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专题2.1 平方根（能力提升）
一、选择题。
1．（2021秋•沐川县期末）如果x2＝3，那么x＝（ ）
A． B． C． D．
2．（2021秋•平顶山期末）16平方根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．±8
3．（2021秋•零陵区期末）下列各结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022春•河北区校级期中）下列各数中一定有平方根的是（ ）
A．m2﹣1 B．﹣m C．m+1 D．m2+1
5．（2021春•饶平县校级期末）一个数的绝对值的算术平方根等于它本身，则这个数为（
）
A．±1 B．0或1 C．﹣1或0 D．0或±1
6．（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b
的值为（ ）
A．8 B．0 C．8或0 D．4或﹣4
7．（2022春•仙居县期中） ﹣2的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
8．（2022春•渝中区校级期中）已知： ≈1.414、 ≈4.472，根据以上规律，那么
≈（ ）
A．44.72 B．14.414
C．28.828 D．以上均不正确
9．（2022春•遵义期中）已知a，b，c为△ABC的三边，且 +|b﹣c|＝0，则
△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形10．（2021春•南开区期中）已知 +|b﹣1|＝0，那么（a+b）2017的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．32017 D．﹣32017
二、填空题。
11．（2021秋•梁溪区期末）若一个正数的两个不同的平方根为 2m﹣6与m+3，则这个正
数为 ．
12．（2022春•淮滨县期中）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为256时，输出的
y是 ．
13．（2022春•海淀区校级期中）若实数a，满足 +|b﹣1|＝0，那么a+b的值是
．
14．（2022春•东莞市期中）已知a，b，c为三角形三边，且 +|b﹣12|+（13﹣
c）2＝0，这个三角形是 三角形．
15．（2022春•东昌府区期中）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：① ；②
；③ ；④ 观察你计算的结果，用你发现的
规律得出 的值为 ．
16．（2022春•朝阳区校级期中）若x，y为实数，且 ，则 的值
为 ．
17．（2022 春•仙居县期中）设 n，k 为正整数，A ＝ ，A ＝
1 2
，A ＝ …，A ＝ ，已知 A ＝
3 k 100
2021，则n＝ ．
18．（2022春•十堰期中）将自然数的算术平方根如图排列，第 3行第2列是 ，则第101行第100列是 ．
三、解答题。
19．（2022春•济宁月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为15cm2和24cm2的两个小正
方形，求留下部分（即阴影部分）的面积．
20．（2022春•满洲里市校级期末）已知（x﹣1）2＝4，求x的值．
21．（2021秋•海陵区校级期末）用一张面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出
一个长宽之比为3：2的长方形纸片（裁剪方式见示意图），该长方形纸片的面积可能
是300cm2吗？请通过计算说明．22．（2021秋•沈北新区校级期中）已知x，y，z满足 +|x﹣y|+z2﹣z+ ＝0，求2x﹣
y+z的算术平方根．
23．（2022春•南宁期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．
（1）求a，b的值；
（2）求4a﹣6b的平方根．
24．（2022春•新洲区期中）已知一个长方形的长为11m，宽为9m，按照长方形的边进行
裁剪，裁剪出两个大小不一的正方形．使它们的边长之比为 5：4．面积之和为82m2．
这两个正方形的面积分别是多少？能否裁出这两个正方形，并说明理由．25．（2022春•大兴区期中）观察下列各式：
n＝1时，有式①： ＝ ；
n＝2时，有式②： ＝ ；
（1）类比上述式①、式②，将下列等式补充完整：
＝ ； ＝ ；
（2）请用含 n（n 为正整数）的等式表示以上各式的运算规律： ＝
．
26．（2022春•西城区校级期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安
置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针
旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照
射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a﹣3|+
＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．
（1）求a，b的值；
（2）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C
作CD⊥AC交PQ于点D，请写出在转动过程中∠BAC与∠BCD的数量关系并证明．（3）如图1，若灯B射线先转动40秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之
前，直接写出A灯转动多少秒时两灯的光束互相平行．
专题2.1 平方根（能力提升）
一、选择题。
1．（2021秋•沐川县期末）如果x2＝3，那么x＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C。
【解答】解：x2＝3即x是3的平方根，
所以x＝± ，
故选：C．
2．（2021秋•平顶山期末）16平方根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．±8
