文档内容
专题15 点坐标规律探究
1．如图，每个小方格边长为 1，已知点 ， ， ， ， ，
， ， ，
（1）将图中的平面直角坐标系补画完整；
（2）按此规律，请直接写出点的坐标： ， ；
（3）按此规律，则点 的坐标为 ．
【解答】解：（1）补画的平面直角坐标系如图所示，
（2）根据图示坐标系各象限横纵坐标符号特点知 ， ，
（3）观察图形发现，下标为 的点落在第一象限的对角线上，， ， ， ，
．
，
顶点 的坐标为 ．
故答案为： ．
2．小明设计了如下一个小程序，用户运行此程序时，先在第一象限内任取一个点 ，程序就会在
该点的右上方按逆时针方向画一个长方形 （包含可能出现正方形的情况），且水平边
的长等于这一点的横坐标，竖直边 的长等于这一点的纵坐标，称此长方形为“程序长方形”．
（1）图1所示的五个长方形，记为图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，其中程序长方形是 Ⅲ和 ，
程序长方形最初所取点 的坐标为 ．
（2）如图2，小明在第一象限画了10个整点（即横、纵坐标都为整数的点） ， ， ， ，
，程序相应地可画出10个长方形．
实验探究：
①在射线 上任取一点（不同于点 ，则该点所对应的程序长方形的水平边与竖直边的长度之
比等于 ．
②在直线 位于第一象限的部分上任意取几个点，写出这些点所对应的程序长方形的一条共同特
征；
③记点Ⅰ所对应的程序长方形的面积为 ．若要画一个整点 ，使它对应的程序长方形的面积小
于 且周长尽可能大，直接写出点 的坐标．【解答】解：（1）由图可知，将五个长方形左下角坐标开始依次逆时针代入题设条件得，满足条
件的程序长方形是Ⅲ和 ．
左下角的点即为最初所取点，即分别为 与 ，
故答案为：Ⅲ和 ； 与 ．
（2）①由图可知 ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入解析式得： ．
射线 的解析式为： ．
由题设可知，设所取点坐标为 ，
则 ， ，
水平边长度为： ，竖直边长度为： ．
水平边与竖直边的长度之比： ．
故答案为： ．②这些点所对应的程序长方形的一条共同特征是水平边与竖直边的长度之和为14，
由图可知， ， ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 ，
，解得 ，
直线 的解析式为： ．
设所取点坐标为 ，
则 ， ， ，
水平边长度为 ，竖直边长度为 ．
这些点所对应的程序长方形的一条共同特征是水平边与竖直边的长度之和为： ．
③ 点坐标 或 ，理由如下：
由程序长方形四个点的坐标可知：它的面积等于 ，
，则 ，
小于6的正整数为5，4，3，2，1，
若要画一个整点 ，使它对应的程序长方形的面积小于 且周长尽可能大，
点坐标 或 ．
3．在平面直角坐标系中，点 从原点 出发，沿 轴正方向按折线不断向前运动，其移动路线如
图所示．这时点 ， ， ， 的坐标分别为 ， ， ， ， 按照这
个规律解决下列问题：
（1）写出点 ， ， ， 的坐标；（2）点 和点 的位置分别在 轴上 ， ．（填 轴上方、 轴下方或 轴上）
【解答】解：（1）根据题意可知， ， ， ， ， ， ，
， ；
（2）根据图象可得移动6次图象完成一个循环，
， ，
则点 的纵坐标是0，点 的纵坐标是 ，
点 在 轴上， 在 轴下方．
故答案为： 轴上， 轴下方．
4．综合与实践：
（1）动手探索在平面直角坐标系内，已知点 ， ， ， ，连接 ，
， ， ， ，并依次取 ， ， ， ， 的中点 ， ， ， ， ，分
别写出 ， ， ， 的坐标；
（2）观察归纳以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：
若线段 两端点坐标分别为 ， 、 ， ，线段 的中点是 ， ，请用等式表
示你所观察的规律 ，并用 ， 的坐标验证规律是否正确 （填“是”或
“否” ；
（3）实践运用利用上面探索得到的规律解决问题：①若点 ，点 ，则线段 的中点 的坐标为 ；
②已知点 是线段 的中点，且点 ， ，求点 的坐标．
【解答】解：（1）根据图形可以直接读取各点坐标， ， ， ， ，
，
， ， ， 的坐标分别为： ， ， ， ；
（2）根据各点坐标可以发现，线段中点坐标的纵坐标值为线段两端点纵坐标和的一半，线段中点
坐标的横坐标值为线段两端点横坐标和的一半，
， 、 ， ，线段 的中点是 ， ，
，
， ， ， ， ， 、 分别为线段 、 的中点，检验得， ， ，
通过 ， 的坐标验证规律是正确的，
故答案为： ，是；
（3）① 点 ，点 ，
根据（2）中发现的规律，线段 的中点 的坐标为 ， ， ，
故答案为： ；
②设点 的坐标为 ，
