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2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题01 幂的乘除运算压轴题五种模型
【类型一 幂的乘除混合运算问题】
例1．计算：
【答案】
【解析】
【分析】
根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法法则，按照运算顺序计算即可．
【详解】
= = ．
【点睛】
本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则，规范运算顺序是解题的关键．
【变式训练1】计算： ；
【答案】0
【解析】
【分析】
先算幂的乘方、再运用同底数幂乘法、除法法则计算，最后合并同类项即可．
【详解】
解：
=
=
=0．
【点睛】
本题主要考查了幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
【变式训练2】计算：
（1） （2） （3）
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘除法即可；
（2）先算积的乘方，在算同底数幂的乘法，再合并同类项即可；
（3）先利用偶数次幂变底数符号，再计算同底数幂乘法即可；
【详解】
解：（1） = = = ；
（2） = = = ；
（3） = = ；
【点睛】
本题考查整式乘除乘方混合运算和实数幂的混合运算，掌握整式幂指数运算法则，整式乘法与加减混合运
算的顺序是解题关键．
【变式训练3】计算：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ．
【解析】【分析】
（1）先计算同底数幂的除法，然后计算积的乘方即可；
（2）利用同底数幂的除法计算法则求解即可；
（3）先得到 ，然后利用同底数幂的除法计算法则求解即可；
（4）先计算同底数幂的除法，然后计算积的乘方即可；
（5）直接根据同底数幂的乘除法计算法则求解即可．
【详解】
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
【类型二 负指数与零指数运算问题】
例2．计算：
【答案】4
【解析】
【分析】
利用负整数指数幂，零指数幂，幂的运算法则计算即可；
【详解】
=2+1-（-1）=4；【点睛】
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握运算法则，规范运算顺序是解题的关键．
【变式训练1】计算： ．
【答案】（1）
【解析】
【分析】
根据有理数的乘方，零次幂，负整指数幂，进行计算即可；
【详解】
【点睛】
本题考查了有理数的乘方，零次幂，负整指数幂，掌握以上运算法则是解题的关键．
【变式训练2】计算： ．
【答案】0．
【解析】
【分析】
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】
解：(− )2−2−2−(2−π)0+(−1)2022
= - -1+1
=0．
【点睛】
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的减法，有理数的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的
关键．【变式训练3】计算
【答案】6
【解析】
【分析】
先根据负整数指数幂，零指数幂，乘方化简，再计算乘法，最后计算加减，即可求解．
【详解】
解：原式
．
【点睛】
本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【类型三 幂的运算逆用问题】
例3．若a*b＝c，则ac＝b．例如：若2*8＝3，则23＝8
（1）根据上述规定，若5* ＝x，则x＝ ．
（2）记5*2＝a，5*6＝b，5*18＝c，求a，b，c之间的数量关系．
【答案】（1）﹣3；（2）2b＝a+c．
【解析】
【分析】
（1）根据定义和负整数指数幂公式即可解答；
（2）根据定义得5a＝2，5b＝6，5c＝18，发现62＝2×18，从而得到a，b，c之间的关系．
【详解】
解：（1）根据题意得： ，
∴x＝﹣3．
故答案为：﹣3；
（2）根据题意得：5a＝2，5b＝6，5c＝18，∴52b＝（5b）2＝62＝36，
5a×5c＝2×18＝36，
∴52b＝5a×5c＝5a+c，
∴2b＝a+c．
【点睛】
本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方，会逆用幂的运算法则是解题的关键．
【变式训练1】（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，求m的值．
【答案】（1）16；（2）
【解析】
【分析】
（1）逆运用幂的乘方和同底数幂的乘法变形后，将 代入求解即可；
（2）等式的左边逆运用幂的乘方和同底数幂的乘法变形后，根据底数相同指数相同的两个数相同可得m
的方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，解得 ．
【点睛】
本题考查幂的乘方运算和同底数幂的乘法．熟练掌握公式，并能逆运用是解题关键．
【变式训练2】(1)已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代数式：
①求：22m+3n的值
②求：24m﹣6n的值
(2)已知2×8x×16＝223，求x的值．【答案】（1）①ab ，② （2）x =6
【解析】
【分析】
