c,0) F (c,0)(c0) 1 a2 b2 1 1 1 2 1 1 x2 y2 双曲线C :  1(a 0,b 0)共同的焦点， ， 分别是 ， 的离心率，点M是它们的一个交点， 2 a 2 b 2 2 2 e e C C 2 2 1 2 1 2 则以下判断正确的有（ ） A． △FMF 面积为bb 1 2 1 2  B．若 FMF  ，则e 1 (sin 2 ,1) 1 2 2π 1  C．若F 1 MF 2  3 ，则 ee 的取值范围为 2 ,   1 2 2π D．若F 1 MF 2  3 ，则 e2+e2的取值范围为 (2,) 1 2 【答案】ABD 【分析】设 MF m， MF n，FMF ， FF 2c，不妨设M在第一象限．mn2a ， 1 2 1 2 1 2 1 mn2a ，ma a ，na a ，c2 a2b2 a2b2． 2 1 2 1 2 1 1 2 2 mna2a2 b2b2 .根据余弦定理、同角三角平方关系和三角形面积公式可判断A；根据不同的条件结合 1 2 1 2 余弦定理和离心率公式计算判断其余选项； 【详解】设 MF m， MF n，FMF ， FF 2c，不妨设M在第一象限． 1 2 1 2 1 2 ∴mn2a ，mn2a ，∴ma a ，na a ，c2 a2b2 a2b2． 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 mna2a2 b2b2 . 1 2 1 2 MF 2 MF 2 FF 2 m2n24c2 b2b2 对于A，在 中，由余弦定理可得cos 1 2 1 2   1 2 ， △FMF 2 MF MF 2mn b2b2 1 2 1 2 1 2 b2b2 2bb sin 1cos2 1( 1 2)2  1 2 ， b2b2 b2b2 1 2 1 2 1 1 2bb S  MF MF sin (b2b2) 1 2 bb 2 1 2 2 1 2 b2b2 1 2，A正确． 1 2 对于B，在△FMF 中，由余弦定理可得 FF 2  MF 2 MF 22 MF MF cos， 1 2 1 2 1 2 1 2 即4c2 m2n22mncos(mn)2 2mn2mncos4a2 2mncos， 1 2a22c2 2b2 mn ∴mn 1  1 ( )2 a2． 1cos 1cos 2 1 2b2 2(a2c2)  ∴ 1  1 1 22e2 1cos2cos2 a2 a2 1 2 1 1    ∴e2 1cos2 sin2 ，∴e (sin ,1)．B正确； 1 2 2 1 2 2π 2π 对于C，当 时，4c2 m2n22mncos (a a )2(a a )2(a a )(a a ) 3 3 1 2 1 2 1 2 1 23 1 1 3 即 ，所以  4，所以 4 ．∵ ， 2a2 a2 4c2 e2 e2 e2 e2 e2(1,) 1 2 1 2 2 1 2 1 4 1 1 1 1 3 2 4 ∴ (1, )．设t  ，∴   (4 )3t24t3(t )2 (0,1)， e2 3 e2 e2 e2 e2 e2 3 3 1 1 1 2 1 1 所以ee (1,)．C错误； 1 2 1 3 1 1 e2 3e2 e2 对于D，e2e2  (e2e2)(  )1 ( 1  2)，记u 2 1， 1 2 4 1 2 e2 e2 4 e2 e2 e2 1 2 2 1 1 1 1 1 ∴e 1 2e2 2 1 4 ( u 3u)1 4 (13)2，即 e2e2(2,) ．D正确； 1 2 故选：ABD. 5．（24-25高三上·全国·单元测试）已知椭圆C 和双曲线C 有相同的焦点F ，F ，离心率分别为 1 2 1 2  6  6 2 e 1 ,e 2   e 1  6 ,e 2 1  ，若 P 是两条曲线的一个交点，且cosF 1 PF 2  2 3 ，则 6e 1 21  6e 2 25 的最小值为 ． 4 15 4 【答案】 / 15 5 5 【分析】利用双曲线、椭圆定义以及离心率公式，在焦点三角形中利用余弦定理可得e,e 的关系，进一步 1 2 结合基本不等式即可求解. x2 y2 x2 y2 【详解】不妨设椭圆方程为  1(ab0)，双曲线的方程为  1(m0,n0), FF 2c， a2 b2 m2 n2 1 2 设 是两条曲线在第一象限内的一个交点，则有 PF  PF 2a， PF  PF 2m， P 1 2 1 2 所以 PF am, PF am．则在FPF 中，由余弦定理知 1 2 1 2 PF 2 PF 2 FF 2 (am)2(am)24c2 a2m22c2 2 cosFPF  1 2 1 2    ， 1 2 2 PF  PF 2amam a2 m2 3 1 2  2  2 1 5  1 5 5 整理得  1 3   a2  1 3   m2 2c2, 3e2  3e2 2．