点 是线段 的中点，且点 ， ，
，
，
点 的坐标为 ．
5．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 、点 的坐标为 、点 的坐标为 、
，过点 、 、 、 别作 轴垂线，交直线 于点 、 、 、 ，△ 覆盖的整
点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为 ，面积的值记为 ；△ 覆盖的整点的个数记
为 ，面积的值记为 ；△ 覆盖的整点的个数记为 ，面积的值记为 ；
（1）由题意可知： 、 ； 、 ； 、 ；则 4 、；
（2） ；
（3） 的值是否会等于2022？若能，请求出 的值，若不能，请说明理由．
【注：连续 个正整数和的计算公式： 】
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 、 ； 、 ；
、 ，
可以发现规律， ， ，
， ，
故答案为：4，8；
（2）根据规律可知， ， ，
，
故答案为： ；
（3） ，
，
，不是整数，
的值不会等于2022．
6．在平面直角坐标系中， 蚂蚁从原点 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，
每次移动1个单位．其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标： 2 ， ， ， ；
（2）写出点 的坐标 是正整数） ， ；
（3）求出 的坐标．
【解答】解：观察图形可知， 0， ， 1， ， 1， ， 2， ， 2， ，
3， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
（1）根据题意，可直接读出 2， ， 4， ，
故答案为：2，0，4，0；
（2）根据点的坐标规律可知， ， ，
故答案为： ，0；
（3） ，
1011， ．
7．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与 轴或 轴平行，从内到外，它们的边长依
次为2、4、6、8、 ，顶点依次用 、 、 、 、 表示．
（1）请直接写出 、 、 、 的坐标；（2）根据规律，求出 的坐标．
【解答】解：（1） ， ， ， ；
（2）观察发现： ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，
， ， ， ， 为自然数），
，
．
8．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移
动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标： ， ， ．
（2）写出点 的坐标 为正整数） ．
（3）蚂蚁从点 到点 的移动方向是 ．（填“向上”、“向右”或“向下”
【解答】解：（1）根据点的坐标变化可知：
各点的坐标为： ， ， ；故答案为： ， ， ；
故答案为：2，1，4，1，6，1；
（2）根据（1）发现：
点 的坐标 为正整数）为 ；
故答案为： ；
（3）因为每四个点一个循环，
所以 ．
所以从点 到点 的移动方向是向上．
故答案为：向上．
9．已知整点（横纵坐标都是整数） 在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字
型跳跃）．例如在图1中，从点 做一次“跳马运动”，可以到点 ，也可以到达点 ．设 做
一次跳马运动到点 ，做第二次跳马运动到点 ，做第三次跳马运动到点 ， ，如此依次进行．
（1）若 ，则 可能是下列的点 ．
； ； ．
（2）已知点 ， ，则点 的所有可能坐标为 ；（3）若 ，则 、 可能与 重合的是 ．
（4）如图2，点 沿 轴正方向向右上方做跳马运动，若 跳到 位置，称为做一次“正横
跳马”；若 跳到 位置，称为做一次“正竖跳马”．当点 连续做了 次“正横跳马”和 次
“正竖跳马”后，到达点 ，求 的值．
【解答】解：（1）由题意知，跳马运动一次，则有2种情况，一种为横坐标变化2个单位，纵坐
标变化1个单位；另一种为横坐标变化1个单位，纵坐标变化2个单位，
可能为 ；
故答案为： ；
（2） 至 经两次运动，则有2种情况，一种为横坐标变化2个单位，纵坐标变化1个单位；另
一种为横坐标变化1个单位，纵坐标变化2个单位，
可能为 或 ；
故答案为： 或 ；
（3） 为平面上一个定点，则 、 可能与 重合的是 ；
故答案为： ；
（4）做正横跳马时，横坐标增加2，纵坐标增加1，
做正竖跳马时，横坐标增加1，纵坐标增加2，
，
解得： ，．
10．已知整点 在平面直角坐标系内做“跳马运动”（也就是中国象棋式“日字”型跳跃）．例