（1）①根据题意分别将4m，8n化为底数为2的形式，然后代入求解；②根据题意分别将4m，8n化为底数为
2的形式，然后代入求解
（2）由题意将8x化为23x，将16化为24，列出方程求出x的值．
【详解】
解：（1）∵4m=a，8n=b，
∴22m=a，23n=b，
①22m+3n=22m•23n=ab；
②24m-6n=24m÷26n=（22m）2÷（23n）2= ；
（2）∵2×8x×16=223，
∴2×（23）x×24=223，
∴2×23x×24=223，
∴1+3x+4=23，
解得：x=6．
【点睛】
本题考查同底数幂的除法以及幂的乘方和积的乘方，熟练掌握相关的运算法则是解答本题的关键．
【变式训练3】（1）已知 ，求 的值．
（2）已知： ，求 的值．
（3）已知 ，求 的值．
（4）已知 ，求m的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）16；（4）
【解析】
【分析】（1）根据幂的除法运算法则再逆用幂的乘方即可求解；
（2）利用幂的运算法则都化成底数为x2n的形式，即可求解；
（3）把8x化成底数为2的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算即可；
（4）都化成底数为3的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算得到关于m的一元一次方程，再解即
可．
【详解】
解：（1）（1）∵ ，
∴ ；
（2）∵x2n=3，
∴
=
=
= ．
（3）∵ ，
∴ ；
（4）∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，解得 ．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方的计算方法，根据式子的特点，灵活变形解决问题．
【类型四 新定义型问题】
例4．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如；因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定填空：（3，27）＝ ，（4，1）＝ ，（2，0.25）＝ ；
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．判断a，b，c之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）3，0，﹣2；（2）a+b＝c，理由见解析．【解析】
【分析】
（1）直接根据新定义求解即可；
（2）先根据新定义得出关于a，b，c的等式，然后根据幂的运算法则求解即可．
【详解】
（1）∵33＝27，
∴（3，27）＝3，
∵40＝1，
∴（4，1）＝0，
∵2﹣2＝ ，
∴（2，0．25）＝﹣2．
故答案为：3，0，﹣2；
（2）a+b＝c．
理由：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，
∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，
∴3a×3b＝5×6＝3c＝30，
∴3a×3b＝3c，
∴a+b＝c．
【点睛】
本题考查了新定义运算，明确新定义的运算方法是解答本题的关键，本题也考查了有理数的乘方、同底数
幂的乘法运算．
【变式训练1】我们定义：三角形 ，五角星 ，
（1）求 的值；（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）27；（2）32
【解析】
【分析】
（1）根据定义运算规律计算即可；
（2）根据定义三角形和五角星运算即可．
【详解】
解：（1）由题意有 = =27
（2）∵ =4
∴ =4即
∵ = = =2×16=32
【点睛】
本题主要考查新运算，读懂新运算，并运用是解题的关键．
【变式训练2】一般地，若 （ 且 ），则n叫做以a为底b的对数，记为 ，即
．譬如： ，则4叫做以3为底81的对数，记为 （即 ＝4）．
（1）计算以下各对数的值： ， ， ．（2）由（1）中三数4、16、64之间满足的等量关系式，直接写出 、 、 满足的等量关
系式；
（3）由（2）猜想一般性的结论： ．（ 且 ），并根据幂的
运算法则： 以及对数的含义证明你的猜想．
【答案】（1）2，4，6；（2） ＋ ＝ ；（3）猜想： ，证明
见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据材料中给出的运算，数值就是乘方运算的指数；
（2）由（1）可以得出；
（3）根据（2）可以写出，根据材料中的定义证明即可．
【详解】
（1） ，
（2）
（3）猜想：
证明：设 ， ，则 ， ，
故可得 ， ，
即 ．
【点睛】
本题考查对阅读材料的理解，类似于定义新运算，需要根据已知的材料寻找规律．
【变式训练3】规定两数a，b之间的一种运算，记作 ，如果 ，则 ．我们叫 为
“雅对”．例如：因为 ，所以 ．我们还可以利用“雅对”定义说明等式
成立．证明如下：设 ，则 ，
故 ，
则 ，
即 ．
（1）根据上述规定，填空： ______； ______； ．
（2）计算 _________，并说明理由．
（3）利用“雅对”定义证明： ，对于任意自然数n都成立．
【答案】（1）-2，0，2；（2）（5，14）；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据上述规定即可得到结论；
（2）设（5，2）=x，（5，7）=y，根据同底数幂的乘法法则即可求解；
