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微专题 01 一元一次不等式（组）的含参问题
题型 1 根据定义求参数
根据定义求参数：严格按照“一元一次不等式（组）”的定义（含一个未知数、未知数次数为1、不等
号两边为整式），通过列方程或不等式限制参数取值。
整理含参不等式为标准形式（如 ）；
根据定义列条件（如x的次数为1、系数不为0）；
解条件方程/不等式，得到参数值或范围。
1．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于 的不等式 是一元一次不等式，那么
_______．
【答案】
【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，正确记忆含有一个未知数，未知数的次数是1的不等
式，叫做一元一次不等式是解题关键．
根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可．
【详解】解：由题意可得： 且 ，
解得： ，
故答案为： ．2．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知 是关于 的一元一次不等式，则 的值为
___________．
【答案】2
【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的概念；根据一元一
次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，因此令指数表达式 等于 1，求解 即可．
【详解】解：∵ 是关于 的一元一次不等式，
∴ 的次数必须为 1，即 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为2．
3．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）已知 是关于x的一元一次不等式，那么 ______，
不等式的解集是_______．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元一次不等式的概念以及一元一次不等式的求解．根据题意可知 ，
求得 值，然后代入不等式求解即可．
【详解】解：由题意可知： ，
解得 ，
将 代入 得： ，
解得 ，
故答案为： ， ．
4．（24-25八年级下·陕西西安·月考）已知 是关于x的一元一次不等式，则m的值为
______．
【答案】
【分析】利用一元一次不等式的定义得到 ，即可求解．本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．
【详解】解：∵ 是关于x的一元一次不等式，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
5．（24-25七年级下·重庆·期末）已知 是关于x的一元一次不等式，则m的值为
___________
【答案】
【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用
一元一次不等式的定义判断即可．
【详解】解：∵ 是关于x的一元一次不等式，
∴ ， ，
解得： ，
故答案为： ．
6．（24-25七年级下·陕西榆林·月考）关于x的不等式 是一元一次不等式，则 ______．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式定义，解题的关键在于正确理解一元一次不等式定义．
根据一元一次不等式定义，推出 且 ，解之，即可解题．
【详解】解： 关于x的不等式 是一元一次不等式，
且 ，
解得 且 ，
综上， ；
故答案为： ．题型 2 根据解集求参数
根据解集求参数：将不等式视为“不含参”解出解集（用参数表示），再与已知解集对比，通过方程/不
等式确定参数。
解不等式（将参数视为常数），得到解集；
对比已知解集，列方程；
解方程得参数值，必要时验证边界。
1．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）关于x的不等式 的解集是 ，则a的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查不等式的基本性质．掌握不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变是解题关键．
根据不等式解集的形式，确定系数符号，进而求出参数范围．
【详解】解：原不等式为 解集为 ，
∴ 且 ，
∴ ．
故选：A．
2．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）关于 的不等式组 的解集有如下说法：
嘉嘉说：“当 时，不等式组的解集为 ．”
琪琪说：“若不等式组的解集均不在 的范围内，则 的取值范围是 或 ．”
嘉琪说：“不论 取何值，不等式组都有解．”
其中说法错误的是_____．（填人名即可）
【答案】琪琪
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，先求出不等式组的解集为 ，然后根据三
个人的说法分别进行判断即可．
