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专题 1.2 整式的运算
目录
单项式与单项式相乘的法则.............................................................................................................1
单项式与多项式相乘的法则.............................................................................................................2
多项式与多项式相乘的法则.............................................................................................................3
求系数.................................................................................................................................................4
不含某个项.........................................................................................................................................5
平方差公式的定义.............................................................................................................................6
平方差公式的应用.............................................................................................................................9
平方差公式的几何意义...................................................................................................................10
平方差公式的变形应用...................................................................................................................11
平方差公式运算...............................................................................................................................13
完全平方公式的定义.......................................................................................................................13
完全平方公式的变形应用...............................................................................................................15
完全平方公式的几何意义...............................................................................................................16
配方法求系数...................................................................................................................................18
单项式与单项式相除.......................................................................................................................19
多项式与单项式相除.......................................................................................................................19
整式乘除的实际应用题...................................................................................................................20
整式乘除的运算...............................................................................................................................21
单项式与单项式相乘的法则
【例1】下列计算结果为 的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、原式 ，故此选项不符合题意；
、原式 ，故此选项不符合题意；
、原式 ，故此选项符合题意；
、原式 ，故此选项不符合题意；
故选： ．【变式训练1】下面运算中正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项符合题意；
故选： ．
【变式训练2】下列运算正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、原式 ，故 符合题意．
、原式 ，故 不符合题意．
、原式 ，故 不符合题意．
、原式 ，故 不符合统．
故选： ．
【变式训练3】下面运算中正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、 ，本选项计算错误，不符合题意；
、 ，本选项计算错误，不符合题意；、 ，本选项计算错误，不符合题意；
、 ，本选项计算正确，符合题意；
故选： ．
【变式训练4】计算： ．
【解答】解： ．
故答案为： ．
单项式与多项式相乘的法则
【例2】计算： ．
【解答】解： ．
故答案为： ．
【变式训练1】如果 ，那么代数式 的值为
A．14 B．9 C． D．
【解答】解：
．
当 时，原式 ．
故选： ．