（3）设（2n，3n）=x，于是得到（2n）x=3n，即（2x）n=3n根据“雅对”定义即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵2-2=0.25，
∴（2，0.25）=-2；
∵50=1，
∴（5，1）=0；
∵24=16，
∴（2，16）=4，
故答案为：-2，0，2；
（2）设（5，2）=x，（5，7）=y，
则5x=2，5y=7，
∴5x+y=5x•5y=14，
∴（5，14）=x+y，
∴（5，2）+（5，7）=（5，14），
故答案为：（5，14）；
（3）设（2n，3n）=x，则（2n）x=3n，即（2x）n=3n，所以2x=3，即（2，3）=x，
所以（2n，3n）=（2，3）．
【点睛】
此题考查了有理数的运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，弄清题中的新运算是解本题的关键．
【类型五 比较大小问题】
例5．比较下列各题中幂的大小：
（1）已知 ，比较a、b、c的大小关系；
（2）比较 这4个数的大小关系；
（3）已知 ，比较P，Q的大小关系；
【答案】（1）a＞b＞c；（2） ；（3）P=Q
【解析】
【分析】
（1）根据幂的乘方公式，化为底数是3的形式进行比较；
（2）根据幂的乘方公式，化为指数是11的形式进行比较；
（3）利用作商法，结合积的乘方法则计算，根据结果判断．
【详解】
解：（1）∵ ，
，
，
∴a＞b＞c；
（2） ，
，
，，
∵ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴P=Q．
【点睛】
本题考查了幂的乘方和积的乘方，灵活运用运算法则是解题的关键．
【变式训练1】阅读探究题：．
【阅读材料】
比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，
如： ，
在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如： 与 ，
解： ，∵ ，∴
[类比解答]比较 ， 的大小．
[拓展拔高]比较 ， ， 的大小．
【答案】【类比解答】 ；【拓展拔高】 ．
【解析】
【分析】
【类比解答】可以将底数都化为5，利用幂的乘方的逆运算法则变形后再进行比较；
【拓展拔高】观察三个式子的特点，可以利用幂的乘方逆运算法则将指数都变形为111，再进行比较．
【详解】
【类比解答】解： ， ，
∵ ，
∴ ，即 ；
【拓展拔高】解：∵ ， ， ，又∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了幂的运算性质，正确理解题意、灵活应用幂的乘方逆运算法则是解题的关键．
【变式训练2】阅读材料，解决问题．
材料一：比较 和 的大小．
解：因为 ，而 ，所以 ，即 ．
小结：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小．
材料二：比较 和 的大小．
解：因为 ，而 ，所以 ，即 ．
小结：在底数相同的情况下，可以通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．
（1）比较 ， ， 的大小：
（2）比较 ， ， 的大小．
【答案】（1）344＞433＞522；（2）8131＞2741＞961
【解析】
【分析】
（1）根据幂的乘方法则的逆运算进行变形，再比较大小；
（2）根据幂的乘方法则的逆运算进行变形，再比较大小．
【详解】
解：（1）∵344=（34）11=8111，
433=（43）11=6411，
522=（52）11=2511，
∵81＞64＞25，
∴8111＞6411＞2511，
即344＞433＞522；
（2）∵8131=（34）31=3124，
2741=（33）41=3123，961=（32）61=3122，
∵124＞123＞122，
∴3124＞3123＞3122，
即8131＞2741＞961．
【点睛】
本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．
【变式训练3】在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小问题，对于此类问题，通常有两种
解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：
若 ， ，则 ， 的大小关系是 ______ （填“ ”或“ ”）；
解： ， ，且
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
（1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质______．
A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C幂的乘方；D积的乘方
（2）试比较 、 、 的大小；
【答案】（1）C；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据幂的乘方法则判断即可；
（2）根据幂的乘方法则的逆运算计算．
【详解】
解：（1）求解过程中，逆用了幂的乘方运算，
故选C；
（2）∵ ， ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了幂的乘方的运算及逆运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方的运算法则及逆运算法则．
【专项训练】
一、选择题
1．下列式子中，运算结果为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘除法及幂的乘方可进行求解．