所以  2e 1 2 3     3e 2 2 2    6 ， 1 2  5  5 23e2  23e2  则 2   2 2  1  4 15 ，当且仅当  2 2  1 e 1，即 6e2 6 1  6e 2 25 5 6 3e 2 2 5 2 5 5 6 3e 2 2 5 2 2 1 时等号成立． 故答案为： . 15 15 4 15 e2  e 1 2 18 2 5题型十五：离心率“小题大做”型 关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率有关问题的思路有： （1）设出点的坐标Ax ,y ,Bx ,y  ； 1 1 2 2 （2）根据中点坐标建立等式：x x ，y y ； 1 2 1 2 （3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形； y y k  1 2 （4）将 ， 及 代入等式中即可得出关系. x x y y x x 1 2 1 2 1 2 x2 y2 1．（2024·江西新余·二模）如图，已知 为双曲线E:  1(a0,b0)上一动点，过 作双曲线 M a2 b2 M E 的切线交x轴于点A，过点A作ADOM 于点D，OD OM 2b2 ，则双曲线E的离心率为（ ） 6 5 A． B． C． D． 2 2 3 2 【答案】B a2  m n 【分析】由 与双曲线相切，可得l : x y1，即可得A ,0，作 轴于点 ，结合相似 MA MA a2 b2  m  MBx B 三角形的性质可得OD OM  OAOB ，计算即可得OD OM 的值，从而求出离心率. 【详解】设 Mm,n ，则l MA : a m 2 x b n 2 y1，令 y0 ，则x a m 2 ，故A    a m 2 ,0    ， 过点M 作MBx轴于点 B ，则Bm,0 ，由ADOM ，MBx轴，故△OAD与△OMB相似， OD OA a2 故  ，及 ，即OD OM  OAOB  ma2. OB OM OD OM  OAOB m c 6 又 OD OM 2b2，所以 2b2 a2 ，所以 a2 2  c2a2，即 2c2 =3a2 ，则e= a = 2 ． x2 y2 x x y y 其中双曲线 a2  b2 1上一点x 0 ,y 0 的切线方程 a 0 2  b 0 2 1，证明如下： 不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）． b2 x a2 y 由 ，得 ，所以 ，则在 的切线斜率 x2 y2 b2 b2 a2  b2 1 y a2 x2b2 a2 x2b2 x 0 ,y 0  b2 x a2 0 b2x y|   0 xx0 b2 a2y ， x2b2 0 a2 0 b2x x2 y2 所以在点 x 0 ,y 0  处的切线方程为：yy 0  a2y 0 0 (xx 0 )，又有 a 0 2  b 0 2 1，化简即可得切线方程为：．故选：B. x x y y 0  0 1 a2 b2 x2 y2 2．（2021·全国·模拟预测）已知椭圆 ：  1( )的短轴长为4，上顶点为 ， 为坐标原点， C a2 b2 ab0 B O x2 y2 点 D 为 OB 的中点，双曲线 E ： m2  n2 1( m0 ， n0 )的左､右焦点分别与椭圆 C 的左､右顶点 A 1 ， A 2 4 重合，点 是双曲线 与椭圆 在第一象限的交点，且 ， ， 三点共线，直线 的斜率k  ， P E C A 1 P D PA 2 PA2 3 则双曲线E的离心率为（ ） 3 5 3 8 1010 54 10 A． B． C． D． 5 2 5 9 【答案】D 1 【分析】由椭圆 的短轴长为4得 的坐标， 的坐标k  C B D PA1 a 4 4 设 的中点为 连接得k k  ，k =k  ， 直线 的方程得 的坐标， 的坐标， A 1 P M PA1 OM a2 PA2 OM 3 a3 A 1 P M P 6 54 10 e  求出双曲线 的实轴长，解得双曲线 的离心率 8 10 9 . 2 E E 5 x2 y2 【详解】因为椭圆 C ： a2  b2 1( ab0 )的短轴长为4，所以B0,2， D0,1. 