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专题 2.1 动点问题
1．如图，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ．将一直角三角板
的直角顶点放在点 处 ，一边 在射线 上，另一边 在直线 的
下方．
（1）将图1中的三角板绕点 逆时针旋转至图2，使一边 在 的内部，且恰好平
分 ．则 3 5 ．
（2）将图1中的三角板绕点 以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，
第 秒时，直线 恰好平分锐角 ，则 的值为多少？
【解答】解：（1）如图2， 平分 ，
，
又
，
，
；
故答案为：35；
（2） ，
，
当直线 恰好平分锐角 时， ，， ，
即逆时针旋转的角度为 ，
由题意得， ， ．
当 平分 时， ，
，
即逆时针旋转的角度为： ，
由题意得， ， ．
综上所述， 或 ．
2．如图1，已知 ， 的余角比它的补角的 少 ．
（1）求 的度数；
（2）如图1，当射线 从 处绕点 以4度 秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保
持射线 始终在 的内部，当 时，求旋转时间．（3）如图2，若射线 为 的平分线，当射线 从 处绕点 以4度 秒的速度
逆时针旋转，同时射线 从射线 处以 度 秒的速度绕点 顺时针旋转，当这两条射
线重合于射线 处 在 的内部）时， ，求 的值．（注：
本题中所涉及的角都是小于 的角）
【解答】解：（1）根据题意可知， ，
解得 ；
（2）设旋转时间为 秒，
根据射线的运动可知， ，
当 到达 前， ，
，解得 ；
当 到达 后， ，
，解得 ；
当 时，旋转时间为2.5秒或7.5秒．
（3） ， 平分 ，
，
，
设相遇时，旋转的时间为 秒，
根据射线的运动可知， ， ，
，
，
，
，
，
，即 ，
解得 ，即 ，
，解得 ．
3．如图①，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，将一直角三角
板的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方．（1）将图①中的三角板绕点 逆时针方向旋转至图②，使一边 在 的内部，恰
好平分 ，问：直线 是否平分 ？请说明理由；
（2）将图中的三角板绕点 逆时针方向旋转 ，旋转一周为止，在旋转的过程中，直线
恰好平分 ，则 的值为 6 0 或 24 0 ；
（3）将图①中的三角板绕点 按顺时针方向旋转至图③的位置，使 在 的内部，
则 与 之间的数量关系为 ．
【解答】解：（1）直线 平分 ．
理由如下：
设 的反向延长线为 ，
平分 ， ，
，
又 ，
，
，
，
平分 ，
即直线 平分 ，
（2） ，
．
．
即旋转 或 时直线 平分 ．
故答案为：60或240；
（3） 的差不变．， ，
、 ．
．
．
故答案为： ．
4．一副直角三角板按如图1所示的方式放置在直线 上，已知 ， ，点
以每秒2个单位长度的速度沿 的路线运动；同时，三角板 （含 绕点
顺时针旋转，速度为每秒 ，当点 运动至点 时，全部停止运动，设运动时间为 秒
图2是运动过程中某时刻的图形．
（1）当点 到达点 时， 转动了 24 0 ．
（2）当 时，若 与 互为余角，则 ．
（3）在运动过程中，当 时，使得 、 、 三条射线中，其中一条是另外两
条射线夹角（小于 的角平分线．
（4）当 的面积大于 面积的一半，且 的边所在直线与直线 的夹角为
90度时，直接写出：所有满足条件的 的取值之和为 ．
【解答】解：（1）当点 到达点 时，所用时间 ，
此时 ，
故答案为：240；
（2）当 时，点 在 上，
由题意可知 ， ，
若 与 互为余角，则 ，
，故答案为：10；
（3）根据题意可知， ，
若 、 、 三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于 的角平分线，
需要分三种情况：
①当射线 是 的平分线时，如图1，
此时 ，
，
此时 ；
②当射线 是 的平分线时，如图2，
此时 ，
，
；
③当射线 是 的平分线时，如图3，
此时 ，
，
，
故答案为：20或42.5或65．
（4）当 的面积大于 面积的一半时，点 在与 平行的 的中位线上方
即可，此时 的取值范围为： ，
即 ，
，
根据题意可知，若 的边所在直线与直线 的夹角为90度，需要分以下三种情况：①边 时，如图4，
此时 ，
；
②边 时，如图5，
此时，射线 旋转的角度为： ，
；
③边 时，如图6，
此时，旋转角度为： ，
，
，
故答案为：195．
5．如图①，把直角三角形 的直角顶点 放在直线 上，射线 平分 ．
（1）若 ，求 的度数．
（2）若 ，则 的度数为 ．（用含 的代数式表示）