【详解】
解：A、 ，故不符合题意；
B、 ，故符合题意；
C、 ，故不符合题意；
D、 与 不是同类项，不能计算，故不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法及幂的乘方是解题的关键．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2+2a＝3a3 B．a6÷a2＝a3 C．（2a）3＝6a3 D．（a3）4＝a12
【答案】D
【解析】
【分析】
根据幂的运算法则进行即可判断．
【详解】
A、 与 不是同类项，不能合并，故错误；
B、 ，故计算错误；C、 ，故计算错误；
D、 ，故计算正确；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了幂的运算法则：同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方等运算法则，掌握这些运算法则是
关键．
3．10月1日，小明在网络上查到了小区PM2.5平均浓度为0.000042克/立方米，0.000042用科学记数法表
示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为 （ ，n为正整数），与较大数的科学
记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决
定．
【详解】
解： ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了用科学记数法表示较小的数，掌握其一般形式 （ ，n为正整数），以及确定n
的方法（由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定）是解题关键．
4．若a＝(－ )2019×( )2020，b＝2018×2020－20192，c＝(－ ) ＋(－1)2－20190．则a，b，c的大小关系正
确的是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【答案】D
【解析】
【分析】根据同指数幂的乘法运算法则，平方差公式，负整数指数幂的定义，任何非零数的0次幂等于1，求出各
个式子的结果比较大小；
【详解】
解：a＝（－ ）2019×（ ）2020＝（－ ）2019×（ ）2019× ＝ ＝ ＝ ＝
；
b＝2018×2020－20192＝（2019－1）×（2019＋1）－20192＝20192－1－20192＝－1；
c＝（－ ）－1＋（－1）2－20190＝－3＋1－1＝－3．∴c＜a＜b．
故选：D．
【点睛】
两个同指数幂相乘，指数不变底数相乘；平方差公式：a2－b2=（a＋b）（a－b）；负整数指数幂：
；熟记运算法则和定义是解题关键．
二、填空题
5．计算 _______， _______．
【答案】 a8 a2
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法和同底数幂的除法即可得出答案．
【详解】
解： a8，
a2．
故答案为：a8，a2．
【点睛】
本题考查整式的乘除，掌握同底数幂的乘法运算和除法运算法则是解决本题的关键．
6．(1 )0＝______， _____．
【答案】 1【解析】
【分析】
根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行运算，即可分别求得
【详解】
解： ，
．
故答案为：1， ．
【点睛】
本题考查了零指数幂和负整数指数幂的运算法则，掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则是解决本题的
关键．
7．2020年新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，它的直径约为0.00000012米，请把
数0.00000012用科学计数法表示为__________．
【答案】1.2×10-7
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，看小数点移动了多少位，n
的绝对值与小数点移动的位数相同．小数点向左移动时，n是正整数；小数点向右移动时，n是负整数．
【详解】
解：0.00000012=1.2×10-7，
故答案为：1.2×10-7．
【点睛】
本题主要考查科学记数法表示绝对值较小的数.科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．
解题关键是正确确定a的值以及n的值．
8．如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号(a，b)＝c，例如32＝9，那么记作(3，9)＝2，
根据以上规定，则(－2，－ )＝________．
【答案】-5
【解析】【分析】
根据题目的规定及负整数指数幂的意义即可完成．
【详解】
∵ac＝b记作 (a，b)＝c，且（－2）－5＝－ ，
∴（－2，－ ）＝－5．
故答案为：－5．
【点睛】
本题是新规定问题，理解新规定、掌握负整数指数幂的意义是关键．
三、解答题
9．计算：
【答案】
【解析】
【分析】
先根据绝对值的性质，零指数幂，负整指数幂，负一的奇次幂运算法则进行计算，再根据有理数加减法法
则进行计算即可求解.
【详解】
解：原式 = ，
= .
【点睛】
本题主要考查绝对值的性质，零指数幂，负整指数幂，负一的奇次幂运算法则，解决本题的关键是要熟练
掌握对值的性质，零指数幂，负整指数幂，负一的奇次幂运算法则.