4 4 1 设 的中点为 ，连接 ，则k k  ，而k =k  ，k  ， A 1 P M OM PA1 OM a2 PA2 OM 3 PA1 a 1  4 4 1 所以   ，得 ，所以直线 的方程为y x1， a  3 a2 a3 A 1 P 3  1  3 y x1, x ,    3  5 与直线 的方程 联立，得 解得 所以 的坐标为 ， 的坐标为 y 4 x y 4 x, y 4 ,   3 , 4  OM 3  3  5 M  5 5 P 9 8  , ， 5 5 x2 y2 又双曲线 E ： m2  n2 1 m0,n0 的左､右焦点分别为 A 1 3,0， A 2 3,0， 所以根据双曲线的定义， 9  2 8 2 9  2 8 2 8 10 得双曲线的实轴长2m  3     3    2， 5  5 5  5 5 6 54 10 e  所以双曲线 的离心率 8 10 9 ，故选：D 2 E 5 x2 y2 3．（19-20高三下·河北衡水·阶段练习）已知椭圆:  1(ab0)内有一定点 ，过点P的两条直 a2 b2 P(1,1)(cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) 线l 1 ，l 2 分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足APPC，BPPD，若变化时，直线CD的 1 斜率总为 ，则椭圆 的离心率为 4  3 1 2 5 A． B． C． D． 2 2 2 5 【答案】A 【分析】设出A,B,C,D四点的坐标，将A,B两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将C,D两点坐标代入椭 1 b2 圆方程并化简，根据k k  化简上述两个式子，由此求得 的值，进而求得椭圆离心率. AB CD 4 a2 x x 1 1 3 【详解】设 因为 ，且uuur uuur，所以 ，同 Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ,Cx 3 ,y 3 ,Dx 4 ,y 4 , P1,1 APPC y 1 y 3 1 x x 1 2 4 理 y y 1 .将 A,B 两点坐标代入椭圆方程并化简得 b2x x x x a2y y y y 0 ，即 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2 uuur uuur uur uuur b2x 1 x 2 a2y 1 y 2 k AB 0，同理b2x 3 x 4 a2y 3 y 4 k CD 0，由于APPC，BPPD，所以   1   1   b2x 1 x 2 a2y 1 y 2    4   0   b2x 1 x 2 a2y 1 y 2    4 0 ，即 ，即 ，两式相 k AB k CD  1 4    b2x 3 x 4 a2y 3 y 4      1 4    0    b2x 3 x 4 a2y 3 y 4      1 4    0 a2 a2 b2 1 加得b2x x x x  y y y y 0，即b222 220，所以  ，所以 1 3 2 4 4 1 3 2 4 4 a2 4 ，故选A. b 2 3 3 e 1    a 4 2 4．（23-24高三·辽宁本溪·模拟）已知椭圆 ： x2  y2 1（ ）过点    3, 3  ，直线 ： C a2 b2 ab0  2  l 1 3 y xm与椭圆 交于 ， 两点，且线段 的中点为 ， 为坐标原点，直线 的斜率为 ， 2 C M N MN P O OP 2 则下列结论正确的是（ ） 1 A． 的离心率为 C 2 x2 B． 的方程为 y2 1 C 12 3 5 C．若 ，则 MN  m1 2 1 D．若m ，则椭圆 上存在 ， 两点，使得 ， 关于直线 对称 2 C E F E F l 【答案】AC 3 1 【分析】利用点差法确定 ， 关系b2  a2，结合 ，有c2  a2求得离心率；根据椭圆过定 a2 b2 4 a2 b2c2 4点确定椭圆标准方程；由弦长公式求弦长；假设椭圆C上存在E，F 两点并设其中点坐标Qx 0 ,y 0  利用点  3 2   差法确定  3，验证42  2 ，所以点 在椭圆 外，这与 是弦 的中点矛盾，所以椭圆 Q4,   1  2 4 3 Q C Q EF C上不存在E，F 两点，使得E，F 关于直线l对称. x x y y  y y 3 【详解】设 Mx 1 ,y 1 ， Nx 2 ,y 2 ，则P  1 2 2 , 1 2 2   ，即k OP  x 1 1 x 2 2  2 ， x2 y2 x2 y2 因为 ， 在椭圆 上，所以 1  1 1， 2  1 1，两式相减， M N C a2 b2 a2 b2 得 x 1 x 2 a  2 x 1 