【变式训练2】若 ， ，则 ．
【解答】解：原式 ，
， ，
原式，
故答案为： ．
多项式与多项式相乘的法则
【例3】计算 的结果是
A． B． C． D．
【解答】解：原式 ．
故选： ．
【变式训练1】计算 的结果是
A． B． C． D．
【解答】解：
，
故选： ．
【变式训练2】计算 结果中， 项的系数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：
．
计算 结果中， 项的系数是1
故选： ．【变式训练3】以下各式的计算中，结果为 的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、结果是 ，故本选项不符合题意；
、结果是 ，故本选项符合题意；
、结果是 ，故本选项不符合题意；
、结果是 ，故本选项不符合题意；
故选： ．
求系数
【例4】若 ，则 的值为
A．2 B． C．5 D．
【解答】解： ，
，则 ．
故选： ．
【变式训练1】关于 的多项式 与 的乘积，一次项系数是25，则 的值为
．
【解答】解：
由题意可知： ，
，
故答案为： ．
【变式训练2】若 ，则 、 的值分别为
A． ， B． ， C． ， D． ，【解答】解： ，
， ．
故选： ．
【变式训练3】已知 ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： ，
，
解得： ，
，
故选： ．
不含某个项
【例5】如 与 的乘积中不含 的一次项，则 的值为
A． B．3 C．0 D．1
【解答】解： ，
又 与 的乘积中不含 的一次项，
，
解得 ．
故选： ．
【变式训练1】如果 展开后不含 项，那么 ．
【解答】解：原式
，
由题意可知： ，，
故答案为：1
【变式训练2】若 的运算结果中不含 项和常数项，则 ， 的值分别
为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：
，
的乘积中不含 项和常数项，
， ，
解得： ， ，
故选： ．
【变式训练3】若 与 的乘积中不含 的一次项，则 的值为
A． B．0 C．2 D．4
【解答】解：
，
不含 的一次项，
，
解得： ，
故选： ．
平方差公式的定义
【例6】下列式子可用平方差公式计算的是
A． B． C． D．【解答】解： ：原式 用完全平方公式， 不符合题意；
：原式 用完全平方公式， 不符合题意；
：原式 用完全平方公式， 不符合题意；
：原式 用平方差公式， 符合题意；
故选： ．
【变式训练1】下列各式中，不能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ． ，此题符合平方差公式的特征，能用平方差公
式计算，故此选项不符合题意；
． ，两项均互为相反数，不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式
计算，故此选项符合题意；
． ，此题符合平方差公式的特征，能用平方差公式计
算，故此选项不符合题意；
． ，此题符合平方差公式的特征，能用平方差公式
计算，故此选项不符合题意，
故选： ．
【变式训练2】下列能用平方差公式计算的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，两项都互为相反数，不符合平方差公式；
，两项中，有一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式；、 中有一项完全相同，但另一项不是互为相反数，不符合平方差公式；
、 中各项不同，不符合平方差公式．
故选： ．
【变式训练3】下列各式可运用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
【解答】解：平方差公式： ，
符合公式的只有 ，此时 ， ，
故选： ．
【例7】下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ． ，原计算错误，故此选项不符合题意；
． ，原计算错误，故此选项不符合题意；
． ，原计算错误，故此选项不符合题意；
． ，原计算正确，故此选项符合题意．
故选： ．
【变式训练1】下列各式不能用乘法公式进行计算的是
A． B．
C． D．【解答】解： 、 中 与 互为相反数， 与 相等，故能进
行平方差公式计算，故此选项错误；
、 中 与 互为相反数， 与 相等，故能进行平方差公式计
算，故此选项错误；
、 中 与 互为相反数， 与 互为相反数，故不能进行平方
差公式计算，但是可以变形为 ，这样就可以运用完全平方公式计算，故
此选项错误；
、 中 与 不是相反数， 与 不相等，故不能用乘法公式
计算，故此选项正确；
故选： ．
【变式训练2】下列等式成立的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ，因此选项 不符合
题意；
，因此选项 不符合题意；
，因此选项 符合题意；
，因此选项 不符合题意；
故选： ．
【变式训练3】计算 的结果为
A． B．C． D．
【解答】解：原式
，
故选： ．
平方差公式的应用
【例8】已知 ， ，则 的值是
A．8 B．3 C． D．10
【解答】解： ， ，
．
故选： ．
【变式训练1】若 ， ，则
A．1 B． C．3 D．
【解答】解： ， ，
．
故选： ．
【变式训练2】若 ，且 ，则 ．
【解答】解： ，且 ，
，
则 ．
故答案为：5
【变式训练3】若 ， ，则
A．5 B．6 C．10 D．15
【解答】解： ， ，，
，
故选： ．
平方差公式的几何意义
【例9】如图，在边长为 的正方形中，剪去一个边长为 的小正方形，将余下部分对
称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于 ，
的恒等式是
A． B．
C． D．
【解答】解：由左图可表示阴影部分的面积为 ，
由右图可表示阴影部分的面积为 ，
故选： ．
【变式训练1】如图所示，将一个边长为 的正方形减去一个边长为 的小正方形，将剩余
部分（阴影部分）对半剪开，恰好是两个完全相同的直角梯形，将它们旋转拼接后构成一
个等腰梯形．利用图形的面积关系可以得到一个等式是
A． B．C． D．
【解答】解：第一个图中阴影部分的面积为： ，
第二个图中阴影部分的面积为： ，
根据面积相等得： ，
故选： ．
【变式训练2】如图所示，已知边长为 的正方形纸片，减掉边长为 的小正方形后，将剩
下的三块拼接成一个长方形，则这个长方形较长的边长为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知减掉后长方形的面积为： ，
长方形较长的边长为 ，
故选： ．
【变式训练3】如图（1），在边长为 的正方形中挖去一个边长为 的小正方形 ，
把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证
A． B．
C． D．【解答】解：图（1）中阴影部分的面积为： ，