【详解】解：由 解得 ，所以不论 取何值，不等式组都有解，故嘉琪说得对；
当 时， ，所以不等式组的解为 ，故嘉嘉说得对；
若不等式组的解集均不在 的范围内，则 或 ，解得 或 ，故琪琪说
得不对．
故答案为：琪琪．
3．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）如果不等式组 的解集为 ，那么m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，熟练掌握“同大取大”的不等式组解集确定规则
是解题的关键．先解第一个不等式，再结合不等式组的解集规则（同大取大）确定 的范围．
【详解】解：解不等式 得
∵不等式组 的解集为 ，
∴
故选：B．
4．（25-26八年级上·山西太原·月考）已知关于 的不等式组 有且只有两个整数解，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式组的整数解，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先解不等式组，得到解集为 ，由于有且只有两个整数解，可知整数解为 和 ，因此需满足
，从而求出 的取值范围．
【详解】解：解不等式 ，得 ；
解不等式 ，得 ；
∴不等式组的解集为 ；
∵有且只有两个整数解，∴整数解为 和 ；
∴ ；
∴ ；
故选：B．
5．（25-26八年级上·山东聊城·月考）已知关于 的不等式组 有解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解含参数的一元一次不等式组，熟练解一元一次不等式组是解决问题的关键．
先分别解两个不等式，得到 的取值范围，再根据不等式组有解的条件，即两个不等式的解集有交集，
确定 的取值范围．
【详解】解：解第一个不等式 ，得 ；
解第二个不等式 ，得 ；
不等式组有解，
存在 同时满足 和 ，
，
故选：C．
6．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若不等式组 的解集是 ，则 的值是________．
【答案】1
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再根据解集为 确定出a、
b的值，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：解不等式 得 ，
解不等式 得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∵解集是 ，
∴ 且 ，
解得 ， ，∴ ，
故答案为：1．
题型 3 利用整数解求参数范围
利用整数解求参数范围：先解不等式（组）得解集（用参数表示），再根据整数解的个数或具体值，通
过数轴分析参数边界。
解不等式（组），得解集；
根据整数解条件，列出关于参数的不等式；
解不等式得参数范围，验证边界值。
1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）若 是关于x的不等式 的一个整数解，而 不
是其整数解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先解一元一次不等式可得 ，再根据 不是不等式的整数解，可得 ，然后根据 是关
于x的不等式的一个整数解，可得 ，即可解答．
【详解】
，
不是其整数解，
，
解得： ，
是关于x的不等式 的一个整数解，
，
解得： ，
．
故选：D．
2．（24-25七年级下·吉林长春·期中）关于x的不等式组 ，有下列四个结论：
①当 时，原不等式组的整数解为 ；
②当 时，原不等式组的整数解为 ；③当 时，原不等式组有1个整数解；
④若原不等式组恰好有3个整数解，则a的取值范围为 ．
以上结论正确的序号为______．
【答案】
【分析】本题考查了根据不等式组的解集的情况，求参数．根据各项中的条件，逐一计算后，判断即
可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：不等式组 ，
当 时，不等式组的解集是 ，则原不等式组的整数解为 ，原说法正确，符合题意；
当 时，不等式组需要同时满足 和 ，无解，则原说法不正确，不符合题意；
第二个不等式为 ，当 时，则 ，且 ，原不等式组有1个整数解，即 ，
原说法正确，符合题意；
原不等式组恰好有3个整数解，即为3、4、5，此时需满足 ，解得 ，
验证，当 时，不等式组的解集是 ，则原不等式组的整数解为3、4、5；
取 时，不等式组的解集是 ，
由于 ，则不等式组的解集是 ，则原不等式组的整数解为3、4、5；
原说法正确，符合题意；
∴正确结论为 ；
故答案为： ．
3．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）已知关于 的不等式组 的最大整数解与最小整数解的差是
3，则 的取值范围是_____．
【答案】
【分析】本题考查不等式组的整数解问题，能根据不等式组的整数解得到参数的取值范围是解答的关
键，注意端点值的取舍．先求得不等式组的解集，再根据不等式组解集的情况，即可得到a的取值范
围．
【详解】解： ，由不等式 得 ，