如，在下图中，从点 做一次“跳马运动”可以到点 ，但是到不了点 ．
设 做一次跳马运动到点 ，再做一次跳马运动到点 ，再做一次跳马运动到点 ， ，如此
继续下去
（1）若 ，则 可能是下列哪些点 ；
； ； ；
（2）已知点 ， ，则点 的坐标为 ；
（3） 为平面上一个定点，则点 、 可能与 重合的是 ；
（4） 为平面上一个定点，则线段 长的最小值是 ；
（5）现在 ，规定每一次只向 轴的正方向跳跃，若 ，则 ， ， ， 点的
纵坐标的最大值为 ．
【解答】解：（1）由题意，知跳马运动一次，则有2种情况，一种为横坐标变化2个单位，纵坐
标变化1个单位；另一种为横坐标变化1个单位，纵坐标变化2个单位，
可能为 ；
（2） 至 经两次运动，横坐标变小4个单位，纵坐标不变，则 可能为 或 ；
故答案为： 或 ；
（3） 为平面上一个定点，则点 、 可能与 重合的是 ；故答案为： ；
（4） 在平面直角坐标系内做“跳马运动”，即 与 、 、 重合，
长的最小值是：1．
故答案为：1；
（5）从 至 共21次变化，每次都向 轴正向运动，则横坐标始终变大，设有 次运动，为横
坐标变化2个单位，纵坐标变一个单位，则有 次为纵坐标变化2个单位，横坐标变1个单
位，
，
，
设有 次为纵坐标变大1个单位，则有 次变小1单位，有 次纵坐标变大2单位，
次变小2单位，
，
，
纵坐标最大为： ．
故答案为：18．
11．如图，在直角坐标系中，第一次将 变换成△ ，第二次将△ 变换成△ ，
第三次将△ 变换成△ ，已知： 、 、 、 、 、
、 、 ．求：
（1） 、 点的坐标；
（2） 、 点的坐标．【解答】解：（1） 、 、 ．
的横坐标为： ，纵坐标为：3．
故点 的坐标为： ．
又 、 、 ．
的横坐标为： ，纵坐标为：0．
故点 的坐标为： ．
（2）由 、 、 ，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是 ，纵坐标都是
3．
故 的坐标为： ， ．
由 、 、 ，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是 ，纵坐标都是0．
故 的坐标为： ， ．
12．如图，在平面直角坐标系中，将 绕点 顺时针旋转到△ 的位置，点 ， 分别落
在点 ， 处，点 在 轴上，再将△ 绕点 顺时针旋转到△ 的位置，点 在 轴
上，将△ 绕点 顺时针旋转到△ 的位置，点 在 轴上，依次进行下去 若点
， ， ，则点 的坐标是什么？【解答】解： 点 ， ， ，
， ，
，
，
， ， ， ，
，
，
．
13．一个质点在第一象限及 轴、 轴移动，在第一秒时，它从原点移动到 ，然后按着下列
左图中箭头所示方向移动，即 ， ， ， ， ，且每秒移动1个单位．
（1）该质点移动到 的时间为 2 秒，移动到 的时间为 秒，移动到 的时间为
秒， ，移动到 的时间为 秒．
（2）该质点移动到 的时间为 秒．【解答】解：（1）由图可知移动到 的时间为2秒，
移动到 的时间为6秒，
移动到 的时间为12秒，
根据变化规律可得移动到 的时间为
故答案为：2，6，12， ；
（2）由（1）可得移动到 的时间为 ， ，
移动到 的时间为59秒，
故答案为59．
14．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，
依次得到点 ， ， ， ， ，
（1）填写下列各点的坐标： 3 ， 、 ， 、
（2）写出点 的坐标 是正整数）；
（3）点 的坐标是 、 ；
（4）指出动点从点 到点 的移动方向．
【解答】解：（1）由动点运动方向与长度可得 ， ，
可以发现脚标是3的倍数的点，依次排列在 轴上，且相距1个单位，
即动点运动三次与横轴相交，故答案为 3， ， 、0 ， 、0 ．
（2）由（1）可归纳总结点 的坐标为 ， 是正整数）；
（3）根据（2）， ， 点 的横坐标是20
故点 的坐标是 、0
故答案为 、0 ．
（4） ，符合（2）中的规律
点 在 轴上，
又由图象规律可以发现当动点在 轴上时，偶数点向上运动，奇数点向下运动，
而点 是在 轴上的偶数点
所以动点从点 到点 的移动方向应该是向上．
15．每个小方格都是边长为1的正方形，在平面直角坐标系中．
（1）写出图中从原点 出发，按箭头所指方向先后经过的 、 、 、 、 这几个点的坐标；
（2）按图中所示规律，找到下一个点 的位置并写出它的坐标．
【解答】解：（1）观察图形，可知： 、 、 、 、 ；
（2） ， ，，
．
16．如图，在平面直角坐标系中，第一次将 变换成△ ，第二次将△ 变换成△
，第三次将 变换成△ ；已知变换过程中各点坐标分别为 ， ，