图（2）中阴影部分的面积为 ，
因此有 ，
故选： ．
平方差公式的变形应用
【例10】式子 化简的结果为
A． B． C． D．
【解答】解：原式
，
故选： ．
【变式训练1】 的结果为
A． B． C． D．
【解答】解：原式，
故选： ．
【变式训练2】化简 的结果是
A． B． C． D．
【解答】解：
，
故选： ．
【变式训练3】计算： （结果可用幂的形式表示）．
【解答】解： ，
，
，
，
，．
平方差公式运算
【例11】计算： ．
【解答】解：原式
．
【变式训练1】计算： ．
【解答】解：原式
．
．
【解答】解：原式
．
【变式训练2】化简： ．
【解答】解：
．
完全平方公式的定义
【例12】下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
、 ，原计算错误，故此选项不符合题意误；
、原计算正确，故此选项符合题意．
故选： ．
【变式训练1】下列从左到右的变形，错误的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、 ，原变形错误，故本选项符合题意；
、 ，原变形正确，故本选项不符合题意；
、 ，原变形正确，故本选项不符合
题意；
、 ，原变形正确，故本选项不符合题意．
故选： ．
【变式训练2】下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、原式 ，故此选项不符合题意；
、原式 ，故此选项不符合题意；
、原式 ，故此选项不符合题意；
、原式 ，故此选项符合题意；故选： ．
【变式训练3】下列运算中正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ． 与 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
． ，故本选项不合题意；
． ，故本选项不合题意；
． ，故本选项符合题意；
故选： ．
完全平方公式的变形应用
【例13】若 ， ，则代数式 的值是
A． B．13 C．5 D．9
【解答】解： ， ，
．
故选： ．
【变式训练1】若 ， ，求 的值是
A．6 B．8 C．26 D．20
【解答】解： ， ， ，，
解得： ．
故选： ．
【变式训练2】已知 ， ，则 的值为
A．9 B．11 C．7 D．不能确定
【解答】解： ，
，
，
，
故选： ．
【变式训练3】已知 ， ，则
A．58 B．29 C．10 D．5
【解答】解：已知等式整理得： ①，
②，
① ②得： ，
则 ，
故选： ．
完全平方公式的几何意义
【例14】你能根据如图图形的面积关系得到的数学公式是A． B．
C． D．
【解答】解：大阴影正方形的边长为 ，所以大阴影正方形的面积为 ，
大阴影正方形也可以看作从边长为 的正方形减去边长为 的小正方形，再减去两个长为
，宽为 的长方形，即 ，
所以有 ，
故选： ．
【变式训练1】在下面的正方形分割方案中，可以验证 的图形是
A． B．
C． D．
【解答】解： 由选项 可得 ，
选项 不符合题意；由选项 可得 ，
选项 不符合题意；
由选项 可得 ．
选项 不符合题意；
由选项 可得 ，
选项 符合题意；
故选： ．
【变式训练2】小张利用如图①所示的长为 、宽为 的长方形卡片4张，拼成了如图②所
示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为
A． B．
C． D．
【解答】解： 用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积的面积各为： 和
，
可得 ，
故选： ．
【变式训练3】如图，用4个相同的长方形围成一个大正方形，若长方形的长和宽分别为 、
，则下面四个代数式，不能表示大正方形面积的是A． B．
C． D．
【解答】解： 大正方形的面积进行整体求解时为： ，且
；按各部分求和计算时为 ，
故选： ．
配方法求系数
【例15】已知关于 的二次三项式 是完全平方式，则实数 的值为
A．2 B． C．4 D．
【解答】解： 关于字母 的二次三项式 是完全平方式，
．
故选： ．
【变式训练1】当 或 6 时，多项式 是一个完全平方式．
【解答】解：因为 是完全平方式，
属于 ，
解得： 或6
故答案为： 或6
【变式训练2】如果多项式 是完全平方式，那么 的值是 ．【解答】解： 多项式 是完全平方式，
．
故答案为： ．
【变式训练3】若 是一个完全平方公式展开式，则 的值是
A．6 B． C．18 D．
【解答】解： 是一个完全平方公式展开式，
，
故选： ．
单项式与单项式相除
【例16】计算： ．
【解答】解： ．
故答案为： ．
【变式训练1】计算： ．
【解答】解：原式
．
【变式训练2】计算 ．
【解答】解：原式
．
故答案为： ．
【变式训练3】计算： ．
【解答】解： ，故答案为： ．
多项式与单项式相除
【例17】计算： ．
【解答】解：
．
故答案为： ．
【变式训练1】 ．
【解答】解： ，
故答案为： ．
【变式训练2】化简： ．
【解答】解：原式
．
故答案为： ．
整式乘除的实际应用题
【例18】已知长方形面积为 ，它的一边长为 ，则这个长方形另外一
边长为 ．
【解答】解：长方形另一边长为：
，
故答案为： ．【变式训练1】长方形的面积为 ，其中一边长是 ，则另一边长是
．
【解答】解：长方形另一边长为：
，
故答案为： ．
【变式训练2】福州市园林局为美化城区环境，计划在一块长方形地上种植某种草皮，已知
长方形空地的面积为 平方米，宽为 米，则这块空地的长为
米．
【解答】解：
米，
故答案为： ．
【变式训练3】一个三角形的面积为 ，一边长是 ，则这条边上的高为 ．
【解答】解：根据题意得：
，
故答案为： ．
【变式训练4】长方形的面积为 ，长为 ，则它的宽为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得：
，长方形的面积为 ，长为 ，则它的宽为： ，
故选： ．
整式乘除的运算
【例19】计算：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【变式训练1】计算：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【变式训练2】化简：（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【变式训练3】计算： ．
【解答】解：
．
【例20】先化简，再求值： ，其中 ， ．
【解答】解：原式
，
当 ， 时，
原式
．
【变式训练1】先化简，再求值： ，其中 ， ．【解答】解：原式
，
当 ， 时，
原式
．
【变式训练2】先化简，再求值： ，其中 ， ．
【解答】解：原式
，
当 ， 时，
原式
．
【变式训练3】计算
（1） ；
（2） ；
（3）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式
；
（3）
，
把 ， 代入得：
．
