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专题 2.20 二次函数的图像与性质知识点分类专项训练（巩固篇）
（专项练习2）
一、单选题
1．二次函数 的图像如图所示，则一次函数 和反比例函数 在同一平
面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
2．函数 与 （a≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
3．若二次函数 的图像如图所示，则一次函数 与反比例函数
在同一个坐标系内的大致图像为（ ）A． B．
C． D．
4．二次函数 的图像如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同一平
面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝ x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y
＝x2于点D，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图像可能是( )
A． B． C． D．
7．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一
1
个交点为B，直线y=mx+n（m≠0）经过A、B两点，下列结论： ①当x＜1时，有y ＜y ；
2 1 2
②a+b+c=m+n；③b2﹣4ac=﹣12a；④若m﹣n=﹣5，则B点坐标为（4，0）
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④8．如图，抛物线y＝a（x+2）2﹣3与y＝ （x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平
1 2
行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结沦：①无论x取何值，y 的值总是正数；②2a＝
2
1；③当x＝0时，y﹣y＝4；④2AB＝3AC；其中正确结论是（ ）
2 1
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
9．直角坐标系 中，一次函数 的图像过点 ，且 ，与 轴， 轴分
别交于 ， 两点．设 的面积为 ，则 的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．二次函数 有（ ）．
A．最小值，为6 B．最大值，为6 C．最小值，为5 D．最大值，为5
11．已知二次函数 为常数 ，当 时，函数值y的最小值为 ，则m的值
是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
12．关于 的方程 有两个不相等的实根 、 ，若 ，则 的最大值
是（ ）
A．1 B． C． D．2
13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图像如图，图像过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下
列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④5a+c=0；⑤当x＞-1时，y的值随x值的
增大而增大．其中正确的结论有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
14．如图，二次函数 （ ）的图像的对称轴是直线 ，则以下五个结论①
，② ，③ ，④ ，⑤ 中，正确的有（ ）
A． 个 B． 个
C． 个 D． 个
15．抛物线 交x轴于A（ ，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．
下列结论：① ；② ；③ ；④当△ABD是等腰直角三角形时，则
；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
16．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图像，其顶点坐标为（1，n），与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b＋c＞0；②abc＞0；③3a＋b＝0；④b2
＝4a（c﹣n）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．已知二次函数y＝2x2和一次函数y＝3x﹣1两函数图像交于点A、B，则A、B与二次函数的
顶点O组成的△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．1
18．已知二次函数 的图像交 轴于 两点．若其图像上有且只有 三点满
足 ，则 的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
19．下表是二次函数 （ ， 均为整数）的自变量 与因变量 的部分对应值．
自变量 0.07 1.33
因变量 7.0089 0.1664 1.4025 3.2849 10.0889
给出下列判断，其中错误的是（ ）
A．该抛物线的对称轴是直线 B．该二次函数的最小值为
C．当 、 时， D．当 时，
20．如图，已知抛物线 与x轴分别交于A、B两点，顶点为M．将抛物线l 沿x
1
轴翻折后再向左平移得到抛物线l．若抛物线l 过点B，与x轴的另一个交点为C，顶点为N，则
2 2
四边形AMCN的面积为（ ）A．32 B．16 C．50 D．40
二、填空题
21．在平面直角坐标系中，二次函数 与反比例函数 的图像如图所示，若两个
函数图像上有三个不同的点 ， ， ，其中 为常数，令 ，则
的值为_________．（用含 的代数式表示）
22．若直线y=m（m为常数）与函数y= 的图像有三个不同的交点，则常数m的取值范
围________
23．如图，已知函数 与 的图像交于点 ，点 的纵坐标为1，则关
于 的方程 的解为_____________．24．方程2x﹣x2= 的正实数根有________ 个
25．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线 （x≥0）与 （x≥0）于B、C两点，
过点C作y轴的平行线交y 于点D，直线DE∥AC，交y 于点E，则 =_．
1 2
26．若点（m，n）在函数y＝2x﹣4的图像上，则m2＋n2的最小值是__．
27．两个数的和为13，则这两个数的积的最大值为___________．
28．如图，矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，点E为CD边上一动点（不与C、D重合），以CE
为边向外作矩形CEFG，且CG＝ CE，连接BF，点O是线段BF的中点，连接OE，则OE的最
小值为_____．29．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是_________________．
30．抛物线 的对称轴为直线 ，部分图像如图所示，下列判断中：① ；
② ；③ ；④ ；其中判断正确的选项是____________．
31．已知二次函数 的图像与 轴交于点 ， ，且 ，与
轴的正半轴的交点在 的下方，下列结论：① ；② ；③ ；④
．其中正确的有_______．（填序号）
32．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分，对称轴为 且经过点（2，0）．下
列说法：①若（﹣3，y），（π，y）是抛物线上的两点，则y＜y；②c＝2b；③关于x的一元
1 2 1 2
二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）一定有两个不同的解；④ （其中m为实数）．其中说
法正确的是_______．33．如图，二次函数 （ ）的图像与 轴交于 ，对称轴为直线 ，
与 轴的交点 在2和3之间（不包括这两个点），下列结论：①当 时， ；②
；③对于任意实数 ， 始终成立；④ ，其中正确的结
论的序号是________．
34．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，AE为∠BAD的角平分线，F为AE上一动点，M为
DF的中点，连接BM，则BM的最小值是_____．
35．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣ ，2）、（ ，2），连结AB，若
函数y＝ 与线段AB有交点，则h的取值范围是______．36．如图，抛物线 与y轴交于点A，点B是这条抛物线上的另一点，且
轴，以 为边向下作等边 ，则点C到抛物线顶点的距离是________．
37．对于每个非零自然数n，抛物线 与x轴交于 ， 两点，以
表示这两点之间的距离，则 的值是______
三、解答题
38．如图，抛物线F： 的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点
B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：
，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
（1）当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；
（2）若a、b、c满足了 ，
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．39．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，A点在原
点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上
一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，求出此时P点的坐标和四边形ABPC
的最大面积．
40．如图，二次函数 的图像与 轴分别交于点 （点 在点 的左侧），与
轴交于点 ，且经过点 ．
（1）求 的值．
（2）将点 向下平移 个单位至点 ，过点 作 轴于点 ，交抛物线于点 ．若
，求 的值．41．如图1， 为坐标原点，点 在 轴的正半轴上，四边形 是平行四边形， ，
反比例函数 在第一象限内的图像经过点 ，与 交于点 .