10．计算： ．
【答案】-2
【解析】
【分析】
先算乘方，零指数幂和负整数指数幂，再算加减法即可求解．
【详解】
原式==-2．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂和负整数指数幂的性质是解题的关键．
11．规定 ，求：
（1）求 ；
（2）若 ，求x的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据规定即可完成；
（2）根据规定及幂的运算，可得关于x的方程，解方程即可．
【详解】
（1） ，
；
（2） ，
，
则 ，
解得： ．
【点睛】
本题是新定义运算问题，考查了同底数幂的运算，解方程等知识，理解新定义运算是解题的关键．
12．（1）已知： ， ，求 的值；
（2）已知： ，求 的值．
【答案】（1）-10；（2）27
【解析】
【分析】
（1）逆用同底数幂的乘法法则计算即可；（2）利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则变形，然后把x+2y=2代入计算
【详解】
解：（1）∵ ， ，
∴ ，
（2）∵ ，
∴x+2y=2，
∴ ；
【点睛】
本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
13．已知5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求（5a）2的值．
（2）求5a-b+c的值．
（3）直接写出字母a、b、c之间的数量关系为________．
【答案】（1）9；（2）27；（3）
【解析】
【分析】
（1）直接将 整体代入 中，求值即可；
（2）根据同底数幂的乘法和同底数幂的除法法则可将 改为 ，再整体代入求值即可．
（3）由 可改写为 ，再将 ， 代入即可得出 ，最后由同底数幂的乘
法法则即得出答案．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，且 ， ， ，∴ ；
（3）∵
∴ ．
【点睛】
本题考查同底数幂的乘、除法以及其逆用，幂的乘方；掌握各运算法则是解答本题的关键．
14．按要求解答下列各小题．
（1）已知10m＝6，10n＝2，求10m﹣n的值；
（2）如果a+3b＝4，求3a×27b的值；
（3）已知8×2m÷16m＝215，求m的值．
【答案】（1）3；（2）81；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据同底数幂的除法逆用可直接进行求解；
（2）根据同底数幂的乘法的逆用可直接进行求解；
（3）根据同底数幂的乘除法可直接进行求解．
【详解】
解：（1）∵10m＝6，10n＝2，
∴ ；
（2）∵a+3b＝4，
∴ ；
（3）∵8×2m÷16m＝215，
∴
∴ ，
解得： ．
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘除运算，熟练掌握同底数幂的乘除运算是解题的关键．
15．规定两个非零数a，b之间的一种新运算，如果am＝b，那么a∧b＝m．例如：因为52＝25，所以5∧25
＝2；因为50＝1，所以5∧1＝0．
（1）根据上述规定填空：2∧32＝ ；﹣3∧81＝ ．
（2）在运算时，按以上规定请说明等式8∧9+8∧10＝8∧90成立．【答案】（1）5，4；（2）说明见解析．
【解析】
【分析】
（1）结合新定义运算及有理数的乘方运算法则分析计算；
（2）结合新定义运算及同底数幂的乘法运算法则进行分析说明．
【详解】
解：（1）∵25＝32，
∴2∧32＝5，
∵（−3）4＝81，
∴−3∧81＝4，
故答案为：5；4；
（2）设8∧9＝a，8∧10＝b，8∧90＝c，
∴8a＝9，8b＝10，8c＝90
∴8a×8b＝8a＋b＝9×10＝90＝8c，
∴a＋b＝c，
即8∧9＋8∧10＝8∧90．
【点睛】
本题考查新定义运算，掌握有理数乘方运算法则，同底数幂的乘方运算法则是解题关键．
16．如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所以（2，8） ．
（1）根据上述规定，填空：（ ， ） ，（ ， ） ．
（2）记（3，5） ，（3，6） ，（3，30） ．求证： ．
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由新定义设 可得 从而可得答案，同理可得 的结果；
（2）由新定义可得： ， ， ，从而可得： 从而可得 ，从而可得
结论．
【详解】解：（1） ，
设
设
故答案为： ， ．
（2）证明：根据题意得：
， ，
∵
∴ 则
∴ ．
【点睛】
本题考查的新定义情境下幂的运算，弄懂新定义的含义，掌握同底数幂的乘法，幂的含义是解题的关键．
17．计算：
(1) ；
(2)
(3) ；
(4)先化简，再求值： ，其中 ．【答案】(1)-1
(2)
(3)
(4) ，－25．
【解析】
【分析】
（1）先根据零指数幂，负整数指数幂计算，再合并即可求解；
（2）先算幂的乘方，再算乘除，最后计算加减即可求解；
（3）把 作为一个整体，从左往右计算，即可求解；
（4）先算括号内的，再计算除法，最后再代入求值，即可求解．
(1)
解：原式 ；
(2)
原式 ；
(3)
原式 ．
(4)
原式= = = ，
当 =－5时，原式=－25．
【点睛】
本题主要考查了幂的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握幂的运算法则，零指数幂，负整数指
数幂法则是解题的关键．
18．计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．【答案】（1）0；（2） ；（3） ；（4）
【解析】
【分析】
（1）先根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则计算，再合并；