x 2   y 1 y 2 b  2 y 1 y 2  0，即 a 1 2  b  2 y  1 x  1  y 2 x  2   y  1 x 1   y x 2 2   0， y y 1 1 3 3 又k  1 2  ，所以  0，即b2  a2，又 ， MN x x 2 a2 4b2 4 a2 b2c2 1 2 1 c 1 所以c2  a2 ，离心率e  ，故A正确； 4 a 2  3 3 3 因为椭圆 过点  3,   ，所以  1，解得 ， ， C  2  a2 4b2 a2 4 b2 3 x2 y2 所以椭圆 的标准方程为  1，故B错误； C 4 3  1 y x1,   2 若 ，则直线 的方程为 ，由 得 ，所以 ， ， 1  x2 y2 y x1  1, m1 l 2  4 3 x2x20 x 1 x 2 1 2  1 2 3 5 MN  1  21  ，故C正确；  2 2 1 1 1 若m ，则直线 的方程为y  x .假设椭圆 上存在 ， 两点，使得 ， 关于直线 对称，设 2 l 2 2 C E F E F l Ex 3 ,y 3  ，Fx 4 ,y 4  ，EF的中点为Qx 0 ,y 0  ，所以x 3 x 4 2x 0 ，y 3 y 4 2y 0 .因为E，F 关于直线l对 1 1 x2 y2 x2 y2 称，所以 且点 在直线 上，即y  x  .又 ， 在椭圆 上，所以 3  3 1， 4  4 1. k EF 2 Q l 0 2 0 2 E F C 4 3 4 3 两式相减.得 x 3 x 4 x 3 x 4   y 3 y 4 y 3 y 4  0，即 x 3 x 4  y 3 y 4 y 3 y 4  0，所以 4 3x x  4 3 3 4  1 1 y  x  , y 3 y 4  3x 3 8 x 4  ，即 y 0  8 3 x 0 ，联立      0 y 0  2  8 3 0 x 0 , 2 解得      y x 0 0    4 3 2 , . 即 Q    4, 3 2    .又 4 4 2      3 3 2    2 1 ， 所以点Q在椭圆C外，这与Q是弦EF的中点矛盾，所以椭圆C上不存在E，F 两点，使得E，F 关于直 线l对称，故D错误. 故选：AC x2 y2 5．（2024·山东聊城·三模）已知双曲线C:  1(ba0)的一个焦点为 为坐标原点，点 在 a2 b2 F,O A,B (cid:9) (cid:9) (cid:9) (cid:9) (cid:9) 双曲线上运动，以A,B为直径的圆过点 O ，且OAOB OF  OA OB 恒成立，则 C 的离心率的取值范围为 ． 1 5 【答案】  2,  / 2 e 1 5 2   2 【分析】先根据题意得到OAOB，即xx y y 0，再联立直线方程和双曲线方程利用韦达定理化简得 1 2 1 2 m2 a2b2 到  ，再结合等面积法和向量运算，即可求解离心率. k21 b2a2 【详解】设A(x ,y ),B(x ,y )，直线AB: ykxm， 1 1 2 2 (cid:9) (cid:9) 因为以A,B为直径的圆过点O，所以OAOB，即OAOB xx y y 0， 1 2 1 2 ykxm  联立x2 y2 ，整理得 ，  a2  b2 1  b2a2k2 x22kma2xa2m2a2b2 0 2kma2 a2 m2b2 且 Δ4k2m2a44  b2a2k2 a2m2a2b2 0 ，x 1 x 2  b2a2k2 ，x 1 x 2  b2a2k2 ， m2b2a2b2k2 则y y kx mkx mk2xx kmx x m2  ， 1 2 1 2 1 1 1 2 b2a2k2 a2 m2b2 m2b2a2b2k2 m2 a2b2 所以xx y y   0整理得  ， 1 2 1 2 b2a2k2 b2a2k2 k21 b2a2 |m| ab 即由O(0,0)到直线 : 的距离 d   ， AB ykxm 1k2 b2a2 又S  1 |O (cid:9) A  ||O (cid:9) B  | 1 |  A (cid:9) B  |d ，即 (cid:9) (cid:9) (cid:9) ，而O (cid:9) A  O (cid:9) B  O (cid:9) F    A (cid:9) B  c， ABC 2 2 |OA||OB||AB|d (cid:9) (cid:9) (cid:9) (cid:9) (cid:9) ab 1 5 因为OAOB OF  OA OB ，即c ，所以e43e2101e ， b2a2 2  1 5 又 ，所以 2e 1 5 .故答案为：  2,  2 ba 2e 2  