由不等式 得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∵不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，且不等式组的最大整数解为 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
4．（24-25七年级下·广西贵港·月考）已知关于x的不等式组 ，下列四个结论：①若它的解
集是 ，则 ；②当 ，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是
；④若不等式 的最大整数解为1，则a的取值范围是 ．其中正确的结论个数
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组、根据不等式组的解求参数等知识点，根据不等式组的解
集情况求参数成为解题的关键．
先解出不等式组求得解集，然后再根据不等式组解集逐个判断即可．
【详解】
解：∵ ，
解不等式 得： ，
解不等式①得： ，
∵若它的②解集是 ，
∴ ，解得： ，
故 正确，
当① 时， ，则该不等式组无解；
故②错误；
∵若它的整数解仅有3个，即 ，
∴a的取值范围是 ，故③错误；
∵解不等式 可得： ，且不等式的最大整数解为1，
，
∴解得： ．
故④正确．
综上，正确的有2个．
故选：B．
5．（24-25七年级下·天津和平·期末）已知关于x，y的方程组 ．
(1)当 ______（用m表示）；
(2)已知 ，求m的取值范围；
(3)在（2）的条件下，m所有的整数解中，只有一个整数解是关于 的不等式 的解，求n的取
值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用加减消元法得 ，再化简得 ，即可作答．
（2）根据 ，得出不等式组，再解得m的取值范围，即可作答．
（3）先求出m的整数解为0，1，因为 ，故 ，因为只有一个整数解是关于 的不等式
的解，所以 ，再化简，即可作答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴由 得
即 ，故答案为： ；
（2）解：由（1）得
，
由 得 ，
由 得 ，
，
（3）解：依题意，由（2）得 ，
m的整数解为0，1
m所有的整数解中，只有一个整数解是关于z的不等式 的解，
6．（24-25八年级下·全国·月考）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为 ．即：当n为非负整数时，
如果 ，则 ．反之，当n为非负整数时，如果 ，则 ，例
如： ， ， ．
试解决下列问题：
(1)填空：① ___________（π为圆周率）；②如果 ，则实数x的取值范围为
___________．
(2)①若关于x的不等式组 的整数解恰有3个，则a的取值范围是___________．
②若关于x的方程 有正整数解，求m的取值范围．(3)求满足 的所有非负整数x的值．
【答案】(1)①3，②
(2)① ；②
(3)3
【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，新定义，根据题意正确理解 的意义是解题关
键．
（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为 ，进而得出 的值；②利用对非负实数
x“四舍五入”到个位的值记为 ，进而得出x的取值范围；
（2）①首先将 看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；②先解方程，
得出 ，再根据 是整数，x是正整数，得到 或2，进而得出 或
1，则 或 ，即得；
（3）根据 ，得 ，解得 ，3，4，由 是正整数即得．
【详解】（1）解：①由题意可得： ；
故答案为：3，
②∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：①解不等式组得： ，
由不等式组整数解恰有3个得， ，
故 ；
故答案为： ；
②解方程得 ，
∵ 是整数，x是正整数，
∴ 或1，
∴ 或1，
∴ ，或 ，
∴ ．（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，3，4，
∵ x为整数，
∴满足 的所有非负整数x的值为3．
题型 4 根据解集情况求参数
根据解集情况求参数：根据不等式组的解集规则（“同大取大”“同小取小”“大小小大中间找”“大
大小小找不到”），通过数轴分析参数对解集的影响。
解两个不等式，得解集；
根据解集情况列条件；
解条件得参数范围。
1．（24-25七年级下·山东德州·期末）若实数 使关于 的不等式组 恰有4个整数解，且使方
程组 有整数解，则符合条件的所有整数 的值正确的是（ ）
A．10，11，12 B．9，12 C．6，9，12 D．9，10，11，12
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和二元一次方程组；
首先解不等式组，确定m的范围，再解方程组，结合整数解条件筛选m的值．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，要求恰好有4个整数解，即整数解为 ， ， ，0，