（1）若点 为 的中点，且 的面积 .
①设 的面积为 ， 的面积为 ，则 ______ （直接填“ ”、“ ”或“ ”），
______；
②求 的长和点 的坐标.
（2）在（1）的条件下，过点 作 ，交 于点 （如图2），点 为直线 上的一个
动点，连结 、 ，当以 、 、 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出所有点 的
坐标，不必说明理由.42．如图，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，抛物线
的顶点为 ，且与 轴左交点为 （其中 ）．
（1）当 时，在抛物线的对称轴上求一点 使得 的周长最小；
（2）当点 在直线 上方时，求点 到直线 距离的最大值；
（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当 时，求出在抛物线和直线
所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．参考答案
1．A
【分析】根据二次函数 的图像开口向上，得出 ，与 轴交点在 轴的负半轴，
得出 ，利用对称轴 ，得出 ，进而对照四个选项中的图像即可得出结论．
解：因为二次函数 的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得
出 ，利用对称轴x ，得出 ，
所以一次函数y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y 位于二、四象限，
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数的图像、一次函数的图像以及二次函数的图像，根据二次函数图
像，得出 、 、 是解题的关键．
2．C
【分析】分a>0与a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
解：当a>o时，函数 的图像位于一、三象限， 的开口向上，交y轴的负半
轴，没有符合的选项；
当a0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB= 得出AH= a，
OH= a，求出S△AOH的值，根据S△AOF=12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC
的中点，求出S△OBF=6，
根据BF= a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF= BM•FM，S△FOM=6+ a2，再根据点A，F都
在y= 的图像上，S△AOH= k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC=OB•AH，得出
OB=AC= ，即可求出点C的坐标；
（2）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出
P3；当∠POA=90°时，求出P4即可．
解：（1）① ， .
②设 ，如图3，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 .
∵ ，∴ ， ，∴ .
∵ ，∴ .
∵ 为 的中点，∴ .
∵ ， ，
∴ ， .
∴ .
∴ .
∵点 、 都在 的图像上，∴ .
∴ ，∴ ，即 .∴ ， .∵ ，∴ .
∴ .
（2）存在三种情况：如图4.
当 时，在 的两侧各有一点 ，
分别为： ， ；
当 时， ；
当 时， .
提示：当 时，易证点 为 的中点，则 ，设 交 轴
于点 ，由 ，得 ， ；当 时，设 ，由
构造方程求 ；当 时，同理由 构造方程求 .【点拨】本题考查反比例函数，熟练掌握计算法则是解题关键.
42．（1） ；（2）1；（3）4044个
【分析】（1）先求出点B坐标，B的纵坐标减去A的纵坐标等于12求出m值，再求出抛物线的
对称轴，根据抛物线的对称性和两点之间线段最短知，当 、 、 三点共线时 周长最短，
此时点 为直线 与对称轴的交点，进而求解即可；
（2）先求出抛物线的顶点C坐标 ，由C与 的距离
即可求出最大值；
（3）先求出抛物线与直线a的交点的横坐标，根据每一个整数 的值都对应的一个整数 值，结
合边界由线段和抛物线组成求解即可．
解：（1）当 吋， ，
，
，而 ，
，
，
∴抛物线 的解析式为： ，
的对称轴 ，
又知 、 两点关于对称轴对称，则
当 、 、 三点共线时 周长最短，此时点 为直线 与对称轴的交点，
当 吋， ，
；（2） ，
的顶点 ，
点 在 上方，
与 的距离 ，
点 与 距离的最大值为1；
（3）当 时，抛物线解析式
直线解析式
联立上述两个解析式 可得： ，
∴可知每一个整数 的值都对应的一个整数 值，
且-2021和1之间 包括-2021和 共有2023个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2023个整数点，
∴总计4046个点
∵这两段图像交点有2个点重复，
∴“整点”的个数： （个）；
故 时“整点”的个数为4044个．
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、图形与坐标、最短路径问题、
二次函数的最值、两函数图像的交点问题、解二元一次方程组等问题，综合性强，难度适中，解
答的关键是读懂题意，找寻相关知识的关联点，利用数形结合思想解决问题．