（3）由（1）和（2）可得， 和 之间的数量关系是 ．
（4）若将直角三角形 绕点 旋转到如图②所示的位置，其他条件不变，请问
和 之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．【解答】（1） ，
．
平分 ， ．
，
．
（2）如图1， ， ，
，
又 平分 ，
，
，
故答案为： ；
（3）由（1）和（2）可得： ；
（4） 和 之间的数量关系不发生变化，
理由： ，
．
平分 ，
．
，
．
和 之间的数量关系不发生变化．
6．如图1，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，将一直角三角
板的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方．
（1）将图1中的三角板绕点 逆时针旋转至图2，使一边 在 的内部，且恰好平
分 ，问：直线 是否平分 ？请直接写出结论：直线 平分 （平分或
不平分） ．
（2）将图1中的三角板绕点 按每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，
第 秒时，直线 恰好平分锐角 ，则 的值为 ．（直接写出结果）
（3）将图1中的三角板绕点 顺时针旋转，请探究，当 始终在 的内部时（如图， 与 的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说
明．
【解答】解：（1）直线 平分 ．
理由如下：
设 的反向延长线为 ，
平分 ， ，
，
又 ，
，
，
，
平分 ，
即直线 平分 ，
故答案为：平分；
（2） ，
．
．
即旋转 或 时直线 平分 ．
由题意得， 或240．
解得： 或40，
故答案为：10或40；
（3） 的差不变．
， ，、 ．
．
与 的差不变，这个差值是 ．
7．如图1，点 为直线 上点，过点 作射线 ，使 ．现将一直角三角板
的直角顶点放在点 处，一边 与射线 重合，如图2．
（1） ；
（2）如图3，将三角板 绕点 逆时针旋转一定角度，此时 是 的角平分线，
求 的度数；
（3）将三角板 绕点 逆时针旋转，在 与 重合前，是否有某个时刻满足
，求此时 的度数．
【解答】解：（1） ， ，
，
故答案为： ；
（2）设 ，
，
，
，
是 的角平分线，
，
，
，
；（3）设 ，则 ，
当 在射线 的右边，
，
，
，
，
，
，
．
当 在射线 的左边，
同理可得
8．点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，将一直角三角板的直角
顶点放在点 处．
（1）如图1，将三角板 的一边 与射线 重合时，求 的度数；
（2）如图2，将三角板 绕点 逆时针旋转一定角度，此时 是 的角平分线，
求旋转角 的度数， 的度数；
（3）将三角板 绕点 逆时针旋转至图3时， ，求 ．
【解答】解：（1） ， ，
；
（2） ， 是 的角平分线，
，
，
，
即 ， ；（3） ， ，
，
点 为直线 上一点，
，
，
．
9．如图1，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，将一直角三
角板的直角顶点放在点 处，边 在射线 上，另一边 在直线 的下方．
（1）将图1中的三角板绕点 按逆时针方向旋转 至图2的位置，此时 7 5
；
（2）将图1中的三角板绕点 按逆时针方向旋转至图3的位置，使得 在 的内部．
试探究 与 之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转一周的过程中，若三角板绕点 按 每秒的速
度旋转，当直角三角板的直角边 所在直线恰好平分 时，求此时三角板绕点 的
运动时间 的值．
【解答】解：（1） ， ，
， ，
由旋转可知 ，
恰好平分 ，
．
故答案为：75．
（2）由（1）得 ，
，， ，
，
与 之间的数量关系为： ．
（3）由（1）得 ，
①如左图，延长 ，
当直线 恰好平分锐角 ，
，
即逆时针旋转 时 延长线平分 ，
由题意得， ，
；
如右图，当 平分 ，
，
即逆时针旋转 时 平分 ，
，
，
三角板绕点 的运动时间为12秒或48秒．
10． 与它的补角的差正好等于 的一半
（1）求 的度数；
（2）如图 1，过点 作射线 ，使 ， 是 的平分线，求
的度数；
（3）如图 2，射线 与 重合，射线 在 外部，且 ，现将
绕 顺时针旋转 ， ，若在此过程中， 平分 ， 平分，试问 的值是定值吗？若是，请求出来，若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）设 ，依题意得：
答： 的度数是
（2）①当 在 的内部时，
设 ，则 ，
， ，
， ，
平分 ，
，
，
②当 在 外部时，同理可求 ，
的度数为 或 ；
（3） 绕 顺时针旋转 ，
平分 ，
平分 ，