（2）先根据幂的乘方法则计算，再利用同底数幂的乘除法则计算；
（3）先提取负号，再利用同底数幂的乘除法则计算；
（4）先根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂进行计算，再求出答案即可．
【详解】
解：（1） = =0；
（2） = = = ；
（3） = = = ；
（4） = =
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂等知识点，能灵活运用知识点进
行计算和化简是解此题的关键．
19．某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求
m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）
＝4．
（1）填空：T（2，64）＝ ；
（2）计算：T( )+T(-2，16)．
（3）探索：T（2，3）+T（2，7）与T（2，21）的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）6；（2）1；（3）相等，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据定义解答即可；
（2）根据定义解答即可；（3）设T（2，3）=m，T（2，7）=n，T（2，21）=k，可得2m=3，2n=7，2k=21，再根据同底数幂的乘法
法则解答即可．
【详解】
解：（1）∵26=64，
∴T（2，64）=6；
故答案为：6；
（2）∵( )−3=27，(-2)4=16，
∴T( ，27)+T(−2，16)=-3+4=1；
（3）相等．理由如下：
设T（2，3）=m，T（2，7）=n，T（2，21）=k，可得2m=3，2n=7，2k=21，
根据3×7=21得：2m•2n=2k，
可得m+n=k，
即T（2，3）+T（2，7）=T（2，21）．
【点睛】
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
20．若 都是正整数)，则 ，利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果 ，求 的值；
（2）如果 ，求 的值；
（3）若 ，用含 的代数式表示 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】
(1)将 看成 ，然后再使用同底数幂相乘，指数不变，底数相加即可得到答案；
(2)将 和 分别看成 和 ，然后再使用同底数幂的乘、除运算法则即可得到答案；
(3)对第一个等式移项得到 ，再将第二个等式中的 看成是 ，再利用幂的乘法运算法则即可得到答案.
【详解】
解：(1)∵
,
故答案为：2.
(2)
∴
.
故答案为：4.
(3)
．
故答案为： .
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘、除法运算法则、幂的乘方的逆运算等知识，熟练的掌握公式及其它的逆向变形
是解决此类问题的关键.
21．若 （ 且 ，m、n是正整数），则 ．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果 ，求x的值；
（2）如果 ，求x的值；
（3）若 ， ，用含x的代数式表示y．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】【分析】
（1）先,将底数都化为2，再利用同底数幂的乘除法法则计算；
（2）利用积的乘方逆运算解答；
（3）利用等式的性质及幂的乘方逆运算将式子变形为 ， ，即可得到x与y的关系
式，由此得到答案．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
（2）∵ ，
∴ ，
，
，
；
（3）∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
此题考查整式的乘法公式：同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方以及幂的乘方的计算法则，熟记法则
及其逆运算是解题的关键．
22．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝ ，（4，16）＝ ，（2，16）＝ ．
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
【答案】（1）3，2，4；（2）详见解析【解析】
【分析】
（1）由题意直接根据规定的两数之间的运算法则进行分析即可解答；
（2）由题意根据积的乘方法则，结合定义进行分析计算即可．
【详解】
解：（1）∵33＝27，
∴（3，27）＝3；
∵42＝16，
∴（4，16）＝2；
∵24＝16，
∴（2，16）＝4；
故答案为：3；2；4；
（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，
∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，
∴3a×3b＝30，
∴3a+b＝30，
∵3c＝30，
∴3a+b＝3c，
∴a+b＝c
【点睛】
本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，熟练掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关
键．
23．如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所以 ．
（1）【理解】根据上述规定，填空：（2，8）= ， ；
（2）【说理】记 ， ， ．试说明： ；
（3）【应用】若 ，求t的值．