， ， ， ， ， ．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△ 变换成△ ，
则 的坐标为 ， 的坐标为 ．
（2）按以上规律将 进行 次变换得到△ ，则 的坐标为 ， 的坐标为 ；
（3）△ 的面积为 ．
【解答】解：（1） 、 、 ．
的横坐标为： ，纵坐标为：3．
故点 的坐标为： ．
又 、 、 ．
的横坐标为： ，纵坐标为：0．
故点 的坐标为： ．故答案为： ， ．
（2）由 、 、 ，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是 ，纵坐标都是
3．
故 的坐标为： ， ．
由 、 、 ，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是 ，纵坐标都是0．
故 的坐标为： ， ；
故答案为： ， ， ， ；
（3） 的坐标为： ， ， 的坐标为： ， ，
△ 的面积为 ．
17．已知：如图， ， ， ， ，
（1）继续填写： 2 ， 2 ， ， ， ， ，
（2）试写出点 ，
【解答】解：（1）根据图示坐标系各象限横纵坐标符号特点知 ， ， ，
． ， ．
故答案为：2，2； ，2； ， ；3， ；3，3； ，3．
（2）根据（1）可得：在第一象限的点的横坐标依次加1，纵坐标依次加1，在第二象限的点的横坐标依次加 ，纵坐标依次加1；
在第三象限的点的横坐标依次加 ，纵坐标依次加 ，
在第四象限的点的横坐标依次加1，纵坐标依次加 ，
第一，二，三象限的点的横纵坐标的绝对值都相等，并且第四象限的横坐标等于相邻 4的整数倍
的各点除以4再加上1．
点 ， ，
故答案为：505， ；505，505．
18．小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），他把图形与 轴
正半轴的交点依次记作 ， ， ，图形与 轴正半轴的交点依次记作 ，
， ，图形与 轴负半轴的交点依次记作 ， ， ，图形与 轴
负半轴的交点依次记作 ， ， ，发现其中包含了一定的数学规律．
请根据你发现的规律完成下列题目：
（1）请分别写出下列点的坐标： ， ， ， ；
（2）请分别写出下列点的坐标： ， ， ， ；
（3）请求出四边形 的面积．
【解答】解：（1） ， ， ， ．
（2） ， ， ， ．（3） ， ， ， ．
四 边 形 的 面 积
．
故答案为： ， ， ， ．
， ， ， ．
19．如图，在平面直角坐标系中，第一将 变成△ ，第二次将△ 变换成△ ，
第三次将△ 变换成△ 已知 ， ， ， ， ， ，
， ．
（1）观察每次变换前后的三角形，找出规律，按此变化规律再将△ 变换成△ ，则
的坐标是 ， 的坐标是 ；
（2）若按第（1）题找到的规律将 进行 次变换，得到△ ，比较每次变换中三角形顶
点坐标有何变化，找出规律，推测 的坐标是 ， 的坐标是 ．
（3）在前面一系列三角形变化中，你还发现了什么？
【解答】解：（1） ，△ 为等腰三角形，
， ．故答案为： ； ．
（2）观察，发现： ， ， ， ， ， ，
， ；
， ， ， ， ， ，
， ．
故答案为： ， ； ， ．
（3）在前面一系列三角形变化中，我发现：点 的纵坐标均为3，点 都在 轴上，△ 均
为等腰三角形．
20．如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形 变换成三角形 ，第二次将三角形
，变换成三角形 ，第三次将三角形 变换成三角形 ，已知 ，
， ， ； ， ， ， ．
（1）观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形 变换成
，则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
（2）若按（1）题找到的规律，将三角形 进行 次变换，得到三角形 ，则点 的坐标
是 ， 的坐标是 ．【解答】解：（1） ， ， ；
点横坐标为 ，纵坐标依次为：2， ， ，
的纵坐标为： ，
，
， ， ，
点横坐标为0，纵坐标依次为： ， ， ，
的纵坐标为： ，
；
故答案为： ， ；
（2）由（1）得出： ， ， ．
故答案为： ， ， ．
21．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“ ”方向排列，如 ，， ， ， ， ， 根据这个规律，第100个点的坐标为 ．
【解答】解：由图形可知：点的个数依次是1、2、3、4、5、 ，且横坐标是偶数时，箭头朝上，
， ，
第91个点的坐标为 ，第100个点横坐标为14．
在第14行点的走向为向上，
纵坐标为从第92个点向上数8个点，即为8；
第100个点的坐标为 ．
故答案为： ．