故需满足 ，
解得 ，
∴整数m的可能值为9，10，11，12，
解方程组 得： ，
要求x和y均为整数，则m必须是3的倍数．
∴符合条件的m为9和12，
故选：B．
2．（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组
(1)若不等式组的最小整数解为 ，求整数a的值；
(2)若不等式组所有整数解的和为14，求a的取值范围．
【答案】(1)1
(2) 或
【分析】本题主要考查了解不等式组、一元一次不等式组的整数等知识点，根据题意判断出 的取
值范围是解题关键．
（1）先求出不等式组的解集为 ，再根据不等式组的最小整数解为 ，列出关于a的不等
式求解即可；
（2）根据不等式组的解集为 以及所有整数解的和为14可得整数解为 ，或
再列出关于a的不等式组求解即可．
【详解】（1）解：解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ．
∴该不等式组的解集为： ．
∵不等式组的最小整数解为 ，
∴ ，解得： ，∴整数a的值为1．
（2）解：∵该不等式组的解集为： ，不等式组所有整数解的和为14，
∴整数解为 ，或
∴ ，或
解得 或 ．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数使关于x的不等式组 ，有解且至多有3个整数解，
且使关于x的分式方程 有整数解，则满足条件的整数k的和为（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】C
【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组有解且至多 个整数解，求得 的取值范围；解分式方程，
检验，根据方程有整数解求得 的值，最后求和即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∵不等式组有解且至多有 个整数解，
所以 ，
解得： ，
，
方程两边同时乘 得： ，
化简得： ，
当 时， ，
是分式方程的增根，此时分式方程无解，∴ ，解得： ，
∵方程有整数解，
∴ 或 ，
解得： 或 或 或 ，
又∵ 且 ，
∴ 或 或 ，
∴ ，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解，掌握相应的运
算法则是关键．
4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）关于x的不等式组 的最大整数解和最小整数解的
差是3，则满足条件a所有的整数解的和是____．
【答案】94
【分析】本题主要考查了不等式组的整数解，
先求出不等式组的解集，再根据题意得出最小整数解，进而得出关于a的不等式组，然后求出整数解，
并求和即可.
【详解】解：不等式组 ，
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ，
∴不等式组的解集是 .
∴不等式组的最大整数解是9.
∵不等式组的最大整数解和最小整数解的差为3，
∴最小整数解是6，
∴ ，
解得 ，∴ ，
则 .
故答案为：94.
5．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）若关于 的不等式组 的解集中仅有2个整数解，则
的整数解之和为__________．
【答案】14
【分析】本题考查了一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题关键．
先解不等式组，求出解集，再根据“仅有2个整数解”，得m的不等式组，求出m的范围，取其中整
数，求和即得．
【详解】解： ，
解①，得 ，
解②，得 ，
∴ ，
∴ ，
∵不等式组的解集中仅有2个整数解，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ 取整数，
∴ ，
∴ 的整数解之和为 ．
故答案为：14．
6．（24-25九年级下·重庆长寿·期中）关于 的一元一次不等式组 有解且至多3个整数解且关于 的分式方程 有整数解，那么符合条件的所有整数 的和为___________
【答案】13
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，解不等式组得出 ，结合不等式组有
解且最多有3个整数解，求出 ，解分式方程得出 ，结合关于 的分式方程有整数解，
得出 ， ，即可得解．
【详解】解：解不等式组 得 ，
∵不等式组有解且最多有3个整数解，
∴ ，
解得： ，
解关于 的分式方程 得 ，
∵关于 的分式方程有整数解，
∴ 或 或 或 或 或 ，
∵ ，
∴
∵ 为整数，且 ，
∴ ， ，
那么符合条件的所有整数 的和为 ，
故答案为：13．
题型 5 与整式方程（组）综合
与整式方程（组）综合：先解方程组（用参数表示解），再将解代入不等式（组），转化为解关于参数
的不等式（组）。
解方程组，得解；将解代入不等式（组），得关于参数的不等式（组）；
解不等式（组）得参数范围。
1．（24-25八年级下·四川成都·月考）已知关于 的方程 ，若该方程的解是不等式
的最小整数解，则 的值为__________．