【答案】（1）3，－2；（2）见解析；（3）80
【解析】【分析】
（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据积的乘方法则，结合定义计算；
（3）根据定义解答即可．
【详解】
（1）23=8，（2，8）=3，
，（2， ）=-2，
故答案为：3；-2；
（2）∵（4，12）= ，（4，5）= ，（4，60）= ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）设（m，16）= ，（m，5）= ，（m，t）= ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了幂的乘方和积的乘方以及新定义下的实数运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．
24．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个
幂 和 ，当 时，则有 ，根据上述材料，回答下列问题．
（1）比较大小： __________ （填写>、<或=）．
（2）比较 与 的大小（写出比较的具体过程）．（3）计算 ．
【答案】（1）＞；（2） ＜ ；（3）-4
【解析】
【分析】
（1）根据同指数的幂底数越大幂越大，可得答案；
（2）根据幂的乘方，可得指数相同的幂，根据底数越大幂越大，可得答案；
（3）先根据积的乘方逆运算进行运算，再进行减法运算即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵5＞4，
∴ ＞ ，
故答案为：＞；
（2）∵233=（23）11=811，322=（32）11=911，
又∵8＜9，
∴ ＜ ．
（3）
【点睛】
本题考查了幂的乘方以及积的乘方，利用同指数的幂底数越大幂越大是解题关键．
25．将幂的运算逆向思维可以得到 ， ， ， ，在解题过程
中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
（1） _________；
（2）若 ，求 的值；
（3）比较大小： ，则 的大小关系是什么？
（提示：如果 ， 为正整数，那么 ）【答案】（1）1；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）根据积的乘方公式，进行逆运算，即可解答；
（2）转化为同底数幂进行计算，即可解答；
（3）转化为指数相同，再比较底数的大小，即可解答．
【详解】
解：（1）
故答案为：1
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，解得 ；
（3）由题可得： ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】
本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是公式的逆运用．
26.阅读下列材料：小明为了计算 的值，采用以下方法：
设 ①
则 ②
② ①得， ．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1） ______；
（2）求 ______；
（3）求 的和；（请写出计算过程）（4）求 的和（其中 且 ）．（请写出计算过程）
【答案】（1）221−2；（2）2- ；（3） ；（4） +
【解析】
【分析】
（1）根据阅读材料可得：设s＝ ①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果；
（2）设s＝ ①， s＝ ②，②−①即可得结果；
（3）设s＝ ①，-2s＝ ②，②−①即可得结果；
（4）设s＝ ①，as＝ ②，②−①得as-s=-a-
，同理：求得- ，进而即可求解．
【详解】
解：根据阅读材料可知：
（1）设s＝ ①，
2s＝22＋23＋…＋220＋221②，
②−①得，2s−s＝s＝221−2；
故答案为：221−2；
（2）设s＝ ①，
s＝ ②，
②−①得， s−s＝- s＝ -1，
∴s＝2- ，
故答案为：2- ；
（3）设s＝ ①-2s＝ ②
②−①得，-2s−s＝-3s＝ +2
∴s＝ ；
（4）设s＝ ①，
as＝ ②，
②-①得：as-s=-a- ，
设m=-a- ③，
am=- ④，
④-③得：am-m=a- ，
∴m= ，
∴as-s= + ，
∴s= + ．
【点睛】
本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算．
27．阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人．他发明对数是在
指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若 （ 且 ），那么x叫做以a为底N的对数，记作 ，比如
指数式 可以转化为对数式 ，对数式 可以转化为指数式 ．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：设 ， ，则 ， ，
∴ ，由对数的定义得 ．
又∵ ，
∴ ．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
(1)填空：
① ，
② ，
③ ；
(2)求证： ；
(3)拓展运用：计算 ．
【答案】(1)①6；②3；③0
(2)见解析
(3)2
【解析】
【分析】
（1）利用对数的定义，即可求解；
（2）设 ， ，则 ， ，可得 ，从而得到 ，即可求
证；
（3）根据对数的定义，代入即可求解．
(1)
解：①∵ ，
∴ ；②∵
∴ ；
③∵ ，
∴ ；
(2)
设 ， ，则 ， ，
∴ ，
由对数的定义得 ．
又∵
∴ ；
(3)
．
【点睛】
本题主要考查了幂的运算，同底数幂相除，明确题意，理解对数的定义是解题的关键．