，，
，
，
．
11．已知 、 ，射线 平分
（1）如图1，已知 、 ，若 ，则 2 0 度；
（2） 、 的位置如图2所示，已知 ，求 的值；
（3）如图3，射线 、 在直线 的右侧按顺时针方向分布，已知 ，
为 的三等分线且靠近射线 ，设 ，将 绕点 顺时针旋转，
满足 且 ，若 ，求 （可用 表示）
【解答】解：（1） ， ，
，
射线 平分 ，
，
，
，
故答案为：20；
（2） ，
设 ， ，则 ，， ，
射线 平分 ，
，
，
；
（3）①当 在 外时，
由题意可知： ， ，此时 ，
当 在 下方时，此时 ；
当 在 上方时，此时 ．
②当 在 内时， ，时
当 在 下方时，此时 ；
当 在 上方时，此时 ．
综上所述， 的度数为： 或 或
12．综合应用题：
如图 1，直线 上有一点 ，过点 在直线 上方作射线 ，将一直角三角板
的直角顶点放在点 处，一条直角边 在射线 上，另一边 在直
线 上方，将直角三角板绕着点 按每秒 的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为 秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时． 恰好平分 ，此时， 与
之间的数量关系是 ．
（2）若射线 的位置保持不变，且 ．
．在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线 ， ， 中的某一条射线是另两
条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的 的取值，若不存在，请说明
理由；
．在旋转的过程中，当边 与射线 相交时（如图 ，求 的值．【解答】解：（1） ．
理由如下：
，
， ，
平分 ，
，
，
故答案为： ；
（2） ．存在．
理由：当 平分 时， ，即 ，解得 ；
当 平分 时， ，即 ，解得 ；
当 平分 时， ，即 ，解得： ；
综上所述， 的值为2、8、32；
． ， ，
，
的值为 ．
13．如图，已知直线 射线 ， ， 是射线 上一动点，过点 作
交射线 于点 ，连接 ，作 ，交直线 于点 ， 平分
，交直线 于点 ．
（1）若点 ， ， 都在点 的右侧，求 的度数；
（2）在（1）的条件下，若 ，求 的度数；（3）在点 的运动过程中，是否存在这样的情形，使 ？若存在，求出
的度数；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） ， ，
，
， 平分 ，
；
（2） ，
， ，
，
又 ，
， ，
平分 ，
， ，
，
，
；（3）设 ， ，则 ，
①当点 、 在点 的右侧时，
则 ，
，
，
解得 ，
；
②当点 、 在点 的左侧时，
则 ，
， ，
，
解得 ，
，
，
．
综上所述：在点 的运动过程中，存在 ， 度数为 或 ．
14．已知：直线 ， 为直线 上的一个定点，过点 的直线交 于点 ，点 在线段 的延长线上． ， 为直线 上的两个动点，点 在点 的左侧，连接 ， ，
满足 ．点 在 上，且在点 的左侧，点 在直线 上．
（1）如图1，若 ， ，直接写出 的度数 ；
（2）射线 为 的角平分线．
①如图2，当点 在点 右侧时，用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
②当点 与点 不重合，且 时，直接写出 的度数 ．
【解答】解：（1）如图所示：
，
， ，
， ，，
故答案为： ；
（2）① ，
证明： ，
， ，
又 平分 ，
，
，
，
．
即 ；
②Ⅰ、如图所示：
点 在点 右侧，此时有 ，
，
，
又 ，
，
；
Ⅱ如图所示，点 在点 左侧，点 在点 右侧，平分 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
；
Ⅲ如图， 、 均在 点左侧，此时， ， ，
．
综上所述： 或 ．
故答案为： 或 ．
15．如图，已知 ， ，点 是射线 上一动点（与点 不重合），
、 分别平分 和 ，分别交射线 于点 ， ．
（1）① 的度数是 12 2 度；
② ， ．
（2）求 的度数．
（3）当点 运动时， 与 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请
写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（4）当点 运动到使 时， 的度数是 ．（直接写出结果）
【解答】解：（1）① ， ，
，
；
② ，
；
（2） ，，
，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
；
（3）不变， ．
，
， ，
平分 ，
，
；
（4） ，
，
当 时，则有 ，
，
，
由（1）可知 ， ，
，
．
故答案为：122， ； ．