【答案】C。
【解答】解：16平方根是±4．
故选：C．
3．（2021秋•零陵区期末）下列各结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A。【解答】解：A、 ＝﹣6，故选项正确；
B、 ＝3，故选项错误；
C、 ＝16，故选项错误；
D、 ，故选项错误．
故选：A．
4．（2022春•河北区校级期中）下列各数中一定有平方根的是（ ）
A．m2﹣1 B．﹣m C．m+1 D．m2+1
【答案】D。
【解答】解：A．当m＝0时，m2﹣1＝﹣1＜0，不符合题意；
B．当m＝1时，﹣m＝﹣1＜0，不符合题意；
C．当m＝﹣5时，m+1＝﹣4＜0，不符合题意；
D．不论m取何值，m2≥0，m2+1＞0，符合题意．
故选：D．
5．（2021春•饶平县校级期末）一个数的绝对值的算术平方根等于它本身，则这个数为（
）
A．±1 B．0或1 C．﹣1或0 D．0或±1
【答案】B。
【解答】解：设这个数是x，则 ＝x，
|x|＝x2，
∵算术平方根是非负数，
∴x≥0，
x＝x2，
x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0或x＝1，
故选：B．
6．（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为（ ）
A．8 B．0 C．8或0 D．4或﹣4
【答案】C。
【解答】解：∵a是（﹣4）2的平方根，
∴a＝±4．
∵b的一个平方根是2，
∴b＝4．
∴当a＝4，b＝4时，a+b＝8；
当a＝﹣4，b＝4时，a+b＝0．
故选：C．
7．（2022春•仙居县期中） ﹣2的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【答案】A。
【解答】解： ＝ ≥0，
所以， ﹣2的最小值是﹣2．
故选：A．
8．（2022春•渝中区校级期中）已知： ≈1.414、 ≈4.472，根据以上规律，那么
≈（ ）
A．44.72 B．14.414
C．28.828 D．以上均不正确
【答案】A。
【解答】解：∵ ≈4.472，
∴ ≈44.72．
故选：A．
9．（2022春•遵义期中）已知a，b，c为△ABC的三边，且 +|b﹣c|＝0，则
△ABC的形状是（ ）A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B。
【解答】解：根据题意得，a2﹣2ab+b2＝0，b﹣c＝0，
解得a＝b，b＝c，
所以，a＝b＝c，
所以，△ABC的形状是等边三角形．
故选：B．
10．（2021春•南开区期中）已知 +|b﹣1|＝0，那么（a+b）2017的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．32017 D．﹣32017
【答案】A。
【解答】解：由题意得，a+2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣2，b＝1，
所以，（a+b）2017＝（﹣2+1）2017＝﹣1．
故选：A．
二、填空题。
11．（2021秋•梁溪区期末）若一个正数的两个不同的平方根为 2m﹣6与m+3，则这个正
数为 1 6 ．
【答案】16。
【解答】解：∵一个正数的两个不同的平方根为2m﹣6与m+3，
∴2m﹣6+m+3＝0，
m＝1，
∴2m﹣6＝﹣4，
∴这个正数为：（﹣4）2＝16，
故答案为：16
12．（2022春•淮滨县期中）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为256时，输出的
y是 ．【答案】 。
【解答】解：∵ ＝16，16为有理数，
∴把16输入，16的算术平方根为 ＝4，4为有理数，
∴把4输入，4的算术平方根为 ＝2，2为有理数，
∴把2输入，2的算术平方根为 ， 是无理数，
∴输出的y等于 ．
13．（2022春•海淀区校级期中）若实数a，满足 +|b﹣1|＝0，那么a+b的值是 ﹣ 1
．
【答案】﹣1。
【解答】解：∵ +|b﹣1|＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得：a＝﹣2，b＝1，
则a+b＝﹣2+1＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（2022春•东莞市期中）已知a，b，c为三角形三边，且 +|b﹣12|+（13﹣
c）2＝0，这个三角形是 直角 三角形．
【答案】直角。
【解答】解：∵ +|b﹣12|+（13﹣c）2＝0，
∴2a﹣10＝0，b﹣12＝0，13﹣c＝0，
即a＝5，b＝12，c＝13，
∵a2+b2＝52+122＝169＝132＝c2，
∴这个三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
15．（2022春•东昌府区期中）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：① ；②；③ ；④ 观察你计算的结果，用你发现的
规律得出 的值为 32 5 ．
【答案】325。
【解答】解：① ＝1；
② ＝3＝1+2；
③ ＝6＝1+2+3；
④ ＝10＝1+2+3+4，…，
∴ ＝1+2+3+…+n，
∴
＝1+2+3+…+25
＝325．
故答案为：325．
16．（2022春•朝阳区校级期中）若x，y为实数，且 ，则 的值
为 1 ．
【答案】1。
【解答】解：由题意得，x+2＝0，y﹣2＝0，
解得x＝﹣2，y＝2，
所以 ＝ ＝1．
故答案为：1．
17．（2022 春•仙居县期中）设 n，k 为正整数，A ＝ ，A ＝
1 2
，A ＝ …，A ＝ ，已知 A ＝
3 k 100
2021，则n＝ 182 2 ．【答案】1822。
【解答】解：∵（n+3）（n﹣1）+4＝n2+2n﹣3+4＝n2+2n+1＝（n+1）2，
∴A ＝ ＝n+1，
1
∵（n+5）A +4＝（n+5）（n+1）+4＝n2+6n+5+4＝n2+6n+9＝（n+3）2，
1
∴A ＝ ＝n+3，
2
∵（n+7）A +4＝（n+7）（n+3）+4＝n2+10n+21+4＝n2+10n+25＝（n+5）2，
2
∴A ＝ ＝n+5，…
3
依此类推A ＝n+（2k﹣1），
k