【答案】5
【分析】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握不等式和方
程的解题技巧．
先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最小整数解，即可求出 的值，将 的值代入方程即可
求出 的值．
【详解】解： ，
去括号，得： ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化成1得： ．
则最小的整数解是4．
把 代入 得： ，
解得： ．
故答案为：5．
2．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知关于 的方程 ，若该方程的解是不等式
的最大整数解，则代数式 的值为__________．
【答案】8
【分析】本题综合考查解不等式、方程及代数式求值，需注意每一步的符号和计算准确性．本题需先
解给定的不等式，找到其最大整数解，再将其代入方程求出 的值，最后计算代数式的值．解题的关
键在于正确求解不等式和方程，并准确代入计算．
【详解】解：解不等式 ：
解得： ，
该不等式最大的整数解为 ，将 代入方程 ：
，化简得： ，
解得： ，
将 代入 ：
．
故答案为：8．
3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）关于 ， 的二元一次方程： ，则下列四个
结论：
①无论 为何值时，该方程都有一组解 ；
②若 ，则方程 有三组非负整数解；
③若 ，则不等式 的解集为 ；
④若 和 是方程 的两组解，则 ．
其中正确的结论是______．（请填写序号）
【答案】①②④．
【分析】本题考查了二元一次方程的解、不等式的性质，根据题意结合计算方法逐项判断即可得出答
案，熟练掌握计算方法是解此题的关键．
【详解】解：将 代入方程可得： ，故无论 为何值时，该方程都有一组
解 ，故①正确；
当 时，方程为 ，方程的非负整数解为 ， ， ，故②正确；
当 时， ，即 ，当 时， ，当 时，，故③错误；
因为 和 是方程 的两组解，
∴ ，
两式相减得： ，
因为 ，
所以 ，故④正确；
综上所述，正确的有：①②④，
故答案为：①②④．
4．（24-25七年级下·山东济宁·期末）阅读材料：定义：若关于x的一元一次方程的解及解的二倍都在一
元一次不等式组的解集范围内，则称这个方程为该不等式组的“完全子方程”．例如：方程
的解为 ，则 ；不等式组 的解集是 ，可以发现方程的解x及 都在
不等式组的解集 的范围内，则称方程 是不等式组 的“完全子方程”．
若方程 是不等式组 的“完全子方程”，则k的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组；
解方程 求出 ， ，再解不等式组 ，然后根据“完全子方
程”的定义得出关于k的两个不等式组，解这两个不等式组，取其公共部分即可．
【详解】解：解方程 得： ，则 ，解不等式组 得： ，
∵方程 是不等式组 的“完全子方程”，
∴ 且 ，
解不等式组 得： ，
解不等式组 得： ，
∴k的取值范围是 ，
故答案为： ．
5．（24-25七年级下·福建福州·期末）定义：如果一个未知数的值使得方程和不等式（组）同时成立，那
么这个未知数的值称为该方程与不等式（组）的“关联解”．例如：已知方程 和不等式
，对于未知数x，当 时，使得 ， 同时成立，则称 是方程
与不等式 的“关联解”．如果 是关于x的方程 与关于x的不等式组
的“关联解”，则n的取值范围________．
【答案】
【分析】本题主要考查了方程的解、不等式组的解法以及新定义问题．熟练掌握方程的解的定义、解
一元一次不等式组的方法是解题的关键．本题可根据“关联解”的定义，先求出方程 的解，
再将此解代入不等式组，从而得到关于 的不等式组，最后求解该不等式组得到 的取值范围．
【详解】解： 是关于 的方程 的解，
．∵
∴是不等式组 的“关联解”，
∵
将 代入不等式组可得：
，即 ．
把 代入上述不等式组得 ．
解不等式 ：
，
，
，
．
解不等式 ：
，
，
，
．
所以不等式组的解集为 ．
故答案为： ．
6．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）定义：关于 的二元一次方程 （其中 是常数）叫
做方程 的“移变方程”．例如： 的“移变方程”为 ．已知常数 满
足条件 ，并且 是关于 的二元一次方程的“移变方程”，则 的取值范围为_________．
【答案】 且
【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，解题关键是理解新定义，
并正确求解含参方程．
根据新定义，仿照示例，得到二元一次方程与“移变方程”系数之间的关系，列出不等式组，求出 的
范围，并注意二元一次方程的系数不为0，即可求解．
【详解】解：根据“移变方程”的定义，知 的移变方程为：
，
又 也是 的移变方程，
∴ ，
由②得， ，
代入①，得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
又 是二元一次方程，则：
且 ，
∴
解得 且 ，
又 ，
∴ 的取值范围为 且 ．故答案为： 且 ．