∴A ＝n+（2×100﹣1）＝2021，解得n＝1822．
100
故答案为：1822．
18．（2022春•十堰期中）将自然数的算术平方根如图排列，第 3行第2列是 ，则第
101行第100列是 ．
【答案】 。
【解答】解：根据如图排列的规律，可得第3行第2列是 ，
第5行第4列是 ，
第7行6列是 ，
第9行8列是 ，
以此列推，∴当n＞1且n为奇数时，第n排第n﹣1列的数是 ．
∴第101行第100列是 ．
故答案为： ．
三、解答题。
19．（2022春•济宁月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为15cm2和24cm2的两个小正
方形，求留下部分（即阴影部分）的面积．
【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为15cm2和24cm2的两个小正方形，
大正方形的边长是 +2 ，
留下部分（即阴影部分）的面积是（ ）2﹣15﹣24
＝12 （cm2）．
20．（2022春•满洲里市校级期末）已知（x﹣1）2＝4，求x的值．
【解答】解：（x﹣1）2＝4，
开平方得：x﹣1＝±2，
解得：x ＝3，x ＝﹣1．
1 2
21．（2021秋•海陵区校级期末）用一张面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出
一个长宽之比为3：2的长方形纸片（裁剪方式见示意图），该长方形纸片的面积可能
是300cm2吗？请通过计算说明．
【解答】解：不可能，理由如下：因为正方形的面积400cm2，所以正方形的边长为20cm，
设长方形的长为3xcm，宽为2xcm，根据题意得，
，
解得x≤ ，
所以S长方形 ＝3x•2x＝6x2≤6×（ ）2＝ ＜300，
即：长方形纸片的面积不可能是300cm2．
22．（2021秋•沈北新区校级期中）已知x，y，z满足 +|x﹣y|+z2﹣z+ ＝0，求2x﹣
y+z的算术平方根．
【解答】解：∵ +|x﹣y|+z2﹣z+ ＝0，
∴ +|x﹣y|+（z﹣ ）2＝0，
∴2y+z＝0，x﹣y＝0，z﹣ ＝0，
解得：x＝﹣ ，y＝﹣ ，z＝ ，
则2x﹣y+z＝2×（﹣ ）﹣（﹣ ）+ ＝﹣ + + ＝ ．
所以2x﹣y+z的算术平方根 ．
23．（2022春•南宁期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．
（1）求a，b的值；
（2）求4a﹣6b的平方根．
【解答】解：（1）∵3b+3的平方根为±3，
∴3b+3＝9，
解得b＝2，
∵3a+b的算术平方根为5，
∴3a+b＝25，
∵b＝2，
∴a＝ ，（2）∵a＝ ，b＝2，
∴4a﹣6b＝ ，
∴4a﹣6b的平方根为 ．
24．（2022春•新洲区期中）已知一个长方形的长为11m，宽为9m，按照长方形的边进行
裁剪，裁剪出两个大小不一的正方形．使它们的边长之比为 5：4．面积之和为82m2．
这两个正方形的面积分别是多少？能否裁出这两个正方形，并说明理由．
【解答】解：设大正方形的边长为5x，小正方形的边长为4x，由题意可知：
（5x）2+（4x）2＝82，
即41x2＝82，
解得：x ＝ ，x ＝﹣ （舍去），
1 2
∴大正方形的面积为（5x）2＝ ＝50，
小正方形的面积为（4x）2＝ ＝32，
∵5 +4 ＝9 ＞11，
∴不能裁出这两个正方形．
25．（2022春•大兴区期中）观察下列各式：
n＝1时，有式①： ＝ ；
n＝2时，有式②： ＝ ；
（1）类比上述式①、式②，将下列等式补充完整：
＝ ； ＝ ；
（2）请用含 n（n 为正整数）的等式表示以上各式的运算规律： ＝
．
【解答】解：（1）类比上述式①、式②，可得：＝ ， ＝ ；
故答案为： ；4；6；
（2）用含n（n为正整数）的等式表示以上各式的运算规律为： ＝
．
故答案为： ＝ ．
26．（2022春•西城区校级期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安
置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针
旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照
射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a﹣3|+
＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．
（1）求a，b的值；
（2）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C
作CD⊥AC交PQ于点D，请写出在转动过程中∠BAC与∠BCD的数量关系并证明．
（3）如图1，若灯B射线先转动40秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之
前，直接写出A灯转动多少秒时两灯的光束互相平行．
【解答】解：（1）∵a、b满足|a﹣3|+ ＝0，
∴a﹣3＝0，且b﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1；
（2）∠BAC与∠BCD的数量关系是：2∠BAC＝3∠BCD．
证明如下：设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣3t，∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
∵PQ∥MN，
∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，
∵∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，
∴∠BAC：∠BCD＝3：2，
即2∠BAC＝3∠BCD；
（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t＝（40+t）×1，
解得t＝20；
②当60＜t＜120时，
3t﹣3×60+（40+t）×1＝180，
解得t＝80；
③当120＜t＜160时，
3t﹣360＝t+40，
解得t＝200＞160（不合题意），
综上所述，当t＝20秒或80秒时，两灯的光束互相平行．
